CC BY
132
УДК 372.851+372.853 ББК 74.262.21+74.262.22
МЕЖПРЕДМЕТНЫЕ СВЯЗИ МАТЕМАТИКИ И ФИЗИКИ В ИХ ИСТОРИЧЕСКОМ РАЗВИТИИ
А. В. Овчаров
Аннотация. В отличие от множества работ, посвященных всестороннему исследованию межпредметных связей на разных уровнях обучения, в том числе на примере физики и математики, в статье представлен анализ взаимообусловленного исторического развития физического и математического .знания. В работе показано, что в античном мире, когда зарождается физика, представления об окружающем мире с использованием математики получают правильное понимание. В Средние века становится очевидным, что математика - это надежный инструмент в руках физика. Современные представления об окружающем мире строятся, прежде всего, с использованием математической модели, а потом уже физический эксперимент подтверждает эту модель. Надеемся, что представленный материал позволит осознать учителю, преподавателю закономерность шагов нашего правительства по реализации Концепции развития математического образования в Российской Федерации.
Ключевые слова: межпредметные связи, физика, математика, взаимосвязь физики и математики в процессе исторического развития.
INTERDISCIPLINARY RELATIONS OF MATHEMATICS AND PHYSICS IN THEIR HISTORICAL DEVELOPMENT
A. V. Ovcharov
Abstract. Unlike many works devoted to a comprehensive study of interdisciplinary connections at different levels of education, including the example of physics and mathematics, the article presents an analysis of interdependent historical development of physical and mathematical knowledge. The work shows that in the ancient world, when physics originated, ideas about the world using mathematics got the right understanding. In Middle Ages, it became obvious that mathematics is a reliable tool in the hands of physics. Modern ideas about the world around us are built primarily using a mathematical model, and then a physical experiment confirms this model. There is hope that the presented material will allow the teacher to become aware of the government's steps to implement the Concept for the Development of Mathematical Education in the Russian Federation.
Keywords: Interdisciplinary communications, physics, mathematics, interrelation of physics and mathematics in the course of historical development.
Эффективность организации учебного процесса посредством использования межпредметных связей доказана во многих педагогических исследованиях [1; 2]. Когда речь идет о взаимодействиях различных учебных дисциплин, то чаще всего в качестве примера выбирают физику и математику. Причину и глубину связи этих наук удается легче понять, если их рассматривать в историческом аспекте.
Следует отметить, что математика как наука сформировалась раньше, чем физика, по объективным причинам развития человеческого общества. Зачатки математических знаний появились уже в Древнем Востоке. С появлением необходимости товарообмена возникла потребность измерения объемов, взвешивания тел. Древние вавилоняне умели возводить числа в квадрат, куб, извлекать корни квадратные, решать системы уравнений и достаточно точно измерять углы. Обнаруженные в Египте древние папирусы содержат решения математических задач, формулы для вычисления площадей и объемов.
Одним из выдающихся математиков античности является Пифагор, утверждавший, что в основе всего лежат числа, числа управляют миром. В области математики Пифагор оставил большое наследие: создал учение о числах четных и нечетных; простых и составных; разработал учение о прогрессиях и средних величинах; заложил основу о подобии; доказал теорему, носящую его имя.
В III в. до н.э. в столице Египта Александрии известный математик Евклид организовал математическую школу, где разработал основу современной геометрии. Эйнштейн утверждал, что «...геометрия Евклида - это чудо мысли, логическая система, выводы которой с такой точностью вытекают один из другого. Тот не рожден для теоретических исследований, кто в молодости не восхищался этим творением» [3].
Но даже в математике Евклид пользуется физическими представлениями о мире. Например, его определение точки: «Точка -неделимый атом пространства» [4]. Кроме
математических работ, Евклид написал сочинения по физике «Оптика» и «Катоптрика», где представлены понятия о световом луче и сформулированы законы прямолинейного распространения света и законы отражения световых лучей. Не случайно Евклида считают основоположником геометрической оптики.
Примерно в то же время известный физик Архимед заложил основы статики; разработал теорию рычага, где приводит чисто геометрический вывод закона о рычаге; открыл закон плавания тел, внес существенный вклад в развитие математики. Он оставил несколько фундаментальных работ по геометрии; им доказано, что объемы цилиндра, шара и конуса, имеющих одинаковую высоту и ширину, относятся как 3:2:1; также им введено число п.
Как видим, уже на этапе своего зарождения физика и математика оказались в неразрывной связи. Эта тенденция продолжалась и в следующие века, где данные науки получили свое дальнейшее развитие. И это не случайно. В начале данного исторического периода большинство морских и сухопутных торговых путей проходили через арабские земли. Торговля требовала применения математики и физики для решения практических задач: астрономических наблюдений в целях обеспечения судоходства в любое время суток; развития измерительной техники (взвешивание, определение объемов и т. д.); развития метрологии, понятной для представителей разных стран.
Существенный вклад в прогресс математики внес арабский ученый Хорезми (780-850), который фактически явился создателем нового раздела математики - алгебры, основы которой заложены в его трактате «Аль Джабар».
Арабы раньше других начали внедрять в практику экспериментальную науку. В XI-XII вв. были сконструированы такие устройства, как «конический прибор Бируни», «весы мудрости» Хазины, с помощью которых стали возможны определения плотности различных веществ с достаточно высокой точностью. Нельзя не отметить вклад в науку того
периода замечательного астронома Улугбе-ка, который в Самарканде построил астрономическую обсерваторию, оснастив ее на тот период первоклассными приборами, позволяющими вести самые точные наблюдения за небесными светилами. Им были составлены подробные каталоги звезд и таблицы движения планет, а также математически определены их координаты на небесной сфере в любой момент времени.
Ярчайшим представителем эпохи Возрождения был Леонардо да Винчи. Он осваивал не только искусство живописи и скульптуры, но и активно обретал знания в области механики, математики, анатомии. Именно понимание связи живописи с физикой, анатомией и математическими пропорциями способствовало в значительной мере его становлению как ученого и великого художника.
В механике Леонардо исследует вопросы свободного падения, движения тел, брошенных под углом к горизонту, разрабатывает математические теории простых механизмов и определения центра тяжести тел. При этом механику он называет «раем математических наук». Математическое описание механического движения позволило ему отойти от представлений Аристотеля, прочно укоренившихся в то время. Использование математики как инструмента содействовало более правильному пониманию физических процессов, в том числе восприятию оптического спектра красок.
Представителем той эпохи, оставившим яркий след в истории развития человечества, является известный астроном и математик И. Кеплер, который видел физику, математику и астрономию в неразрывной связи. Первая его книга «Космографическая тайна», изданная в 1597 г., содержала четкую геометрическую схему, по которой легко можно было определить расстояние от Солнца до любой планеты. Обработав данные многолетних наблюдений известного астронома Т. Браге, Кеплер установил и сформулировал основные законы небесной механики, которые сделали его знаменитым во всем ученом мире.
Начиная свою деятельность как математик, Кеплер составил таблицы логарифмов, достиг существенных успехов в исследовании переменных величин, которые позднее способствовали созданию дифференциального и интегрального исчислений. Он внес большой вклад в теорию конических сечений, вывел формулу для вычисления объемов тел вращения, ввел термин «фокус» для эллипса, гиперболы и параболы.
И. Кеплер оставил заметный след в физике: им разработана теория зрения; правильно объяснены близорукость и дальнозоркость; предложена оригинальная конструкция телескопа (труба Кеплера); рассмотрен ход лучей в линзах и выведена формула линзы; выдвинута идея о возможности полного внутреннего отражения.
Идея неразрывной взаимосвязи физики и математики четко просматривается в трудах видного ученого-философа XVII в. Р. Декарта. Помимо общеизвестных философских трактатов его перу принадлежит немало работ по математике и физике. Так, в алгебре он развил метод неопределенных коэффициентов, ввел общепринятую сегодня систему обозначений, разработал теорию уравнений 4-й степени, теорию касательных к кривым, нашел правило определения центра тяжести тел вращения и наконец создал аналитическую геометрию. Декарту также принадлежит заслуга введения алгебраической символики - он предложил обозначать независимые переменные буквами X, У, I, а буквенные коэффициенты в уравнениях - а, Ь, с.
У Декарта к этому времени сложились и основные физические воззрения. Он одним из первых сформулировал принцип относительности движений, им принята попытка обосновать закон сохранения количества движения (однако он не учел векторный характер импульса). В оптике в 1637 г. он сформулировал закон преломления света, правильно истолковав физический принцип образования радуги.
Его формулировка закона инерции, по сути, вошла в механику Ньютона практически без изменений. В механике Декарта нет
места силам, действующим на расстоянии через пустоту. Все явления мира им сводятся к механическому движению и взаимодействию частиц посредством столкновения. Он отвергал все формы движения, кроме механической, отрицал существование пустоты, считал материю непрерывной, неделимой и заполняющей все мировое пространство. Такая физическая теория в истории науки получила название картезианство, от латинизированного имени Декарта - Картезий. Это была одна из самых весомых теорий XVII в., способная конкурировать даже с теорией Ньютона.
Современник Декарта, выдающийся итальянский ученый Галилей больше известен как астроном и физик, однако и математике он уделял не меньшее значение. Подтверждением тому является тот факт, что он два года был профессором математики в Пизанском университете, а затем возглавлял кафедру математики в университете города Падуя. Солидная математическая подготовка позволила ему вести плодотворную научную деятельность в области физики и астрономии. В частности, изучая падение тел, он установил закон о пропорциональности пути, пройденного телом, квадрату времени. Далее Галилей убедительно доказал, что скорость падения тел не зависит от их веса. Эти выводы явно противоречили учению Аристотеля по данному вопросу. Решительно отказавшись от представлений Аристотеля о движении, ему удалось обосновать относительность движения. Кроме того, Галилею принадлежат основные работы, где рассмотрены движения тел по наклонной плоскости, движение тела, брошенного под углом к горизонту, по теории простых механизмов. При этом все его выводы подтверждены не только убедительными физическими опытами, но и четко обоснованными математическими выкладками.
В конце XVII в. выходит в свет гениальная работа И. Ньютона «Математические начала натуральной философии», где предлагается стройная система законов механики, а также один из фундаментальных зако-
нов - закон Всемирного тяготения. Причем каждое положение в этом труде сопровождается строгим математическим обоснованием. Ньютон слыл не только великим физиком, его вклад в развитие математических методов исследования весьма высок. Достаточно вспомнить предложенные им (независимо от Лейбница) дифференциальное и интегральное исчисления или известный в школьных учебниках бином Ньютона. Дифференциальное и интегральное исчисления стали неотъемлемым атрибутом, используемым для построения физических теорий и позволяющим устанавливать различные физические соотношения и вычислять их параметры. Например, интегрирование формулы Планка для спектральной плотности энергетической светимости по всем длинам волн (частотам) привело к закону Стефана - Больцмана, выражающему зависимость суммарной излучательной способности абсолютно черного тела от температуры. А в результате дифференцирования этой же формулы получено выражение закона смещения Вина. При этом стало возможным проводить расчеты коэффициентов, входящих в эти законы, которые дают такие же значения, какие получены экспериментально. Однако для полного теоретического описания состояния системы и происходящих в ней физических процессов не всегда дифференциального и интегрального исчислений оказывается достаточно. В таких случаях приходится прибегать и к другим математическим методам, таким как матричное исчисление, тензорный анализ, как это представлено в теории упругости Ландау [5].
Следует отметить, что математически представленные теории нередко предопределяют новые физические открытия. Так, подобранная математиком Бальмером формула, связывающая длины волн спектра излучения атомарного водорода в видимом диапазоне, привела физиков к открытию целой серии спектров излучения в ультрафиолетовой и инфракрасной областях. В истории науки известен другой пример: известный английский физик М. Фара-
дей, не получивший математического образования, не смог всесторонне описать открытое им явление электромагнитной индукции. А его соотечественник Дж. Максвелл, обладая солидной математической подготовкой, сумел, использовав результаты физических опытов того же Фарадея и Ампера, составить стройную систему уравнений электродинамики, с помощью которых он предсказал существование электромагнитных волн. В ходе разработки этой системы входящие в нее уравнения были записаны как в интегральной, так и в дифференциальных формах, где использованы математические операторы - ротор и дивергенция. Еще один оператор - градиент широко используется в физике при рассмотрении теорий явлений переноса.
Формально введенные в математике числа «п» и «е» только в физике приобретают реальный смысл. Так, число «п» входит в одну из важнейших характеристик колебательных процессов - фазу, которая во многом определяет эффективность работы электротехнических устройств. Уменьшение сдвига фаз между током и напряжением заметно увеличивает мощность электрических двигателей. А без числа «е» невозможно описание затухающих и вынужденных колебаний и понимания физического смысла их параметров, таких как коэффициент затухания, добротность колебательной системы и др. Экспоненциальной зависимостью характеризуется распределение молекул по скоростям и энергиям в статистической физике. В электрических цепях возрастание и убывание экстратоков замыкания и размыкания протекает по экспоненциальным законам. В акустике и оптике поглощение звуковых и световых волн также характеризуется экспоненциальной зависимостью.
Число «е» входит во многие физические формулы. Например, барометрическая формула, описывающая уменьшение величины атмосферного давления с высотой над поверхностью Земли. Формула Планка для энергии теплового излучения нагретых тел тоже включает в себя экспо-
ненту. Кстати, применив к своей формуле разложение в ряд (математический прием), Планк пришел к классической формуле Ре-лея-Джинса, которая соответствовала лишь длинноволновой части спектра излучения абсолютно черного тела.
Метод разложения функций в ряд применяется в различных разделах физики. В частности, так было получено выражение, устанавливающее зависимость ускорения силы тяжести от высоты над уровнем поверхности Земли.
Многие соотношения, отражающие физические закономерности, были получены благодаря появлению в математике тригонометрических функций. Так, еще со времен Евклида было известно явление преломления света. Однако открытие закона преломления стало возможным лишь спустя много столетий, после применения к описанию этого явления функции синуса угла падения и преломления светового луча.
Использование функции косинуса угла позволило правильно рассчитать работу силы, которая действует по направлению к перемещению тела под некоторым углом. Функция тангенса углов также играет важную роль в аналитических выражениях ряда физических законов. В качестве примера можно указать закон Брюстера, согласно которому полная поляризация отраженного светового луча происходит тогда, когда тангенс угла падения равен показателю преломления отражающего луч диэлектрика.
Результаты расчетов значений векторного и скалярного произведений векторных физических величин требуют учета соответственно синуса и косинуса между их направлениями. Особое значение эти функции приобретают при рассмотрении колебательных процессов. Уравнения различных типов колебаний непременно включают в себя функцию синус или косинус угла (фазы). Результат сложения колебаний невозможно предсказать без применения тригонометрических формул приведения. Таким способом, например, пришли к обнаружению узлов и пучностей в стоячей волне и получили их координаты. Формулы
приведения позволили получить уравнения фигур Лиссажу и прогнозировать вид этих фигур в зависимости от частоты складываемых колебаний.
Первый русский академик М. В. Ломоносов в единении естественных наук видел основное условие более глубокого познания окружающего нас мира. Рассуждая о взаимосвязи физики с другими науками, он писал: «Химия - правая рука физики, а математика - ее глаза» [6]. Великий естествоиспытатель был прав, отводя математике роль всевидящего ока физики. На протяжении нескольких столетий его гениальное предвидение подтверждается в полной мере.
Есть еще один раздел математики, который органично вошел в арсенал физиков-теоретиков для описания целого спектра явлений в микромире. Это теория вероятности. Вероятностный подход позволил глубже вникнуть в физическую суть состояния ряда систем и процессов, протекающих в природе. Различные состояния системы могут осуществляться лишь с той или иной степенью вероятности. Уравнение состояния системы и ее термодинамические функции в общем случае определяются согласно каноническому распределению Гиббса, то есть распределением вероятностей возможных состояний системы [7]. Одним из основополагающих законов - второе начало термодинамики - носит вероятностный характер, а его математическое выражение включает в себя такое понятие, как термодинамическая вероятность. Этот закон, установленный в начале XX в., выражает зависимость хаотического движения большого числа микрочастиц, составляющих рассматриваемую изолированную систему. Фактически вероятностные представления позволяют установить закономерности, относящиеся к беспорядочному движению частиц, что явилось существенным шагом вперед в познании, казалось бы, непознаваемого.
В 1930-х гг. в экспериментах была открыта дифракция электронов, указывающая на то, что микрочастицы - электроны - обладают волновыми свойствами. В дальнейшем было установлено наличие двойственной
природы - волновой и корпускулярной -для всех микрочастиц. Эти волны, названные волнами де Бройля, также описываются вероятностными законами, их часто называют волнами вероятности. Интенсивность волны вероятности служит мерой вероятности обнаружить частицу в данной точке пространства с заданными координатами.
Идея вероятностных событий в системе, состоящей из большого количества микрочастиц, лежит в основе соотношения Гейзенберга, согласно которому невозможно одновременно точно определить координату и импульс микрочастицы. С этой точки зрения принципиально меняется, по сравнению с классическим, представление об электронной орбите электрона в атоме, где его местоположение можно указать лишь с некоторой степенью вероятности.
Для описания состояния микрочастицы введено уравнение (уравнение Шре-дингера), решение которого сводится к нахождению вида волновой функции. Определение вида этой функции позволяет определить множество физических макропараметров системы, состоящей из этих микрочастиц. В частности, переход электрона с одной орбиты на другую (из одного энергетического состояния в другое) также является вероятностным квантовым переходом, вероятность которого определяется нахождением вида волновой функции из решения уравнения Шредингера.
Таким образом, математические вероятностные методы описания процессов в микросистемах позволили существенно расширить представления об их физической сути и понять, что микромир есть мир вероятностный.
В современной физике, особенно в таких ее областях, как физика элементарных частиц, ядерная физика, космология, всестороннее описание любого явления немыслимо без поддержки мощного математического аппарата. Более того, если раньше в физике был прежде всего эксперимент, для объяснения которого разрабатывалась теория с применением математического аппарата, то сегодня на переднем плане находится мате-
матическая модель, предсказывающая тот или иной физический процесс. А задача экспериментальной физики - подтвердить правильность модели или опровергнуть. К чести экспериментаторов, они чаще всего успешно справляются с решением задач, поставленных в теоретических рассуждениях и расчетах. Так было, например, с теорией кварков, с бозоном Хиггса, с гравитационными волнами и т. д.
Приведенные выше примеры позволяют высказать убежденность в том, что союз математики и физики в перспективе будет способствовать дальнейшему развитию и совершенствованию этих наук и устремлять их к достижению новых научных высот, а Концепция развития математического образования в системе образования России является необходимым условием достижения этих высот.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Усова А. В. Межпредметные связи в преподавании основ наук школе. - Челябинск, 1995. - 16 с.
2. Максимова В. Н. Межпредметные связи и совершенствование процесса обучения. - М.: Просвещение, 1984. -143 с.
3. Голубь П. Д., Овчаров А. В., Насонов А. Д. Из жизни творцов физической науки. - Барнаул: АлтГПА, 2011. - 359 с.
4. Воров Ю. Г., Голубь П. Д. Краткий курс лекций по истории науки. - Барнаул: АлтГПА, 2012. - 168 с.
5. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости. - М.: Наука, 1965. - 204 с.
6. Крылова И. С., Каратулов В. М., Голубь П. Д. М. В. Ломоносов - первый российский академик: кн. для учащихся. - Барнаул: КГБОУ «Алтайский краевой педагогический лицей», 2015. - 57 с.
7. Яворский Б. М., Детлаф А. А. Справочник по физике. - М.: Наука, 1979. -943 с.
REFERENCES
1. Usova A. V. Mezhpredmetnye svyazi v prepodavanii osnov nauk shkole. Chelyabinsk, 1995. 16 p.
2. Maksimova V. N. Mezhpredmetnye svyazi i sovershenstvovanie protsessa obu-cheniya. Moscow: Prosveshchenie, 1984. 143 p.
3. Golub' P. D., Ovcharov A. V., Nasonov A. D. Iz zhizni tvortsov fizicheskoy nau-ki. Barnaul: AltGPA, 2011. 359 p.
4. Vorov Yu. G., Golub' P. D. Kratkiy kurs lektsiy po istorii nauki. Barnaul: AltGPA, 2012. 168 p.
5. Landau L. D., Lifshits E.M. Teoriya up-rugosti. Moscow: Nauka, 1965. 204 p.
6. Krylova I. S., Karatulov V. M., Golub' P. D. M. V. Lomonosov - pervyy rossiys-kiy akademik: kn. dlya uchashchikhsya. Barnaul: KGBOU "Altayskiy kraevoy pedagogicheskiy litsey", 2015. 57 p.
7. Yavorskiy B. M., Detlaf A. A. Spravochnik po fizike. Moscow: Nauka, 1979. 943 p.
Овчаров Александр Владимирович, доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой технологических дисциплин Алтайского государственного педагогического университета e-mail: [email protected]
Ovcharov Alexander V., ScD in Education, Professor, Chairperson, Technological disciplines Department, Altai state pedagogical University e-mail: [email protected]
Статья поступила в редакцию 19.11.2018 The article was received on 19.11.2018
