CC BY
38
УДК 519.248:[33+301+159.9]
МЕТОДЫ СЕТОЧНОЙ АППРОКСИМАЦИИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ СОБЫТИЙ
О.Ю. Воробьев, О.Ю. Тарасова, А.Н. Овсянникова
Представлен вновь введенный метод сеточной аппроксимации неизвестного распределения множества случайных событий.
Введение
Ввиду большого числа событий в реальных статистических системах, возникает трудность определения состояний, в которых может оказаться система. Один из способов преодоления трудностей подобного рода заключается в отыскании сеточного распределения состояния системы, определенного на введенной сетке и близкого к искомому неизвестному распределению. Матричные модели маркетинга [1] натолкнули на идею методов аппроксимации распределений, аналогичных сеточным методам решения дифференциальных уравнений.
Постановка задачи
Существо сеточного метода состоит в следующем: вместо исходного пространства элементарных событий вводится его сеточный аналог. Эта сеточная модель описывается вероятностями, которые определены только на событиях сетки. Неизвестные распределения, т.е. законы, в соответствии с которыми эволюционирует пространство элементарных событий, заменяется соответствующими сеточными аналогами. В итоге исходная задача заменяется, или, как говорят, аппроксимируется системой сеточных распределений - сеточной схемой. Другими словами, на аппроксимируемое множество событий «набрасывается сетка» с целью попытаться представить, как ведут себя «неизвестные» события из аппроксимируемого множества в пределах «известных ячеек», роль которых будет предоставлено исполнять событиям-терраскам, образующим сетку.
Основные понятия эвентологии и теории вероятностей
Эвентология - новое направление, возникшее в рамках теории вероятностей и изучающее распределение множеств событий, структуры зависимостей множеств событий [2].
Определение 1.1. Вероятностным пространством называется тройка (С1, 7% Р), где О -пространство элементарных событий, Т7 - алгебра событий и Р - вероятность, определенная на элементах алгебры Р - случайных событиях х,у,...еР.
Определение 1.2. Конечное множество избранных событий ЛгeF, выбранных из алгебры вероятностного пространства (О, Р, Р) и состоящее из ^У = |х| событий, называется множеством случайных событий.
Определение 1.3. Множество случайных событий X порождает различные наборы так называемых событий-террасок, среди которых есть события-терраски для 1сХ в форме пересечения: 1ег(Х)= Р|х Р)*с .
Определение 1.4. Два случайных события х, у е X (х Ф 0, у ф 0) называются вложенными, если между ними возможны только два отношения
к
хпу = <
[У’
то есть одно из этих событий вложено в другое: X С у ИЛИ V С Л'.
Сетка событий, или эвентологическая сетка (Э-сетка)
Начальным этапом построения сеточной схемы является замена исходного пространства элементарных событий некоторой сеткой событий, образующих его разбиение.
Определение 2.1. Эвентологическая сетка (Э-сетка) - это множество 5 с/7 непересекаю-щихся случайных событий, выбранных из алгебры Р вероятностного пространства (О, Р, Р) и образующих разбиение пространства элементарных событий О..
Э-сетка 5 (сеточное множество случайных событий 5, сеточное эвентологическое распределение множества 5) определена тогда и только тогда, когда:
1) выбрано множество БаР непересекакмцихся случайных событий, образующих разбие-
2) задан набор вероятностей <7(5) = Р(«), 5 е
Для «одномерной» задачи простейшим примером Э-сетки является равновероятное разбиение пространства элементарных событий на N равновероятных событий, вероятность которых равна МЫ (равновероятная Э-сетка). Равновероятные события Э-сетки называются Э-террасками сетки (Э-узлами сетки), а их вероятности называют также Э-шагами сетки. Совокупность Э-террасок образует множество событий, где определены Э-сеточные распределения.
Определение 2.2. Эвентологической сеткой п-го порядка 8" пространства элементарных событий О называется пересечение по Минковскому разбиений А1,..., Ап с Р :
Несмотря на кажущуюся простоту, вопрос о выборе Э-сетки заслуживает внимания. С одной стороны, количество событий-террасок желательно брать большим, т.е. пользоваться мелкими, подробными Э-сетками. Точнее передавая при этом область изменения Э-аргумента, мы интуитивно рассчитываем лучше аппроксимировать искомое Э-распределение сеточными распределениями. С другой стороны, практические соображения, и в первую очередь ограниченность быстродействия и объема памяти компьютеров, заставляет обращаться к Э-сеткам со сравнительно небольшим числом Э-террасок. Решением этой проблемы часто служат неравновероятные Э-сетки. Если имеется информация об Э-распределении, например, известно «расположение» в пространстве элементарных событий некоторых его особенностей, для «разрешения» которых необходима мелкая Э-сетка, то можно, не увеличивая общего числа террасок, сгустить сетку в «окрестности» этих особенностей, а в «гладкой» области распределения сетку сделать редкой.
Определение 2.З.. X - аппроксимирующим 5” -сеточным отображением называется отображение ср: Б" -» 2х, которое на Э-ячейке
Определение 2.4. - аппроксимацией множества событий X называется множество со-
бытий
Элементы Э-сетки - события-терраски вида
- называются Э-ячейками Э-сетки б1”. Ясно, что
Э-ячейки образуют разбиение пространства элементарных событий О. Таким образом, Э-сетка имеет вид:
а1 е А!,
П
<Р(-ІСГ{а'.а"]^(ХЄХ: *П%>..а«}*0Ь
которое сокращенно обозначается
где каждое событие
-
Xф ={хф :1б!}
I
X п 1ег , „
а ... а
(1)
называется 5” -аппроксимацией события хе X . Событие-терраску будем обозначать
и!Г*(Л')= ГК П(^)С’ Х^Х
хеХ хеХс
(2)
Приведем примеры X -аппроксимирующего 5 отображения с различной степенью ошибки: а
0 0 X х г X
У х, у «Л X X
•г У У> 7~ х,у,г х, г X
У У> 2 г <т 0
0 г г ч, 2 0
У9 X9
1*
а Р у 8 г
Рис. 1. Эвентологическая сетка второго порядка V2 = {а.Ь.с,с!,г)(п)>а,[),у,д,с), аппроксимирующая исходное Э-распределение триплета событий А" = {х,у,г} с нулевой ошибкой (слева). Э-сеточная аппроксимация
Х<р -{хР'уф'г^} на э-ячейках (справа)
У9 х*
г9
Рис. 2. Эвентологическая сетка второго порядка 5 = {а, Ь, с, с/, е}(п){а, /?, у, 5, е}, аппроксимирующая исходное Э-распределение триплета событий X = {х,у,г} с некоторой ошибкой (слева). Э-сеточная аппроксимация Х'г = {х‘г ^ ,х1’) на Э-ячейках (справа)
Виды Э-сеточной аппроксимации
Точность Э-сеточной аппроксимации Э-распределений определяется структурой локальной зависимости аппроксимируемого множества событий, которая характеризуется отношением структур зависимостейдвух множеств событий, участвующих в Э-сеточной аппроксимации: Э-сетки 51" и аппроксимируемого множества X .
Рассмотрим три вида Э-сеточной аппроксимации, каждый из которых справедлив в рамках одного из трех предположений о локальной структуре зависимости аппроксимируемого множества событий X : вложенной, независимой и наименее пересекающейся.
X = п
У — Q
Z — о
руд
Рис. 3. Эвентологическая сетка второго порядка S = {а, Ь, с, d, e}(n){a, Р, у, S, е}, аппроксимирующая исходное Э-распределение триплета событий X -{x,y,z} с наибольшей ошибкой (слева).
Э-сеточная аппроксимация X9 = {Q,Q,Q} на Э-ячейках (справа)
Определение 3.1. Множество событий X имеет локально вложенную структуру относи-
П
телъно Э-сетки Sn, если для любой Э-ячейки ter,, - С] а' е Sn и любого события
{а ... а \ 1 I
/=1
хеХ
xnter, , „ =<,
{а'а) lteV..vv
т.е. либо ter | а„, содержится в л, либо не пересекается с ним.
Из этого определения следуют два свойства:
U (*ntev..v>J=teV..vv
XSXJ
a a
2) события xn ter, , „ _, где xe X , „равновероятны.
{a ...a } a ... a 1 1
Определение 3.2. Множество событий X имеет локально наименее пересекающуюся структуру относительно Э-сетки Sn , если для любой Э-ячейки ter , „ eSn и любого мно-
{0 .(3 /
жества событий X , „ с X :
а ...а
I) X (*nte^.aJ=teVv)’
хеХ
2) события xn ter, , „ 1, где .г е X , „равновероятны.
' {а ... а } а ... а 1
Определение 3.3. Множество событий X имеет локально независимую структуру относительно Э-сетки Sn, если для любой Э-ячейки ter, , „ i е S" и любого множества событий
{а ...а )
1) U l*nter , J
хеХ
і „I „nil 1 Л( )
{а ...а } / {а ...а }
2) события хгМег, , „,, где хеХ , „равновероятны,
7 {а ...а ) а ...а 1
3) события х п 1ег{а, а„ , где х е X^ а„, независимы в совокупности.
Теорема 3.1. Эвентологическое распределение 5 й -аппроксимации множества событий X
р'р(Х)^РЦегф(Х)), ХаХ
принимает один из следующих видов:
1) для локально вложенной структуры множества событий X :
р*{х)= X р(4ег{в'...*»}>’
ХШ*г{а> а„})
2) для локально наименее пересекающейся структуры множества событий X: рф(Х)= £ ::.....Р^ег{а1„.а"}Х Х^Х\
XZ<?(ter , „ )
{а ...а }
3) для локально независимой структуры множества событий X :
р1р(Х) = £ (Р(х n ter{a, (P(ter{a, - Р(х п ter!a, дЯ)))1А'11сХ,
Х<^<р{\ег , „ )
{а' ..а }
где(р(хп 1ег{£)1 вИ,)) = 1 -(1 -Р(1ег{а, аП])\1п. Доказательство. Очевидно, что
р*(Х) = Р
X (ter^ (X) n ter
ter . п eS V {0х ап}-
(3)
■*eV..V)eS"
Подставляя (1) в (2), получаем
ter-(T)= IV П<^)“ =
хеХ хеХс
-п
хЩ ter 1 п
\ V а ...а
п
хеХс
Е \х n ter
ХЄ(р\ ter і ^ ^ а1...а"
f / Л
У (xnteral v) n X У ntera\..a")
xeg>\ ter , „ хєХс XH(p\ ter 1 я
V V a ■ a ) J V ° a ) у
-п
хеХ
Используя полученное выражение для Хъх9 (X), получаем
1еггттег|а, ^ = п„в-,)Л 1*сп%>..«»,)
хеХ х<Ехс
или в других обозначениях
1ег"(ДГ)пкг{а, ^ = Г) (*шег{а, ^П1ег1о, ^ ,
где X = ter ,
і а
хеХ'
\ х n ter, , „ I - дополнение х до ter, | е S’1, а хс = Q \ .
о 1 v {а ...а [ / {а ...а ! V
{а' . ап}! "............"V
дополнение X до П.
Таким образом, выражение под знаком суммы в (3) можно записать в виде
х n ter
{о1... в-}
а саму формулу (3)
fl^ntev...."}) П (*ntev v/
teX хеХс
рф(Х)= £ p(ter^(X)nter , a )=
a»)eS"
I P П (^nter!a>..о»,) П (JCnteV..V>>C'
ter , eS"
{a ...a }
(4)
, X c:X
)
Формула (4) - эвентологическое распределение Sn -аппроксимации множества событий X , имеющего произвольную локальную структуру. Используя формулу (4), можно записать формулы для эвентологического распределения S" -аппроксимации множества событий X, имеющего локально вложенную, локально наименее пресекающуюся и локально независимую структуру.
Например, рассмотрим множество X, имеющего локально наименее пересекающуюся структуру. По определению локально наименее пересекающейся структуры, события д:пter , „ , где хеf/?(ter. , и,) не пересекаются и имеют одинаковую вероятность. Поэтому
\0 ... О ( \С1 ... (I )
эвентологическое распределение S" -аппроксимации множества событий X с локально наименее пересекающейся структурой можно записать в виде:
В качестве аппроксимируемого множества X рассмотрим множество стратегий, предлагаемых компанией Артур Д. Литтл [1]. Распределение множества стратегий неизвестно, поэтому будем использовать метод сеточной аппроксимации для нахождения этого распределения.
В классическом изложении маркетинговой модели АОЬ/ЬС принцип построения матрицы АЭЬ подсказывает вид эвентологической сетки. Пересечение двух множеств событий - четырех событий жизненного цикла отрасли и пяти событий его конкурентного положения образуют
эвентологическую сетку второго порядка .V2 = {а, Ъ, с, с1)(и){а, /3, у, 3, е}. Каждой ячейке сетки соответствует набор стратегий из множества базовых стратегий, предлагаемых специалистами АОЬ в качестве руководства к действию. Сделав предположения о локальной структуре зависимости аппроксимируемого множества стратегий А" (например, на основе анализа этих стратегий
специалистами маркетинга), получим эвентологическое распределение 52-аппроксимации множества событий X .
В работе получены следующие результаты:
1. Определены понятия эвентологической теории сеточных методов: Э-сетки, X -аппроксимирующего $п сеточного отображения, 8П -аппроксимации множества событий.
2. Определены три вида локальных структур зависимости.
3. Сформулирована и доказана теорема об эвентологическом распределении 5" -аппроксимации множества событий X для различных локальных структур зависимости этого множества.
1. Ефремов, B.C. Классические модели стратегического анализа и планирования: модель ADL/LC / B.C. Ефремов // Менеджмент в России и за рубежом. М.: Финпресс. - 1998. - № 1 (http://www.cfm.ru/press/rnanagment/1998-l/09.shtml).
2. Воробьев, О.Ю. Введение в эвентологию / О.Ю. Воробьев - Красноярск: КрасГУ, ИВМ СО РАН, 2005.-512 с.
3. http://www.r-events.narod.ru
р'(Х)= X ——
Хс<р(\£Х - „ ) X , ,
(а -а > а ...а
П
где суммирование ведется по всем ter , „ <= 5”, содержащим X с X .
{а ...а ,
Применение полученных результатов
Заключение
Литература
Поступила в редакцию 2 апреля 2007 г.
