Методы вычислений на эллиптических кривых в поле характеристики три Текст научной статьи по специальности «Математика»

(звезда, иерархическая структура и т.д.). Таким образом, в системе нет никаких жестких привязок к физической топологии сети связи.

На третьем уровне расположены процессы управления защитой информации (процессы серверов авторизации, защиты данных и т.д.), а также процессы синхронизации транзакций (управление доступом к очередям системы).

На четвертом уровне обеспечивается разграничение прав доступа различных категорий административного персонала и пользователей (администраторов системы, бухгалтерских служб и т.д.) с помощью электронных ключей.

На пятом уровне располагаются все клиентские процессы системы (интерфейсы с пользователем).

Таким образом, налицо полная аналогия с моделью 180/081.

Автоматизированная биллинговая система решает следующие задачи.

1. Проведение расчетов в реальном времени с целью минимизации дебиторской задолженности за услуги передачи данных и Интернет.

2. Проведение расчетов в реальном времени за

работу по выделенным линиям (протоколы IP, Х.25, Frame Relay и др.).

3. Настройка системы под конкретные подразделения и возможность модификации модулей системы силами системных администраторов ОАО «Электросвязь» по предоставленным методикам и руководствам.

4. Проведение расчетов за любые наборы из услуг (web, E-mail, news, хостинг, аренда, размещение оборудования и т.д.).

5. Разграничение уровней и прав доступа к ресурсам системы для разных категорий административного и операторского персонала.

6. Ведение архивных баз данных статистики работы клиентов и расчетов с ними по всем перечисленным выше параметрам.

Автоматизированная биллинговая система представляет, на наш взгляд, принципиально новый подход к проектированию, поскольку сочетает в себе возможности информационно-справочных и управляющих систем. Автоматизированная биллинговая система - это попытка построения службы биллинга на совершенно новых принципах.

МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИИ НА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРИВЫХ В ПОЛЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТРИ

М.В. Степанов (Санкт-Петербург)

В 1985 году Нил Коблиц и Виктор Миллер независимо предложили использовать эллиптические кривые для криптосистем с открытым ключом. Со второй половины 90-х годов криптосистемы на эллиптических кривых стали приобретать важное практическое значение.

Эффективность криптосистем на эллиптических кривых зависит от эффективности алгоритмов умножения скаляра на точку.

Задача умножения скаляра на точку состоит в вычислении следующей суммы:

kP = P+P + ... + P.

*_v_'

k

Метод Коблица-Солинаса, используемый для поля характеристики два, на сегодняшний день является самым быстрым методом для умножения скаляра на точку (см., например: J.A. Solinas. Efficient Arithmetic on Koblitz curves. 2000).

Последние несколько лет наблюдается интерес к методам быстрого умножения скаляра на точку в полях характеристики три (Nigel P. Smart, E.J. Westwood. Point Multiplication on Ordinary Elliptic Curves over Fields of Characteristic Three. 2003). Это связано с появлением нового направления эллиптической криптографии - криптосистем, основанных на билинейных отображениях.

Данная работа посвящена модификации метода Коблица-Солинаса для поля характеристики три. На основе известных алгоритмов предложен новый алгоритм умножения скаляра на точку.

Арифметика эллиптических кривых, заданных над полем характеристики три

Рассмотрим неособую кривую над полем F3m : E:y2 = x3 + ax2 + c, (1)

где a,c e F3 ,a ^ 0,c ^ 0 .

Арифметические операции на кривой (1) могут быть определены следующим образом.

Сложение точек: (x1, y1) + (x2, y 2) = (x3, y 3):

X =

y 2 - У1

= X2 - a - Xj -:

2 Л1 Уз = X(xj - x3 ) - У1 .

Удвоение точек: 2(xj, yj) = (x2, y2):

Х = —, х2 = Х2 - а - 2х1, у 2 =^(х1 - х2) - у1.

У1

В таблице 1 приведены оценки сложности операций, выраженные через сложность полевых операций, где М - сложность умножения; I -сложность нахождения обратного.

x

2

Таблица 1

Операции Стоимость

Сложение точек 3M +1

Удвоение точек 3M +1

Прямая модификация метода Коблица-Солинаса

Пусть E - это эллиптическая кривая вида (1), определенная над конечным полем F3m , причем ее

коэффициенты принадлежат F3. Поскольку кривая определена над F3m, то для нее справедливо, если P = (x, y) - точка на кривой E, то точка (x3, y3) будет так же лежать на кривой E.

Можно проверить, что кривая, заданная в поле характеристики три будет удовлетворять следующему свойству:

(x9, y9) - t(x3, y3) + 3(x, y) = O, (2)

для каждой точки (x, y) на E, где t =| NFs (1) - (3 +1) |, где NFs (1) - колличество F3-

рациональных точек на кривой E (см.: D. Hanker-son, Alfred Menezes, Scott Vanstone/. Guide to Eliptic Curve Cryptography. 2004).

Определим отображение т : T(x, y) = (x3, y3).

Тогда (2) можно переписать как

т(т(Р)) - tT(P) + 3P = O . (3)

t +V t2 - 4 • 3

Решение уравнения (3): ^P) =-P,

где т

t W t2 - 4 • 3

2

Скаляр k может быть представлен как ряд

i-i

О^ч.! Í.-T...-T п.,- т

i-i

k = kО + k1т+... + kl-1т1 1, k1 е{О,±1} , и затем i-1

kP = ^ k1 т1(P), применяя правило Горнера,

kP = т(...т(т(т(к1-1Р) + k1-2P)+k1-3P)... + k1P)+k0P.

Найдем правило для нахождения ряда по основанию т .

Теорема: a + Ьт делится на т тогда и только тогда, когда a = 0 mod 3 .

Доказательство. Поскольку из (3) мы можем

1 t - т a + Ьт a,

найти, что — =-, тогда -= — + Ь =

т 3 т т

a(t -т)

3

-+b . Последнее выражение делится на 3

тогда и только тогда, когда a = 0 mod 3 .

зШ 3m

Отметим, что Tm(x, y) = (x , y ) = (x, y), то-

гда a = kmod(Tm -1).

Для того чтобы снизить длину последователь-

ности в работе Майера и Штэфельбаха, было отмечено, что kP = aP (см.: W. Meier, O. Staffelbach. Efficient Multiplication on Certain Nonsupersingular Elliptic Curves. 1992).

Если k выбран около 3m, то длина знакового тернарного представления по основанию т будет уменьшена вполовину. Для нахождения a вычислим, чему равно тт — 1 в виде а + Ьт и предложим алгоритм, который определит a mod в. Первая задача может быть решена с применением следующей рекурсивной процедуры. Пусть T0 = 0, T1 = 1 и Tk = tTk —1 — 3Tk—2 для k > 2. Легко

видеть, что тп = Tn т- 3Tn—1.

Для иллюстрации алгоритма деления возьмем кривую y2 = x3 + 2x2 + 2 c t = 2. Характеристическое уравнение будет иметь следующий вид: т2 = 2т-3.

Его корень т = 1 + V2i.

Для нахождения алгоритма деления e + ft = а + Ьт mod c + dт найдем сопряженное к c + d!. Сопряженное будет c + 2d — d!. Умножим

а + Ьт

числитель и знаменатель - на c + 2d — dт

c+dт

а + Ьт (а + toHc + 2d — d^ (—ad + Ь^т + ac + 2ad + 3bd c + dт = (c + d^c + 2d — d^ = (c + d)2 + 2d2

Алгоритм 1. Вычисление a + Ьт modc + dт . Вход: a, b, c, d

Выход: e, f : e + fr = a + Ьт modc + dт

g <--ad + bc

h ^ ac + 2ad + 3bd m ^ (c + d)2 + 2d2 p ^ [h/m J q ^ [g/m J e ^ a — pc + 3qd f ^ b — qc — pd — 2qd return e, f

Рассмотрим алгоритм 2, на входе котрого будет комплексное число a = x + ут, а на выходе -

последовательность коэффициентов ki е{0,±1},

таких что k = k 0 + k^ +... + k^V—1.

Алгоритм 2. Тернарное знаковое представление x + ут по основанию т. Вход: x, y,t

Выход: Тернарное знаковое представление по основанию т a^ x,b ^ у repeat

ki = amod3, ki e{0,±1} ifki = 2 then kj =—1 end if a ^ a + k. k. ky a

3 ■ '31

untill a Ф 0 and b Ф 0 return (ki—1,..., k1, k 0 )

Если k » 3m , тогда длина ряда по основанию т будет равна m. Плотность ненулевых позиций

составит около 2.

k1 V

(a= b)+t( f+b'-3 )

=О

Алгоритм 3. Вычисление kP. Вход: k, P е E [F3„ ] Выход: kP

Использовать алгоритм 1 для нахождения а = kmodтт -1.

Использовать алгоритм 2 для нахождения

i-i

а = £ к, т'

i=0

Q ^ O

fori ^ l-1,0 do

Q ^xQ

If к' = 1 then Q ^ Q + P end if

if ki = -1 then

Q ^ Q - P

end if end for return (Q)

Средняя сложность алгоритма составит

2m

-A + mxM, где A - сложность сложения; xM -

3

сложность вычисления отображения т .

Использование метода разбиения для прямой модификации метода Коблица-Солинаса

Разобьем ряд по основанию т на две половины (см.: Robert P. Gallant, Robert J. Lambert, Scott A. Vanstone. Faster Point Multiplication on Elliptic Curves with Efficient Endomorphisms. 2001):

kP = km-1Xm-1 (P) + ...Цт1 (P) + k 0 x0 (P) =

■ k Tm

+k„

, (m-1)

1 (P) +... + k (m-1) т 2 (P) +

1 (P) +... + k 0т0 (P)

(m-1)

Обозначим Q = т 2 (P), тогда

(m-1) 1

kP = т 2 -1 (km-1Q + k P) + ...+

2 1

+т0 (k(m-1,Q + k 0P).

(4)

Главное свойство полученной последовательности (4) состоит в том, что длина последовательности уменьшается наполовину. Алгоритм 3 использует разбиение при вычислении kP .

Алгоритм 4. Метод разбиения. Вход: k, P е E [F3 ] Выход: kP

Использовать алгоритм 1 для нахождения а = kmodтm -1.

Использовать алгоритм 2 для нахождения

m-1

а = S ki т'

i=0

If m s 1mod 2 then m ^ m +1

km-1 ^ 0

end if m

Q = тf (P)

Предвычислим: P + Q,P - Q, - P - Q, - P + Q R ^ O

for i ^ m/ 2 -1,0 do R ^R

S ^ km/2+iQ + kiP

R ^ R + S return (R)

Средняя сложность алгоритма составит

2A + mA + miM .

2

Таблица 2 содержит оценки сложности изложенных ранее методов с предложенным (A -стоимость сложения двух точек; тМ - сложность отображения т).

Таблица 2

Операции Стоимость

Прямая модификация метода Коблица-Солинаса 2mA + m!M

Метод разбиения 2A + m A + m!M

Очевидно, что при выборе т > 12 использование метода разбиения по сравнению с прямой модификацией метода Коблица-Солинаса будет давать выигрыш.

-1

ИНФОРМАЦИОННАЯ СИСТЕМА ИМИТАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ТОРФЯНЫХ ПОЖАРОВ

Б.В. Палюх, д.т.н., Р.Е. Цветков (Тверь)

Для предупреждения и своевременной ликвидации торфяных пожаров важно своевременное их прогнозирование, поэтому весьма актуальной является разработка информационной системы, позволяющей прогнозировать наиболее вероятные места возникновения торфяных пожаров при различных вариантах погодных условий и воздействий со стороны человека.

Основными компонентами системы являются: - система мониторинга, обеспечивающая определение параметров текущего состояния объекта и окру-

жающей среды, прогнозирование возможного состояния среды и получение других необходимых исходных данных;

- система имитационного моделирования пожарной опасности, осуществляющая на основе полученных данных прогнозирование вероятности возгораний в различных точках на определенные сроки, распространения возникших пожаров, объема выбросов вредных веществ и др.;

- база знаний;