Уравнения структуры сплошной среды в теориях Ньютона, Максвелла и Эйнштейна Текст научной статьи по специальности «Физика»

PHYSICS AND MATHEMATICS

УРАВНЕНИЯ СТРУКТУРЫ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ В ТЕОРИЯХ НЬЮТОНА, МАКСВЕЛЛА И ЭЙНШТЕЙНА

Подосенов С.А.

Всероссийский научно-исследовательский институт оптико-физических измерений,

г. Москва, Россия Фоукзон Дж.

Израильский технологический институт, г. Хайфа, Израиль

Менькова Е.Р.

Всероссийский научно-исследовательский институт оптико-физических измерений,

г. Москва, Россия

STRUCTURE EQUATIONS OF CONTINUUM IN THE NEWTON'S, MAXWELL'S AND EINSTEIN'S THEORIES

Podosenov S. A.

All-Russian Research Institute for Optical and Physical Measurements, Moscow, Russia

Foukzon J.

Technion - Israel Institute of Technology, Haifa, Israel

Men'kova E. R.

All-Russian Research Institute for Optical and Physical Measurements, Moscow, Russia

АННОТАЦИЯ

Из полученных уравнений структуры изучаются ограничения на геометрию пространства - времени для возможных решений уравнений релятивистских сплошных сред. Если помимо уравнений движения среды накладывать из физических соображений условия на жесткость и вращения, то пространства Евклида и Минковского могут оказаться тесными для описания сплошной среды. Сплошная среда является базисом неинерциальных систем отсчета (НСО), в которых можно изучать различные физические процессы. Базисы этих систем не могут быть последовательно описаны в рамках пространств Евклида и Минковского. Требуется выход в Риманово пространство-время или в пространство метрической связности. Аналогичная ситуация возникает при изучении равновесия и движения пробных частиц в теории Ньютона, где по определению пространство считается евклидовым. Электродинамику (электростатику) Максвелла изучают в пространстве Минковского. ОТО Эйнштейна описывают в пространстве Римана, приравнивая тензор Эйнштейна тензору энергии импульса (ТЭИ) материи. Из полученного уравнения находят метрические коэффициенты. Однако равенство нулю ковариантной дивергенции ТЭИ не содержит законов сохранения ни энергии, ни импульса. В ОТО координаты и время не имеют метрического смысла. В согласии с высказыванием Г. Денена, приведенным в статье "О динамике в общей теории относительности" (в кн.: Эйнштейновский сборник 1969 - 1970. М.: Наука, 1970. С. 140), "...эйнштейновской формулировке теории тяготения присущ тот основной недостаток, что она абсолютно умалчивает о физической системе отсчета, относительно которой должны производиться измерения." По этой причине решения Шварцшильда и Райснера-Нордстрема лишены физического смысла. Последнее решение допускает физический смысл, если вне заряженной сферы построить (или примыслить) систему отсчета, в которой элементами системы являются заряженные частицы. У этих частиц силы ньютоновского притяжения уравновешиваются силами кулоновского отталкивания. Сила ньютоновского притяжения центрального тела пробных частиц уравновешена зарядом тела, одноименным с пробными частицами. Если заряд пробных частиц равен заряду электрона, то их масса соответствует массам максимонов (Марков М. А. Макро-микросимметриче-ская вселенная. В кн.: Теоретико-групповые методы в физике. Т. 1. М.: Наука, 1986. С. 7-41.)

ABSTRACT

Restrictions on space-time geometry for possible solutions of relativistic continua are studied based on the derived structure equations. The Euclidean and Minkowski spaces proved to be "cramped" to describe the continuum if, besides equations of motion for the medium, one imposes conditions of the rigidity and rotation. A continuous media is a basis of non-inertial reference frames (NRF) for studying various physical processes. Bases of these systems cannot be described in terms of the Euclidean and Minkowski spaces; but one has to resort to the description in terms of the Riemannian space-time. Similar situation takes place when studying an equilibrium and a motion of probe particles in the Newton's theory where the space is the Euclidean one by definition. The Maxwell's electrodynamics (electrostatics) is studied in the Minkowski space. The Einstein's general relativity theory

(GRT) is described in the Riemannian space. The Einstein's tensor is equated to the energy momentum tensor. Metric coefficients are determined from obtained equation. However zero covariant divergence of the energy momentum tensor neither contains the law of conservation of energy no the momentum conservation law. In GRT coordinates and a time do not have a metrical meaning. In accordance with G. Denen ("About Dynamics in General Theory of Relativity" in book: "Einstein Collection 1969-1970", Moscow: Nauka, 1970, p. 140) "... the Einstein formulation of the gravitational theory has the main disadvantage: it does not contain the physical reference frame relatively which measurements should have been carried out". Therefore the Schwarzschild and Reissner-Nordstrom solutions have no physical meaning. By the way, the last solution acquires a physical meaning if one constructs a reference frame outside the charged sphere, which might represent the massive charged particles. The Newton attractive forces are balanced by the Coulomb repulsion forces for the test particles. If the test particle charge is equal to the electron charge, then their mass corresponds to masses of "maximons" (Markov M. A. "Makro-Micro Symmetrical Universe" in book: "Theoretical-batch Methods in Physics", vol. 1, Moscow: Nauka, 1986, p. 7-41).

Ключевые слова: пространство-время, метрический тензор, тензор кривизны, системы отсчета, задача Белла, жесткость по Борну, уравнения структуры, Минковский, Риман, Эйнштейн, лагранжевы координаты, эйлеровы координаты, Кристоффель, мировые линии, гиперповерхности.

Keywords: space-time, metric tensor, curvature tensor, reference frame, Bell's problem, Born's rigidity, structure equations, Minkowski, Riemann, Einstein, Lagrangian coordinates, Euler coordinates, Christoffel, world lines, hypersurfaces.

Введение

Из [1] известно, что "системы отсчета (СО) это совокупности системы координат и часов, связанных с телом, по отношению к которому изучается движение (или равновесие) каких- либо других материальных точек или тел".... Поэтому для изучения движения (равновесия) других тел нужно аналитически задать свойства тела - базиса самой (СО). В качестве тела - базиса выбираем сплошную среду.

Свойства базиса по возможности должен задавать исследователь. Например, изучая поле заряда в сопутствующей среде системе отсчета (СО) лаборатории, исследователь должен позаботиться, чтобы свойства базиса лаборатории были одинаковы во всех точках измерения поля. В

dS2 = exp

Г2а0 уЛ

где ускорение a0 направлено вдоль оси y1

У

k

- координаты Лагранжа.

Характеристиками сплошной среды в 4-про-странстве-времени являются 4-ускорение, тензор скоростей деформаций и тензор угловой скорости вращения. 4 -ускорение входит в закон движения, и при заданной плоской метрике интегрированием уравнения движения определяется поле 4-скорости и основные тензоры среды.

Если при этом задать заранее в каком пространстве - времени движется среда (например, в пространстве Минковского или Римана), то для описания движения вполне достаточно знать уравнения движения или 4-ускорение. Интегрируя эти уравнения, находят поле 4- скорости. Зная это поле, находят остальные характеристики среды.

Сплошная среда в силовом поле задает некую систему отсчета (СО). Для СО с заданными из физических требований свойствами, помимо уравнений движения, необходимо знать дополнительные условия, приписываемые основным тензорам среды, зависящим от 4 - скоростей и 4 - ускорений.

противном случае характер измерения поля будет зависеть и от свойств самого базиса, в котором измеряется поле. Например, изучая поле вне заряда в системе, сопутствующей равноускоренному заряду, исследователь должен потребовать, чтобы базис СО двигался подобно заряду. Физически это должно означать, что показания величин акселерометров заряда и частиц сопутствующей СО должны быть одинаковы, и чтобы частицы сопутствующей заряду СО были взаимно неподвижны. Однако релятивистски жесткой по Борну глобально равноускоренной НСО, сопутствующей равноускоренному заряду, в пространстве Минковского построить в принципе невозможно. Геометрия такой лабораторной системы будет римановой и как доказано в [2] имеет вид

[dy yу ~{d/; ~(dy2; ~(dy3; ^

Например, требование о вращении и жесткости. Число уравнений для нахождения 4-скорости становится переопределенным, и должны выполняться условия интегрируемости. Последние выполнятся, если искомыми будут не только 4 - скорости среды, но и метрические коэффициенты.

При описании свойств произвольных деформируемых систем отсчета в виде сплошной среды считается заданным либо поле 4-скоростей (точка зрения Эйлера), либо закон движения сплошной среды, устанавливающий связь между переменными Эйлера и Лагранжа. Пространство-время считается либо плоским - в случае специальной теории относительности (СТО), либо римановым - в случае общей теории относительности (ОТО). Если гравитационным взаимодействием между частицами можно пренебречь, а внешняя сила, действующая на тело, не является гравитационной, то для описания движения среды применяется релятивистская механика СТО. В СТО поля не искривляют пространства - времени и в ИСО, и в сопутствующей НСО сплошной среды, оставляя ее простран-

2

С

ственно-временную геометрию плоской. Искривляются, быть может, только "пространственные сечения," геометрия которых в общем случае перестает быть евклидовой. Такая точка зрения является наиболее распространенной в теории относительности (ТО).

Мы хотим доказать недостаточную правомерность подхода, связанного с существующим переходом от инерциальной системы отсчета (ИСО) к неинерциальной (НСО). Даже для перехода в простейшие системы отсчета (СО) в ТО нет полной ясности. Какие системы отсчета в СТО считать релятивистски равноускоренными до сего времени неизвестно. С одной стороны к этим системам относят системы Меллера-Риндлера [3, 4], а с другой - систему Логунова [5]. Система Логунова представляет собой движение заряженной пыли в однородном постоянном электростатическом поле с нулевыми начальными скоростями. Однако ни [3,4], ни [5] нельзя считать релятивистски глобально равноускоренными !

Система Меллера-Риндлера, являясь релятивистски жесткой, не является глобально равноускоренной. Система Логунова, являясь глобально равноускоренной, не является релятивистски жесткой!

Наиболее распространенный способ перехода от ИСО к НСО [6, 7] связывается с преобразованием координат, нелинейным образом содержащих время (т.е. с законом движения сплошной среды в переменных Лагранжа, который получается, например, с помощью интегрирования уравнений движения в переменных Эйлера).

Ясно, что если уравнения движения были заданы в пространстве Минковского, то никакими преобразованиями координат, как содержащими, так и не содержащими время, нельзя выйти за рамки плоского пространства-времени, т.к. нельзя получить отличный от нуля тензор Римана-Кристо-ффеля, если в ИСО он отсутствовал.

НСО с такими свойствами мы относим к НСО 1-го класса, которые, как указано выше, противоречат СТО. Это, например, вытекает из рассмотрения системы Логунова, которая не является жесткой по Борну. Хотя из физических соображений неясно, почему в нашей модели невзаимодействующих частиц в сопутствующей СО частицы должны убегать друг от друга, находясь в одинаковых условиях, при равных показаниях акселерометров на каждой из частиц.

В НСО 2-го класса требуется не только знание закона движения сплошной среды, но и заранее задаются свойства CО, определяемые тензорами скоростей деформаций, тензорами угловой скорости вращения.

При этом оказывается, что пространство Мин-ковского, например, является "тесным," чтобы удовлетворить одновременно даже простейшим требованиям: жесткости (в смысле Борна) и равноуско-ренности. В этой работе мы будем заниматься в основном НСО 2-го класса.

Наш подход состоит в следующем.

Пусть в плоском пространстве - времени Мин-

ковского с сигнатурой (+---) покоится сплошная

среда. В некоторый момент времени t=t0 включается силовое поле любой природы и сплошная среда приходит в движение.

Каковы будут свойства пространства - времени после включения силового поля? Согласно ортодоксальной трактовке свойства пространства - времени останутся неизменными [6]. Наш ответ на этот вопрос будет не столь категоричен. Мы не исключаем возможности, что включение силового поля может изменить свойство пространства - времени, превратив его в искривленное в пределах мировой трубки. Структуру пространства-времени мы определяем по заданной структуре силового поля, а также по таким характеристикам континуума, как

тензор скоростей деформаций , тензор угло-

вой скорости вращения

Q

Цу

векторам первой кри-

визны мировых линий частиц среды (что эквивалентно заданию уравнений движения).

Для движущейся сплошной среды в четырехмерном пространстве - времени с сигнатурой (+ - --) справедливо разложение

^ = + ^ + (1.1) где ^ - поле 4 - скорости, удовлетворяющее условию нормировки

В^У = 1, (1.2)

д^у - метрический тензор в системе отсчета Эйлера. Связь между ковариантными компонентами 4-скорости Ц, и контрвариантными Vм определяется с помощью метрического тензора обычным образом

V = а Vц

V оуц

Пространственная 4 - скорость V соответствует направлению трехмерной скорости V . Релятивистский тензор скоростей деформаций ^^ задается формулой

V = - У^Ку (1.3)

а релятивистский тензор угловой скорости вращения имеет вид

= У^Ц,] - У^Ау]. (1.4) Ковариантные компоненты 4-ускорения А связаны с 4-ускорением

обычным образом

Ау =

A = VVV V

Ц V Ц .

(1.5)

Греческие индексы могут принимать значения от нуля до трех, латинские - от единицы до трех.

Разложение (1.1) можно трактовать с двух точек зрения:

1. Уравнения структуры релятивистской сплошной среды

1. Считать, что поле 4 - скорости V известно,

например, в результате интегрирования релятивистского уравнения Эйлера или Навье - Стокса при заданной плоской метрике. В этом случае характеристики континуума , Оцу, А могут

быть получены по формулам (1.3-1.5), а разложение (1.1) выступает как математическое тождество.

2. Считать заданными функциями

2,,.,,О,,.,,А^. в этом случае разложение (1.1)

превращается в систему дифференциальных уравнений относительно у и . Так как число

уравнений системы (1.1) и (1.2) превосходит число неизвестных функций, то должны выполняться условия интегрируемости. Условием интегрируемости для компонент 4 - скоростей будет соотношение

а2Уу _ д2уу дхЕдха дхадх£. ( . )

Для нахождения связи между геометрическими и кинематическими характеристиками континуума вычислим в явном виде выражение

2V[TVff]V,

+

дГ1

дТ Tv

dTf

л

V

дха дх

+ ГМГР -ПТР

ар Tv Tp av

V..

из которого следует с учетом (1.1-1.6), что

= 24^ + 2Ч[ЕПа]у + 2Ч[е(Уа]Ау). (1.7) Интегрирование системы (1.1), (1.7), где Я^у - тензор кривизны, выражаемый через метрический тензор обычным образом, дает решение задачи о геометрии пространства - времени, в которой реализуется НСО с заданной структурой. Уравнения (1.7) назовем уравнениями структуры НСО [2]. Частным случаем НСО является ИСО, в которой выражения (1.3-1.5) тождественно равны нулю. По этой причине тензор Римана в (1.7) равен нулю.

В заключение раздела приведем результаты лемм, доказанных в [8] и [9]. Лемма 1

В пространстве Минковского не существует жесткого по Борну релятивистски равноускоренного поступательного движения сплошной среды.

Rs*,ryV°AeAv = -(asAsJ const * 0. (1.8)

Свертка тензора Римана-Кристоффеля оказалась отличной от нуля. Поэтому тензор Римана-Кристоффеля отличен от нуля, что и доказывает утверждение.

В уравнениях структуры (1.7) для жестких безвихревых движений имеем выражение

4S

R Vf =VV As

af a s

(1.9)

что эквивалентно

К^у а = К =У£А£ .

Метрику сферически - симметричной лагран-жевой сопутствующей НСО по аналогии с ОТО ищем в виде

(1.10) (1.11)

dS2 = exp (v)(dy0) - exp(x)(dr)2 - r2 (dO2 + sin2 Шф2)

где v и X

зависят только от r.

Лемма 2

Для случая сферически симметричного статического поля метрика (1.12) совместна с уравнением структуры.

Для метрики (1.12) воспользуемся известными формулами [6] для вычисления тензора Риччи. Для

интересующей нас компоненты Д имеем

К = + ^ + ^ ), (1.13)

где индекс штрих обозначает производную по г. В лагранжевой сопутствующей среде системе отсчета без вращений имеют место соотношения

у° = ^,у0 = ^до,ук = ук = о, (1.14)

_(е(у-Х)/2г2у') (1.15)

R00=A =

2exp((y+X)/2)r2 dr '

После упрощений получаем e(v-X)/2r2V №. + *+1-Щ=± (e(v-X)/2r2v').

L VI 2 r 21 drK J

После замены переменных

U = e(v-X)/2r2v',v' = v и простых преобразований находим

j I U \ _ V

U'rA 2

(1.16)

(1.17)

(1.18)

(1.12)

что соответствует тождественному выполнению равенства (1.15) при произвольных у(г) и Я(г) и доказывает лемму 2.

Замечание

Условие леммы 2 является необходимым, но не достаточным. При доказательстве леммы величина АА = (1 / 2)у' ехр(— Л) не была связана с другими физическими полями, например, с электромагнитным. Лемма 2 показывает, что представление метрики в форме (1.12) возможно, но это не накладывает никаких условий для нахождения метрических коэффициентов без дополнительных физических условий.

2. Ньютоновская теория гравитации в ри-мановом пространстве времени

Ньютоновская теория гравитации для всех практически значимых случаев ведет себя безупречно. Исключение составляют задачи астрономии и космологии, где теория Ньютона не объясняет некоторых малых поправок к данным эксперимента. По этой причине она была заменена на теорию гравитации Эйнштейна. Считается, что теория Ньютона содержится в качестве частного слу-

чая ОТО, однако это далеко не так. Теория Эйнштейна не имеет решения для постоянного однородного гравитационного поля от бесконечной массивной плоскости. Принцип эквивалентности в ОТО применим лишь локально. Принцип соответствия между ОТО и теорией Ньютона не соблюдается. Например, для гравитирующего массивного неподвижного шара тело, лежащее на поверхности сферы, обладает нулевым абсолютным ускорением. С точки зрения ОТО этому телу ставится в соответствие мировая линия с абсолютным ускорением (вектором первой кривизны), отличным от нуля, направленным вне сферы перпендикулярно ей и численно равным ускорению свободного падения в смысле Ньютона [8].

A. Постоянное однородное ньютоновское поле

Наш подход при построении релятивистской жесткой равноускоренной НСО, движущейся в постоянном однородном ньютоновском поле, базируется на требовании отсутствия деформаций в среде

^2 = ех/ ^

при ее поступательном движении без начальной скорости. Подход объединяет свойства системы Логунова (глобальную равноускоренность частиц среды) и Меллера (жесткость в смысле Борна), но при этом внутри мировой трубки пространство-время перестает быть плоским. Математически задача сводится к решению системы (1.11) при условии, что

= о, "V ^ 1,

gv АЦ A = —a0 / с

г2

*0

(2.1)

и системы (1.7) с учетом (1.3) и (1.4) при условии, что ускорение а0 и скорость света c постоянны. Система (1.1) в переменных Эйлера сводится к виду

= У^. (2.2)

Ее решение проще искать в лагранжевой сопутствующей системе отсчета [8]. Откуда получаем

(dy0 )2 — (d/ J — (dy2 )2 —(dy3 J

(2.3)

где ускорение а0 направлено вдоль оси У . В

равноускоренности НСО (2.3) можно убедиться непосредственно

БУ1 йУ1

А1=и<г = и<г+Г°°«°)2

Остальные компоненты 4-ускорения равны нулю. Найдем геометрию пространства-времени НСО, воспользуясь известной формулой для тензора кривизны [6].

311 ддо 2доо ду1 с

Оо 2'

1

■■—Г

Зоо

Одна независимая компонента тензора кривизны, вычисленная по метрике (2.3), имеет вид

^10,10 = „

5 2

1

Ф12 2g

00

dg

00

dy1

a,

■—rexP

с

1

2a,y

(2.4)

с

Для компонент тензора Риччи И^у = дауЯар,Г8 имеем

Roo — -R10,10'R11 — -~ТГ'^10 — 0 (2.5)

Для скалярной кривизны получаем

R — 2

а0

(2.6)

Если вместо метрики (2.3) в выражение в (2.4)

goo = (1 + ao y1/ с')2,

B. Сферически симметричное ньютоновское поле

Геометрию указанного поля будем искать в форме (1.12), основываясь на уравнениях (1.9). Из симметрии СО и отсутствия вращений среды следует, что V2 = V3 = о . Из (1.12) тензор Риччи имеет четыре независимых компоненты

подставить

соответствую- ^oV0 = Ag00V0, R11V1 = Ag11V1,

щую метрике Меллера [3], то ^що = 0, что и следовало ожидать, так как метрика Меллера получена путем преобразования координат из пространства Минковского. Как показано в [8], [9], известный парадокс Белла [10] легко решается с помощью метрики (2.3). Парадокс Белла не решается в пространстве Минковского и в ОТО. На трудности описания протяженных тел в СТО указывал Г.К. Мак-Витти [11].

A = VkAk, i, к = 0

(2.7)

или

^00 = Ag00, &11 = Аё1Ъ А = УкАк, к = 0,1. (2.8)

Остальные два уравнения для тензора Риччи

исчезают ввиду соотношения V2 = V3 = 0, вытекающего из сферической симметрии задачи, жесткости по Борну и отсутствия вращений.

4

С

Скалярная кривизна R при (/, к = 0,1) дает

R=2A. (2.9)

Тензор Эйнштейна

О к = 0 . (2.10)

Откуда следует автоматическое выполнение тождества Бианки. Величина A нуждается в вычислении. Из (1.12), (1.13), (2.8) следует

R00 = eVe Л

V 2

- +

(Vf

4

V

ч--

r

УЛ

4

= AeV

(2.11)

R11

V ~2

Комбинируя (2.11) и (2.12) и складывая, имеем

V'+Я = 0 . (2.13) В лагранжевой сопутствующей системе (1.14) для метрики (1.12) вектор первой кривизны миро-

(Л

4

Л v 'Л + — +-

r 4

—Ae'

(2.12)

A1 = V0 V V1

CV 0 J2

вой линии закрепленной в поле частицы (4-ускоре-

ние) А для поля любой структуры направлен против направления поля. В нашем случае в лагранже-вой сопутствующей СО (1.14) для метрики (1.12)

- — ехр (—Я) = - (expv). (2.14) 2 йт У ' 2х ' )

Здесь мы придерживаемся точки зрения Эйнштейна, что свободно падающая частица в гравитационном поле движется с нулевым вектором первой кривизны геодезической линии частицы. Закрепленная в поле частица имеет 4-ускорение, отличное от нуля, и 3-ускорение направлено противоположно силе тяжести. В криволинейных координатах аффинные компоненты вектора не имеют физического смысла. Т.к. метрика (1.12) ортогональна, то для построения поля тетрад можно векторы орторепера £а совместить с векторами аффинного репера и поле тетрад записать в калибровке Ламе [12]

— °а

• е,

(а)

— (2.15)

A(1) = ef) A1

GM

~~T~l . (4 9) с r

Здесь G - гравитационная постоянная, M -масса тела, создающего поле. Считая из (2.13), что

V = —Я,

находим из (2.8), (2.14), (2.15), (2.16)

(2.17)

Г

A = g

G2 M2

4 4 с r

2ОМ

4т4 сV4 ^ • (2'18)

В тетрадах мы ньютоновскую теорию тяготе-

r =

ния считаем точной

A(1) = rg

2r

2 .(2.19)

Из (2.14), (2.16), (2.19) вытекает равенство

V

ехр|

йт

Решение (2.20) имеет вид

A'11= ^ expff )■ $

. (2.20)

exp v

с,

r r 2r 4r

.2 л

,2

(2.21)

V у

где с -произвольная постоянная. Так как на бесконечности V = 0, то имеем окончательно

exp V =

Г \2 r *

1 —

2r у

(2.22)

Метрика (2.22) лишена недостатков метрики Шварцшильда, так как метрические коэффициенты

- положительные. Пренебрежение

"у. -м-

где суммирование по а отсутствует. Тетрадные компоненты тензоров совпадают с "физическими" [6]. Полагая, что тетрадные компоненты 4-ускорения соответствуют по определению ньютоновскому значению, получим

4 r2

по сравне-

нию с — из (2.22) переводит последнюю в метрику т

Шварцшильда. Здесь мы для краткости не использовали теорию связанных структур [13], которая убирает расходимость в нуле.

Сравнивая (2.6), (2.9) с помощью (2.18) находим

2

„ „ С 2G M2 a2 GM R = 2-gj = —^ = 2-4,ar = 2 . (2.23) 4r с r с r

Здесь а - величина ускорения свободного падения на расстоянии г от центра шара.

3. Уравнения Максвелла и структуры для статического случая сферической симметрии

Внешнее решение

Уравнения структуры оказывают определенное влияние на решения уравнений Максвелла и геометрию пространства-времени, которая никоим образом не связана непосредственно с ОТО [14]. Когда мы говорим о действии электростатического поля в статике на заряженные пробные частицы, то с точки зрения пространства Минковского подразумеваем, что частица покоится в электрическом

2

r

g

r

поле, если сила реакции связи в точности противоположна действию со стороны поля и сумма сил равна нулю, как равно нулю и абсолютное ускорение. В римановом пространстве в статике покоящееся тело имеет абсолютное ускорение, отличное от нуля. Абсолютное ускорение равно вектору первой кривизны мировой линии, которое не пропадает в лагранжевой сопутствующей СО. Например, рима-ново пространство в лагранжевой сопутствующей НСО допускает жесткое по Борну радиальное "движение" с отличным от нуля полем 4-ускорений. В пространстве Минковского радиальное жесткое движение в принципе невозможно, так как частицы на поверхности сфер будут разбегаться друг от друга. Решим задачу о поле заряженного шара вне его поверхности. Будем исходить из уравнений Максвелла, аналогичных уравнениям в заданном гравитационном поле [6]. В качестве сплошной

1 dv

среды вне заряженного шара выберем множество одинаковых пробных частиц с зарядом q и массой т, удерживающихся в поле шара заряда Q внешними связями. Сами пробные заряды создают поле вне шара много меньшее, чем заряд Q, и их полей мы не учитываем. Для простоты изложения не учитываем вклад от поля связанных зарядов, создающих поле. Л можно найти из силы со стороны связи, действующей на заряд и удерживающий заряд в поле неподвижным. Сила со стороны связи равна силе со стороны поля с обратным знаком. Если считать, что основным полем является поле притяжения (например, гравитационное), то электромагнитное поле при одноименных зарядах Q, q выполняет роль связи, удерживающей пробные заряды неподвижными. Сила со стороны связи будет направлена по радиусу от центра

Qq

A = 1 ^ exp (-Я) = Л F10 V = -QL exp (-Я/2). (3.1)

2 dr

mc

2 2 mc r

Отметим, что (3.1) отличается знаком от ((5.1) из [14]). Дело в том, что в [14] мы считали основным полем электростатическое, а здесь основным полем считаем поле гравитационное. Мы учли, что ввиду антисимметричности тензора поля , ко-

вариантные производные можно заменить на частные, так что связь с потенциалами у тензора поля такая же, как и в пространстве Минковского. Из (3.1) имеем

j-i Q (v + Я

= Qexp I —

Фп

= Q,v = ~i (3.2)

or r

-0 - скалярный потенциал. Из(3.2) следует

два решения, одно из которых Я = v = 0 соответствует обычной электростатике в плоском пространстве-времени. Из двух предыдущих формул следует еще и другая возможность. Тетрадная или физическая компонента 4-ускорения определяется с помощью тетрад (2.12) выражением

A™ = e» A1 ^VigUlA1 = 1 ^ exp(W2) = Qq

2 dr

2 2 mc r

(3.3)

Отметим, что = а, где а - трехмерное

ускорение, которое испытывает покоящийся пробный заряд массы т с зарядом q на расстоянии г от центра сферы с зарядом Q. Так как мы рассматриваем статическое поле и покоящиеся пробные частицы, то должны существовать связи, удерживающие заряды в поле неподвижными. Заметим еще раз, что в римановом пространстве покоящиеся частицы имеют ускорение, отличное от нуля. В противном случае, например, в ОТО с метрикой Шварцшильда, свободные частицы движутся по геодезическим с нулевым 4-ускорением. Из (3.2) и (3.3) находим

exp(W2) = 1 -

Qq

mc2r

:exp(-l/2), (3.4)

где постоянная интегрирования оказалась равной единице из требования обращения в ноль поля на бесконечности. Отметим, что (3.4) отличается знаком от ((5.4) из [14]). Как отмечено выше, в [14] мы считали основным полем электростатическое, а здесь основным полем считаем поле гравитационное. Докажем, что полученные решения удовлетворяют уравнениям структуры для жестких по Борну и безвихревых "движений". Уравнение совместности при равновесии закрепленных зарядов вне заряженного шара и при пренебрежении плотностью пробных зарядов имеет вид

Л"=аРщУ„ ,а = Дг. (3.5)

mc

VvA"=aVvF^ + aFV=-A"A -a— j%.

(3.6)

Для внешнего решения воспользуемся уравнением (3.6) с учетом, что = срУ^ = 0 , где пренебрегли плотностью заряда р вне сферы

■■- A" A.

(3.7)

Rq =

,(v" (v ')2 V ' (V ' )2 1 1 / ,v 2 4 r 4 , 4

42 eV.

После подстановки u = e

xp (v)

у

получаем уравнение

uu" + — — i(u')2 = 0. r 2

Сделав замену U = Z , уравнение сведется к линейному

2

" , ' Л

2 + — 2 = 0.

(3.8)

(3.9)

(3.10)

В результате получим

eV =

\2

■ + сп

V >

где постоянная с2 = 1 из требования обнуления поля на бесконечности, а С = Qq / (тс ) из сравнения с (3.4). Итак, мы показали, что уравнение структуры совместно с уравнением равновесия. Окончательные выражения для метрических коэффициентов имеют вид

/

exp(v) =

1-

Qq

шс2Г

\2

= exp(—Л). (3.12)

В случае формальной замены Qq ^ —ОтМ и разложения в ряд с сохранением первого порядка

(3.11)

малости получим метрику Шварцшильда. Для одноименных зарядов в (3.12) сохраняется знак минус, а для разноименных - плюс.

Рассмотрим точное решение Райснера-Норд-стрема. Оно представляет поле вне заряженного шара массы M и заряда Q. Уравнение Эйнштейна

при следе тензора натяжений Максвелла = 0

сведется к виду

^=*ТМУ, Т = т:= 0. (3.13)

Метрика в сферически симметричном случае имеет вид

dS2 =

1 — i + GQ

2

r с4 r2

(dx0)2 — r z(d6z + sin2 вdф¿) —

dr2

2

1—1+GQ

4 2

r с r

(3.14)

Здесь гравитационный радиус Т = 2ОМ / С2.

Следует отметить, что (3.12) совпадает с точным решением уравнения Эйнштейна Райснера-Нордстрема, если имеют место равенства

2 2

q=4G, Q=4о.

m M

(3.15)

Первое из этих равенств говорит, что для пробных частиц кулоновские силы отталкивания в точности равны ньютоновским силам притяжения. Поэтому с достаточной точностью эти частицы можно считать невзаимодействующими. А массы пробных частиц, если в качестве пробного заряда выбрать элементарный заряд, совпадают с массами стабильных элементарных черных дыр "максимонов" [15]. Второе равенство означает, что элементарные заряды, составляющие Q и M источника, также не взаимодействуют друг с другом. Естественно, что такое деление весьма условно. В ОТО связи между зарядами и массами не существует. Для инварианта

К^у = ^0 в лагранжевой сопутствующей СО получим из (3.6)

R0

0

Qlq

a2 8^G E

2

2 4 4

m с r

4

4

. . (3.16)

с с ш

Здесь E - напряженность поля заряженной

сферы, а - плотность энергии электриче-

ского поля вне сферы. В уравнении Эйнштейна в пустоте для заряженной сферы компонента

тензора Риччи соответствует Т 0 тензора энергии импульса электрического поля, умноженного на величину

8жО / с4 = X . Возникает вопрос, а что такое система отсчета в пустоте? В согласии с работой Г. Денена [16] "...эйнштеновской формулировке теории тяготения присущ тот основной недостаток, что она абсолютно умалчивает о физической системе отсчета, относительно которой должны производиться измерения." Мы полностью согласны с этой цитатой.

Если рассматривать Q=0, то из (3.14) следует точное решение уравнения Эйнштейна в пустоте, задаваемое метрикой Шварцшильда. Но в пустоте отсутствует система отчета, так как нет тела отсчета в согласии с определением [1] "системы отсчета (СО) - это совокупности системы координат и

r

часов, связанных с телом, по отношению к которому изучается движение (или равновесие) каких-либо других материальных точек или тел".

Правда в ОТО придумано еще одно определение системы отсчета для переменного гравитационного поля. "При наличии переменного гравитационного поля ...для точного определения положения частицы в пространстве необходимо, строго говоря, иметь совокупность бесконечного числа тел, заполняющих все пространство, наподобие некоторой "среды". Такая система тел вместе со связанными из них произвольным образом идущими часами и является системой отсчета в общей теории относительности [6]". Мы здесь имеем дело со статическими полями. Вне гравитирующей сферы в поле Шварцшильда частиц вне сферы по определению нет. Однако при переходе от метрики Шварцшильда к метрике Леметра неожиданно появляются частицы среды, которых не было, с помощью мифического преобразования координат [6]. На основе движения несуществующих частиц рассматривается гравитационный коллапс сферического тела.

Аналогичная ситуация наблюдается при рассмотрении решения Райснера-Нордстрема (3.14).

A(1) = e»(1)A ^/gjA1

Этот результат для больших расстояний противоречит закону убывания электрического поля заряженной безмассовой сферы, так как поле убывает пропорционально 1/ Г . Более того, величина (3.17) отрицательна, что нелепо. Внутреннее решение рассмотрено в [14], однако нуждается в дополнительном исследовании. Это исследование более подробно описано в [17], но по объему подходит для отдельной статьи.

4. Релятивистский жесткий равномерно вращающийся диск

При рассмотрении вращающегося диска обычно выбирают неподвижную систему отсчета, в которой вводят цилиндрические координаты г0, р0, г0, и переходят к вращающейся системе отсчета г, р, г, £ согласно формулам:

г0 = г,р0 = р +

г0 =г,г0 = г, (4.0) где угловая скорость вращения П относительно оси г считается постоянной. Элемент интервала имеет вид

dS2

= (l- c2dt2 - 2D.r2d(pdt - dz2 -r2dcp2-dr2. (4.1)

Формула справедлива, если гП/с <1. В работах [18-20] обсуждаются другие распределения скоростей, которые ограничивают линейную скорость вращения диска при г ^ <х величиной скорости света с, а при — << 1 дают v = Пг. Однако критерию жесткости, как классическому, так и релятивистскому (в смысле Борна), удовлетворяет только обычный закон распределения v = Пг, П = const.

Источником в этом решении является плотность энергии электростатического поля (3.14). Тело отсчета вне заряженной массивной сферы заменено на плотность энергии. Таким образом, вне заряженной массивной сферы нет статической системы отсчета. Поэтому решение (3.14) с нашей точки зрения лишено физического смысла. Если построить вне сферы систему отсчета в согласии с (3.15), где силы ньютоновского притяжения между пробными частицами уравновешиваются силами кулонов-ского отталкивания, то метрика (3.14) переходит в (3.12). Тетрадная радиальная компонента 4-силы

= шс2л(1) = Qq / г2 , направленная от центра, в точности совпадает по величине с ньютоновской силой притяжения ^ ) = СМш / Г . Это и

определяет статическую систему отсчета. Здесь электрическое поле сферы играет роль подпорки, которая уравновешивает гравитационное поле.

Считая в (3. 14), что энергия заряженной сферы

много больше ее массы покоя Q¿ / г >> 2Мс , т.е. считая сферу безмассовой, находим из (3.3)

1 dv , GQ

2 drexp(v/2) = -^

2 (

1 +

V

GQ

c 4r2

2

-1/2

(3.17)

У

Найдем метрику жесткой релятивистской равномерно вращающейся НСО с помощью нашего метода, полагая в уравнении структуры (1.7) тензор скоростей деформаций = 0 и требуя постоянства инварианта, характеризующего релятивистское обобщение квадрата угловой скорости вращения диска ш

У 2

П^П^ = ^ = const. (4.2)

В лагранжевой сопутствующей системе отсчета, связанной с вращающимся диском, имеем

dS2 = D(r)c2dt2 - 2P(r)cdtdp - dz2 -r2dp2-dr2, (4.3)

A1 =——,A2 =A3 =A0 = 0. (4.4)

2D dr V '

После опускания громоздких вычислений компонент тензора Римана, проделанных в [17], имеем два независимых уравнения

i

' ' (4.5)

-—-— = -2-(Dr2+P2)2,

D d r d r d D

— = —2 —ОРфг2 + Р2)-1/2. (4.6)

dr с

Условие (4.2) эквивалентно постоянству величины хронометрически инвариантного вектора угловой скорости и постоянству величины угловой скорости в сопутствующих тетрадах [20].

Величины релятивистской ш и классической угловой скорости П связаны соотношением

~ (л a2r2\-1 Ш=П\}-—) .

(4.7)

Для метрики (4.3) существует стационарное решение, применимое для всей области 0 < г < <х, но реализуемое в римановом пространстве-времени.

Решения системы (4.5), (4.6) в квадратурах получить не удалось. Численный анализ показал, что

при шг/с = 1 метрика (4.3) совпадает с метрикой (4.1). Центростремительное ускорение во вращающейся НСО определяется формулой

а = с2А1 = -^^, (4.8)

которая при малых г переходит в классическую, а при г ^ <х дает а = —шс. После упрощений система (4.5, 4.6) представляется в форме

— + -(1 — У2) = (2 — У2)(1 — У2), (4.9)

йх X

Б = ехр(—2 / уйх),у = -;==, и = = —.

V1+и2

(4.10)

Физический смысл функции р(х) означает безразмерную линейную скорость диска. Для малых скоростей

Б = ехр(—2 / уйх) = ехр(—х2) = 1 — х2, (4.11) что эквивалентно классическому выражению. Из анализа (4.9) следует, что для х ^ <х уравнение имеет решение V = 1. Это решение резко отличается от классического жесткого диска, где поле скоростей на бесконечности неограниченно велико. График численного решения (4.9) по виду напоминает график гиперболического тангенса или деформированной ступенчатой функции для х> 0.

Существует мнение [6], что на вращающемся диске часы не могут быть однозначно синхронизированы во всех точках. Поэтому, производя синхронизацию вдоль замкнутого контура и возвращаясь в исходную точку, мы получим время в нерелятивистском приближении, отличающееся от первоначального на величину

At = — 1 f

g 02

с g 00

dp =

Qr 22n

с

(1—p2)

. (4.12)

На наш взгляд, это мнение ошибочно. Контур в "физическом" пространстве не замкнут. Разобьем вращающийся тонкий диск на концентрические тонкие обручи и рассмотрим частицы на одном из них. Мировые линии частиц этого обруча в пространстве Минковского (что справедливо для малых скоростей) образуют конгруэнцию винтовых линий на цилиндре радиуса г и осью 1, а "физическим" пространством будет конгруэнция пространственно подобных винтовых линий, ортогональных конгруэнции мировых линий частиц обруча. Эта конгруэнция находится из уравнения Пфаффа

.0 , м / \ Пт2р

V0dx + V/% = 0, t {r,p) =

(1—p2)

с2 (1 —

.(4.13)

Пусть при законе движения (3.0)

для которого получается квадрат элемента интервала (4.1), эйлерова координата р0 совпадает с начальной лагранжевой р. Это соответствует 1=0.

Из эйлеровой точки (т ,(0) в момент 1=0 начинается

и мировая линия некоторой частицы обруча, которая на поверхности цилиндра расположена выше пространственно подобной линии "физического" пространства (Рис.1).

Рис. 1. Геометрия пространства-времени вращающегося обруча в плоскости 2=0.

Через угол 2 7Г в сопутствующей обручу системе лагранжева точка р "физическом" пространстве совпадет с мировой линией частицы обруча с номером р. Из (4.13) имеем

/ „ \ Ог22п

= . (414)

F?) ■

Временной зазор ^(т, (р) соответствует временному расстоянию вдоль образующей цилиндра от плоскости 1=0 до "физической" пространственно

подобной линии t(т, рр) (Рис. 1). Итак, несмотря на совпадение формул (4.14) и (4.12), они имеют совершенно разный физический смысл.

2

Рассмотрим распространение световых лучей по отношению источнику в ИСО. Источник расположен в начале эйлеровых и лагранжевых координат. Световые импульсы испущены навстречу друг другу по окружности, совпадающей с одной из окружностей вращающего диска. Скорость света в ИСО постоянна. Но так как диск вращается, то "догоняющий" импульс в "физическом пространстве" затрачивает больше времени до встречи с лагран-

жевой точкой на величину Аг = г (г,2ж)

. Импульс, распространяющийся навстречу линейной скорости вращающего диска, затрачивает меньше времени на эту же величину. По мировому времени разность времен достижения лагранжевой точки 2 ж равна

Д/„ = 2 Д =

4Qr т

4SQ 4Sa

(4.15)

где мы заменили классическую угловую скорость q на релятивистскую ( из (3.7), а S - площадь диска. Из (3.15) вытекает выражение, полученное из опыта Саньяка. Рассмотрим релятивист-кий обруч. Используя (3.10), имеем

At = 2At = -2 Г ^= (fvdA (4.16)

cJo g00 c VT-7 м ;

В нерелятивистском приближении для малых скоростей диска v=x и формула переходит в (4.15).

Вместо цилиндра будем рассматривать тонкий вращающийся обруч как элемент цилиндра. Рис. 1 показывает, что если расставить вдоль обруча абсолютно одинаковые часы и в начальный момент времени выставить на всех часах время t = tj, то на любой гиперплоскости t=const длины мировых линий всех часов будут одинаковы, что означает что все часы на обруче ходят синхронно. Так и должно быть из физических соображений, так как часы на одинаковых расстояниях от центра обруча находятся в абсолютно одинаковых условиях. И утверждение [6], что на вращающемся обруче часы не могут быть синхронизированы во всех точках обруча, является некорректным.

Разберемся с еще одним парадоксом СТО, предложенным Эренфестом [21].

"Эренфест рассматривал не абсолютно твердый цилиндр с радиусом r и высотой Н, который постепенно приводился во вращение вокруг своей оси, а потом вращался с постоянной скоростью. Пусть r' - радиус, который будет иметь этот цилиндр с точки зрения неподвижного наблюдателя. Тогда с точки зрения Эренфеста величина r' должна была удовлетворять двум требованиям, которые противоречили друг другу:

а) длина окружности вращающегося цилиндра по сравнению с состоянием покоя должна была сократиться:

2 лг' < 2лг, так как каждый элемент такой окружности двигался в направлении касательной с мгновенной скоростью Qr';

б) мгновенная скорость какого-то элемента радиуса была перпендикулярна его направлению. Это означало, что что элементы радиуса не подвергались никакому сокращению по сравнению с состоянием покоя. (Удлинение радиуса за счет центробежных сил инерции не учитывалось).

Отсюда следовало, что

г'=г."

Разберемся с парадоксом.

Обычно для вращающегося цилиндра выбирают неподвижную систему отсчета, в которой вводят цилиндрические эйлеровы координаты г0 ,ф0,г0, = Ь и переходят к вращающейся ла-гранжевой сопутствующей системе стандартным образом, используя время ИСО 1 и лагранжевы координаты Г, <р, г, £.

Сначала будем рассматривать движение цилиндра с постоянным угловым ускорением £ до

момента г

Q(t)=£t, )=ф + —, t < tx,

Q(tj ):

2

tj) = Q = const. (4.17a) Выбираем (4.0) в качестве закона движения после ускорения, когда угловая скорость q стала постоянной.

Формулы преобразования (4.0) дают:

г0 = г, ф0 = ф + D.t, z0 = z,t1 < t. (4.17) Рассмотрим разность в (4.17a) и (4.17) (Ро2 - Poi)r = (Ф2 - Pi)r = Al = const. (4.18) Это означает, что в переменных Эйлера (в ИСО) длина произвольной дуги вращающегося цилиндра равна длине дуги в переменных Лагранжа (в НСО) и в начальный момент времени. Если вместо дуги выбрать длину окружности, то результат не

изменится и будет равен 2т . Вместо величины Qt можно выбрать произвольную функцию f(t), производная от которой в начальный момент времени нулевая, то получим тот же результат. Равенство нулю производной df/dt в начальный момент времени означает, что диск в начальный момент времени покоился. Этому условию удовлетворяет (4.17a). Итак, ускорение при разгоне не влияет на длину окружности и в сопутствующей НСО, и в исходной ИСО. Никаких лоренцевых сокращений не происходит. Первоначальная длина окружности покоящегося в ИСО цилиндра равна длине окружности вращающегося в этой системе цилиндра. (Мы не учитываем, что при разгоне цилиндра происходит увеличение радиуса в НСО за счет центробежной силы инерции).

Таким же свойством обладает решение Логунова [5]. Из этих решений следует, что в плоскостях t = const, Т = const расстояния между мировыми линиями остаются постоянными как в ИСО, так и в НСО, и никаких лоренцевых сокращений не происходит. Релятивистские решения Логунова отображают классически жесткие движения заряженной пыли в однородном электростатическом поле при нулевой начальной скорости. Однако

эти движение пыли не удовлетворяют релятивист-кому критерию жесткости по Борну. Можно проверить, что закон движения (4.17) удовлетворяет как критерию жесткости по Борну, так и критерию классической жесткости. Для этого достаточно вычислить релятивистский тензор скоростей деформаций ^^ у (1.3) и классический тензор деформаций и убедиться, что оба из этих тензоров равны нулю (диссертация [22]). Недостаток закона движения (4.17) - это наличие горизонта, которого нет в предлагаемой здесь релятивистской равномерно вращающейся НСО.

Определим "физическое пространство" в пространстве Минковского для произвольно движущегося тела в переменных Эйлера. "Физическое пространство" с заданным полем 4-скорости Уи должно принадлежать гиперповерхности, ортогональной мировым линиям. Метрический тензор гиперповерхности в переменных Эйлера имеет вид

Уиу=~8иу+ КК . (4.19)

L =

1 -

Q2r2

сплошной среды в произвольном силовом поле в пространстве Минковского определяется уравнениями

Г

(4.20)

k

где Хи - эйлеровы координаты, а у - лагран-жевы координаты, постоянные вдоль каждой фиксированной мировой линии, (1/ С^ - некоторый временной параметр, например, собственное время. Так как в сопутствующей НСО справедливы очевидные соотношения

К = 0, у ° =_Ц у ,

№

Vk = V,^ = gkav а= gk 0Vu =

о _ Sk о

goo (4.21)

то элемент пространственного интервала в ла-гранжевой сопутствующей НСО имеет вид

Здесь уиV - проекционный оператор, ортогональный 4-скорости У и. Пусть закон движения

= укЛка,у" =

Sn О S ko

V

S

S nk

oo

dyndyk .

(4.22)

Элемент интервала (4.22) совпадает с хорошо известным соотношением [5], полученным с помощью радарного метода. Из (4.1), (4.22) находим на вращающемся диске, что длина окружности

2т

{(р = % = r, t = tx)

до точки пересечения этой

линии с той же самой мировой линией обруча

(4.23)

= о, r, t (r, ( = 2n) =

_Qr 22ж

c d -

FT2),

. (4.24)

Выясним физический смысл формулы (4.23). Рассмотрим эйлерову систему координат и покоящийся обруч. На Рис.1 не отображено равноускоренное движение обруча (4.17а), а дается закон движения (4.17). Мировые линии частиц покоящегося обруча есть совокупность образующих пространственно временного цилиндра радиуса г, а конгруэнция пространственно подобных линий, ортогональных мировым линиям частиц обруча, есть совокупность окружностей, параллельных окружности обруча. Кривая МЫОБ является частью винтовой мировой линии частицы, находящейся в момент (=0 в точке М. В этой же точке берет начало и одна из пространственно подобных кривых, ортогональных мировым линиям частиц обруча. Точка Б является точкой пересечения кривых винтовых МБ и МЫОБ.

Из Рис. 1 видно, что длина "физической" пространственно подобной линии МЫОБ, ортогональной мировым линиям точек обруча, равна длине винтовой линии от точки пересечения

Найдем длину винтовой "физической" пространственно подобной линии, начинающейся в точке М и заканчивающейся в точке Б. Точки Б и М принадлежат мировой винтовой линии одной и той же частицы обруча, вдоль которой лагранжев номер частицы р = 0 сохраняется. С точки зрения

лагранжева наблюдателя за время (4.24) пространственно подобная "физическая" линия снова пересечется с мировой линией частицы обруча через

2т . Ранее эти линии пересекались в точке М. Отметим, что "физические" линии всегда ортогональны мировым линиям точек обруча. Поэтому прямой угол в евклидовом пространстве в псевдоевклидовом искажен. Рассмотрим бесконечно малый криволинейный треугольник ЕБС. Угол при вершине С соответствует прямому. БЕ - гипотенуза отрицательной длины, так как эта линия пространственно подобная. СЕ=йЬ1 также имеет отрицательную длину, а БС=ёЬ2 элемент мировой линии некоторой точки обруча и времени подобен с положительной длиной. Теорема Пифагора для псевдоевклидова пространства дает

(DC) - (CE)2 = -(DE)2, dL2 = dl2 + dl

2

c

или

dL\ = r2 dp2 + (l -p2 )c2dt2

Интегрируя (4.25), получаем

r 2dy2

2. (4.25)

При выводе мы воспользовались (4.13) из уравнения Пфаффа. Учли, что на кривой ЕБ в согласии с (4.18)

1 -Р

ED ^ (rd% = rdp + rQdt = rdp) dt=0. 2nr

Li =■

2 „2

1 -

Q2r

(4.26)

(4.27)

Для случая релятивистского обруча из (4.3), (4.9), (4.10) имеем

г 2с1ф2

dL\ = r Чф1 + Dc2dt2

Li

2жг

V

2ж

Q2r

2„2

2,2

1 -

Q2 r

■■2ж

1 - v 2

■ 2лт,

r 2dp2

1 +

P

2 Л

r2 D

(4.28)

Результат для нерелятивистского обруча совпал с известным [5]. Следует отметить тождественность формул (4.23) и (4.27). Выражение (4.23) вычислялась в НСО обруча, а (4.27) - в ИСО. Это решает парадокс Эренфеста. Как для "физических" длин, так и обычных длин на пересечении гиперповерхности (=свт1 с поверхностью пространственно-временного цилиндра (4.18) никаких ло-ренцевых сокращений нет. Лоренцево сокращение появляется, когда от "физических" инвариантных длин линий, ортогональных мировым линиям точек обруча, переходят к нефизическим длинам линий. Длины "физических" и нефизических линий связаны соотношением

(4.30)

Именно на такое лоренцево сокращение длин указывал Эренфест. Однако такие лоренцевы сокращения не вызывают деформаций и напряжений в телах. К напряжениям приводят только изменения инвариантных "физических" длин [22], [23]. В заключение раздела отметим, что с нашей точки зрения стандартный переход от ИСО ко вращающейся НСО (4.0), (4.1) является смесью нерелятивистского и релятивистского подхода и нуждается в уточнении. Это и показано в настоящем разделе.

Заключение

При описании протяженных тел в СТО возникают известные трудности, на что указывал автор [11]. Причина этого лежит в смешивании понятий системы координат и системы отсчета. Начиная с работ Эйнштейна, переход от инерциальной системы отсчета к неинерциальной связывают с преобразованием координат, содержащих время нелинейным образом (Фок) [7]. По этой причине в СТО в настоящий момент не существует общепринятого определения простейшей жесткой равноускорен-

/

1 +

P

2 Л

r2 D

. (4.29)

V ' ^ У

ной системы отсчета. Фок принимает за такую систему НСО Меллера [3]. Однако она не является глобально равноускоренной. Каждая из частиц среды движется с постоянным ускорением, но ускорения различных частиц не равны друг другу. В альтернативной равноускоренной НСО Логунова все частицы имеют одинаковое ускорение, но для нее не выполняется релятивистский критерий жесткости по Борну. С точки зрения стартовой ИСО отсутствует лоренцево сокращение между соседними, движущимися друг за другом частицами. Система Логунова является классически жесткой. Каким же образом электростатика, описывающая движение заряженной пыли без начальной скорости, приводит к нарушению релятивистской жесткости - загадка и трудность СТО.

В работе доказана теорема, что в пространстве Минковского невозможно поступательное глобально равноускоренное и жесткое по Борну движение сплошной среды. Метрика НСО, сопутствующей такой среде, имеет ненулевую кривизну. Это означает, что, вопреки распространенному мнению, поле инерции может искривить пространство-время в НСО сопутствующей материи.

Найденная нами метрика жесткой по Борну глобально равноускоренной сплошной среды реализуется в римановом пространстве-времени. Метрика объединяет свойства метрики Меллера (жесткость по Борну) и свойства метрики Логунова (глобальная равноускоренность). Следует отметить, что собственное время, которое получал Эйнштейн [23] в работе 1907 года и которое называл точным, получается из метрики (2.18)

С 1Л аоУ

Т = exp

v

c

2

Т

J

где Т - собственное время для данной точки

пространства, Т - мировое время для фиксированной лагранжевой частицы. Но Эйнштейн по неизвестным причинам отказался от точного выраже-

2

c

2

c

1

2

c

ния в пользу приближенного (по Меллеру). Выведенные в работе уравнения структуры накладывают определенные ограничения, связанные с интегрируемостью уравнений движения в СТО и ОТО. В работе показано, что уравнения Эйнштейна для одномерного стационарного случая не совместимы с уравнениями структуры как с космологической

постоянной Л, так и без нее. Если уравнения структуры являются точными, то уравнения Эйнштейна таковыми не являются. Поэтому равенство тензора Эйнштейна тензору энергии - импульса для случая сплошной среды не является законным для данного случая. Для уравнения Эйнштейна и в вакууме не существует решения, аналогичного решению для равномерно заряженной бесконечной плоскости в электродинамике СТО. Таким решением является метрика (2.18), удовлетворяющая уравнению структуры, но несовместимая с уравнением Эйнштейна. Найдена метрика, которая удовлетворяет решениям уравнений Эйнштейна-Максвелла и уравнениям совместности для одномерного случая. Получена релятивистская жесткая по Борну равномерно вращающаяся НСО без ограничения на величину радиуса и имеющая на бесконечности линейную скорость, равную скорости света и конечное ускорение, но реализуемая в римановом пространстве-времени. Получили новое объяснение эффекты Саньяка и Эренфеста. Решен вопрос о синхронизации часов на вращающемся диске вопреки утверждению [6], что "на вращающемся теле часы не могут быть однозначно синхронизированы во всех точках". Мы считаем вывод [6] ошибочным. В формуле (3.12) контур в "физическом" пространстве не замкнут. Разбивая вращающийся тонкий диск на концентрические тонкие обручи и рассматривая частицы на одном из них, убеждаемся в этом. Мировые линии частиц этого обруча в пространстве Минковского образуют конгруэнцию винтовых линий на цилиндре радиуса г и осью /, а "физическим" пространством будет конгруэнция пространственно подобных винтовых линий, ортогональных конгруэнции мировых линий частиц обруча. Эта конгруэнция находится из уравнения Пфаффа. Каждая из пространственно подобных линий не замкнута и формула (3.12) неприменима.

Временной зазор (Р) из (3.13) соответствует временному расстоянию вдоль образующей цилиндра от плоскости (=0 до "физической" пространственно подобной линии t(r, (Р) (Рис.1). Несмотря на совпадение формул (3.14) и (3.12), они имеют разный физический смысл. Рис.1 показывает, что если расставить вдоль обруча абсолютно одинаковые часы и в начальный момент времени

выставить на всех часах время t = ^, то на любой гиперплоскости /=свт1 длины мировых линий всех часов будут одинаковы, что означает что все часы на обруче ходят синхронно. Так и должно быть из физических соображений, так как часы на одинаковых расстояниях от центра обруча находятся в абсолютно одинаковых условиях.

Уравнения структуры (1.7) напоминает уравнение Райчаудури (Raychauduri) [24] и они связаны непосредственно с ОТО. Однако уравнения Райчаудури уравнениям структуры не эквивалентны, а можно ли на их основе повторить наши результаты по НСО это вопрос чисто технический и практического значения не имеет.

Литература

1. Большая физическая энциклопедия. Под редакцией А. М. Прохорова, в 5 томах. Т. 4. - М.: Большая Российская энциклопедия, 1995. - 535 с.

2. Подосенов С. А. Геометрические свойства неинерциальных систем отсчета в релятивистской механике. В кн.: Дискусионные вопросы теории относительности и гравитации. Под ред. В. И. Роди-чева и Н. В. Мицкевича. - М.: Наука, 1982. С. 95 -103.

3. Меллер К. Теория относительности. - М.: Атомиздат, 1975. - 400 с.

4. Rindler W. Relativity. Special, general and cos-mological. Second Edition. Oxford, University press, New York, 2006. P. 188-191.

5. Логунов А. А. Лекции по теории относительности и гравитации. Современный анализ проблемы. - М.: Наука, 1987.

6. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. -М.: Наука, 1988. - 512 с.

7. Фок В. А. Теория пространства-времени и тяготения. - М.: Физматгиз, 1961. - 564 с.

8. Подосенов С. А., Потапов А. А., Фоукзон Дж., Менькова Е. Р. Неголономные, фрактальные и связанные структуры в релятивистских сплошных средах, электродинамике, квантовой механике и космологии. В 3-х томах. Книга 2. Силовые поля в связанных и неголономных структурах. - М.: ЛЕНАНД, 2016. - 440 с.

9. Podosenov S. A., Foukzon J., Menkova E. R. Structure Equations, Permitted Movement of Relativ-istic Continuum and Sagnac's, Erenfest's and Bell's Paradoxes // Physical Science International Journal. 2017. Vol. 13. № 2. P. 1-18.

10. Bell J. S. Speakable and Unspeakable in Quantum Mechanics. Cambridge University Press, 1993. P. 67.

11. Мак-Витти Г. К. Общая теория относительности и космология. - М.: Издательство иностранной литературы, 1961. - 283 с.

12. Владимиров Ю. С. Системы отсчета в теории гравитации. - М.: Энергоиздат, 1982. - 256 с.

13. Podosenov S. A. Space-time structure and bound-charge fields // Russian Physics Journal. 1997. Vol. 40. № 10. P. 985-994. New York: Springer. ISSN 1064-8887 (Print) 1573-9228 (Online).

14. Podosenov S. A., Potapov A. A., Foukzon J. Electrodynamics of a Continuous Medium in a System with Specified Structure // Physics of Wave Phenomena. 2012. Vol. 20. № 2. P. 143-157.

15. Марков М. А. Макро-микросимметриче-ская вселенная. В кн.: Теоретико--групповые методы в физике. Т. 1. - М.: Наука, 1986. С. 7-41.

16. Денен Г. О динамике в общей теории относительности. В кн.: Эйнштейновский сборник 1969 - 1970. - М.: Наука, 1970. С. 140.

17. Подосенов С. А. Пространство, время и классические поля связанных структур. - М.: " Спутник+", 2000. - 445 с.

18. Hill E. L. A Note on the Relativistic Problem of Uniform Rotation // Phys. Rev. 1946. Vol. 69. № 9. P. 488-491.

19. Rosen N. Notes on Rotation and Rigid Bodies in Relativity Theory // Phys. Rev. 1947. Vol. 71. № 1. P. 54-58.

20. Подосенов С. А. Тетрадное рассмотрение вращательного и колебательного движения в специальной теории относительности // Известия вузов. Серия физика, 1970. Т. 11. С. 74-80.

21. Erenfest P. Gleichförmige Rotation starrer Korper und Relativitätstheorie [Uniform Rotation of Rigid Bodies and the Theory of Relativity] // Physikalische Zeitschrift. 1909. Vol. 10. P. 918.

22. Подосенов С. А. Релятивистская механика деформируемой среды в тетрадной формулировке: дис. ... канд. физ.-матем. наук / Ун-т дружбы народов. Москва, 1972.

23. Эйнштейн А. О принципе относительности и его последствиях. Сборник научных трудов. Т. 1. [Пер. с нем.] - М.: Наука, 1965.

24. Kramer D., Stephani H. Maccallum M., Herlt E. Exact Solutions of the Einstein's Field Equations. Ed. E. Schmutzer. Berlin, Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1980.

ПАРАДОКС ЯДЕРНЫХ СИЛ И УПРАВЛЯЕМОГО ТЕРМОЯДЕРНОГО СИНТЕЗА

Рысин А.В.

Рысин О.В.

АНО «НТИЦ «Техком» г.Москва, радиоинженеры

Бойкачев В.Н.

АНО «НТИЦ «Техком» г.Москва, директор кандидат технических наук Никифоров И.К.

Чувашский государственный университет, г. Чебоксары, кандидат технических наук, доцент

THE PARADOX OF NUCLEAR FORCES AND CONTROLLED THERMONUCLEAR FUSION

Rysin A. V.

Rysin O.V.

ANO "STRC" Technical Committee "Moscow, radio engineers

Boykachev V.N.

ANO "STRC" Technical Committee "Moscow, director, candidate of technical sciences Nikiforov I.K.

Chuvash State University, Cheboksary, candidate of technical sciences, associate professor

АННОТАЦИЯ

В очередной статье мы продолжаем рассматривать принципы формирования объектов мироздания на основе выведенной нами логики отсутствия чудес и замкнутости мироздания. Здесь предлагается вывод взаимодействия элементов (объектов) от простого к сложному на основе первоначальных объектов - мю-онных и электронных нейтрино и антинейтрино. На основе этого показываем парадокс управляемого термоядерного синтеза, при котором хотят получать больше энергии при меньших затратах.

ABSTRACT

In the next article, we continue studying the principles of formation of objects of the universe based on logic derived by us for the lack of wonders and isolation of the universe. Here is the output of interaction of elements (objects) from simple to complex based on the initial objects of muon and electron neutrinos and antineutrinos. On the basis of this show is the paradox of operated thermonuclear synthesis in which want to get more energy at a lower cost.

Ключевые слова: ядерные силы, пионы, виртуальные частицы, нуклоны, константы электрической и магнитной проницаемости, управляемый термоядерный синтез.

Keywords: nuclear forces, peonies, virtual particles, nucleons, constants of electric and of magnetic permeability, of controlled thermonuclear fusion.

Непонимание физики взаимодействия между пространственно-временное искривление, что от-гравитационными силами, выраженными через