Минимальное представительное множество для системы частотных классов недоопределённых слов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЛИТЕРАТУРА

1. Сохацкий Ф. Н. Об ассоциативности многоместных операций // Дискретная математика. 1992. Т. 4. №1. С. 66-84.

2. Сосинский Л. М. О представлении функций бесповторными суперпозициями в трехзначной логике jj Проблемы кибернетики. М.: Наука, 1964. Вып. 12. С. 57-68.

3. Белоусов В. Д. n-Арные квазигруппы. Кишинев: Штиинца, 1972. 277с.

4. Черемушкин А. В. Некоторые асимптотические оценки для класса сильно зависимых функций jj Вестник Томского госуниверситета. Приложение. 2006. №17. C. 87-94.

5. Черемушкин А. В. Аналоги теорем Глускина — Хоссу и Малышева для сильно зависимых n-арных операций jj Дискретная математика, 2018. Т. 30. Вып. 2. С. 15-24.

6. Bruck R. H. A survey of binary systems. Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1958. 185 p.

7. Post E. L. Polyadic groups jj Trans. Amer. Math. Soc. 1940. V.48. No. 2. P. 208-350.

8. Черемушкин А. В. Теорема Поста для сильно зависимых n-арных полугрупп jj Дискретная математика. 2019. Т. 31. №2. С. 153-158.

9. Глускин Л. М. Позиционные оперативы jj Математич. сборник. 1965. Т. 68(110). №3. С.444-472.

10. Hosszu M. On the explicit form of n-group operations jj Publ. Math. 1963. V. 10. No. 1-4. P. 88-92.

11. Гальмак А. М., Воробьев Г. Н. О теореме Поста — Глускина — Хоссу jj Проблемы физики, математики и техники. 2013. Вып. 1(14). С. 55-59.

12. Черемушкин А. В. Бесповторная декомпозиция сильно зависимых функций // Дискретная математика. 2004. Т. 16. Вып.3. С. 3-42.

13. Черемушкин А. В. Декомпозиция и классификация дискретных функций. М.: Курс, 2018. 288с.

14. Khodabandeh H. and Shahryari M. On the automorphisms and representations of polyadic groups jj Commun. Algebra. 2012. V.40. No. 6. P. 2199-2212.

УДК 519.728 DOI 10.17223/2226308X/12/11

МИНИМАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВИТЕЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО ДЛЯ СИСТЕМЫ ЧАСТОТНЫХ КЛАССОВ НЕДООПРЕДЕЛЁННЫХ СЛОВ

Л. А. Шоломов

Частотный класс недоопределённых слов — это множество всех слов в некотором недоопределённом алфавите, имеющих заданную длину и заданные частоты вхождения символов. Рассматривается задача доопределения произвольной системы частотных классов. Предложен метод выделения из этой системы минимальной по мощности подсистемы, такой, что достаточно получить доопределения для классов этой подсистемы, а по ним доопределения других классов системы находятся просто.

Ключевые слова: недоопределённые данные, доопределение, частотный класс, представительное множество.

Пусть M = {0,1,... , m — 1} и выделена система T Ç 2м некоторых непустых подмножеств T Ç M. С множеством M связан алфавит A0 = {ai : i G M} основных символов, с множеством T — алфавит A = {aT : T G T} недоопределённых символов. Доопределением символа aT считается всякий основной символ ai, i G T, доопределением слова v в алфавите A — любое слово, полученное из v заменой каждого символа каким-либо его доопределением, а доопределением множества V слов в алфавите A —

любое множество слов в алфавите А0, содержащее для каждого слова V Е V некоторое его доопределение. Символ а^, доопределимый любым основным символом, называется неопределённым и обозначается *. Подробнее о недоопределённых данных в [1].

Будем говорить, что недоопределённый символ ау чётче символа ау/, если Т С Т', и что слово V = ау ... ау чётче слова V = ау/ ... ау/, если каждый символ ау. слова V

1 1 1 I / г

чётче соответствующего символа ау/ слова V'. Ясно, что если V чётче V', то любое доопределение слова V доопределяет V'.

Для заданного набора г = (гу : Т Е Т) натуральных чисел положим / = ^ гу

у ет

и обозначим через Кг (г) класс всех слов длины / в алфавите А, в которых каждый символ ау встречается гу раз (т.е. с частотой гу//). Такие классы называют частотными.

Скажем, что класс Кг1 (г^ представительнее класса Кг2 (г2), если ^ ^ /2 и, каково бы ни было доопределение Тг1 (г1) класса Кг1 (г1), множество Тг1 (г1)|г2 начал длины /2 слов, входящих в Тг1 (г1), образует некоторое доопределение класса Кг2(г2). Отметим, что если в качестве возможных доопределений для Кг2 (г2) использовать вместо начал слов из Тг1 (г1) другие их фрагменты, расположенные в /2 различных фиксированных разрядах, это не повлияет на введённое понятие, поскольку частотные классы замкнуты относительно перестановок символов в словах.

Пусть К — некоторая конечная система частотных классов, заданная перечислением параметров (/, г) входящих в неё классов Кг (г). Подсистему М С К назовём представительным множеством системы К, если для любого Кг(г) Е К в М имеется класс, который представительнее Кг (г). Представительное множество М называется минимальным, если не существует представительного множества для К, содержащего меньшее число частотных классов.

Цель данной работы — построение минимального представительного множества для заданной системы частотных классов. Такая задача возникает в некоторых методах сжатия недоопределённых данных и реализации недоопределённых функций (см., например, [2]). Они обобщают подход Э. И. Нечипорука [3]. Эти методы требуют нахождения доопределений для всех частотных классов подходящей системы. Решение задачи упрощается за счёт сведения к задаче доопределения минимального представительного множества этой системы.

Пусть заданы классы Кг1 (г1) и Кг2(г2), /1 ^ /2, и требуется выяснить, является ли Кг1 (г1) более представительным. Образуем класс Кг1 (г+), слова которого получены из слов класса Кг2(г2) добавлениями /1 — /2 символов *. Компоненты г2,у и г2у наборов г2 и г+ связаны соотношениями г2 * = г2,* + /1 — /2 и г2у = г2,у, ау = *.

Лемма 1. Класс Кг1 (г1) представительнее Кг2 (г2) тогда и только тогда, когда найдётся пара слов V Е Кг1 (г1), V' Е Кг1 (г+), в которой V чётче V'.

Доказательство. Пусть такая пара (V, V') существует. Рассмотрим произвольное слово w класса Кг2 (г2). Образуем слово Е Кг1 (г+) путём дописывания к w в конце /1 — /2 символов *. Найдётся перестановка а символов слова w', для которой а^') = = V'. Построим слово и = а-1^). Оно чётче w' и принадлежит классу Кг1 (г1). Любое доопределение слова и доопределяет w', а его начало длины /2 доопределяет w.

Допустим теперь, что пара с указанным свойством отсутствует, т.е. для лю-

бых V Е Кг1 (г1) и V Е Кг1 (г+) слово V не чётче V'. Возьмём некоторое слово w Е Кг2 (г2) и образуем из него слово V Е Кг1 (г+) приписыванием /1 — /2 символов *. Всякое слово V Е Кг1 (г1) не чётче V', а потому в нём присутствует символ ауг, хотя бы одно из доопределений которого не доопределяет соответствующий символ ауг слова V'. По-

скольку последними ¿1 — ¿2 символами слова у' являются *, символ а^ принадлежит началу слова у. Это означает возможность доопределить слово у так, чтобы начало этого доопределения не являлось доопределением слова В силу произвольности слова у € (г1) отсюда следует существование для класса (Г1) такого доопределения, среди начал слов которого нет доопределений слова и> € К12 (г2), а потому (г1) не представительнее класса К12 (г2). ■

Пусть, как и раньше, г1 = (г1,т : Т € 71), г+ = (г2т/ : Т' € 72), где

Е г1,т = Е г2,т/ = ¿ь

т еГх т/еГ2

Построим ориентированную потоковую сеть [4] с полюсами 5 (источник) и £ (сток), с внутренними вершинами ат, Т € 71, и вт/, Т' € 72, с дугами (5, ат), имеющими пропускные способности г1,т, с дугами (вт/ , £), имеющими пропускные способности г2т/, а также с дугами (ат,вт/), Т С Т', обладающими достаточно большими пропускными способностями (например, равными /1).

Лемма 2. Пара слов (у,у'), такая, что у € (г1), у' € (г+) и у чётче у', существует тогда и только тогда, когда максимальный поток в построенной сети равен /1.

Доказательство. Пусть максимальный поток равен /1. Поскольку совокупность

дуг (5,ат), Т € 71, образует разрез, из равенства ^ г1,т = /1 следует, что в каждой

т

из них поток совпадает с пропускной способностью г1,т. Аналогичные рассуждения показывают, что и в дугах (вт/, £), Т' € 72, достигается пропускная способность г2 т/.

Обозначим через ^тт/ поток в дуге (ат, вт/). В соответствии с теоремой Форда — Фалкерсона величины ^тт/ можно считать целыми. По набору чисел ^тт/, где Т € 71, Т' € 72, Т С Т', образуем слова у и у' так, чтобы в них имелось ровно ^тт/ позиций, в которых в слове у находится символ ат, а в слове у' — символ ат/. Из конструкции сети и сказанного выше о достижимости в дугах (з,ат) и (вт/, £) пропускных способностей следует, что ^ гтт/ = г1,т, ^ гтт/ = г2т/, а потому у € К11 (г1), у' € К11 (г+).

т/ т 2,т 1 1 2

Кроме того, у очевидно чётче у' и, следовательно, пара слов (у, у') обладает требуемыми свойствами.

Эти рассуждения допускают обращение. По паре (у, у') с указанными свойствами может быть построен поток, равный /1, который максимален. ■

Лемма 3. Существует полиномиальный алгоритм выяснения по наборам параметров (¿1, г1) и (¿2, г2), является ли класс (г1) более представительным, чем Кг2(г2).

Доказательство. Если ¿1 < ¿2, то ответ отрицателен. Дальше считаем ¿1 ^ ¿2.

Образуем из г2 набор г+ заменой компоненты г2,* на г2,* +/1 — ¿2 и построим по (¿1, г1) и (¿2, г+) потоковую сеть описанным выше способом. Применением полиномиального алгоритма найдём в ней максимальный поток [4]. Из лемм 1 и 2 следует, что класс Кг1 (г1) представительнее К12 (г2) тогда и только тогда, когда этот поток равен ¿1. ■

Теорема 1. Для любой системы К частотных классов имеется единственное минимальное представительное множество М. Оно может быть найдено со сложностью, ограниченной полиномом от максимальной длины I слов из К.

Доказательство. Отношение представительности частотных классов — частичный порядок. В конечной системе К частотных классов имеется единственная подсистема классов, максимальных по этому отношению, которая и образует минимальное

представительное множество. Оно может быть найдено путём попарного сравнения частотных классов системы K по отношению представительности с использованием леммы 3. Мощность системы K ограничена числом частотных классов с длиной слов не выше ¿, которое не превосходит где |A| —мощность алфавита A, а число пар классов из K не больше ¿2|A|. Поскольку |A| —константа, а трудоёмкость сравнения одной пары по представительности полиномиальна, процедура выделения минимального представительного множества полиномиальна по ¿.В

ЛИТЕРАТУРА

1. Шоломов Л. А. Элементы теории недоопределённой информации // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2009. №2. С. 18-42.

2. Шоломов Л. А. О функционалах, характеризующих сложность систем недоопределенных булевых функций // Проблемы кибернетики. Вып. 19. М.: Физматлит, 1967. С. 123-139.

3. Нечипорук Э. И. О сложности вентильных схем, реализующих булевские матрицы с неопределенными элементами // ДАН СССР. 1965. Т. 163. №1. С. 40-42.

4. Адельсон-Вельский Г. М., Диниц Е. А., Карзанов А. В. Потоковые алгоритмы. М.: Наука, 1975.

UDC 512.772.7 DOI 10.17223/2226308X/12/12

CHARACTERISTIC POLYNOMIALS OF THE CURVE y2 = x7 + ax4 + bx

OVER FINITE FIELDS

S. A. Novoselov1, Y. F. Boltnev

In this work, we list all possible characteristic polynomials of the Frobenius endomorphism for genus 3 hyperelliptic curves of type y2 = x7 + ax4 + bx over finite field Fq of characteristic p > 3.

Keywords: hyperelliptic curves, characteristic polynomials, point-counting, genus 3.

Introduction

Let Fq be a finite field of size q = pn, p > 2. In this note, we study the hyperelliptic curves of genus g = 3 of the form

C : y2 = x2g+1 + axg+1 + bx.

The Jacobian JC of the curves is split [1] over certain finite field extension:

JC ~ JDi x JDa,

where D1 and D2 are explicitly given curves. This fact allows us to reduce the problem of point-counting on the curve C to counting points on the curves D1 and D2.

For genus 2 case it was done in the works [2, 3]. The work [1] contains algorithms for g > 2 case. In this work, we give explicit formulae for the number of points on the Jacobian in the case of g = 3.

The point-counting on the curve is equivalent to finding of zeta-function of the curve

Z(C/Fq; T) = exp (£#C(i>)^) = (1 qT),

1The author is supported by RFBR according to the research project No. 18-31-00244.