Метрически проективные квантовые нормированные пространства, преддвойственные к алгебрам фон Неймана Текст научной статьи по специальности «Математика»

13. Gear C.W. Numerical initial value problems in ordinary differential equations. Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1971.

14. Арушанян О.Б., Залёткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на Фортране. М.: Изд-во МГУ, 1990.

Поступила в редакцию 25.12.2013

УДК 517.986.22

МЕТРИЧЕСКИ ПРОЕКТИВНЫЕ КВАНТОВЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА, ПРЕДДВОЙСТВЕННЫЕ К АЛГЕБРАМ ФОН НЕЙМАНА

С. М. Штейнер1

В статье приводится полное описание метрически проективных квантовых нормированных пространств, преддвойственных к алгебрам фон Неймана.

Ключевые слова: квантовое нормированное пространство, метрическая проективность, преддвойственное пространство алгебры фон Неймана.

Metrically projective quantum von Neumann algebra preduals are characterized. Key words: quantum normed space, metric projectivity, von Neumann algebra predual.

Экстремально проективные банаховы пространства описаны А. Гротендиком [1], который показал, что с точностью до изометрического изоморфизма они совпадают с li(Л), где Л — произвольное индексное множество. Понятие метрически проективного пространства введено А. Я. Хелемским [2, определение

1.4]. В случае банаховых пространств метрическая проективность совпадает с экстремальной [2, предложение 3.2]. Метрически проективные нормированные пространства — это с точностью до изометрического изоморфизма пространства вида l0 (Л) (нормированное подпространство li (Л), состоящее из финитных последовательностей) [2, теорема 3.4], в то же время полное описание экстремально проективных нормированных пространств неизвестно.

Экстремально проективные квантовые банаховы пространства (см. [3, определение 3.3]), преддвой-ственные к алгебрам фон Неймана с естественным квантованием, описаны Д. Блечером и представляют

li

ных пространств ядерных операторов с естественным квантованием дуального квантового пространства [3, следствие 3.14]. Условимся li-сумму семейства квантовых пространств Xa обозначать через (J)i Xa. Аналогично 10-cvmmv квантовых пространств Xa, представляющую собой квантовое подпространство е i Xa, состоящее го всех финитных последовательностей векторов ха Е Xa, будем обозначать 0i Xa. Заметим, что требование преддвойственности к алгебре фон Неймана в классическом случае (как нормированном, так и банаховом) выполнено автоматически в силу отождествлений ^(Л)* = li (Л)* = 1^(Л) (более того, оно выполнено для всех метрически плоских пространств).

Возникает естественный вопрос об описании преддвойственных к алгебрам фон Неймана метрически проективных квантовых нормированных пространств (см. [2, определение 5.1]) в духе результата Хелем-ского в классическом случае. Оказывается, справедлива

Теорема. Метрически проективные квантовые нормированные пространства, преддвойственные к алгебрам фон Неймана, — это с точностью до полного изометрического изоморфизма квантовая

l0-cyMMa конечномерных пространств ядерных операторов (с ест,ест,венным, квантованием, дуального

)

Доказательство. Рассмотрим произвольное метрически проективное квантовое нормированное пространство Е, преддвойственное к некоторой алгебре фон Неймана Л. Легко проверить, что его пополнение Е является метрически проективным квантовым банаховым пространством (см. [2, предложение

1.5]). Метрически проективные квантовые банаховы пространства — это ретракты метрически свободных квантовых банаховых пространств [2, следствие 5.10], тогда как экстремально проективные квантовые банаховы пространства — это почти ретракты метрически свободных квантовых банаховых пространств [3, теорема 3.10]. Ясно, что всякий ретракт метрически свободного квантового банахова пространства является его почти ретрактом. Поэтому пополнение E является экстремально проективным квантовым

1 Штейнер Сергей Михайлович — асп. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: shteynersergQyandex .ru.

банаховым пространством, преддвойственным к той же алгебре фон Неймана Л. Но это значит, что Е представляет собой некоторую квантовую ¿1-сумму семейства конечномерных пространств ядерных операторов; обозначим ее Ф1 {Ау : к Е K}, где K — некоторое множество. Покажем, что E есть не что иное, как квантовая ¿i-сумма этого же семейства пространств.

Фиксируем множество K', ретракцию а : 05 {Ау : к' Е K'} — E, действующую из квантовой ¿°-суммы конечномерных пространств ядерных операторов Ау, и правую обратную к ней, вполне (а значит, и классически) изометрическую коретракцию р : E — {Ау : к' Е K'}, существующие в силу свободо-любивости оснащенной категории для метрически проективных квантовых нормированных пространств и общего вида метрически свободных квантовых нормированных пространств [2, следствие 5.9]. Рассмотрим соответствующие продолжения по непрерывности а : 0 1{Ау : к' Е K'} — ф i {Ау : к Е K} и Р : 0i(A/fc : к Е К} —> 01{Л/у : к1 Е К'}. Рассмотрим также для произвольного ко Е К любой вектор е £ Ау единичной нормы. Ясно, что р(е) представляет собой выпуклую линейную комбинацию !>2{Хк'e'y : к Е K',e'k' Е Ау}, причем \\e'k' || = 1. к'

Пусть индекс к'0 Е К' таков, что Ау ф 0. Покажем, что ) принадлежит Ако. Ясно, что ^ Л у = 1,

0 0 к'

( V1 -

поэтому р(е) является выпуклой комбинацией е'у иг= ^ Ху ^ Хуе'к,, а е = (тр(е) соответствен-

0 \к'фУ0 ) к'^к'0

но выпуклой комбинацией &{е'у ) и (T(z). Далее, в силу специфики нормы &{е'у ) = а\Х\ + /3\у\ для некоторых х\ EÁfk0,yi е 01,fc^fc0 A/fc, lki|| = llyill = 1, «i, /3i gR+, ai+/3i = 1. Аналогично a(z) = a2x2+fj2y2 для некоторых х2 Е ЛГко, у2 Е 0°fc^fco Ау ||ж2|| = \\у2\\ = 1, а2, /32 е a2+f32 = 1. Пусть е = X'^e'^J+X'^z), где Ai ^ 0, Х'2 ^ 0, Ai + Х'2 = 1. Тогда 1 = \\e\\ = \\Х1a1x1 + Х'2a2x2\\ ^ Х^^х^ + X'2a2\\x2\\ = Х1а1 + Х'2а2. Ясно, что такое неравенство может выполняться только при Д = 0 (пользуемся тем, что Х1 = Хуо = 0), поэтому а(е'у) Е Ау0, что и требовалось.

E 01 Ау Пусть E

<х

A¿e¿, где все e¿ принадлежат различным J\fy и все A¿ отличны от нуля. Представим вектор p(e¿) в

i=0

виде линейной комбинации ^ Х^ ej с ненулевыми Х^, причем ej принадлежат различным Ау- Как было

j

показано выше, а(еj) Е Ау. Заметим, что каждому Ау принадлежит конечное число различных eij. Действительно, векторы a(e'ij) (а значит, и сами ej) для разных i линейно независимы, в то время как

оо

все Ау конечномерны. Но тогда получается, что ^гег) не лежит в ф0 Ау (здесь еще раз пользуемся

i=0

e'ij

Итак, E целиком содержится в ф° Ak и плотно в Ф1 Ay Ясно, что E nAk плотно в Ak для каждого к Е К. Осталось еще раз воспользоваться конечномерностью всех Ак• Получаем, что Е, отождествленное с подпространством Е, совпадает с множеством финитных последовательностей векторов из Ак, к Е К. Из

E

01 Ak

Таким образом, всякое метрически проективное квантовое нормированное пространство, преддвой-ственное к алгебре фон Неймана, является с точностью до полного изометрического изоморфизма квантовой ¿^суммой конечномерных пространств ядерных операторов. Обратное следует из общего вида метрически свободных квантовых нормированных пространств [2, теорема 5.9]. Утверждение полностью доказано.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Grothendieck A. Une caracterisation vectorielle-metrique des espaces LI // Cañad. J. Math. 1955. 7. 552-561.

2. Хелемский А.Я. Метрическая свобода и проективность для классических и квантовых нормированных модулей // Матем. сб. 2013. 204, № 7. 127-158.

3. Blecher D.P. The standard dual of an operator space // Pacif. J. Math. 1992. 153, N I. 15-30.

4. Хелемский А.Я. Квантовый функциональный анализ в бескоординатном изложении. М.: МНЦМО, 2009.

Поступила в редакцию 11.11.2013