CC BY
22ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
МЕТРИКА И УРАВНЕНИЯ СТРУКТУРЫ В РЕЛЯТИВИСТСКИХ СПЛОШНЫХ СРЕДАХ
1Подосенов С.А., 2Потапов А.А., 3Фоукзон Дж, 1Менькова Е.Р.
1Всероссийский научно-исследовательский институт оптико-физических измерений, http://www.vniiofi.ru/ Москва 119361, Российская Федерация
2Институт радиотехники и электроники им. ВА. Котельникова, Российская академия наук, http://wwwcplire.rn/ Москва 125009, Российская Федерация
3Центр математических наук, Израильский технологический институт, http://www.technion.ac.il/
Хайфа 3200003, Израиль
Поступила 10.08.2018, принята 12.03.2019
Дано корректное выражение, которое описывает физические длины и времена в произвольных релятивистских движущихся сплошных средах. Для исследования применяются уравнения структуры, определяющие геометрию пространства-времени при заданных характеристиках среды. В простейших случаях геометрия оказывается римановой, не связанной с ОТО Эйнштейна. В качестве примеров рассматривается релятивистская, жесткая по Борну, равномерно ускоренная система отсчета, реализуемая в римановом пространстве-времени. Построена релятивистская, жесткая в смысле Борна равномерно вращающаяся система отсчета, не имеющая горизонта, но требующая для своего описания риманова пространства-времени. Получено решение парадокса Белла и произведено сравнение с экспериментом ротора Мёссбауэра.
Ключевые слова: релятивистская сплошная среда, уравнения структуры, пространство-время, общая теория относительности, риманова геометрия, система отсчета, жесткость по Борну, парадокс Белла, ротор Мёссбауэра
УДК 530.12, 531.134, 537.9_
Содержание
1. Введение (113)
2. о методах определения расстояний в лагранжевых сопутствующих среде НЕиНЕрциААЪНых системах отсчета В Сто
(114)
3. Связь геометрии пространства-времени со свойствами сплошной среды и С силовыми полями (116)
4. релятивистская жесткая вращающаяся
НСо (118)
5. обсуждение эксперимента ротора Мёссбауэра (119)
6. Заключение (121) литература (122)
1. ВВЕДЕНИЕ
В [1] было показано, что описание движения сплошной среды в инерциальной системе отсчета (ИСО) и переход к неинерциальной (НСО) требует в общем случае выхода за рамки плоского пространства-времени. Это связано с заданием не только силового поля, действующего на частицы среды, но также и наложения
условий на кинематические характеристики континуума с помощью уравнений структуры [2-6]. Эти уравнения связывают тензор Римана-Кристоффеля с тензорами скоростей деформаций, угловой скорости вращения и векторами первой кривизны мировых линий частиц среды. В результате система уравнений оказывается переопределенной и не реализуема в пространстве Минковского. Эта система разрешима при рассмотрении движения среды в римановом пространстве или в более общем случае в пространстве метрической связности.
Однако, если не накладывать на характеристики континуума дополнительных условий, а ограничиться лишь интегрированием уравнений движения, например, в плоском пространстве-времени, то никакого выхода за рамки плоского пространства-времени не происходит. При использовании неголономных преобразований тензор кривизны, полученный из пространства Минковского в неголономных координатах также тождественно равен нулю. Однако этот нулевой тензор может быть разбит на
ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
две ненулевые части, одна из которых выражается через символы Кристоффеля обычным образом, а другая зависит от характеристик движущейся среды [2-5].
2. О МЕТОДАХ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАССТОЯНИЙ В ЛАГРАНЖЕВЫХ СОПУТСТВУЮЩИХ СРЕДЕ НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА В СТО
В задаче Дж. Белла [7] показано, что нить, соединяющая одинаковые точечные ракеты, движущиеся равноускоренно с одинаковыми постоянными ускорениями в системе космонавтов, разрывается. Однако ее длина в инерциальной системе отсчета не меняется. Решение [7] использовано и для расчета движения электронного сгустка в линейных коллайдерах в постоянном электрическом поле [8]. В НСО, вморженной в сгусток, или нити в задаче Белла не существует правильной формулы для мгновенной длины. Пусть сигнатура
пространства Минковского (+---, греческие
индексы изменяются от 0 до 3, а латинские от 1 до 3). Стандартная формула [9] для вычисления элемента квадрата физического расстояния ¿Ь2 с помощью пространственного метрического тензора
ёогё 0к
7ik Sik
(1)
00
L(t) = — ln
cosh
a0 L0
+ sinh
ао А>
л/Г+в
(2)
[8], [13]
L(t) = L0A/l + a]t2/ c2 =
Ln
<Jl-v\t )/c2
(3)
используется неправильно. Правильное (в рамках СТО) использование этой формулы на гиперповерхности, ортогональной мировым линиям частиц сгустка, что и является мгновенным физическим пространством сопутствующим среде наблюдателям, привело к соотношению [10-12]
где — длина сгустка (или нити в задаче Белла) в сопутствующей сгустку системе отсчета, как функция времени ИСО I, Ь — начальная длина сгустка (нити), а — постоянное ускорение, в = а0/. Последняя формула оригинальна и в научной литературе до работ [10-12] не встречалась.
Стандартный расчет по формуле (1) из [9] в
в котором пренебрегается кривизной пространственно подобной кривой,
ортогональной мировым линиям частиц среды, дает в конце разгона в лагранжевой сопутствующей НСО увеличение длины сгустка в электронном коллайдере [8] до десятков тысяч раз. В (2) при тех же условиях длина сгустка возрастает в 1.003 раза, но не решает парадокс Белла. Подход [14], основанный на вычислении расстояния вдоль орта некоторой мгновенно сопутствующей системы отсчета (МСИСО) от начала сгустка к концу приводит к практическому обнулению длины сгустка в конце разгона. В задаче Белла, при условии а^/с2 << 1, все формулы из перечисленных работ совпадают.
Поскольку вокруг темы о парадоксе Белла возникает много вопросов, то необходимо сделать некоторые элементарные пояснения. Вместо ракет, связанных струной, рассмотрим сначала две невзаимодействующие по определению друг с другом одинаковые заряженные частицы, которые взаимодействуют только с внешним полем (модель заряженной пыли, широко используемой в физике для упрощения). Поместим эти частицы в однородное электрическое поле так, чтобы ось х совпадала с направлением поля. Пусть вторая частица находится в начале координат, а первая на расстоянии Ь от второй. Считаем, что взаимодействием частиц можно пренебречь по сравнению с взаимодействием с внешним полем. В инерциальной системе отсчета отпускаем эти частицы одновременно при / = 0.
Поставим первый вопрос. Как будет меняться расстояние между частицами в исходной ИСО в любой другой момент времени /? Для ответа на вопрос необходимо рассмотреть решение задачи в [9] для релятивистского равноускоренного прямолинейного движения для постоянного ускорения в собственной (в каждый момент времени) системе отсчета. Далее вычислить выражение для смещения обеих частиц относительно начала координат. Для первой частицы в правой части добавить величину Ь (начальную лагранжеву координату).
2
ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
А вторую поместить в начало координат. Тогда имеем очевидное равенство x (i) — x (i) = x(t, L) — x(t,0) = L = const. Таким образом, расстояние между частицами останется неизменным. Итак, в исходной ИСО никаких лоренцевых сокращений не происходит. Если расстояние между двумя частицами заполнить подобными, то это уже превращается в пылевидный стержень, который мы называем системой Логунова [15].
Из рассмотренного примера следует, что система Логунова является жесткой в классическом понимании. Но недостатком этой системы является то, что с точки зрения другой ИСО, движущейся относительно исходной, t = const уже не является поверхностью одновременности. Поэтому система Логунова не является лоренцковариантной.
Опять вернемся к рассмотрению двух частиц (свяжем с каждой из частиц тетраду Ферми-Уолкера [16]). Посадим на каждую из частиц невесомого наблюдателя, каждый из наблюдателей будет двигаться с постоянным ускорением (т.е. иметь неизменной величину вектора первой кривизны мировой линии или что тоже самое постоянной величину ускорения а в собственной НСО). Физическое пространство наблюдателей в НСО при переносе Ферми-Уолкера будет натянуто на триады Ферми. Для нашего частного случая, когда все триады Ферми в начальный момент совпадали с аффинными триадами пространства Минковского при нулевой начальной скорости, один из реперов триады будет всегда направлен перпендикулярно одной из близких мировых линий 1 или 2. Каждой частице в исходной ИСО соответствует своя мировая линия. В этой плоскости при t = const расстояния между близкими мировыми линиями остаются постоянными равными L. Однако длина перпендикуляра, опущенного из точки пересечения линии t = const с мировой линией второй частицы на мировую линию первой, уже не будет сохраняться при движении частиц в отличие от L. Из свойства проекционных операторов следует, что расстояние в триадах Ферми в процессе движения частиц будет возрастать. Итак, первая частица будет убегать от второй. Вместо лоренцева сокращения наблюдатели на частицах увидят лоренцево удлинение.
Из сказанного нетрудно понять, что если две частицы соединить тонкой невесомой стеклянной нитью, то нить якобы разорвется, но не от лоренцева сокращения, а от лоренцева удлинения. Такая точка зрения является наиболее известной в литературе [7, 8, 13], но противоречит релятивистской теории упругости, основы которой заложены Паули [17] и Герглотцем на основе концепции Борна. Ни лоренцевы сокращения, ни лорецевы удлинения не могут вызвать в твердом теле напряжений и не могут порвать и разрушить нить. И эта грубая ошибка до сих пор бытует в научной литературе для объяснения парадокса Белла.
Чтобы обобщить классическую концепцию жесткого движения, Борн ввел определение, согласующееся со СТО и ОТО. Согласно этому определению, движение континуума называется жестким (в смысле Борна), если для любой пары близких частиц тела ортогональный интервал между соответствующими парами мировых линий частиц среды остается постоянным в течение движения. Разница между классическим и релятивистским условиями жесткости состоит в выборе пространственных гиперповерхностей, вдоль которых измеряются расстояния между мировыми линиями частиц тела. Очевидно, что гиперплоскости, ортогональные мировым линиям в одной ИСО, при жестком движении являются гиперплоскостями, ортогональными мировым линиям во всех других ИСО, что делает жесткую по Борну НСО лоренцковариантной в отличие классической жесткой НСО.
Согласно Паули лоренцевы сокращения (удлинения) не приводят к деформациям и напряжениям в телах. А напряжения возникают лишь при движениях тел, мировые линии частиц которых уклоняются от жесткого по Борну движения.
Стандартная формула для лоренцева удлинения оказалась ошибочной. Дело в том, что при нежестких в смысле Борна движениях пространственная гиперповерхность, ортогональная мировым линиям, оказывается искривленной, и эта кривизна не учитывается в лоренцевом удлинении.
Это решение использовано и для расчета движения электронного сгустка в линейных коллайдерах в постоянном электрическом
ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
поле [10]. Итак, мы получили парадоксальный результат. Частицы, находясь в абсолютно одинаковых условиях, убегают друг от друга! Таким образом, релятивистская НСО Логунова привела к парадоксу. Главный недостаток НСО Логунова — отсутствие релятивистской жесткости.
Альтернативой НСО Логунова является НСО Мёллера-Риндлера. НСО Риндлера получается из НСО Мёллера [18] простым переобозначением лагранжевых координат и переходом к безразмерным переменным. Достоинство НСО Мёллера — это удовлетворение жесткости в смысле Борна. Недостаток - то, что эта НСО не является глобально равноускоренной и имеет горизонт. Каждая из частиц среды Мёллера движется с постоянным ускорением, но эти ускорения не равны друг другу. Поэтому называть преобразование Мёллера преобразованием к равноускоренной НСО (как это сделано, например, в книге В. А. Фока [19]) не совсем законно.
Таким образом, обе предложенные НСО Логунова и Меллера не устраняют всех парадоксов, возникающих в СТО. Нами доказано утверждение, что жесткая по Борну релятивистская равноускоренная НСО может быть реализована в римановом пространстве-времени, которое в общем случае никак не связано с ОТО [1].
3. СВЯЗЬ ГЕОМЕТРИИ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ СО СВОЙСТВАМИ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ И С СИЛОВЫМИ ПОЛЯМИ
В ньютоновской механике и СТО материальная точка имеет нулевое абсолютное ускорение относительно инерциальной системы отсчета (ИСО), когда отсутствуют приложенные к ней силы или их векторная сумма равна нулю. В ОТО это правило не выполняется. Покоящаяся на поверхности гравитирующего шара материальная точка, в согласии с ОТО, имеет отличный от нуля вектор первой кривизны (4-ускорение). Абсолютное ускорение направлено по внешней нормали к сфере и равно по величине ньютоновскому ускорению свободного падения вблизи поверхности. Сила реакции опоры со стороны поверхности
сферы сбивает тело с его геодезической линии, имеющей нулевой вектор первой кривизны, только при отсутствии реакции опоры. По Ньютону абсолютное ускорение материальной точки на поверхности сферы равно нулю. Для слабых полей уравнения Эйнштейна совпадают с теорией Ньютона, однако принцип соответствия по отношению к абсолютным ускорениям не применим.
О характере силового поля можно судить по движению или покою пробных частиц в этом поле. По определению пробные частицы друг с другом не взаимодействуют, а взаимодействуют только с внешним полем. Пусть пробные частицы одинаковы и представляют некоторую сплошную среду. Характеристиками сплошной среды в 4-пространстве-времени являются 4-ускорение, тензор скоростей деформаций и тензор угловой скорости вращения. 4-ускорение входит в закон движения и при заданной плоской метрике интегрированием уравнения движения определяется поле 4-скорости и основные тензоры среды. Сплошная среда в силовом поле задает некую систему отсчета (СО). Для СО с заданными из физических требований свойствами необходимо знать дополнительные условия, приписываемые основным тензорам среды, зависящим от 4-скоростей и 4-ускорений. Например, требование о вращении и жесткости по Борну. Число уравнений для нахождения 4-скорости становится переопределенным и должны выполняться условия интегрируемости. Последние выполнятся, если искомыми будут не только 4-скорости среды, но и метрические коэффициенты. Для существования решения нами получены условия интегрируемости
СЛ = + +Щв(та1РЛ (4)
для которых в движущейся сплошной среде в четырехмерном пространстве-времени справедливы выражения
(5)
где V — поле 4-скорости, удовлетворяющее условию нормировки
ЕцУ /V '= 1,
V V =Ъ + 0 +¥ Р ,
Ц Ц ЦУ ЦУ Ц V
ёи
(6)
метрический тензор в системе отсчета
Эйлера,
^ЦУ V/V)
(7)
ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
- (8) Рм = V Х^, (9)
где Х — тензор скоростей деформаций, О — тензор угловой скорости вращения, р — векторы первой кривизны мировых линий частиц среды.
Из уравнений структуры (4) можно получить уравнение Райчаудури (Raychaudhuri) [20].
Можно ли на их основе повторить наши результаты по НСО — это вопрос чисто технический и практического значения не имеет.
Интегрирование системы (4-9), где — тензор кривизны, выражаемый через метрический тензор обычным образом, дает решение задачи о геометрии пространства-времени, в которой реализуется НСО с заданной структурой. Уравнения (4) назовем уравнениями структуры НСО. В [4, 21] доказана теорема, что жесткая по Борну равноускоренная среда может быть описана в рамках пространства Римана. Уравнения структуры не связаны с ОТО, но накладывают дополнительные условия к уравнениям Эйнштейна. Приведено доказательство теоремы, что все статические сферически-симметричные решения
ОТО совместны с уравнением структуры. Одномерного решения вне плоского бесконечного массивного источника в ОТО не существует, а уравнение структуры имеет его и индуцирует метрику для постоянного однородного статического поля [21].
Расчет, проведенный в лагранжевой сопутствующей НСО, приводит к метрике
dS2 = ехр
Г2а0 уЛ
^уУ - ^у1)2 - ^у2)2 - (10)
а
^10,10 =--ТехР(2ао У1/ с 2)-
(11)
Для компонент тензора Риччи = §ау
и скалярной кривизны К имеем
а 2 а 2
К00 = -^10,10 , К11 =--Ь ^10 = 0 К =
с
с
ар,у6
(12)
В равноускоренности НСО (12) можно убедиться непосредственно
^ = ^ +Г00(Г 0)2 =
1
dS dS £
а
(13)
2
где ускорение а0 считается положительным, если направлено вдоль оси у , и отрицательным, если против этой оси. Метрика (10) впервые получена в работе [1] и повторена в [22], [23]. Одна независимая компонента тензора кривизны, вычисленная по метрике (10), имеет вид 2
= — Г1 =-
00 0 - 1 2
£00 2£00 су с
Остальные компоненты 4-ускорения равны нулю. Метрику (10) можно трактовать и как равновесие пробных частиц в постоянном однородном силовом поле любой природы. Пусть на нитях в однородном постоянном электрическом поле подвешены одинаковые пробные заряды с одинаковой массой. Из физических соображений ясно, что заряды покоятся друг относительно друга (модель заряженной пыли) и натяжения всех нитей одинаковы.
Допустимы две точки зрения:
1. Пространство-время плоское и сумма сил на каждый из зарядов равна нулю.
2. Пространство-время риманово с плоским сечением и вектор 4-ускорения постоянен и вычисляется по формуле (13).
Исследование электростатики в пространстве Римана подробно рассмотрено в [21], а система решений уравнений Эйнштейна-Максвелла, совместная с уравнениями структуры, найдена в [24, 25].
Следуя методам ОТО, будем развивать вторую точку зрения.
В римановой геометрии закрепленная в поле частица имеет вектор первой кривизны (4-ускорение) отличный от нуля, а в пространстве Минковского эта же частица имеет прямую мировую линию с 4-ускорением равным нулю.
Из принципа глобальной эквивалентности, закрепление частиц в однородном постоянном силовом поле эквивалентно их нахождению в жесткой по Борну релятивистски глобально равноускоренной НСО. При освобождении частиц от связей они начинают движение в стартовой ИСО в пространстве Минковского в постоянном однородном электрическом поле, и расстояние между частицами в ИСО не меняется [2], как и в НСО (10). В задаче Белла при старте двух точечных ракет с одинаковыми в системе космонавтов постоянными ускорениями после затухания колебаний в нити мировые линии
с
ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
частиц нити будут "параллельны" мировым линиям точечных ракет в ИСО. А закрепленные на невесомой нити и ракетах идеальные невесомые акселерометры покажут одинаковые величины. Следовательно, метрика для нити в системе космонавтов совпадает с (10). И длина нити в НСО сохраняется, как и в ИСО, так как начальные эйлеровы координаты совпадают с лагранжевыми. Нить не разорвется. Парадокс возник из-за стандартного принятого на данный момент перехода от ИСО к НСО.
Выведенная нами формула (2) в рамках СТО верна только в случае стандартного перехода от ИСО к НСО.
Отметим, что пространство-время искривлено в ускоренных точечных ракетах и нити только в пределе мировой полосы. Мировые линии частиц стартовой ИСО пространства Минковского суть прямые, параллельные оси времени, имеющие нулевые векторы первой кривизны. С точки зрения любой НСО эти векторы останутся нулевыми, так как нельзя создать или обнулить 4-векторы с помощью перехода от НСО к ИСО и наоборот с помощью преобразования координат нелинейным образом содержащих время. А именно такие преобразования координат и считают ортодоксы переходом от ИСО к НСО и наоборот. С точки зрения космонавтов мировые линии частиц ИСО не кажутся параллельными, а частицы среды базиса ИСО движутся по геодезическим линиям по отношению к НСО (10). Элемент интервала имеет вид [2, 3]
йБ2 = с2йг2 - (1 - V2/с2)(йх')2 -(йх2)2 -(йх3)2, (14) содержащий в явном виде лоренцевы сокращения и описывающий синхронную СО в римановом пространстве-времени. При этом величина скорости V частиц базиса ИСО относительно НСО имеет вид V = сзт(а0/с).
4. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЖЕСТКАЯ ВРАЩАЮЩАЯСЯ НСО
При рассмотрении вращающегося диска обычно выбирают неподвижную систему отсчета, в которой вводят цилиндрические координаты г, ф0, 10 и переходят к вращающейся системе отсчета г, ф, ъ / согласно формулам:
г0 = Ъ $ = 90 + ^ Ъ, = Ъ ^ = Ь
где угловая скорость вращения О относительно
оси z считается постоянной. Элемент интервала имеет вид
dS2 = ^ - j c2dt2 - 2Qr2dpdt - dz2 - r2dq>2 - dr2. (15)
Формула справедлива, если rQ/c < 1. В работах [26-28] обсуждаются другие распределения скоростей, которые ограничивают линейную скорость вращения диска при r ^^ величиной скорости света с, а при Qr/c << 1 дают v = Qr. Однако критерию жесткости как классическому, так и релятивистскому (в смысле Борна) удовлетворяет только обычный закон распределения v = Qr, Q = const.
Найдем метрику жесткой релятивистской равномерно вращающейся НСО с помощью нашего метода, полагая в формулах тензор скоростей деформаций Z = 0 и требуя постоянства инварианта, характеризующего релятивистское обобщение квадрата угловой скорости вращения диска ы
=
2а1
= const.
(16)
В лагранжевой сопутствующей системе отсчета, связанной с вращающимся диском, имеем йБ2 = В(г )с2йг2 - 2Р(г )сйфйг - йх2 - г2йф - йг2.
йВ
F1 =
l
, F = F = F = 0.
2 D dr
После громоздких вычислений независимых уравнения
P dD dP „а 2 л2ч1/2
----= -2 —(Dr2 + P 2)1/2,
D dr dr c
(17)
(18)
имеем два
(19)
2 \1/2
(20)
= -2 ®ВР( Бг2 + Р2) йг с
Условие (16) эквивалентно постоянству величины хронометрически инвариантного вектора угловой скорости [29] и постоянству величины угловой скорости в сопутствующих тетрадах [28].
Величины релятивистской ы и классической угловой скорости О связаны соотношением
' О2 г2 ^
а = Q
1 -
(21)
Для метрики (17) существует стационарное решение, применимое для всей области 0 < г < да, но реализуемое в римановом пространстве-
2
ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
времени.
Решения системы (19), (20) в квадратурах получить не удалось. Численный анализ показал, что при ыг/с << 1 метрика (17) совпадает с метрикой (15). Центростремительное ускорение во вращающейся НСО определяется формулой
a = с2 F1 = -
cocP
ylür2 + P2
(22)
которая при малых г переходит в классическую, а при г —> ю дает а = — ыс. Вычисление независимых отличных от нуля компонент тензора кривизны громоздки и их опускаем, отсылая к работам [2],
[3].
После упрощений система [24, 25] представляется в форме
dv + - (1 - V2) = (2 - v 2)(1 - v2), dx x
(23)
U
P cor
U = TPD ' x = ccr • (24)
Б = ехр(-2 Г vdx), V - --, ^ - .—
л/1+и2 г4Б
Физический смысл функции и(х) означает безразмерную линейную скорость диска. Для малых скоростей
2
Б = ехр(-2| vdx) = ехр(-х2) = 1 - х2, Р = —. (25)
не всегда справедливо. Разобьем вращающийся тонкий диск на концентрические тонкие обручи и рассмотрим частицы на одном из них. Мировые линии частиц этого обруча в пространстве Минковского (что справедливо для малых скоростей О) образуют конгруэнцию винтовых линий на цилиндре радиуса г и осью Л, а "физическим" подпространством будет конгруэнция пространственно подобных винтовых линий, ортогональных конгруэнции мировых линий частиц обруча. Эта конгруэнция находится из уравнения Пфаффа
V0dx0 + VVdv = o, Q&c, у = ф + М. Интегрируя (26), имеем
ч corV л ч
t(r V) =—(a),
(26)
t (r ,V) =
c
cor V с 2(1 - x2)
(b),
(27)
cor
x=
что эквивалентно классическому выражению. Из анализа (23) следует, что для х ^ уравнение имеет решение V = 1. Это решение резко отличается от классического жесткого диска, где поле скоростей на бесконечности неограниченно велико. График численного решения (23) по виду напоминает график гиперболического тангенса или деформированной ступенчатой функции для х > 0.
5. ОБСУЖДЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА РОТОРА МЕССБАУЭРА
Считается [9], что на вращающемся диске часы не могут быть однозначно синхронизированы во всех точках.
Это утверждение мы считаем ошибочным, что подробно изложено в [6], [30], [31].
"Физическим" назовем пространство, ортогональное мировым линиям частиц среды. При наличии вращений в среде гиперповерхностей, ортогональных мировым линиям частиц, не существует [16], [29].
Однако для подпространств это утверждение
В согласии с [9] "на вращающемся теле часы не могут быть однозначно синхронизированы во всех точках. Производя синхронизацию вдоль некоторой замкнутой линии, мы получим, возвращаясь в исходную точку, время, отличающееся от первоначального на величину"
At = -1 ф go2dv = \ i^^tp. (28)
с J goo с 1 - x
На наш взгляд, синхронизация часов по
замкнутому контуру для вращающего обруча имеет смысл только в гиперплоскости t = const. Если выбрать за нулевые показания t = 0, то во всех других гиперплоскосях t = const часы в разных лагранжевых точках обруча покажут одинаковое время, поскольку любая гиперплоскость t = const отсекает мировые линии часов одинаковой длины. Формула (27,b) совпадет с (28) при ф = 2п, но эти формулы имеют разный смысл.
Отметим, что формула (28), может быть получена из решения уравнения Пфаффа в лагранжевой сопутствующей СО, в которой решение (27b) получено путем интегрирования уравнения Пфаффа вида
Vo dx° + Vvdv = 0, Vo = gooV0, V= goV0,
o- 1 V2 = o, dt = -1 dv (28a)
V0 =
vgoo'
cgi
oo
ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
Откуда из метрики (15) с учетом (26) имеем (27Ь). Однако контурный интеграл в отличие от (28) отсутствует и заменяется интегралом в конечных пределах.
Временной зазор в (27Ь) соответствует временному расстоянию вдоль образующей цилиндра от плоскости / = 0 до "физической" пространственноподобной линии с номером ф. Через угол 2п лагранжева точка ф в "физическом" пространстве совпадет с мировой линией частицы обруча с номером ф.
Решим следующую модельную задачу. Вырежем тонкую полую трубку от центра диска до внешнего радиуса Я об. В центре диска поместим источник света. Ось трубки имеет лагранжеву координату ф = 0, которая остается неизменной на всей длине трубки. Требуется определить частоту сигнала vR на выходе из трубки, если частота сигнала источника равна
у/ = т\ г2(Я,^) = XX, X2 =
02 к2
(29)
й82 = 0,
йг
йг, — = с>/1-: йг
сУ! 1 - х~
Из (31) видно, что координатная скорость света с ростом расстояния от центра стремится к нулю. Однако "физическая" скорость света dг/dt = с. Так как мы рассматриваем нерелятивистское вращение диска, то с точностью до о? г2/с2 = X << 1, получаем
йг = ['2' йг, г, -г2 = (1 -X2)г, = -(1+X2 /6). (32)
(31)
Ел/Г-
Выразив собственное время получим
т = ^/ГX2гl,,
т =
я (1 + X2/6)
(
= т
1+
2 X
2
(33)
у
Мировая линия конца трубки радиуса Я образует винтовую линию на поверхности цилиндра радиуса Я. Ось цилиндра совпадает с линией времени с/.
Из точки ъ = 0, у = 0, х = Я в момент времени I = 0, совпадающей с началом мировой линии трубки на краю диска, выходит "физическая" пространственно подобная линия, ортогональная (в смысле псевдоевклидовой геометрии с сигнатурой (+ — — —)) мировой линии конца трубки. Пусть в момент времени / = 0 источник испускает очень короткий световой импульс. Через некоторый момент времени 11 световой сигнал выходит из конца трубки и пересекает ее мировую линию. Образующая цилиндра, проходящая через указанную точку пересечения, пересекает "физическую" линию в момент времени < Из формул (26), (27) следует, что за время / конец трубки повернулся на угол
с 41 - X2
Величина Я / с — т является временем распространения сигнала из центра диска до края в НСО на вращающемся диске. Из (33) видно, что время т1 > т. Это означает, что длина мировой линии конца трубки больше величины радиуса Я.
Формулу (33) представим в эквивалентном виде через времена ИСО
г1 = г
1+-
2 X
2
(34)
Для получения изменения частоты на входе v0 и на выходе V из трубки проведем следующий мысленный эксперимент. Пусть излучатель в центре диска произвел две вспышки с интервалом 8/. Одну в момент времени / = 0, а другую спустя 8/. Вторая вспышка дойдет до конца трубки в момент времени / + 8/ по часам ИСО и + по времени ИСО вращающегося диска, где 11 = 0 из (34). Откуда имеем
г1 +дгг = (г + 8г)
(
1 +
2 X
2
(35)
Вычитая из (35) (34), получим, переходя к частотам, 1/8/ = vR, 1/8/1 = v0
Временное расстояние от "физической" линии до мировой линии частицы обруча в точке ее пересечения с изотропной геодезической есть
^ - г2 = Лг = (1 - Х2)/1. (30)
Для светового сигнала, распространяющегося внутри трубки, при фиксированной лагранжевой координате ф = 0, 2 = 0 получаем из (15) при О ~ ы
(
^к = ^
1+
2 X
2
(36)
Ясно, что вместо красного смещения, имеем фиолетовое. Оно обусловлено увеличением центробежной силы инерции для наблюдателя внутри вращающейся трубки. С увеличением расстояния от излучателя до края диска
ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
центробежное ускорение возрастает как ы2г.
Проведем анализ полученных результатов. Мы не будем останавливаться на описании установки ротора Мессбауэра и проведении эксперимента. Эти вопросы подробно рассмотрены [32], [33],
[34]. Наша цель — сравнение с теоретическими результатами [32, 33].
Автор [32, 33] допустил ошибку при выводе формулы (8) в [33]. Ссылка на формулу (10) из
[35] несостоятельна. Приводим формулу (8) из [33] в наших обозначениях
(
dr = dt
1 -
2 2 Л o r
([33], 8)
В согласии с [33], ([33], 8) представляет собой приращение собственного времени на движущихся часах, имеющих радиальную координату г для значений ыг << с". В согласии со стандартной точкой зрения [9], связь истинного времени т с координатным / для одной и той же точки пространства связано соотношением
(37)
Для метрики вращающегося диска Ланжевена (15) имеем
dr = dU 1 -
2 2 с r
(38)
Соотношения ([33], 8) и (38) отличаются наличием корня в (38). Автор [33] при выводе ссылается на работу [35] и формулу (10) в ней. Эта формула в наших обозначениях имеет вид
dr = dt -
or2 dp
([35], 10)
Формулу ([33], 8) автор получает из формулы "равенства"
dp = odt. (*)
Правда равенство (*) в тексте [33] не упоминается, но явно подразумевается. Отметим, что ([33], 8) не имеет никакого отношения к работе [35], в которой автор занимается Global Positioning System (GPS) и в расчетах сохраняет только первый порядок малости по параметру ыг/с, откидывая второй, а в работе [32, 33] учитывался второй порядок малости.
Далее автор [32, 33] рассматривает вопросы радиального распространения света в НСО жесткого диска, для которого приращение лагранжевых координат d(p = dz = 0. Таким
образом, ссылка автора [33] на работу [35] лишена смысла. Вместо ([33], 8) получается "равенство" dт = dt.
Хотя в [33] и получена формула, совпадающая с экспериментом для ротора Мессбауэра [34], однако теоретические результаты ее получения мы считаем неудовлетворительными.
Наши результаты также совпадают с экспериментом. Для их получения используется понятие "физического" пространства, ортогонального мировым линиям элементов трубки, по которой распространяется свет.
6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
При описании протяженных тел в СТО возникают известные трудности [36]. Причина этого лежит в смешивании понятий системы координат и системы отсчета. Начиная с работ Эйнштейна, переход от инерциальной системы отсчета к неинерциальной связывают с преобразованием координат, содержащих время нелинейным образом [19]. По этой причине в СТО в настоящий момент не существует общепринятого определения простейшей жесткой равноускоренной системы отсчета. Фок принимает за такую систему НСО Меллера [18]. Однако она не является глобально равноускоренной. Каждая из частиц среды движется с постоянным ускорением, но ускорения различных частиц не равны друг другу. В альтернативной равноускоренной НСО Логунова [15] все частицы имеют одинаковое ускорение, но для нее не выполняется релятивистский критерий жесткости по Борну. С точки зрения стартовой ИСО отсутствует лоренцево сокращение между соседними движущимися друг за другом частицами. Система Логунова является классически жесткой. Каким же образом электростатика, описывающая движение заряженной пыли без начальной скорости, приводит к нарушению релятивистской жесткости - загадка и трудность
СТО.
В работах [5, 30, 31] доказана теорема, что в пространстве Минковского невозможно поступательное глобально равноускоренное и жесткое по Борну движение сплошной среды.
Если помимо уравнений движения сплошной среды накладывать дополнительные условия
2
c
ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
на жесткость или вращения сплошной среды, вытекающие из физических соображений, то эти условия "выводят" движущуюся среду из плоского пространства-времени.
Найденная нами метрика жесткой по Борну глобально равноускоренной сплошной среды реализуется в римановом пространстве-времени. Метрика объединяет свойства метрики Меллера (жесткость по Борну) и свойства метрики Логунова (глобальная равноускоренность). Следует отметить, что собственное время, которое получал Эйнштейн [37] в работе 1907 года, и которое называл точным, получается из метрики (10)
Т = exP
где т
«У. V
с'- f — собственное
для данной
время
точки пространства, т — мировое время для фиксированной лагранжевой частицы. Но Эйнштейн по неизвестным причинам отказался от точного выражения в пользу приближенного (по Меллеру).
Выведенные уравнения структуры
накладывают определенные ограничения, связанные с интегрируемостью уравнений движения в СТО и ОТО.
Получена релятивистская жесткая по Борну равномерно вращающаяся НСО без ограничения на величину радиуса и имеющая на бесконечности линейную скорость, равную скорости света и конечное ускорение, но реализуемая в римановом пространстве-времени. Решен вопрос о синхронизации часов на вращающемся диске, вопреки утверждению [9], что "на вращающемся теле часы не могут быть однозначно синхронизированы во всех точках". Мы считаем вывод [9] ошибочным. В формуле (28) контур в "физическом" пространстве не замкнут, что очевидно при разбиении вращающегося тонкого диска на концентрические тонкие обручи и рассмотрении частицы на одном из них.
Мировые линии частиц этого обруча в пространстве Минковского образуют конгруенцию винтовых линий на цилиндре с радиусом г и осью Л, а "физическим" пространством будет конгруенция
пространственно подобных винтовых линий,
ортогональных конгруенции мировых линии частиц обруча.
Эта конгруенция находится из уравнения Пфаффа. Каждая из пространственно подобных линий не замкнута и формула (28) неприменима.
Временной зазор /(г,ф) из (27b) соответствует временному расстоянию вдоль образующей цилиндра от плоскости t = 0 до "физической" пространственно подобной линии ¿(г,ф).
Если расставить вдоль обруча абсолютно одинаковые часы и в начальный момент времени выставить на всех часах время t = t, то на любой гиперплоскости t = const длины мировых линий всех часов будут одинаковы, что означает, что все часы на обруче ходят синхронно. Так и должно быть из физических соображений, так как часы на одинаковых расстояниях от центра обруча находятся в абсолютно одинаковых условиях.
Предложено решение парадокса Белла. В рамках СТО парадокс Белла не решается, так как согласно доказанной нами теореме [5, 31], в пространстве Минковского нельзя одновременно удовлетворить условиям релятивистской жесткости и глобальной релятивистской равноускоренности.
Для решения парадокса необходимо признать, что переход в НСО нельзя осуществить с помощью преобразований координат, нелинейным образом содержащих время. Такие преобразования не могут привести к ненулевому тензору кривизны пространства-времени.
Разработана теория, объясняющая эксперимент для ротора Мёссбауэра.
ЛИТЕРАТУРА
1. Подосенов СА. Геометрические свойства неинерциальных систем отсчета в релятивистской механике. В кн.: Дискуссионные вопросы теории относительности и гравитации. Под ред. В. И. Родичева и Н. В. Мицкевича. М., Наука, 1982, с. 95-103.
2. Подосенов СА. Пространство, время и классические поля связанных структур. М., изд. Спутник+, 2000, 445 с.
3. Подосенов СА, Потапов АА, Соколов АА. Импульсная электродинамика сверхширокополосных радиосистем и поля связанных структур. М., Радиотехника, 2003, 720 с.
4. Подосенов СА. Новый метод расчета полей
ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
в пространстве-времени связанных структур. Saarbrucken, LAP LAMBERT Academic Publishing, 2011, 352 с.
5. Подосенов СА, Потапов АА, Фоукзон Дж, Менькова ЕР. Неголономные, фрактальные и связанные структуры в релятивистских сплошных средах, электродинамике, квантовой механике и космологии. В 3-х томах. Книга 2. Силовые поля в связанных и неголономных структурах. М., ЛЕНАНД, 2016, 440 с.
6. Podosenov S, Foukzon J, Men'kova E. Difficulties in the Interpretation of the Einstein's Relativity Theory. Basics, Concepts, Methods. Saarbrucken, LAP LAMBERT Academic Publishing, 2017, 105 p. ISBN: 978-3-330-06799-8.
7. Bell JS. Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics. Cambridge University Press, 1993, p. 67.
8. Герштейн СС, Логунов АА. Залача Дж. Белла. Физика элементарных частиц и теории ядра, 1998, 29(5):1119-1132.
9. Ландау ЛД, Лифшиц ЕМ. Теория поля. М., Наука, 1988, 512 с.
10. Подосенов СА, Фоукзон Дж, Потапов АА. Задача Белла и исследование электронных пучков в линейных коллайдерах. Нелинейный мир, 2009, 7(8):612-621.
11. Podosenov SA, Foukzon J, Potapov AA. A Study of the Motion of a Relativistic Continuous Medium. Gravitation and Cosmology, 2010, 16(4):307-312.
12. FoukzonJ, Podosenov SA, Potapov AA. Relativistic Length Expansion in General Accelerated System Revisited. http://arxiv.org/pdf/0910.2298v1.
13. Гинзбург ВЛ, Ерошенко ЮН. Еще раз о принципе эквивалентности. УФН, 1995, 165(2):205-211.
14. Redzic DV. Note on Devan-Beran-Bell's Spaceship Problem. Eur. J. Phys., 2008, 29(11):11-19.
15. Логунов АА. Лекции по теории относительности и гравитации. Современный анализ проблемы. М., Наука, 1987.
16. Синг ДжЛ. Общая теория относительности. М., Изд. иностр. лит., 1963, 432 с.
17. Паули В. Теория относительности. М., Наука, 1983, 328 с.
18. Меллер К. Теория относительности. М., Атомиздат, 1975, 400 с.
19. Фок ВА. Теория пространства-времени и тяготения. М., Физматгиз, 1961, 564 с.
20. Kramer D, Stephani H, Maccallum M, Herlt E. Exact Solutions of the field equations. Ed. E. Schmutzer. Berlin, Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1980.
21. Podosenov SA, Potapov AA, Foukzon J. Electrodynamics of a Continuous Medium in a System with Specified Structure. Physics of Wave Phenomena, 2012, 20(2):143-157.
22. Desloge EA. Nonequivalence of a Uniformly Accelerating Reference Frame and a Frame at Rest in a Uniform Gravitational Field. Am. J. Phys., 1989, 57(12):1121-1125.
23. Desloge EA. Relativistic Motion of Free Particles in a Uniform Gravitational Field. Int. J. Theor. Phys., 1990, 29(2):193-208.
24. Подосенов СА. Структура пространства-времени и поля связанных зарядов. Изв. вузов, Сер. Физика, 1997, 40(10):63-74.
25. Podosenov SA. Space-time structure and bound-charge fields. Russian Physics Journal, 1997, 40(10):985-994. New York, Springer. ISSN 10648887 (Print), 1573-9228 (Online).
26. Hill EL. A Note on the Relativistic Problem of Uniform Rotation. Phys. Rev., 1946, 69(9):488-491.
27. Rosen N. Notes on Rotation and Rigid Bodies in Relativity Theory. Phys. Rev., 1947, 71(1):54-58.
28. Подосенов СА. Тетрадное рассмотрение вращательного и колебательного движения в специальной теории относительности. Известия вузов, серия физика, 1970, 11:74-80.
29. Зельманов АЛ. К релятивистской теории анизотропной неоднородной вселенной. Труды VI конференции по проблемам космологии, М., изд. АН СССР, 1959, с. 144-174.
30. Podosenov SA, Foukzon J, Men'kova ER. Structure equations of continuum in the Newton's, Maxwell's and Einstein's theories. Sciences of Europe, 2017, 2(20):43-57.
31. Podosenov SA, Foukzon J, Men'kova ER. Structure Equations, Permitted Movement of Relativistic Continuum and Sagnac's, Erenfest's and Bell's Paradoxes. Physical Science International Journal (PSIJ), 2017, 13(2):1-18. http://www. sciencedomain.org/issue/2320; DOI: 10.9734/ PSIJ/2017/30616.
32. Corda C. Interpretation of Mossbauer
подосенов СА., потапов АА., ФИЗИКА КОНДЕНСИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ
ФОУКЗОН ДЖ., МЕНЬКОВА Е.Р. -ы-
experiment in a rotating system: A new proof 37. Эйнштейн А. О принципе относительности
for general relativity. Annals of Physics, 2015, и его следствиях. Сборник научных трудов. Т. 1,
355:360-366. с. 65-114. М., Наука, 1965.
33. Corda C. The Mossbauer rotor experiment and
the general theory of relativity. Annals of Physics, Подосенов Станислав Александрович 2016, 368:258-266. к.ф.-м.н, в.н.с.
34. Kholmetskii AL, Yarman T, Missevitch OV, Всерос науч.-иссл институт опт,физ. измерений т-. г,т 4 л, , 46, ул. Озерная, Москва 119361, Россия Rogozev BI. A Mossbauer experiment in a , ^ .,
& L podosenov@mail.ru
rotating system on the second-order Doppler _ . .
° J rr Потапов Александр Алексеевич
shift: confirmation of the corrected result by д.ф.-м.н, действительный член РАЕН
Kundig. Physica Scripta, 2009, 79(6):065007. Институт радиотехники и электроники им. В.А.
35. Ashby N. Relativity in the Global Positioning Котельникова, Российская академия наук
System. Living Reviews in Relativity 2003, 6(1). 11/7, Ул. Моховая, Москва 125009, Россия
Published on 28 January 2003, by the Max ^^f^!^
Planck Institute for Gravitational Physics, Albert Фоукзон Джейков
J д.ф.-м.н., проф.
Einstein Institute, Germany. http://www. Центр математических наук, Израильский
livingreviews.org/Articles/Volume6/2003- технологический институт
1ashby/. г. Хайфа 3200003, Израиль
36. Родичев ВИ. Эволюция понятия системы jaykovfoukzon@list.ru
отсчета и программа Эйнштейна. В кн.: Менькова Елена Р°м;ш°вна
о ~ „ - г j. / -ол к.т.н, с.н.с.
Эинштеиновскии сборник (под ред. В.Л. внииофи Росстандарт
Гинзбурга и Г.И. Наана). М., Наука, 1974, с. 46, ул. Озерная, Москва 119361, Россия 286-334. e_menkova@mail.ru
METRIC AND STRUCTURE EQUATIONS IN RELATIVISTIC CONTINUA
Stanislav A. Podosenov, Elena R. Men'kova
All-Russian Research Institute for Optical and Physical Measurements, http://www.vniiofi.ru/ Moscow 119361, Russian Federation Alexander A. Potapov
Kotelnikov Institute of Radioengineering and Electronics, Russian Academy of Sciences, http://cplire.ru/ Moscow 125009, Russian Federation Jaykov Foukzon
Center for Mathematical Sciences, Israel Institute of Technology, http://www.technion.ac.il/ Haifa 3200003, Israel
podosenov@mail.ru, potapov@cplire.ru, jaykovfoukzon@list.ru, e_menkova@mail.ru Abstract. The proper expression describing physical lengths and times in arbitrary relativistic moving continua is presented. To investigate the structure equations determining the space-time geometry at specified medium characteristics are applied. In the elementary case, the geometry is the Riemannian one that does not connect with the Einstein's general relativity theory. The relativistic Born rigid uniformly accelerated reference frame realized in the Riemannian space-time is considered as an example. The relativistic Born rigid uniformly rotating reference frame without a horizon but requiring the Riemannian space-time has been constructed. The Bell inequality solution is obtained and the comparison with the Mossbauer rotor experiment is made.
Kywords: relativistic continuum, structure equations, space-time, general relativity theory, reference frame, Born rigidity, Riemannian, Einstein, Bell inequality, Mossbauer rotor
UDC 530.12, 531.134, 537.9
Bibliography — 37 references Received 10.8.2018, accepted 12.03.2019 RENSIT, 2019, 11(2):113-124_DOI: 10.17725/rensit.2019.11.113
