CC BY
10ВЫСОКОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ, Серия А, 1996, том 38, № 7, с. 1185-1193
- ТЕОРИЯ
УДК 541.64 : 539.2
МИКРОСТРУКТУРНЫЙ ПОДХОД В ТЕОРИИ ТЕЧЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ПОЛИМЕРОВ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ НА ЕГО ОСНОВЕ
© 1996 г. Ю. А. Алтухов, Г. В. Пышнограй
Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова 656099 Барнаул, пр. Ленина, 46 Поступила в редакцию 01.06.95 г.
Реологическое уравнение состояния концентрированных растворов и расплавов линейных полимеров получено как нулевое приближение молекулярной теории вязкоупругости по имеющимся малым параметрам. Результаты расчетов вискозиметрических функций сравниваются с экспериментальными данными.
Для моделирования течений полимерных жидкостей в рамках механики сплошных сред необходимо записать реологическое уравнение состояния, устанавливающее связь между тензором напряжений полимерной системы и тензором градиентов скорости. Сделать это можно как феноменологически [1], обобщая известные экспериментальные данные, так и на основе микроструктурных моделей [2-16]. Однако при любом подходе, вероятно, не удастся найти достаточно простого реологического определяющего соотношения, пригодного для описания большинства экспериментов по течениям растворов и расплавов линейных полимеров. Поэтому актуальна задача построения последовательности реологических определяющих соотношений, когда на каждом шаге учитываются новые все более тонкие эффекты. Успех такой процедуры определяется выбором начального приближения и правил перехода к новому приближению.
В настоящей работе рассмотрены нулевые приближения молекулярной теории вязкоупругости [7-11] по имеющимся малым параметрам и показана возможность использования этих соотношений в качестве начального приближения при дальнейшем построении иерархии реологических определяющих соотношений.
УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ МАКРОМОЛЕКУЛЫ
Основу микроструктурного подхода при описании динамики полимерных систем составляют модельные представления о движении полимерных цепей. При этом его реализация включает последовательное решение двух задач. Первая -это формулировка уравнений динамики макромолекулы и вторая - переход от сформулированных уравнений к реологическому определяющему соотношению. Из-за сложности учета подробнос-
тей химической структуры полимера в настоящее время формулировка уравнений динамики макромолекулы невозможна без дополнительных предположений. Два существенных предположения используются наиболее часто. Во-первых, одно-молекулярное приближение, при котором вместо всей совокупности макромолекул в объеме рассматривается одна выбранная макромолекула, движущаяся в эффективной релаксирующей среде, образованной растворителем и другими макромолекулами. Во-вторых, возможность независимо от химической природы полимера отождествить медленные тепловые движения выбранной макромолекулы с движением N (И > 1) центров трения (бусинок), соединенных последовательно упругими энтропийными силами (пружинками). Эти предположения, носящие характер гипотез, приводят к следующим уравнениям динамики макромолекулы [5-9]:
(1 а г^а —а ^^л а -а ,,,
= ' ' ~2Т^ХаР< +ф< (1)
Здесь р", \|/" - обобщенные координата и скорость; т - масса бусинки; Г," - сила гидродинамического увлечения; 7,™ - сила, обусловленная
внутренней вязкостью; Ф,а - случайная сила; 2Т\\Ха - коэффициент упругости; латинские индексы 1,7,... = 1,2,3 обозначают номера пространственных декартовых координат, а греческие а, |3,... = 1, 2,..., N - номера обобщенных координат в макромолекуле.
Задание сил Г,а и Г," позволяет конкретизировать полимерную систему. Различные модели, определяющие эти силы, соответствуют разным
физическим случаям. Величина Г" описывает взаимодействие через растворитель полимерной
цепи со своим окружением. В случае разбавленных полимерных систем, когда макромолекулы полимера можно считать невзаимодействующими, Г,а может быть найдена из решения задачи о движении частицы в вязкой жидкости в стоксо-вом приближении
гг = (2)
где С, - коэффициент трения бусинки в мономерной жидкости; \у - тензор градиентов скорости. Выражение в скобках представляет разность между скоростью частицы, находящейся в данной точке пространства, и скоростью невозмущенного потока в этой точке. Последнее выражение является основой для описания динамики разбавленных полимерных систем [16,17].
При моделировании концентрированных полимерных систем, когда макромолекулы нельзя считать невзаимодействующими, выражение (2) нуждается в обобщении. Это связано с необходимостью учета последействия окружения, наведенной потоком анизотропии и усиления коэффициента трения. Первый из этих факторов обусловлен тем, что взаимодействие макромолекулы со своим окружением носит запаздывающий характер. Второй - тем, что в потоке с ненулевыми градиентами скорости макромолекулярный клубок вытягивается вдоль потока и среда, образованная такими вытянутыми клубками, становится анизотропной. И, наконец, последний - тем, что выбранная бусинка испытывает сопротивление не только со стороны мономерного растворителя, но и со стороны других макромолекул. Учет всех этих факторов приводит к такому уравнению для
Г? [8]:
О г,а ,-,01 у „а, а ач ...
х—Г, +Г, = -^пря) (3)
Здесь х - время релаксации окружения; В," безразмерный тензорный коэффициент трения
бусинки; ^ Г" = ^ Г™ - со,-, Г" - производная Яу-
манна векторной величины Г"; соу = 1/2(Уу - V,,) -антисимметризованный тензор градиентов скорости. Выбор производной Яуманна в качестве материальной производной обусловлен ее относительной простотой.
В случае, когда макромолекулы образуют перепутанную систему, помимо силы гидродинамического увлечения Г" необходимо учитывать силу, обусловленную внутренней вязкостью Г,а и связанную с "выпутыванием" макромолекулы из ее окружения при движении [5, 6, 16, 17].
Специфическим требованием, накладываемым на Г,", является исчезновение Г," при вращении макромолекулярного клубка как целого [6, 16,17], что дает вместо выражения (2) соотношение
Га а а а ,
где е™ = р"/|ра| - направляющие косинусы вектора с компонентами р". Использование выражения для силы Г," в таком виде приводит к незамкнутости уравнений для статистических характеристик случайного процесса р", которые далее необходимы [17]. Поэтому в последнем выражении проводят линеаризацию по р™ и у", в результате [16]
ГГ~(¥,а-«>* Р?)
Сила внутренней вязкости Т*, как и Г", носит релаксационный характер и зависит от анизотропных свойств окружения. Поэтому окончательное выражение для этой силы может быть записано в виде (3)
= чяг<¥;-«/.рг> (4)
Использование одного временного масштаба х в уравнениях (3), (4) называют приближением одного времени релаксации [6].
Впервые релаксационные уравнения для сил гидродинамического увлечения и внутренней вязкости в виде соотношений (3), (4), но без учета тензорного характера коэффициентов трения
Ву, , были сформулированы в работах [18,19].
Таким образом, уравнения (1), (3) и (4) образуют систему уравнений динамики макромолекулы, определенную с точностью до параметров т,
2Т\1Ха, х, С,, В", Входящая в выражение (1)
случайная сила Ф,™ (*) является гауссовским случайным процессом с нулевым средним. Ее корреляционный тензор удовлетворяет соответствующему флуктуационно-диссипативному соотношению [8, 9,16].
РЕОЛОГИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ
Описание поведения полимерной системы, исходя из уравнений (1), (3) и (4), является дискретным или микроскопическим. Переход к непрерывному случаю, т.е. к описанию течений полимерной системы в рамках механики сплошных
менных - плотности р и плотности импульса ру. Эти переменные вводятся стандартным образом [17]
сред, требует введения макроскопических пере- где а^ - след тензора анизотропии В иЕ- меры
усиления коэффициента трения £ для сил внешнего и внутреннего трения; Р, е, к, V - феноменологические коэффициенты микроанизотропии, учитывающие в уравнениях динамики макромолекулы размеры (к, V) и форму (Р, е) макромоле-кулярного клубка. Сравнение выражения (7) с некоторыми другими возможными подходами проведено в работе [11].
Такой способ учета наведенной анизотропии обобщает в случае больших градиентов скорости предложенные в работе [7] выражения
р(х,0 = £т(6(х-га)> ру(х,0 = £т<иа8(х-га)>
(5)
Здесь г", и™ - радиус-вектор и вектор скорости бусинки с номером а, х - радиус-вектор выбранной точки пространства, г - время. Суммирование выполняется по всем частицам в единице объема, усреднение - по ансамблю реализации случайной
силы Ф,а(0-
Дифференцируя выражение (5) по времени, можно получить уравнение сохранения массы и, переходя к обобщенным координатам с учетом формулы (1), уравнение для плотности импульса. В последнем случае получим выражение для тензора напряжений полимерной системы через статистические характеристики решений системы уравнений динамики макромолекулы [7, 8,17]
<*«* = -рб,* + ЗпТ^х*к - - + „«•)} (6)
где р - давление, п - число макромолекул в единице объеме, Т— температура в энергетических едини-
В* = Я(8,*-Зра,4), Е1 = ВД^-Зе«*) Внутренние термодинамические переменные х"к и щк удовлетворяют релаксационным уравнениям, которые могут быть получены из формул (1). (3) и (4) при /я = 0 [8,9]
«А - -Ц < и и и и V
2)^-*«* - \ХцЧ]пспк + ХкпУ]ПСпП =
=-¿(Н - +И ~ Ю^)
й а I а — и» + -И» '
к.
2т,
1 ,а а ^Ха а а
•я
(8)
ооъеме, температура в энергетических едини- Вх (( 1 \ \
цах; 4 =2^а(р,арГ>/3; 4 = <рГ ГГ>/(37)-вну- = ~ з«<.)С ~ ™х*х°УяЛ)
тренние термодинамические параметры, описы- л
вающие отклонение макроскопически неравно- Здесь ха = £,/41)0^ = х*/а2- набор времен релак-весной системы от состояния равновесия [17].
Введенные в выражение (6) термодинамические переменные х"к характеризуют инерционные свойства макромолекулярного клубка и поэтому могут быть использованы при определении тензора анизотропии ал. Следуя работе [9], запишем
а,к = 6£(дс,"-6,*/3)/(шс2)
Если предположить, что анизотропия в рассматриваемой полимерной системе характеризуется размерами и формой макромолекулярного клубка и, таким образом, описывается только симметричным тензором второго ранга ал, то
тогда для коэффициентов В™ и Е,™ можно записать следующие выражения:
к 1
сации Рауза; ха = т/2 + ха(В + Е);ул= - (ул + V«) -
симметризованный тензор градиентов скорости; другие вспомогательные переменные определяются так:
£,* = Зе(а,„ + - ^аууб,^ х х(5я4 + ЗЕ(ая4 + 1^-1)аА))
В1 = В^ + Зр^-^б^ + каД,]
-1
Е«к = ^ + + ,
-1
(7)
с," = (5у-Ри)Ь%, = b'*(&Jk-$jk),
Таким образом, параметрами получившейся реологической модели (8) являются Вт* - максимальное время релаксации; % = т/2Вт* - безразмерное время релаксации окружения; \|/ = Е/В -мера внутренней вязкости и |3, е, к, V. Влияние этих параметров на решения системы уравнений (6), (8) рассматривали в работах [8-11]. Ранее были получены оценки для параметров % < 1 [5, 9] и Р < 1 [7, 10, 11]. Параметр у может принимать различные значения, при этом случай < 1 [9] соответствует концентрированным растворам полимеров, способным к течению в широком диапазоне градиентов скорости. Как оказалось, параметры х и отвечают за линейную вязкоупру-гость, а коэффициенты микроанизотропии сказываются в нелинейной области.
МОДЕЛИ НУЛЕВОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ
Записанная система уравнений очень сложна. Поэтому ранее [9], используя малость параметров X и были сформулированы модели нулевого и первого приближения. Полученные при этом результаты приводят к необходимости более подробного рассмотрения модели нулевого приближения по х и у. В этом случае и," = 0 и уравнения (6), (8) принимают вид
О«* = -рЬ.к + "
£ а _ а _ а _ 1 + (К-РК/ а 1, ¿1*<к У)к]Х1! - ^
•РК,Г « 1* ^
(9)
Параметрами этой системы уравнений теперь являются Вт*, р и к. Параметр Вт* можно определить по начальной сдвиговой вязкости Т10 = = (к2/6)пТВх* и, таким образом, появляется возможность исследовать влияние введенных в выражение (7) параметров микроанизотропии р и к на решения системы уравнений (9). При рассмотрении стационарного сдвигового течения, когда только одна компонента тензора градиентов скорости у12 отлична от нуля, из уравнения (9) получаем выражение для ненулевых компонент тензора напряжений с,* с точностью до членов третьего порядка по У12
аи+р
=1И>
<Згг + Р = -^Р»7ЧВт*у12)2
2 (Ю)
<У|2 = ^пг[вт*у12-
Таким образом, параметры к и Р отвечают за нелинейные свойства системы (8) или (9), причем в случае простого сдвига параметр р сказывается уже во втором порядке по градиентам скорости, а к - лишь в третьем. Из формулы (10) получаются следующие выражения для вискозиметрических функций:
у. =
У, =
(Уп)
-
Для модели гантели (И = 1) система уравнений (9) принимает вид
"По хо
й 1+(к-р)7 -аш - Уиа)к - чк}ац +- _ а1к =
¿г
(11)
Т{Вх*\п)
_ 2 Зр
- з
где Т|0 = пТх0 и т0 начальные значения сдвиговой вязкости и времени релаксации; / = а^. Отсюда в предположении изотропной релаксации (Р = 0), получается известная структурно-феноменологическая модель Покровского [12]. Когда Р = к, коэффициенты в уравнении (11) не зависят от первого инварианта тензора а,к, что соответствует ситуациям, рассмотренным в работах [14, 15].
Система уравнений (11) была использована ранее [13] для расчета зависимости отношения йяз-кости при растяжении к сдвиговой от первого инварианта тензора дополнительных напряжений.
НЕЛИНЕЙНЫЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ЭФФЕКТЫ ПРИ ПРОСТОМ СДВИГЕ И ОДНООСНОМ РАСТЯЖЕНИИ
Полученные выше выражения для вискозиметрических функций могут служить для оценки параметров к и р. Однако эти соотношения справедливы лишь при достаточно малых градиентах
1ё<л/Ло)
Рис. 1. Коэффициент сдвиговой вязкости как функция скорости сдвига при к = 0.2 (7); 0.3 (2); 1.0(5). |* = 0.2.
Рис. 2. Коэффициент сдвиговой вязкости как функция скорости сдвига при Р = 0 (/); 0.1 (2); 0.15 (5); 0.2 (4) и 0.3 (5). к = 0.2.
скорости, что может привести к большим погрешностям при определении к и р. Поэтому далее рассмотрим поведение решений системы (11) при произвольных градиентах скорости. Получающиеся при этом уравнения требуют численного решения.
При рассмотрении нелинейных эффектов в стационарном сдвиговом течении система уравнений (11) принимает вид
2 2
ап = 2x^,2 - ЗрТд^а,, +ап) 2 2
«22 = -ЗРтл,(а22 + а12) (!2)
х„
а\2 = + Тлг^а22 - Зрхлга,2(ап + а2г)»
где Тд, = 1/(1 + (к - р)/), / = ам + а22,5 = х0У12.
Результаты расчетов вискозиметрических функций из системы уравнений (12) приведены на рис. 1-5. На рис. 1 и 2 представлена зависимость стационарной сдвиговой вязкости г] от безразмерной скорости сдвига 5. Увеличение Р приводит к уменьшению Т|, а рост к (при фиксированном Р) - к увеличению Т). При этом влияние р оказывается более значительным (изменение Р от 0.1 до 0.15 "компенсируется" изменением к от 0.3 до 1).
На рис. 3 представлена кривая течения - зависимость сдвигового напряжения а12 от скорости сдвига. При к > Р <т12 является возрастающей функцией скорости сдвига v12, что хорошо согласуется с экспериментальными данными [20-22].
На рис. 4 представлено отношение второй разности нормальных напряжений к первой (<т22 -- а3з)/(аи - а22) = \)/|/\|/2. Приведенное отношение меньше нуля и мало по абсолютной величине. Параметр Р существенно влияет на это отношение, тогда как к-незначительно. Величина к также не влияет на коэффициент первой разности нормальных напряжений у, (рис. 5).
Рис. 3. Напряжения сдвига как функция скорости сдвига при 0 = 0 (/); 0.1 (2); 0.15 (5); 0.2 (4) и 0.3 (5). к = 0.2.
Рис. 4. Отношение разностей нормальных напряжений как функция скорости сдвига при (3 =
= 0 (7); 0.1 (2); 0.15 (5); 0.2 (4) и 0.3 (5). к = 0.2.
В случае стационарного одноосного растяжения, когда = 0,* к и у22 = у33 = -уп/2, система уравнений (7) принимает вид
зртд^.+о-гт,,^,, =
2 1
ЗртЛг + (1 + х^)Ь22 = —Хд,,
где/ = (Ьц + 2 Ь22)5,5 = т0Уп, Ьи = Ь„/5.
В таком случае поведение полимерной жидкости характеризуется стационарной вязкостью при растяжении X = (о,, - с22)/У1,. Соответствующие зависимости вязкости от безразмерной скорости удлинения 5 при различных значениях параметра (Р = к) приведены на рис. 6. При больших скоростях растяжения А, выходит на стационарные значения, что соответствует расчетам, приведенным в работах [3, 14]. Аналогичное поведение проявляет суспензия эллипсоидов вращения в вязкой жидкости [17].
Приведенные на рис. 1-6 зависимости демонстрируют качественное соответствие модели (11) реальному поведению растворов и расплавов линейных полимеров при течении. Наиболее часто в опытах исследуют стационарную сдвиговую вязкость Г| и первую разность нормальных напряжений /V, = «г,, — а22. С помощью параметров т^, р и к возможно достаточно точно описать Т|(у12) и N,0,2) при некоторых значениях и концентрации полимера в растворе с. Наибольший интерес представляет задача описания серии опытов для заданного полимера при различных значениях М и с. Для решения такой задачи обратимся к экспериментальным данным [21, 22].
В работе [21] было исследовано влияние ММ и концентрации полимера на нелинейные стацио-
Рис. 5. Коэффициент первой разности нормальных напряжений как функция скорости сдвига при р = 0.05 (7); 0.2 (2); 0.3 (3). к = 0.2.
нарные эффекты при простом сдвиге для растворов ПС в толуоле при 35°С. На рис. 7 и 8 приведено сравнение расчетов на основе модели нулевого приближения (11) и экспериментальных данных [21]. На рис. 7 построены зависимости стационарной сдвиговой вязкости от ММ (7а) и концентрации (76). Параметры модели Т|0, т0 оценивали следующим образом:
Г ч 4.5 3.4
Ло(с,Л/) = Ло[с„М1]^ , (13)
где М, = 3.2 х 106, Т10[с,, М,] = 0.4 Па с, т0 = Ц0/(пТ), с1 = 3%.
Рис. б. Коэффициент вязкости при одноосном растяжении как функция скорости удлинения при Р = 0 (/); 0.01 (2); 0.05 (5); 0.1 (4); 0.2 (5) и 0.5 05).
lgiltna с]
IgN.fna]
lgriina с]
3 lgv^tc-1]
lgVntc"1]
Рис. 7. Сравнение экспериментальных и теоретических зависимостей коэффициента сдвиговой вязкости от скорости сдвига при различных значениях М (а) и с (б), к = 0.3; Р = 0.2. а: с = 3%; М = 23.6 х 106 (7); 9.2 х 106 (2); 3.6 х 105 (5); 1.86 х х 10б (4); б: М = 23.6 х 106; с = 0.5 (7), 1 (2), 2 (3) и 3% (4).
2 Igv^c"1]
lg7V,[na]
2 lgv12[c-']
Рис. 8. Сравнение соответствующих рис. 7 экспериментальных и теоретических зависимостей первой разности нормальных напряжений от скорости сдвига при различных значениях М (а) и концентрации с полимера (б), к = 0.3; р = 0.2. а: с = 3%; М = 3.2 х 10б (7); 9.2 х 10б (2); 23.6 х 10б (5); б: М = 23.6 х 106; с = 1 (7), 2 (2) и 3% (3).
Параметры р и к подбирали из условия наилучшей аппроксимации теоретическими кривыми экспериментальных данных и условия независимости поведения Т1(у12) от ММ при больших у12.
На рис. 8 представлены соответствующие рис. 7 зависимости первой разности нормальных напря-
2
жений А/1 = У|2. Отношение второй разности
нормальных напряжений к первой у2/\|/1 является убывающей функцией скорости сдвига [21]. Рассчитанные по модели (11) значения как следует из рис. 4, также являются убывающей
функцией v12, но оказываются заниженными в несколько раз.
На рис. 9 приведено сравнение стационарной сдвиговой вязкости для расплавов ПДМС различных ММ с результатами расчетов [22], Значения Г|0 и т0 оценивали по формулам (13), причем c¡ = с, Мх = 3.1 х 104, т\0[с,, М,] = 2.45 Па с. Заметим, что более ранняя попытка [7] описания этих данных оказалась успешной лишь на начальном* участке нелинейности.
Из приведенного сравнения можно сделать вывод о применимости модели (11) для описания стационарного сдвигового течения растворов и
Рис. 9. Сравнение экспериментальных и теоретических зависимостей коэффициента сдвиговой вязкости от ММ полимера при v12 = 102 (2), 103 (5), 104 (4), 105 с"1 (5). Прямая 1 - коэффициент начальной сдвиговой вязкости т|0. к=0.2; р = = 0.005.
аи(У)[Па]
Рис. 10. Сравнение теоретических и экспериментальных результатов по развитию сдвиговых напряжений при различных постоянных скоростях сдвига У12 = 0.0313 (/), 0.0627 (2), 0.125 (3) и 0.627 с'1 (4). к = 0.4; р = 0.12.
расплавов линейных полимеров в достаточно широком диапазоне скоростей сдвига. При этом оказалось, что параметры модели Р и к слабо зависят от ММ и концентрации раствора.
РАЗВИТИЕ НАПРЯЖЕНИЙ ПРИ ПРОСТОМ СДВИГЕ
Рассмотрим теперь нестационарные эффекты на основе модели (11). Это удобно сделать, потому что имеется возможность сравнить полученные результаты как с экспериментальными данными [20], так и с расчетами, выполненными на основе другой модели [23].
Для этого рассмотрим задачу о развитии напряжений при простом сдвиге на предсгационар-ном участке после мгновенного приложения деформации с постоянной скоростью сдвига \п. Так как деформирование начинается из состояния покоя, систему дифференциальных уравнений (11) следует решать с начальными условиями аМ) = 0. Подставляя эти условия в выражение (11), получаем
при малых г, <т12(0 = — у, где у = - сдвиговая то
деформация.
Значения Т|0 и т0, определенные в работе [23] по данным работы [20], равны соответственно 3500 Па и 27.5 с. Результаты расчетов по формуле (11), несмотря не ее простоту, предсказывает немонотонное развитие сдвиговых напряжений а|2(у) и приемлемые значения для максимумов <*12(У) в диапазоне значений у,2 от 0.02 до 362 с-1. Часть подробных результатов (у12 < 0.0625 с-1) сравнения экспериментальных данных [20] и расчета о)2(у) по формуле (11) приведены на рис. 10. К сожалению, для модели нулевого порядка по % и \\1 указанные значения параметров Т|0 и т0 не позволяют правильно описать наклон а12(7) на начальном участке. Заметим, что ранее [23], исходя из модели первого порядка по % и удалось рассчитать зависимости а12(у) лишь для у,2 < 0.625 с-1.
Таким образом, модель (11) может быть выбрана в качестве начального приближения при описании нелинейных и вязкоупругих свойств растворов и расплавов линейных полимеров.
Анализируя изложенное выше, следует ожидать, что система уравнений (11) не должна быть полностью адекватна реальным данным, поскольку анализируется только нулевое приближение по параметрам X и ¥• Несомненный интерес представило бы изучение системы уравнений, записанных с точностью до членов первого порядка по указанным параметрам. Учет параметров последействия окружения % и внутренней вязкости \|г в моделях первого приближения должен проводится иначе, чем это делалось до сих пор, что, по-видимому, потребует уточнения уравнений динамики макромолекулы.
В настоящей работе не проводится сопоставление предсказаний определяющих соотношений (9) и (11) и феноменологических уравнений, предлагаемых в большом количестве для описания движения полимерных жидкостей [1]. Однако систематическое исследование определяющих уравнений на основе результатов молекулярной теории может позволить оценивать достоинства и недостатки тех или иных феноменологических уравнений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Астарита Дж., Маруччи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. М.: Мир, 1978.
2. Doi M., Edwards S.F. // J. Chem. Soc. Faraday Trans. II. 1978. V. 74. P. 1789.
3. Curtiss C.F., Bird R.B. // J. Phys. Chem. 1981. V. 74. P. 2016.
4. Schweizer KS. Hi. Chem. Phys. 1989. V. 91. P. 5802.
5. Покровский В.Н. H Успехи физ. наук. 1992. T. 162. № 5. С. 87.
6. Покровский В.H., Волков B.C. // Высокомолек. со-ед. А. 1978. Т. 20. № 12. С. 2700.
7. Пышнограй Г.В., Покровский В.Н. // Высокомолек. соед. А. 1988. Т. 30. № 11. С. 2477.
8. Пышнограй Г.В., Покровский В.Н. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1990. № 4. С. 88.
9. Покровский В.Н., Пышнограй Г.В. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1991. № 1. С. 71.
10. Пышнограй Г.В. // Прикл. мех. и техн. физика. 1994. №4. С. 147.
11. Алтухов Ю.А., Пышнограй Г.В. // Изв. РАН. МЖГ. 1995. №4. С. 3.
12. Покровский В.Н., Кручинин Н.П. // Высокомолек. соед. Б. 1980. Т. 22. № 5. с. 335.
13. Пышнограй Г.В., Покровский В.Н., Яновский Ю.Г., Карнет Ю.Н., Образцов И.Ф. H Докл. РАН. 1994. Т. 339. № 5. С.612.
14. Volkov VS., Vinogradov G.V. //Rheol. Acta. 1984. V. 23. P. 231.
15. Giesekus H. // J. Non-Newton. Fluid Mech. 1982. V. 11. № 1 /2. P. 69.
16. Покровский В.Н. //Успехи физ. наук. 1994. T. 164. №4. С. 397.
17. Покровский В.Н. Статистическая механика разбавленных суспензий. М.: Наука, 1978.
18. Волков B.C. // Препринт Междунар. конф. по каучуку и резине. М.: 1984. А67.
19. Volkov VS., Vinogradov G.V. // J. Non-Newton. Fluid Mech. 1985. V. 18. P. 163.
20. Трапезников A.A., Пылаева A.T. // Высокомолек. соед. A. 1970. T. 12. № 6. С. 1294.
21. Kulike W.-M., Wallbaum U. // Chem. Engin. Sei. 1985. V. 40. №6. P. 961.
22. ¡to Y., Shishido S. H J. Polym. Sei., Polym. Phys. Ed. 1972. V. 10. P. 2239.
23. Гребнев ВЛ., Покровский В.Н. // Высокомолек. соед. Б. 1987. T. 26. № 9. С. 704.
Microstructural Approach in the Theory of Flow of Linear Polymers and Related Effects
Yu. A. Altukhov and G. V. Pyshnograi
Altai State Technical University pr. Lenina 46, Barnaul, 656099 Russia
Abstract—A rheological equation of state of concentrated solutions and melts of linear polymers is derived within the framework of the molecular theory of viscoelasticity in the zero-order approximation with respect to small parameters. Viscosimetric functions are calculated and the results are compared with experimental data.
