Методы решения задач синтеза неизбыточных структур систем управления на основе минимально-факторного подхода Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.5.013

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СИНТЕЗА НЕИЗБЫТОЧНЫХ СТРУКТУР СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ МИНИМАЛЬНО-ФАКТОРНОГО ПОДХОДА

© 2010 г. В.Г. Манжула

Южно-Российский государственный университет South-Russian State University

экономики и сервиса, г. Шахты of the Economy and Service, Shahty

Предложены методы синтеза, эффективность которых повышена за счет учета свойств решений задач с избирательными ограничениями и с ограничениями общего вида, а также на основе используемой специфики условий допустимости. Предложенные методы обладают преемственностью, состоящей в использовании в методах решения более сложных задач методов решения более простых.

Ключевые слова: структурный синтез; минимально-факторный выбор; неизбыточная структура; система управления.

In work the synthesis methods which efficiency is raised at the expense of the account of properties of decisions of problems with selective restrictions and with general view restrictions, and also on the basis of used specificity of conditions of an admissibility are offered. The offered methods possess the continuity consisting in use in methods of the decision more of challenges of methods of the decision of more simple.

Keywords: structural synthesis; the is minimum-factorial choice; irredundant structure; the control system.

Введение

Считается, что решение задачи синтеза системы управления обладает избыточно сложной структурой, если представляется возможным его упростить без нарушения условий допустимости. Решение, в котором не может быть исключён ни один из его структурных элементов при соблюдении условий его допустимости, называется структурно неизбыточным [1]. Рассмотрим задачи синтеза систем, решение которых математически описывается конечным вектором с компонентами, принимающими значение из некоторых в общем случае произвольных множеств [2]:

X = (xl, ^ х„).

Структуру решения можно однозначно описать, задав набор активных компонент вектора решения номеров активных координат вектора решения

£ = ...,р}.

Правило сравнения сложности структур определяется на множестве вариантов структур как бинарное отношение тсмф : а «проще» Ь » а с Ь, где а, Ь - варианты структур, представленные наборами составляющих их элементов. Символ тсмф здесь обозначает введенное правило сравнения сложности вариантов, которое далее будем называть правилом минимально факторного (МФ) сравнения сложности.

Задача синтеза структур с избирательными ограничениями

Укажем ряд свойств простых решений неравенства:

(Ах - Ь)Т (Ах - Ь) < А. (1)

Для заданной структуры £ вектора х неравенство (1) принимает вид

А Х£ - Ь)Т А Х£ - Ь) < А, (2)

где А£, х£ - матрица и вектор, составленные соответственно из столбцов матрицы А и координат вектора х с номерами £.

Задача синтеза неизбыточных структур, в которой в качестве условия допустимости структуры £ выступает неравенство (2), является задачей синтеза неизбыточных структур с ограничениями.

Условие (2) определяет для структуры £ допустимую невязку соответствующего ей решения системы А£ х£ = Ь. Причём невязка решения системы А£ х£ = Ь одновременно является невязкой решения системы Ах = Ь, имеющей структуру £.

Пусть ^кмф, ^пмф множества простых решений системы (1) и системы Ах = Ь соответственно. Тогда справедливы следующие свойства:

1. Множеству ^кмф не принадлежат структуры £, содержащие в качестве подмножества некоторую структуру из ^"мф.

2. Если £° е ^пмф и все структуры, получаемые исключением из £° одного элемента, недопустимы, то £° е ^кмф. Обозначим через ргА£Ь ортогональную проекцию вектора Ь на образ матрицы А£ и через р(Ь, А£) - расстояние от Ь до образа матрицы А£. В выражении (2) заменим вектор Ь на вектор ргА£ Ь и уменьшим допуск А на величину р2(Ь, А£). В результате получим

((А£х£ - ргА£ Ь)Т (А£х£ - ргА£ Ь) < (А - р2(Ь, А£)). (3)

3. Множеству О мф принадлежат все неизбыточные структуры £# решений неравенства (3), где -допустимая структура, полученная исключением одного элемента из структуры 50 е ОЛмф .

4. Если структура 5 е Окмф , то она удовлетворяет

свойствам 2 или 3.

Из представленных утверждений следует, что при решении рассматриваемой задачи может эффективно использоваться множество простых решений соответствующей ей задачи, в результате метод синтеза неизбыточных структур решений задачи с ограничениями может в значительной мере опираться на метод поиска простых решений, дополненный процедурами проверки неравенства (3).

Задача с ограничениями общего вида

Отказ от конкретизации условий допустимости анализируемых структур неизбежно приводит к потере конкретности в определении свойств искомых решений. Тем не менее можно указать некоторые свойства, присущие решениям задачи синтеза простых структур с условиями допустимости из весьма широко определяемого класса. Такими свойствами являются:

5. Структура 5", полученная исключением элементов из недопустимой структуры 5 г Од , является недопустимой, т.е.

(5 з 5" )&(5 г О д) ^ 5 " гО д.

6. Структура 5+ , полученная добавлением элементов в допустимую структуру 5 г Од является допустимой, т.е.

(5 с 5+ )&(5 еО д) ^ 5+ еО д.

Метод решения задачи с избирательными ограничениями

Укажем метод решения задачи синтеза неизбыточных структур, в которой условия допустимости структуры 5 вектора х оказываются частично линейными только для некоторых из структур, т.е. метод решения задачи, названной нами задачей синтеза неизбыточных структур с избирательными ограничениями.

Повышение эффективности поиска в предлагаемом методе достигается в результате учета отраженных в свойствах 1 и 2 решений рассматриваемой задачи, а также на основе учета специфики используемых в ней условий допустимости.

Предлагаемый метод сводится к следующей совокупности действий.

1. Выделяем из множества ^ всех возможных структур вектора х решений рассматриваемой задачи его подмножество частичных структур. При этом в качестве признака принадлежности структуры к множеству в рамках задачи синтеза решаем частичную задачу синтеза неизбыточных структур на множестве посредством одного из методов. В

результате находим множество О^ф всех простых

частичных структур решаемой задачи. Оно, согласно свойству 3, совпадает с множеством простых частичных структур О^ф, выделенных из множества ^ и

является подмножеством множества всех искомых неизбыточных структур ^мф.

Исключаем из дальнейшего рассмотрения все структуры, содержащие наборы 5 е Омф в качестве

своего подмножества, а также все структуры из как уже проанализированные.

Из структур, оставшихся не исключенными, формируем множества состоящие из одинакового числа элементов к = са^(5), 5 е &.к.

Присвоим индексу к его максимальное значение

к = к

л "-тах-

2. Анализируем допустимость наборов 5 е 0,к. Все обнаруженные допустимые наборы 5 включаем в множество Од. Все обнаруженные недопустимые

наборы 5 включаем в множество О^.

Если в множестве Од , к = 1, 2, ..., ктах существует набор 50, все подмножества которого - недопустимые наборы 5 е О^, то набор 50 включаем в множество простых наборов ^мф.

При этом анализу не подвергаем как заведомо недопустимые наборы 5, для которых в Он, к = 1, 2, ..., ктах либо в ^мф существует набор, включающий 5 в качестве своего подмножества.

После завершения анализа всех наборов 5 е уменьшаем к на единицу и переходим к п. 2.

3. Поиск заканчиваем, когда для некоторого к все 5 е 0.к оказались недопустимыми.

Учет специфических свойств избирательных ограничений позволяет сократить объем вычислений при выполнении процедуры их проверки. Далее рассмотрим особенности контроля допустимости анализируемых структур в рамках рассматриваемого класса задач.

В ней контроль допустимости анализируемой структуры в общем случае сводится к проверке совместности системы и может быть осуществлен на основе методов нелинейного программирования [3]. В таком случае вычислительная трудоемкость контроля допустимости структуры 5 оказывается эквивалентной решению задачи нелинейного программирования, размерность которой определяется размерностью вектора к(5).

При решении задач рассматриваемого класса даже весьма скромных размеров мы можем столкнуться с непреодолимыми трудностями при анализе допустимости вариантов их решения, обусловленными сложностью процедуры проверки допустимости анализируемых структур, основанной на непосредственном применении методов нелинейного программирования.

Укажем возможные пути снижения вычислительной трудоемкости проверки допустимости анализируемых структур.

Будем говорить, что выражение (1) линейно относительно структуры 5л, если все координаты вектора решения к, перечисляемые 5л, т.е. все координаты к(5л) входят в (2) линейно.

Пусть требуется проверить допустимость структуры 5 при описании условия (3).

Возможен следующий метод проведения такой проверки. Разобьем 5 на две структуры 5й и 5н, причем так, что относительно 5й выражение (3) линейно. Зададимся значениями координат к, перечисляемых набором 5н. В результате выражение (3) станет линейным относительно оставшихся неизвестных - координат к, входящих в 5й, т.е. относительно координат к(5л). Выберем координаты к(5л) из расчета минимизации невязки решения (3) для заданного значения к(5н). Далее будем изменять значения к(5н) так, чтобы получаемая невязка достигла минимально возможного значения. Если это значение равно нулю, условие (3) и, следовательно, условие (1) выполнено.

В предложенном методе проверки условий допустимости мы приходим к задаче нелинейного программирования лишь относительно части координат вектора к, а именно относительно координат, перечисляемых набором 5н. При этом вычисление целевой функции задачи нелинейного программирования сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных к(5л) с целью нахождения обобщенного решения, минимизирующего невязку уравнения (2). В результате размерность решаемой задачи нелинейного программирования существенно снижается.

В случае, когда условия (1) описываются неравенствами (3), указанный метод претерпевает изменения лишь в той части, что координаты к(5л) выбираются из расчета минимизации невязки решения (3) на основе решения соответствующей задачи линейного программирования.

Предложенный метод контроля допустимости предполагает использование, главным образом, трех процедур:

а) разбиения анализируемой структуры 5 на структуры 5й и 5н;

б) выбора значений координат к(5л) при фиксированных значениях координат к(5н) из расчета минимизации невязки решения (2) либо (3);

в) выбора значений координат к(5н) из расчета минимизации невязки, полученной в результате применения процедуры (б).

Рассмотрим метод, обеспечивающий выявление всех неизбыточных структур решений неравенства (1). Повышение эффективности синтеза указанных структур достигается в результате учета их свойств 5 и 6.

Предлагаемый метод поиска состоит в следующем.

1. Находим множество О мф неизбыточных структур решений системы Ах = Ь в соответствии с любой из процедур. Согласно свойству 5 из дальнейшего рассмотрения исключаем все структуры, содержащие в качестве подмножества некоторую структуру из О л

"мф.

2. Для каждого 5 е О мф выполняем следующие действия.

2.1. Контролируем допустимость структур, получаемых исключением из 5 одного элемента.

2.2. Все обнаруженные недопустимые структуры, запоминаем как элементы множества О~.

2.3. Проверку допустимости на основе расчета вектора невязки системы Ах=Ь не производим для структур, являющихся подмножеством некоторой

структуры из О~ , т.е. для структур заведомо недопустимых.

2.4. Если обнаружено, что все структуры, получаемые исключением из 5 одного элемента, недопустимы, то согласно свойству 5 структура 5 - неизбыточная структура, учитывая это, запоминаем 5 как элемент множества Омф.

2.5. Если обнаружено, что некоторая структура, получаемая из 5 исключением одного элемента, допустима, то, следуя свойству 4, рекурсивно повторяем рассматриваемый метод, заменив при этом неравенство (1) неравенством (3).

В соответствии со свойством 6 множество О мф,

сформированное в результате исполнения указанных действий, совпадает с множеством неизбыточных структур решений неравенства (1).

Проверка допустимости структуры 5 в рамках рассматриваемой задачи сводится к контролю выполнимости для данной структуры 5 неравенства (1). Очевидно, структура является допустимой, если минимально возможное для нее значение

(Ах - Ь)Т (Ах - Ь) <Д

не превышает значения Д. Учитывая, что Ах$ - Ь есть невязка системы А!хs = Ь, можно говорить, что структура 5 является допустимой, если минимальная длина невязки системы Ах$ = Ь не больше, чем Д. Таким образом, проблема проверки допустимости структуры 5 фактически сводится к вычислению решения системы Ах$ = Ь, обеспечивающего минимальную длину невязки. Таким решением является нормальное псевдорешение (обобщенное решение) системы Ах$ = Ь. Методы вычисления нормальных псевдорешений известны, одним из них является, в частности, метод, изложенный в работе [4], использующий разложение матрицы Ах.

Метод решения задачи с ограничениями общего вида

Рассмотрим метод, обеспечивающий выявление всех неизбыточных структур решений задачи, в которой условия допустимости не соответствуют ни одному из ранее рассмотренных типов. Такая задача была названа нами задачей с ограничениями общего вида. Повышение эффективности поиска решений рассматриваемой задачи может быть достигнуто на основе учета их свойств, отраженных в свойствах 5 и 6.

Предлагаемый метод сводится к следующему.

Пусть (х - т) - мерный вектор решения рассматриваемой задачи.

Для очередного набора £ с {1, 2,..., т} проверяем допустимость соответствующей ему структуры вектора х. При этом полагаем, что задана процедура Р(£) проверки допустимости структуры £.

Все обнаруженные недопустимые структуры запоминаем как элементы множества О~, а все допустимые - как элементы множества О".

Проверку допустимости на основе выполнения процедуры Р(£) не производим:

- для структур, являющихся подмножеством некоторой структуры из О~, т.е. для заведомо недопустимых согласно свойству 5.

- для структур, содержащих в качестве подмножества некоторую структуру из О", т.е. для структур заведомо допустимых согласно свойству 6.

После завершения анализа всех возможных структур £ с {1, 2,..., т} из множества О" выделяем искомое множество Омф простых структур £°.

С этой целью очередную структуру £ из О" сравниваем с остальными структурами из О" . Если в О"

не находится структуры более простой, чем £ (содержащей £ в качестве подмножества), то £ - неизбыточная структура, учитывая это, включаем ее в Омф. Поиск заканчивается после завершения указанного анализа всех структур £ из О" .

Поступила в редакцию

В результате множество Омф содержит все неизбыточные структуры вектора решения рассматриваемой задачи.

Выводы

Таким образом, предложены методы синтеза неизбыточных структур систем управления на основе МФ подхода для решения задач синтеза неизбыточных структур с избирательными ограничениями и с ограничениями общего вида.

Предложенные методы обладают преемственностью, состоящей в использовании в методах решения более сложных задач методов решения более простых. Решение частично линейных задач основывается на применении методов решения МФ выбора, а решение задач с избирательными ограничениями, в свою очередь, на применении простых методов решения.

Литература

1. Мозжечков В.А. Простые структуры в теории управления.

Тула, 2°°°. 216 с.

2. Мозжечков В.А. Синтез линейных регуляторов с простой структурой // Автоматика и телемеханика. 2003. № 1. С. 27-41.

3. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. М., 1982. 583 с.

4. Роженко А.И. О построении нормального псевдорешения системы линейных уравнений с прямоугольной матрицей // Сиб. журн. вычислительной математики. 2001. № 3. С. 285-294.

14 января 2010 г.

Манжула Владимир Гавриилович - канд. техн. наук, доцент, кафедра «Информационные системы и радиотехника», Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса. Тел. (8636) 22-45-95. E-mail: manjula@sssu.ru

Manzhula Vladimir Gavriilovich - Candidate of Technical Sciences, assistant professor, department «Information Systems and Radio Engineering», South-Russian State University of the Economy and Service. Ph. (8636) 22-45-95. E-mail: manjula@sssu.ru