CC BY
28УДК 537.621; 519.688
МИКРОМАГНИТНАЯ МОДЕЛЬ ФЕРРОМАГНЕТИКА, ПОСТРОЕННАЯ НА ПРИНЦИПАХ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ
А. В. Изотов1, 2, Б. А. Беляев1, 2' 3, М. М. Валиханов1, Н. М. Боев1, С. В. Поленга1
1 Сибирский федеральный университет Россия, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79. Е-mail: iztv@mail.ru 2Институт физики имени Л. В. Киренского СО РАН Россия, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50 3Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Россия, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
Дано обоснование возможности интеграции методов и техники цифровой обработки сигналов в приложениях теории микромагнетизма. Показано, что математическое описание микромагнитной модели ферромагнетика эквивалентно описанию магнитной системы, представленной в виде последовательного соединения двух многомерных многоканальных фильтров: линейного частотного и нелинейного пространственного.
Ключевые слова: теория микромагнетизма, микромагнитное моделирование, равновесное распределение намагниченности, цифровая обработка сигналов.
BASED ON PRINCIPLES OF DIGITAL SYSTEMS FOR SIGNAL PROCESSING MICROMAGNETIC MODEL OF A FERROMAGNETIC
A. V. Izotov1 2, B. A. Belyaev1 2 3, M. M. Valikhanov1, N. M. Boev1, S. V. Polenga1
1 Siberian Federal University 79, Svobodny Prospect, Krasnoyarsk, 660041, Russia. Е-mail: iztv@mail.ru
2Kirenskiy Institute of Physics Siberian Branch of the Russian Academy of Science 50, Academgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russia 3Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, "Krasnoyarsky Rabochy" Av., Krasnoyarsk, 660014, Russia
The authors present a rationale for integration of methods and techniques of digital signal processing in applications of the micromagnetism theory. It is shown that the mathematical description of the micromagnetic model of a ferromagnetic is equivalent to describing the magnetic system, represented as a series connection of two-dimensional multi-channel filters: the linear frequency and nonlinear spatial filters.
Keywords: micromagnetics, micromagnetic simulation, equilibrium magnetization, digital signal processing.
В настоящее время использование компьютерного моделирования стало основным инструментом для анализа и объяснения природы некоторых сложных, экспериментально наблюдаемых результатов, а также для теоретических прогнозов, направленных на создание материалов с уникальными свойствами. Это особенно важно для такой области физики, как микромагнетизм, где возможности аналитических вычислений весьма ограничены [1; 2]. Численное микромагнитное моделирование в настоящее время пользуется большой популярностью среди исследователей, так как оно является эффективным, а во многих случаях единственным инструментом для изучения физики реальных объектов, когда практически невозможно получить аналитическое решение задачи и существуют большие технические трудности в реализации эксперимента [3]. Это говорит о важности развития в теории микромагнетизма численных моделей и методов их анализа.
Несмотря на то, что за последние 20 лет в этой области наблюдается определенный прогресс, до сих пор существуют большие трудности, связанные, прежде всего, с проблемой масштабирования объекта исследования [3]. При рассмотрении больших объектов требуются огромные затраты машинного времени и памяти, что накладывает предел на максимально допустимое число дискретных элементов в численной модели.
Преодолеть эти трудности может позволить новый подход. В данной работе предпринята первая попытка использовать для решения задач теории микромагнетизма принципы и подходы из другой области знаний -цифровой обработки сигналов (ЦОС).
Для описания магнитного состояния ферромагнетика используют величину, характеризующую среднюю плотность магнитного момента среды, называемую намагниченностью М.
*Работа выполнена при финансовой поддержке интеграционного проекта СО РАН № 109 и Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России 2009-2013».
Решетневскуе чтения. 2013
Теория микромагнетизма ставит своей задачей найти, исходя из выражения свободной энергии и общего уравнения движения намагниченности, зависимость намагниченности от координаты и времени М(гД) [1].
Ключевым моментом в этой теории является экспериментально установленный факт, что в ферромагнитном образце при заданной температуре ниже точки Кюри величина М является постоянной и не зависит от пространственных координат: |М(г,/)| = Мх, где Мх - намагниченность насыщения. Это условие является одним из основных источников возникающих проблем, связанных с разработкой и реализацией численных микромагнитных методов.
Другой важной физической величиной, определяющей поведение ферромагнетика, является внутреннее эффективное поле Н"^(М,г), обусловленное как внешними источниками магнитного поля Н(г), так и внутренними факторами, характеризующими свойства самой среды. К их числу относятся обменное и магнитостатическое взаимодействие магнитных моментов, а также магнитная анизотропия ферромагнетика [4]. Можно показать, что для большинства интересных и важных в практическом отношении задач внутреннее эффективное поле может быть выражено в виде
Н# (М, г) = Н(г) + Н* (г) =
(1)
= H(r) + J g (r - r ')M(r ')dV',
чтобы использовать аппарат ЦОС, необходимо задать его математическое описание.
Ранее в работе [4] было показано, что равновесное распределение намагниченности М0(г) и эффективное магнитное поле Н^(г, М0) связаны следующим соотношением
Н%, Мо) = у(г)Мо(г), (2)
где скалярная функция у(г) представляет собой множитель Лагранжа.
Используя полученное условие равновесия (2), в [4] был предложен итерационный алгоритм нахождения равновесного распределения намагниченности.
Рекурсивная схема «цифрового аналога» данного алгоритма представлена на рисунке. На первом этапе для текущего распределения намагниченности в соответствии с выражением (1) вычисляется эффективное магнитное поле.
Для этого сначала в блоке преобразования сигнала 1 вычисляется свертка с(г) = *(г)*х(г). Затем полученный сигнал складывается с управляющим сигналом (т. е. внешним магнитным полем) «(г) = с(г) + Ь(г) и подается на блок преобразования 2. На втором этапе в блоке 2 происходит нормировка сигнала в соответствии с требованием постоянства длины вектора намагниченности |М(гД)| = М.
b(r)
где * - симметричный тензор 3*3, описывающий свойства ферромагнитной среды.
В рамках микромагнитной модели решение ряда задач приводит к важной проблеме определения равновесного состояния или равновесной конфигурации распределения магнитных моментов в исследуемом объекте [1; 4]. В случае ферромагнитного тела мы имеем дело с системой, свободная энергия которой обладает большим количеством локальных минимумов, каждый из которых определяет некоторое ее ме-тастабильное состояние [1]. Как известно, относительная устойчивость метастабильных состояний приводит к магнитному гистерезису, т. е. к зависимости состояния системы от предыстории. Таким образом, равновесное распределение намагниченности М0(г) в ферромагнетике зависит не только от приложенного к нему внешнего поля Н(г), но и от начального (исходного) распределения намагниченности М(г).
На рисунке представлена общая схема системы обработки микромагнитного сигнала, которая выполняет функцию, позволяющую найти равновесное состояние ферромагнетика. Здесь в качестве входного сигнала задано начальное распределение намагниченности х(г) = М(г), в качестве управляющего сигнала -внешнее магнитное поле Ь(г) = Н(г), а равновесное распределение намагниченности определяется откликом микромагнитной системы, т. е. выходным сигналом у (г) = М0(г). Оператор преобразования Т описывает свойства микромагнитной системы, и для того
x(r)
Вход
1 g(r) l-i(r) 2
У(г)
Выход
Таким образом, моделируемая ферромагнитная среда может рассматриваться как некоторый аналог многомерной цифровой системы, что позволяет при ее анализе использовать развитые научно-технические средства ЦОС. В частности, такой подход при описании микромагнитной модели ферромагнетика позволил в работе [4] с помощью методов ЦОС существенно уменьшить объем требуемой памяти и значительно ускорить процесс вычислений.
Библиографические ссылки
1. Браун У. Ф. Микромагнетизм. М. : Наука, 1979. 160 с.
2. Aharoni A. Micromagnetics: past, present and future // Physica B. 2001. Vol. 306. P. 1-9.
3. Чеченин Н. Г. Магнитные наноструктуры и их применение. М. : Университет, 2008. 166 с.
4. Изотов А. В., Беляев Б. А., Валиханов М. М., Поленга С. В., Стефанюк А. В. Алгоритм расчета равновесного состояния ферромагнетика на основе метода множителей Лагранжа // Вычислительные методы и программирование. 2012. Т. 13, № 1. С. 551-558.
T
References
1. Brown W. F. Micromagnetics. New York : Wiley, 1963. 143 p.
2. Aharoni A. Micromagnetics: past, present and future // Physica B, 2001, vol. 306, pp. 1-9.
3. Chechenin N. G. Magnitnye nanostruktury i ih primenenie (Magnetic nanostructures and their application). Moscow, Knizhnyj dom Universitet, 2008, 166 p.
4. Izotov A. V., Beljaev B. A., Valihanov M. M., Polenga S. V., Stefanjuk A. V. Vychislitel'nye metody i programmirovanie. 2012, vol. 13, no. 1, pp. 551-558.
© Изотов А. В., Беляев Б. А., Валиханов М. М., Боев Н. М., Поленга С. В., 2013
УДК 51-77
К ВОПРОСУ КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА ВЗАИМОСВЯЗИ ФАКТОРОВ ОБЪЕКТОВ НЕДВИЖИМОСТИ (НА ПРИМЕРЕ ВТОРИЧНОГО РЫНКА ЖИЛЬЯ)
О. А. Иконников
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Россия, 660014, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31
E-mail: ik_ol@mail.ru
Рассматриваются вопросы моделирования взаимосвязей внутренних факторов объектов недвижимости с результирующим фактором на основе корреляционно-регрессионного анализа (на примере вторичного рынка жилья).
Ключевые слова: корреляционно-регрессионный анализ, результативный признак, факторный признак, аналитическая группировка, корреляция, регрессионные остатки.
ON CORRELATION-REGRESSION ANALYSIS OF REAL ESTATE OBJECTS FACTORS INTERCONNECTION (IN EXAMPLE OF SECONDARY HOUSING MARKET)
O. A. Ikonnikov
Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev 31, "Krasnoyarsky Rabochy" Av., Krasnoyarsk, 660014, Russia. E-mail: ik_ol@mail.ru
The problems of modeling of real estate objects factors interconnection with resultant factor on the base of correlation-regression analysis are considered (in example of secondary housing market).
Keywords: correlation-regression analysis, a productive, factor sign, analytical group, correlation, regression balances.
Обработка статистических данных уже давно применяется в самых разнообразных видах человеческой деятельности. Но, пожалуй, ни в одной области знаний и практической деятельности обработка статистических данных не играет такой исключительно большой роли, как в экономике, имеющей дело с обработкой и анализом огромных массивов информации о социально-экономических явлениях и процессах. Всесторонний и глубокий анализ этой информации, так называемых статистических данных, предполагает использование различных специальных методов, важное место среди которых занимает корреляционный и регрессионный анализы обработки статистических данных.
Имеются выборочные данные о ценах на рынке жилья (тыс. руб. за квартиру) и площади квартиры (м2) по 70 объявлениям о продаже в г. Красноярске (2012 г.): результативный признак - цена квартиры (У); факторный признак - площадь квартиры (Х). Построим стати-
стический ряд квартир по признаку площади. Далее проводим ранжирование исходных данных. Находим размах R = Xmax - Xmin = 213 м2. Находим число групп по формуле Стержеса: n = 7 групп. Находим размах увеличивающегося интервала I = R/n = 30,43 м2. Строим интервальный ряд распределения квартир, выбирая совокупности по площади (табл. 1).
Вывод: ряд распределения показывает, что наибольшее количество квартир на вторичном рынке жилья в выборочной совокупности устанавливает цену от 42,43 до 72,86 м2.
Для характеристики средней величины определим середины интервалов и численность накопленных частот. Для этого построим расчетную табл. 2.
Теперь находим среднее арифметическое:
X" = (27,21-23 + 57,64-30 + 88,07-13 + 118,5-2 + + 148,94-1 + 178,37-0 + 209,79-1)/ 70 = 58,51.
Вывод: в среднем площадь одной квартиры составляет 58,51 м2.
