Линейная неустойчивость решений математической модели, описывающей течения полимеров в бесконечном канале Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2015. Том 22, №2

УДК 517.958:539.3(6)+517.968.72+517.956.3

ЛИНЕЙНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ, ОПИСЫВАЮЩЕЙ ТЕЧЕНИЯ ПОЛИМЕРОВ В БЕСКОНЕЧНОМ КАНАЛЕ А. М. Блохин, Д. Л. Ткачев, А. В. Егитов

Аннотация. Изучается новая реологическая модель, описывающая течения несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости. Доказана линейная неустойчивость (по Ляпунову) аналога течения Пуазейля для системы уравнений Навье — Стокса в плоском бесконечном канале.

Ключевые слова: несжимаемая вязкоупругая полимерная жидкость, реологическое соотношение, броуновская частица, гантель, решение типа Пуазейля, корректность смешанной проблемы, линейная неустойчивость.

Blokhin A. M., Tkachev D. L., Yegitov A. V. Abstract: We study new rheological model descrybing the flow of incompressible viscoelastic polymer fluid. The theorem about linear instability (by Lyapunov) of Poiseuille flow analogue for Navier - Stocks equation system was proven in infinite plane chanel.

Keywords: incompressible viscoelastic polymer fluid, rheological correlation, Brownian particle, dumbbell, Poiseuille type soultions, correctness of mixed problem, linear instability.

1. Введение

В работе изучается новая реологическая модель, которая с приемлемой точностью учитывает нелинейные эффекты, возникающие при рассмотрении движения полимерной среды как суспензии невзаимодействующих упругих гантелей [1]. Каждая из гантелей представляет собой две броуновские частицы, связанные упругой силой и движущиеся в анизотропной жидкости, образованной растворителем и другими гантелями.

Эта модель, основное звено которой — новое реологическое соотношение, устанавливающее связь между кинематическими характеристиками потока и внутренними термодинамическими параметрами, является модификацией известной модели Покровского — Виноградова [2,3]. По мнению авторов модели она продемонстрировала свою высокую эффективность при численном исследовании течений полимеров в областях со сложной геометрией [4,5].

В работе рассмотрен вопрос о линейной устойчивости экспериментально наблюдаемого аналога течения Пуазейля для системы уравнений Навье — Стокса.

(g 2015 Блохин А. М., Ткачев Д. Л., Егитов А. В.

2. Постановка задачи. Вспомогательные сведения. Формулировка основных результатов

В [1] изложена новая математическая модель для описания течений несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости. В плоском случае нестационарные течения полимерных сред описываются с помощью следующей реологической модели (предварительно проведена процедура обезразмеривания):

пх + Уу = 0, (2.1)

<п 1

(И ^х Не' <У 1

И +Ру = Те'

О Л „, о„ .„, , _ Я(„2 , „2

+ Рх =—{(an)x + (ai2)y}, (2.2)

-17+Ру =-^-{(a12)x + (a22)y}, (2.3)

dt

— 2Aiux — 2ai2Uy + К/an = —в^п + a22), (2.4)

dai2 - AlVx - A2uy + Kiai2 = 0, (2.5)

dt

- 2A2vy - 2a12vx + Kra22 = ~P{a\2 + a\2). (2.6)

Здесь t — время, u,v — компоненты вектора скорости в декартовой системе координат (x, y), p — гидростатическое давление, aj — симметричный тензор анизотропии второго ранга, ^ = -щ + (u, V) — субстанциональная производная.

Остальные величины определяются следующим образом: I = an + a22 — первый инвариант тензора анизотропии, А; = к — в, к, в — скалярные феноменологические параметры реологической модели (0 < в < 1), По,то — начальные значения сдвиговой вязкости и времени релаксации,

11

Л=ап + -, А2 = а22 + —,

1 А ~ 1 к Kl=W + З7' Kr = w+-I = KI + pi,

к = к + 2в = А + 3в,

Re = ^ Н--число Рейнольдса,

По

р (= const) — плотность среды, uh — характерная скорость, l — характерная длина, W = — число Вейсенберга (см. [5]).

Замечание 1. В формулировке реологической модели (2.1)—(2.6) участвуют числа Рейнольдса и Вейсенберга, а также феноменологические параметры к и в, определяющие течение физического эксперимента. Как следует из [6], наиболее адекватным экспериментам с полимерными жидкостями является соотношение к = 1.2в.

Линейная система уравнений, которая возникает в результате линеаризации системы (2.1)—(2.6) относительно выбранного стационарного решения (в дальнейшем его компоненты снабжены значком «к») в случае, когда жидкость движется в бесконечном плоском канале, получена в [7].

В векторном виде она формулируется следующим образом. В области С = {(£, x, у) | г > 0, (ж, у) е П = {(ж, у) | |ж| < то, 0 < у < 1}} требуется найти решение системы уравнений

Щ + Бих + Сиу + Еи + ^ = 0, (2.7)

АО = -^{Яхх + 2(й12)ху} ~ 2шух.

(2.8)

Здесь и :

/и\

V «11

неизвестная вектор-функция, <т = вц — агг, £2 = р — -^0,22,

«12 \а22 /

матрицы Б = Б(и), О = С(^7), Д = Д(?) выписываются с помощью компонент стационарного решения и(у):

(?

где

/ и(у) \ / и 0 1 Не 0 0

0 0 и 0 1 Не 0

7 (у) = а11(у) , Б? = -2а?1 0 и 0 0 ,

«12 (у ) 0 -А?1 0 и 0

\а,22(у)) \ 0 -2«12 0 0 и

( 0 00 __к Не 0 \ 0 ¡3 0 0 0\

0 00 0- 1 Не 0 0 0 0 0

-2«12 00 0 0 , Е? = 0 а'п Й33 Е34 Й35

А?2 00 0 0 0 °12 Й43 Е44 Е45

0 -2а?2 0 0 0 / 0 a22 Й53 Е54 Е55

(2.9)

А?1 = «11 +

ж'

А?2 = &22 +

ж'

1 / ~ к + 5в

йзз = 777 + о--Ъ—Д34 = -2(0 - /За12), ш = йу, Д35 = -йц

Ж 3

3

3

„К 0 1 -

Й4з — з®12' 44 — эд/ + з ' ^45 — —ш + з®12'

^ 1 к, k + 5,0,

Л53 — з®22' 54 — 2/30-12, Л55 — — + —I Н----а22,

/М

Ру 0 0 0

, А — символ оператора Лапласа.

Будем предполагать, что на границах области О выполнены краевые усло-

и|у=0 = v|y=0 = и|у=1 = v|y=l = 0; 1

Де*

0,у = — (а12)х при у = 0,1,

(2.10) (2.11)

1

1

||?7(i, x, у)|| = (U, U) 2 —> 0, p(t, х, у) —0, px(t, х, у) —0 при |ж| —>■ оо

(2.12)

и заданы начальные данные

U|t=o = Uo(x, y), p|t=o = Po(x, y), (2.13)

при этом начальные данные удовлетворяют уравнению (2.8) и условиям (2.12).

Замечание 2. В качестве основного решения можно рассматривать, например, решение, аналогичное решению Пуазейля для системы уравнений На-вье — Стокса (см. [4, 8, 9|), которое симметрично относительно оси канала у = ^ (при этом р(х, у) = -¡^а.22(у) + Ро = Ах, ро — значение давления на оси канала, A — параметр, связанный с безразмерным перепадом давления на отрезке h).

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

Рис. 1.

Замечание 3. В [7] доказано, что система (2.7) при известном давлении р(Ь,х,у) ¿-гиперболическая [10], если 'А\ > 0, Ау > 0, АхАу — а\у > 0 (см. представления (2.9) матриц В и С). Эти неравенства, в частности, справедливы, когда в качестве основного решения выбирается «решение Пуазейля» (при к = в этот факт проверяется непосредственно, а при к = в численным образом). Информация о корнях характеристического уравнения играет существенную роль при постановке смешанных задач для ¿-гиперболических систем.

В силу геометрии области П система уравнений (2.7) и уравнение Пуассона (2.8) допускают преобразование Фурье по переменной х. Поэтому будем рассматривать задачу (2.7), (2.8), (2.10)—(2.13), предполагая, что п,у € ~В'+ а(РХ(Д), Су[0,1]), давлениер и компоненты тензора анизотропии ац, а,\2, а22 из класса £+,„( РХ (Д),Су2[0,10, где Б'+ ,а( РХ (Д),С^[0, 10, £+,»( РХ (Д),Су2[0,10-пространства обобщенных функций п(Ь,х,у), обращающихся в нуль при I < 0, п(Ь, х, у)в-а* € Р+,г при всех а > а, Р+ = ~В'+ П Р, ~В'+ — множество обобщенных функций из О'(Д), равных нулю при I < 0, Р — пространство функций медленного роста [11,12], являющихся обобщенными функциями медленного роста по

переменным х и принадлежащих пространствам С^[0,1], 1] соответствен-

но по переменной у. Индекс при обозначении пространства, например, РХ(Е), указывает на действующую переменную.

Таким образом, смешанная задача (2.7), (2.8), (2.10)—(2.13) понимается как краевая задача для обобщенных функций по переменным Ь, у и х, при этом начальные данные (2.13) выполняются в смысле предельного перехода при Ь ^ +0 [11,12].

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 1. Смешанная задача (3.4)-(3.6) имеет единственное решение из 0+ а(Су [0,1]) при любом значении вещественного параметра £ (£ — двойственная переменная к переменной х).

Теорема 2. При |£| ^ то решение смешанной задачи (3.4)-(3.6) выходит за пределы пространства 0+ а(Су[0,1]) для любого положительного числа а. Таким образом, задача поставлена некорректно в пространстве обобщенных функций 0+,а.

3. Формулировка одномерной задачи с параметром. Доказательство теоремы 1

Рассмотрим уравнение (2.8) вместе с граничными условиями (2.11), (2.12) и применим к этой проблеме преобразование Фурье по переменной х. Тогда получим следующую краевую задачу:

1

2*£,

С1УУ - £ Г2 = — (ац - а2г) —^-(аЫу + 2г£шг5, 0 < у < 1

Ее

Ее

£1У = — —— а-12 при у = 0,1

(3.1)

(3.2)

у Ее

(предполагается, что основное стационарное решение зависит только от переменной у, в дальнейшем символ «~», использованный для обозначения Фурье-образов функций, будет опущен).

Функция Грина краевой задачи (3.1), (3.2) (£ — вещественный параметр, £ = 0) имеет вид

С + е-«"е2«)(е^ + е"«»), 0 < у < ту,

£(у,п) = < 1 * * * * о, (3.3)

I + + т1<у< 1.

Применив преобразование Фурье, можно найти решение уравнения (3.1), подставить его в правую часть Е и получить следующую систему:

и + Сиу + (-^Б + Е)и + Е = 0, 0 < у < 1,

(3.4)

где

СС

/ 0 0 0 1 Не 0 N / и 0 1 Не 0 Жа22\

0 0 0 0 0 0 и 0 1 Не 0

-2аХ2 0 0 0 0 , В = -2^1 0 и 0 0

-а42 0 0 0 0 0 -Л 0 и 0

V 0 -2а?2 0 0 0 \ 0 -2а12 0 0 и

компоненты —г£р и ру вектора Ду) =

Ру 0 0 0

, находятся с использовани-

ем функции Грина (3.3).

Кроме того, компоненты скорости и, V должны удовлетворять краевым усло-

и|у=0 = ^у=0 = и|у=1 = v|y=1

0,

(3.5)

а в целом для неизвестной вектор-функции их, у) справедливо начальное условие

и Ь=о = ио(^,у).

(3.6)

Упростим вид системы (3.4), приведя матрицу С к верхней жордановой форме [13]. Для этого заметим, что собственные числа матрицы С таковы:

^1,2,3 = ^4,5 = ±1

(3.7)

(предполагается, что выполнено условие ¿-гиперболичности системы (2.7), а значит, как отмечено в замечании 3, в частности, Ау > 0 на отрезке [0,1]).

Непосредственные расчеты показывают, что жорданова форма матрицы С имеет следующий вид:

К

000 0 0 1 000 000

000

\

0 -у к/

(3.8)

Сделав замену неизвестной вектор-функции

и = TZ,

(3.9)

систему (3.4) можно эквивалентным образом преобразовать, получая в качестве коэффициента при производной Zy блочно-диагональную матрицу К (см. представление (3.8)):

Zt + KZy — i£LZ + [Т-1СТу + M]Z + С = 0, г> 0, 0 <у< 1, (3.10)

где матрицы L, М зависят только от стационарного решения, а вектор С =

0

0

93

94 \95/

имеет, например, компоненту

у

»= I *

о

у222

+ + - 1)) - 1) + 1))8Ь(&/)].

Де £ (3.11)

При этом граничные условия (3.5) преобразуются так:

Zз(t,£, 0)= Zз(í,C, 1) = 0,

Z4(Í,C, 0) = Z5(t,(;, 0), (3.12)

Z4(Í,C, 1) = Z5(t,^, 1), а начальное условие (3.6) для вектора и(¿,^,у) меняет свой вид:

Z |*=о = Т-1ио = Zо(£,y). (3.13)

Исследуем смешанную задачу (3.10), (3.12), (3.13). Применяя технику преобразований Лапласа и используя вид матрицы К, компоненты Z1 и Zу можно выразить через Zз, Z4, Z5.

Для функции Zз(t,£,y) в силу (3.10) можно выписать интегральное урав-

ъ

Zз(t, у) = ег«й(ъ^зо(С,у)+| е1«'

й (Ъ-т)

2А2 2А2

+ - 93

¿т, (3.14)

при этом из (3.11) следует, что функция 9з(^ у) зависит от компонент Zз(t, у), Z4(t, £,у) и Z5(t, £,у) (учитываются возможность интегрирования по частям в интеграле от функции по переменной т] и первые два граничных соотношения в (3.12)).

Применяя метод последовательных приближений при известных граничных значениях Z4(t,£, 0) и Z5(t,£, 1), из уравнения (3.15) можно однозначно найти Zз(t, у), выражая эту функцию через компоненты Z4(t, у), Z5(t, у).

Таким образом, решение задачи (3.10), (3.12), (3.13) сводится к поиску двух компонент Z4(t, £,у), Z5(t, £,у), при этом начальные данные Z4о(t, £,у), Z5о(t, у) известны, а граничные значения Z4(t, 0) и Z5(t, £, 1) требуется определить.

Допустим, что упомянутые граничные значения также известны. Тогда, принимая во внимание структуру матрицы К (см. представление (3.8)), интегрируя вдоль характеристик два последних уравнения системы (3.10) и вновь

применяя метод последовательных приближений, однозначно определим неизвестные функции ^(Ь,£,у), .^(Ь, £,у), двигаясь «по слоям» в полуполосе Ь > 0, 0 < у < 1 [10].

Следовательно, для нахождения функций ^(Ь,£,у), ^5(Ь,£,у) достаточно знать граничные условия ^(Ь, £, 0) и ^(Ь,£, 1). Предположим, что выполнен аналог условий согласования:

^зо(£, 0) = ^зс(£, 1)=0 (3.15)

(см. первые два соотношения в (3.12)).

Обратимся вновь к интегральному уравнению (3.14) и положим сначала у = 0, а затем у = 1. Учитывая равенства (3.15), получим два соотношения:

[ е*А(о№-Т)^ 0) = 0 Ее

0* 4 (3.16)

о

из которых, очевидно, следует, что

ад, £, 0) = ад, £, 0) = 0, ад £, 1) = ад, £, 1) = 0.

Таким образом, все компоненты неизвестной вектор-функции и(Ь, £, у) найдены, при этом £ — произвольный вещественный параметр. Теорема 1 доказана.

Замечание 4. Выполнение соотношений (3.15) не является необходимым условием однозначной разрешимости задачи (3.4)—(3.6). Они приняты для простоты изложения. В общем случае переход к граничным значениям в уравнении (3.14) приводит к системе интегральных уравнений Вольтерра первого рода, которая однозначно разрешима [9].

4. Доказательство теоремы 2

Выпишем представление для ^3:

- (Р1 + ЬОу е о

(гС«+А1 )(*-т) + (р2 + Ь2) е(гСй+А2)(*-т)

о

Де

сЬ(£п)

= (г«й+А1)(*-г)_

„ 2а12 N 1

*

х/е о

(гС«+А2)(*-г)

^3(т, £, п) ¿т^п —

Ее

„ 2а12 \1 ^

Й35~Хе'5)7В + 7В.

X

X

2

£

п

t

x

о

(iCû + Л! ) (t-т) _

7-> 2â12 \ 1 К2

Й35~Х'Ri5)7B + 7B

îsh(gy-i)) gsh(g(y-i))

+-^-J ch^)TZ3 dv +-щ-

G

J e«^^-)^з(т,С,у) dт С

Re

L G

(Ml + Gl) e

t t

(îÎû + M)(t-T ) — (M2 + G2 ) e(i«û + ^)(t-т )

G

>Z4(т, С, n) dтdn

+ / i ch^n)

Re

x Z5(^ С, n) dтdn

(Kl + El) J e G

Смс(у -1))

t t

(iCû+Л! )(t-т) _ (K + E ) / e (г«'й+Л2 ) (t-т)

(K2 + E2) J e( G

sh С

e

(¿«'+Л1 )t _

X I i

2a

11

Й35--Д53 /— + -7=

J2 ) KlVD VD_

= (г«й+Л l)t

Й35--^ Я45 J Д5З ——7= + -7=

A2 ) kwd vd_

)t Z^n) dn +

ch(^) + Ы77 +

Al

2

Al

2

CfMÇy)

sh^

ch(С(n - 1))

Re

gshfé(y-l)) sh^

- (Pl + Ll)

G y

t t

' 3(г«й+Л1 )( t т ) + (P + т ) Í рШ+Л2 ) (t т )

xe

G

+ (P2 + L2) J e(

G

Re

ch(^n - 1))

= (г«й+Л1 ) (t-т)_

„ 2â12 \ 1 Jf2

35"X /ТВ TdJ

t

x

G

(i«û+Л2 ) (t т )

sh С J A2

y

+

sh^

ch(С(n - 1))

Re

t

(Ml + Gl) j e(i«'+Лl)(t-т) - (M2 + G2)

t

G

(г«й+Л2)(t-т )

^4(т,с,п) dтdn+ i ОЬ(с(п-1))

- (K2 + E2) J e G

(¿«' + Л2 ) (t-т )

>Z5(т,С,n) dтdn

Re

С sh^y)

(¿«'+Л1 )(t-т )

(Kl+El)y e G

l

С ch(С(n - 1))

sh С

x

y

С

y

y

С

x

С

t

x

t

= (гС«+А1)* _

Й35--

^42

11

X Д53-— + —

а/О]

I? 2&121? ^ 1 1

«35--«53 + -7=

= (гС«+А2)*

хЯю&^+Ц^ /сЬ(^-1)) (2^4+2^5) ¿7?. (4.1) яЬ£ У V А а42 /

о

Здесь Р1, Р2, М1, М2, С1, С2, Е1, Е2, К1, К2, Ь1, Ь2 — коэффициенты, зависящие только от стационарного решения. Рассмотрим часть интегралов, связанных с компонентой £,у). А именно,

71 = --У 1 Де

о

- (Р1 + е

о

(гС«+А1 )(*-т)

+ (Р2 + ¿2И е

(гС«+А1)(*-т)

у

' =(гС«+А1)(*-т) + (р2 + ¿2) / е(г«й+А1)(*-т)

>^3(т, £, п) ¿т^п.

(4.2)

- (Р1 + е(

оо Используем формулу Тейлора, разлагая подынтегральные функции в точке у. Тогда получим

яЬ £ - яЬ(£у) - зЬ(£(1 - у))

+ Г'''(у,Ь - т)

яЬ £

яЬ £ - яЬ(£у) - зЬ(£(1 - у)) 1

яЬ £

£2

-рУ/ , ^Ь^-эЬ^) -зЬ(£(1 - у)) 1 .

+ / {г(у,Ь - т)

яЬ £ £4

зЬ £ - зЬ(£у) - зЬ(£(1 - у))

8Ь £

+ Г''(у,Ь - т)

яЬ £ - яЬ(£у) - яЬ(£(1 - у)) 1

яЬ £

£2

+ Г^(у,Ь - т)

+ | |г'(у,Ь - т)

8Ь£-8Ь(^)-8Ь(£(1-у)) 1 яЬ £ - яЬ(£у) - яЬ(£(1 - у)) 1

+ . .. |^3у (т,£,у)

яЬ £

£2

+ ... ^3уу (т,£,у) +

(4.3)

где

Т(у, 1-т) = -^[-(Рх + + (Р2 + (4.4)

Ее

х

4

г

а производные от этой функции берутся по переменной у.

Заметим, что в (4.4) опущены слагаемые, которые экспоненциально убывают при |£| ^ то, т. е. слагаемые вида

эЬ(£(у - 1)) 8Ь(£у),

Действуя аналогичным образом с остальными интегралами, получим следующее спектральное уравнение:

в — — 2А2

-(р1+ь1у———- + {р2 + ь2у- 1

5 — — Л1 5 — ¿£и(у) — Л2

-(р1+ь1)г а+(ра+£а).

(5 — ¿£й(у) — Л1)2 (5 — ¿£й(у) — Л2)2

1

(Рх+Рх)'" « - г£й{у) - Ах

+ - т+ь.г^Ш^+з(р2+р2у + *

5 — — Л2 (в — — Л1 )2 (в — — Л2)2 V ^и"(у) + Л1 , г „ ¿£й"(у) + Л2'

- 3(РХ + Рх)' * -+ 3(Р2 + Ь2)

(5 — ¿£й(у) — Л1 )2 (5 — — Л2)2

(Рх + ЬЩи'" + ЛГ) , (Р2 + Р2)(г£й'" + Л2") ^Р.+Ь.тй' + \Щй" +\'1)

--1---о-

(5 — ¿£й(у) — Л1 )2 (5 — ¿£й(у) — Л2)2 (5 — — Л1)3

+ 6(Р2 + Ь2Мй'+ Х'2)(г£й" + Х^) _ ^Рх+РхУ^й' + А;)2

(« - г£й(у) - Л2)3 (в -г£й{у) -Ах)3

№ + (Рх + Рх)(г£й' + Ах)3 , с(Р2+Р2)(г£й' + А^)3

+ 6-7-,---6—7-.-—Т-;--Ь 0-

(в — ¿£й(у) — Л2)3 (5 — г£й(у) — Л1 )4 (5 — г£й(у) — Л2 )4

+ ±\ГV(y,s) + ...]+i

'1 /Я\''' 1

0. (4.5)

Разлагая дроби 1/(в — — Л1)к, 1/(в — — Л2)к, к = 1, 2,..., при |£| ^ то по степеням дроби 1/(в — ¿£й) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, можно получить формальное асимптотическое разложение для корней уравнений (4.5).

Метод неопределенных коэффициентов позволяет получить разложение корней уравнения (3.14) по степеням при —> то:

3 = г£й+ +■■■■ (4-6)

Замечание 5. Основной момент, связанный с разложением (4.6), в следующем: при |£| ^ то для хотя бы одного из корней выполнено свойство Ие

5 ^ +ТО.

Теперь, дифференцируя выражения для функции ^з по переменной у, получаем интегральное уравнение для нахождения функции (£, у) через производные более высокого порядка , ,..., через компоненты у), у) и их первые производные, через начальные данные ^1о(£, у), ^2о(£, у), ^зо(£,у). Действуя по аналогии, для также можно получить спектральное уравнение. Формальные асимптотические разложения корней этого уравнения находятся при помощи известной диаграммы Ньютона [15-17].

Таким образом, производная Zзy (t,^y) будет определена через производные более высокого порядка: Zзyy(t, С, y), Zзyyy(t, С,у), ■ ■ ■ и через упомянутые выше данные.

Рассуждая по индукции и подставляя найденные значения производных компоненты Zз(t,С,y) в правую часть представления (4.1), получаем решение задачи Коши для интегродифференциального уравнения (4.2) в виде формального асимптотического ряда при |С| ^ те. Теорема 2 доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алтухов Ю. А., Гoлoвичeвa И. Э., Пышнограй Г. В. Молекулярный подход в динамике линейных полимеров: теория и численный эксперимент // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2000. № 1. С. 3-13.

2. Пышнограй Г. В., Покровский В. Н., Яновский Ю. Г., Образцов И. Ф., Кар^т Ю. Н. Определяющее уравнение нелинейных вязкоупругих (полимерных) сред в нулевом приближении по параметрам молекулярной теории и следствия для сдвига и растяжения // Докл. АН. 1994. Т. 355, № 9. С. 612-615.

3. Voîkov V. S., Vinogradov G. V. Molecular theories of nonlinear viscoelasticity of polymers // Rheol. Acta. 1984. V. 23, N 3. P. 231-237.

4. Алтухов Ю. А., Гусeв А. С., Макарова M. А., Пышнограй Г. В. Обобщение закона Пуазей-ля для плоскопараллельного течения вязкоупругих сред // Механика композиционных материалов и конструкций. 2007. Т. 13, № 4. С. 581-590.

б. Алтухов Ю. А., Пышнограй Г. В. Входные течения в канале 4:1 текучих линейных полимеров // Механика композиционных материалов и конструкций. 2001. Т. 7, № 1. С. 16-23. б. Алтухов Ю. А., Гусeв А. С., Пышнограй Г. В. Введение в мезоскопическую теорию

текучих полимерных систем. Барнаул: АлтГПА, 2012. T. Блохин А. М., Бaмбaeвa Н. В. Нахождение решений типа Пуазейля и Куэтта для уравнений несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости // Вестн. НГУ. Сер. Математика, механика, информатика. 2011. Т. 11, № 2. С. 3-14.

8. Wassner E., Schmidt M., Münstedt H. Entry flow of a low-density-polyethylene melt into a slit die: An experimental study by Laser Doppler Velocimetry // J. Rheol. 1999. V. 43, N 6. P. 1339-1353.

9. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1978.

10. Годунов С. К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1979.

11. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988.

12. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1979.

13. Гaнтмaхep Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.

14. Фeдopюк М. В. Асимптотика. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1987.

15. Ньютон И. Математические работы. М.; Л.: Гос. изд-во тех.-теор. лит., 1937.

16. Puiseux V. J. Recherches sur les fonctions algebriques // J. Math. Pures Appl. 1850. V. 15. P. 365-480.

1T. Вaйнбepг М. М., Тpeнoгин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969.

Статья поступила 30 августа 2015 г.

Блохин Александр Михайлович, Ткачев Дмитрий Леонидович,

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН,

пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090;

Новосибирский гос. университет,

уд. Пирогова, 2, Новосибирск 630090

blokhin@math.nsc.ru, tkachev@math.nsc.ru,

Егитов Алексей Валерьевич

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090 eav15@mail. ru