МЕЙКИНДИКТЕГИ ГЕОМЕТРИЯЛЫК ФРАКТАЛДЫН 3D МОДЕЛИН ТҮЗҮҮ ҮЧҮН КОМПЬЮТЕРДИК ПРОГРАММА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОШ МАМЛЕКЕТТИК УНИВЕРСИТЕТИНИН ЖАРЧЫСЫ МАТЕМАТИКА. ФИЗИКА. ТЕХНИКА. 2024, № 1(4)

УДК 514.75

DOI: https://doi.org/10.52754/16948645 2024 1(4) 30

МЕЙКИНДИКТЕГИ ГЕОМЕТРИЯЛЫК ФРАКТАЛДЫН 3D МОДЕЛИН TY3YY Y4YH КОМПЬЮТЕРДИК ПРОГРАММА

Молдояров Уларбек Дуйшвбекович, ф.-м.и.к., доцент, Ош мамлекеттик университети, Кыргыз

Республикасы ular [email protected] Матиева Гулбадан, ф.-м.и.д., профессор, Ош мамлекеттик университети, Кыргыз

Республикасы gulbadan [email protected]

КОМПЬЮТЕРНАЯ ПРОГРАММА ДЛЯ СОЗДАНИЯ 3D МОДЕЛИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ФРАКТАЛА В ПРОСТРАНСТВЕ

Молдояров Уларбек Дуйшобекович, к.ф.-м.н., доцент Ошского государственного университета, Кыргызская Республика ular [email protected] Матиева Гулбадан, д.ф.-м.н., профессор Ошского государственного университета, Кыргызская Республика gulbadan [email protected]

COMPUTER PROGRAM OF CONSTRUCTING A 3D MODEL OF A SPATIAL

GEOMETRIC FRACTAL

Moldoiarov Ularbek, Candidate of Physical and Mathematical Sciences,

Osh State University, Kyrgyzstan ular_osh@list. ru Matieva Gulbadan, Doctor of Physical and Mathematical Sciences,

Professor, Osh State University, Kyrgyzstan gulbadan_57@mail. ru

Аннотация. Изилдввнун предмети катары мейкиндиктеги геометриялык фракталдын 3D моделин тузуу маселеси каралат. Изилдввнун максаты болуп тегиздиктеги берилген геометриялык фракталдарды мейкиндиктеги изделуучу фракталдын проекциялары катары эсептеп, изделип жаткан фракталдын 3D моделин тузуу учун компьютердик программаны иштеп чыгуу эсептелинет.

Мейкиндиктеги изделуучу фрактал симметрия тегиздигине ээ болсун деп шарт коюп, тегиздиктеги мурдатан белгилуу эки фракталды анын симметрия тегиздиктериндеги проекциялары болсун деп эсептеп, мейкиндиктеги геометриялык фракталдын 3D моделин тузуу учун компьютердик программа иштелип чыгылды.

Бул программаны иштеп чыгууда JavaScript программалоо тили, WebGL, Threc.js библиотекалары колдонулду.

Негизги свздвр: геометриялык фрактал, проекция, 3D модел, компьютердик программа.

Аннотация. Предметом исследования является задача построения 3D модели пространственного геометрического фрактала. Целью исследования является задача разработать компьютерную программу для получения 3D модели искомого пространственного геометрического фрактала с помощью заданных двух геометрических фракталов в плоскости.

При условии, если искомый пространственный фрактал имеет плоскостей симметрии, считая, что двое известные геометрические фракталы в плоскости являются проекциями искомого фрактала в его плоскостях симметрии, разработана компьютерная программа для получения 3D модели искомого пространственного геометрического фрактала.

При этом использованы язык программирования JavaScript и библиотеки WebGL, Threc.js.

Ключевые слова: геометрический фрактал, проекция, 3D модель, компьютерная программа.

Abstract. The subject of research is the problem of constructing a 3D model of a spatial geometric fractal. The purpose of the study is to develop a computer program for obtaining a 3D model of the desired spatial geometric fractal using the given two geometric fractals in the plane.

Provided that the desired spatial geometric fractal has planes of symmetry, assuming that two given geometric fractals in the plane are projections of the desired spatial fractal in its planes of symmetry, a program has been developed to obtain a 3D model of the of the desired spatial geometric fractal.

For this, a programming language JavaScript and libraries WebGL, Threc.js are used.

Keywords: geometrical fractal, projection, 3D model, computer program.

Киришуу. "Фрактал" тYШYHYГY Бенуа Мандельброт тарабынан 1975-жылы киргизилген. Ал eзYHYн "Жаратылыштын фракталдык геометриясы" - деп аталган китебинде "... еткен жылдардын математиктери бизге жаратылыш кeрсeтYп турган формаларды изилдееден дайыма баш тартышкан," - деп жазат. Алар евклиддик геометриялык фигураларды изилдее менен бизди курчап турган чыныгы дYЙнeнY тYШYндYрбeгeн тYPДYY теорияларды ойлоп табышууда деп белгилейт. Бирок, Мандельброттун пикири боюнча "... жацы геометрия бизди курчап турган айлана чейреде^ "туура эмес" жана бYTYн эмес, YЗYHДY (бeлYкчe) тYPYндeгY формаларды CYрeттeeгe жeндeмдYY болгон жана мен фракталдар деп атаган фигуралардын кету^н аныктоо менен дээрлик бYткeн теорияларды жаратат," - деп жазат.

Математикалык кез караш менен караганда фрактал - бул белчек ченемдYY кешук болуп эсептелет. БелгилYY болгондой кесиндинин ченеми - 1, квадрат - 2 ченемдYY, параллелипипед - 3 ченемдYY.

ЧенемдYYЛYГY белчек сан болуу - фракталдардын негизги касиети.

Жогоруда аталган Б.Мандельброттун китебинде [1] 1875-1924- жылдар ичинде ушул багытта изилдeeлeрдY жYргYЗYшкeн окумуштуулардын (Пуанкарс, Фату, Жюлиа, Кантар, Хуасдорф) илимий жыйынтыктары колдонулган. Ушул мезгилде гана бул эмгектерди бирдиктYY системага салууга мYмкYнчYЛYк болду.

Фракталдык геометрия - бул математикадагы жана жаратылаштын математикалык CYрeттeлYШYндeгY революция деп эсептееге болот.

Фрактал деп аталган жацы фигура жаратылыштагы татаал системалардын (Айдын бети, eпкeнYн бронхиалдык "дарагы", бeйрйкYн иштеши, кан айлануу системасы, тоо кырлары, кыртыштын эррозиясы, дарактар, чакылган, ж.б.) модели боло алат.

Изилдеенун материалдары

Бул макалада теменде^дей маселе каралат.

Тегиздиктеги фракталдар (1^рет) кандайдыр бир мейкиндик фракталдын бул же тигил симметрия тегиздигиндиктериндеги проекциялары болушса анда ошол мейкиндик фракталдын 3D моделин TYЗYYЧY компьютердик программаны иштеп чыгуу.

"Ак ^л" "АлайгYл"

1-CYрeт

Фракталдарды TYЗYYHYH эки негизги жолу бар. Биринчи жол L системаларын колдонуу (Lindenmayer атынан коюлган), экинчиси IFS кайталанма функциялдын системасын (iterated function systems) колдонуу.

80-жылдардын ортосунда, Фракталдык структураларды алуунун женекей каражаты катары Кайталанма Функциялардын Системасы (Систем Итерируемых Функций) - СИФ методу пайда болгон. Аны америкалык математик М.Барнсли ойлоп тапкан, андан кийин Джорджия технологиялык институтунда иштеген.

L - система (Линденмайер системасы) - кайра жазуу паралелдик системасы, Лого тилине окшош граматиканын формалдуу TYPY. Ар кандай геометриялык фракталдарды куруу YЧYн колдонулган формалдаштырылган тил.

Акыркы жылдары L - системаларын колдонуу менен фракталдык объектилерди куруу езгече актуалдуулукка ээ болдуда.

Чындыгында бул тилди колдонуу менен, L - системалар тилинин буйруктарын тYШYнгeн интерпретаторду куруп, натыйжаны визуалдык кeрYHYштY алуу YЧYн компьютердик графиканын жардамы менен ишке ашырууга ыцгайлуу.

ЭзгeрYЛмeлeр: R, l,i; мында Rt = 64; Ri = 0,3Ri_1; i = 1,... ,п; l = 2Ri + 0,3 R^

турактуулар: +, —, [, ] аксиома: 0;

эрежелер: R ^ i+lRi+1[ lRi+1[ lRi+1[ lRi+1 [lRi+1 [lRi+1 — lRi+1] lRi+1] lRi+1] lRi+l] lRi+l] lRi+lJ)

Интерпретация

+ : xy тегиздигинде иштее — : yz тегиздигинде иштее [ : 30 градус солго бурлуу ] : 30 градус оцго бурлуу l : кадам i : рекурсия

Ri : радиусу Ri болгон сфера L-системаларын колдонуу менен Yч eлчeмдYY координаталар системасында Фрактал тeмeнкYдeй курулат:

x = R * cos(lat) * cos(long) y = R * cos(lat) * sin(long)

z = R * sin(lat),

мында R - радиус, lat - широта (-90 <= lat <= 90), long - долгота (-180 <= long <= 180).

«Он терт мунаралуу сфера» фракталын визуалдык кeрYHYштe алуу Y4YH JavaScript программалоо тили, WebGL, Three.js библиотекалары тандалып алынды жана скрипт теменде келтирилген:

var fr = 64; var rl = 0.3; var sl = 6;

var sfcalc=[], sf=[], frl=rl, anim = false, ax = 0, ay = 0, az = 0; function SfCalc(x, y, z, r, lv) { this.x = x; this.y = y; this.z = z; this.r = r; this.lv = lv; if (this.lv < n-1){ var dist = this.r/2*(rl+1); var a = (angle+Math.PI/4) % Math.PI*2; for (let i = 0; i < sl; i++) { var nx = dist * Math.cos(a); var ny = dist * Math.sin(a); sfcalc.push(new SferaCalc(this.x+nx, this.y+ny, this.z, this.r*rl, this.lv+1)); a+=angle; } var a = (angle+Math.PI/4) % Math.PI*2; for (let i = 0; i < sl; i++) { if(i!=1 && i!=4) { var nz = dist * Math.cos(a); var ny = dist * Math.sin(a); sfcalc.push(new SferaCalc(this.x, this.y+ny, this.z+nz, this.r*rl, this.lv+1));

}

a+=angle;

}}}

for (var i = 0; i < sf.length-1 ; i++) { sf[i].position.set( sfcalc[i].x, sfcalc[i].y, sfcalc[i].z); var kf = sfcalc[i].r/(2*fr); sf[i].scale.set(kf,kf,kf);

}

groupS.rotation.set(ax*Math.PI/180,ay*Math.PI/180,az*Math.PI/180); }

2^рет

Иштелип чыккан программа (2-CYрет), L - система (аксиома, генерация эрежелери, ыктымалдуулук, параметрлер) тYPYндегY моделди, ошондой эле визуалдаштырууну ишке ашырган моделдее натыйжаларынын интерпретаторунун глобалдык (бир нече моделдер YЧYн) жана локалдык (бир модель YЧYн) параметрлерин керсетYYге мYмкYндYк берет.

Изилденуну жыйынтыгы.

Жогорудагылардын негизинде темендегцдей теорема далилденди.

Теорема. Эгерде изделYYЧY фракталдын симметрия тегиздиктериндеги проекциялары (1-CYрет) берилген болсо, анда анын 3D модели 2-CYреттегY керYHYште болот.

[4] макалада "Алты мунаралуу сфера" деген аталыштагы мейкиндиктеги геометриялык фракталдын 3D моделин тYЗYY YЧYн компьютердик программа иштелип чыккан.

2^ретте керсетYлген мейкиндик фракталды "Он терт мунаралуу сфера" деп атайбыз.

Адабияттар

1. Б.Мандельброт Фрактальная геометрия природы - Москва: Институт компьютерных исследований, 2002, - 656 с.

2. Г.Матиева Авторское право на геометрический фрактал "Ак ^л" (№3896 от 05.03.2020)

3. Г.Матиева Авторское право на геометрический фрактал "Алай^л" (№3901 от 05.03.2020)

4. G.Matieva, U.Moldoyarov Space Fractal Program for 3D model construction - NeuroQuantology / October 2022 / Volume 20 / Issue 14 / Page 505-508 / Doi: 10.4704 / nq.2022.20.14. NQ88071