CC BY
17
УДК 624.04
МЕТОДЫ РАСЧЕТА ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕИНО ДЕФОРМИРУЕМЫХ ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ
© 2007 г. Г.В. Воронцов, А.Н. Кабельков
1. Линеаризованная система уравнений изгиба, кручения и растяжения-сжатия тонкостенных стержней
В работах [1, 2] получено выражение а21: = Ех
« <+2
,2 2
(4')2+(n')2+(е')2 р
Обратный переход от уравнений (2) к формуле (1) приводит к выражению
х{[-Гх-n''y-е ш]+](Г)2 +(n')2 +(е')2 р2 +е(>-n^x)+e' n'(x-ax)-£'(-ay) }
+
(1)
N Mx My Bo ; 2 t 2 2\
F Ix Iy Im 2 V '
(3)
для определения нормальных напряжений, возникающих в поперечных сечениях стержня, смещенных на
^(г), п(), и повернутых на углы б(), обу-
словленные изгибно-крутильными и продольными деформациями.
Напряжениям (1) поставлены в соответствие условные изгибающие моменты Мх(г) и Му(г),
бимоменты Вю(г) и продольные силы N (), определяемые по формулам:
Mx=jöZ;ydF: =-EIx n^+e'^'-(e')2ß,
F
С другой стороны, с точностью до малых второго порядка, им соответствуют линеаризованные уравнения изгиба:
(EIyГ) -qx +(туА +QmxaM^xM9}"-(Мх9')'-
-[n (у е')
EIy
-I^MKp (0'ßx +n') GI кр
=0;
Ехп")%у +(xa +0™ya )-(v xyMy е) +(My е')
-[n (n'-ax е'))-
EIx
Gl
Tx-(ßy -4')
кр
=0, (4)
кручения
My =-faz;XdF: =-EIy [r+^'-^'-^y} (EIюeo'-(GIкpe')-(шzA +t,4a+44a)-V
F
Bm=}az;radF: =-Em
F
е#-(е')^ю
(2)
/
-(My n'+Мх4')-((г2е')
+
EI
GI
юРюе'
кр
=о
(5)
N=faz;dF: =EFZ'+GF-Mкp (p2 +^4 -Tax);
F ^кр
-^^кр =GIкpe' •
Здесь обозначено: вх = -1 i УР2 dF, вy = -1 f xp2dF, Рю= frap2dF,
и растяжения-сжатия
EF
(EFZO + qz + -^M^ (V2+4'ay -na).
GI кр
(6)
'x f
y F
ю f
2 / \2 / \2 2 1 f 2 p =(x-ax) +(y-ay) ,r =FJp dF
FF
В уравнениях (4)-(6) обозначено: [х , С[у , qz -интенсивности распределенных усилий; т^д , , т^ и Ьт - интенсивности распределенных моментов и бимоментов, приведенных к осям центров изгиба; 1х , - главные моменты инерции относительно центральных осей поперечных сечений, 1т - сек-
ториальный момент инерции, /кр - момент инерции Е - площадь сечения,
чистого кручения,
1У Тх
Уух =1--, У^у =1--- в общем случае пере-
1Х 1У
менные по длине стержня; Е ,С - модули линейной и
угловой деформаций.
Граничные условия для изгибных деформаций в плоскости XX имеют вид
(EIyГ) -Q+(x+QmxA )+(v7XMxe)-Мхe'-
-N (E+fly e')-
EIy
GI кр
Мкр (e'ßx+n')
=0;
z: =0,L
Е1у£,"-(му+емтХА)+
EIy
+vYxMXе-—умкр (e'ßx+n')
GI кр кр
=0.
z: =0,L
(7)
-((My n'+Mx£')-Nr 2e'+
EIy
GI
߻e'
кр
=0,
z: =0,L
EIjer+ßi -^^e'
Ю
-'ю
GI
кр
=0
и растяжения-сжатия
"efz- nг
z: =0,L
0.
(9)
2. Передаточные матрицы уравнений деформации стержней постоянного сечения из линейноупругих материалов
Введем новые неизвестные функции, относящиеся к изгибу стержня в плоскости У\—1:
(*)!х^2)! хг,з ! хг,4
так что
Х^4 =
EI
y
Х^2 =Х^1, Х^3 =Х^2, Х^4 =Х^3,
// /
qx-(mYA +emxA)-(vYXMxe) +(Mxe') +
+[n ((+aye)
+
EIy
GI кр кр
M» (e'ßx+n)
(10)
см. первую формулу (4).
Аналогично производим замены по схемам
I
ХП2 (z)!Хn3 (z)|ХП4 (z)!
Аналогично составляем граничные условия изгиба в плоскости УХ .
Граничные условия деформаций кручения имеют
вид
¡х n1 (z) ¡Хel (z)!Х
92
(z )!Х 9 3 (z )!Х 9 4 (z )i
|_c_(f )!_z;(z )jAl(i)j
¡X Z1(z Ях Z2(z )}х Z3(z).
e'(z)! e''(z) I e'''(z)
(11)
Вводя векторы:
Xy = colon [xji \%j2 ¡Xj3 ¡Xj4] > j : Xz = colon [Xzi ¡Xz2 ¡Xz3]
и обобщенный вектор перемещений
5С=со1оп [хI ¡^е ¡1с],
(8) преобразуем систему уравнений (4)-(6) к матричному уравнению первого порядка типа
X: =0,1
В уравнениях (7)-(9) Мтх, Му, М^ и ОХ , Оу, N - моменты и равнодействующие внешних сил, приложенных по концам стержня, Вю - бимо-
х(г)=А(г,$)х(г)+^(г) . (12)
Здесь А(г,S) есть матрица размера 15x15, составленная из блоков типа выражения (10); $ - множество внутренних сил Мх, Му , Вю, N, Мк ;
F -
вектор внешних усилий, соответствующих на-
менты.
грузкам qx , qY , qz , mXA , mYA , ¿Ю и тД
Решение уравнения (12) записываем в виде
г
X ()=П( ,0) х(0)+/п(г,с)р(с) (с, (13) 0
где П(г,с) есть переходная функция, отвечающая матрице А :
П(г ,с)=х(г)х-1(с). Здесь х() - матрица фундаментальных решений однородного уравнения
х ()=А()зс().
В свою очередь, граничные условия (7)-(9) могут быть представлены в виде
Гох(о)=yq,rL х(L)=Yz.
(14)
Mx =-EIx
My = EIX
B =-EI пю ю
Хл3 XelX^3 Xe2X^2'
2 "
Х^з +Хе1Хлз "Хе2ХЛ2"
-(Хе2) ßy I
(15)
Хез (xe2) ßco
Мкр =GIkpX
кр/*е2'
ЕЕ ¡2 \
N=ЕЕ ^ + --Мкр (X 02Р +Х^2Яу Хп3ах ) • Шк
Нормальные напряжения вычисляем по формуле (3), касательные по формулам:
-ч Мкр (z)^-
(16)
кр
(z, s):
I
'8(S).
кр
SЮтс (s)=}ю(7)8(s ) ds,
3. Методы расчета напряженно-деформированного состояния стержней при заданных нагрузках и граничных условиях
3.1. Положим, что при заданной нагрузке [х ,
[у ,qz , тхА ■, туд,, т^,, ^ и усилиях на
торцах
S г
mtx MY ML А
Y,
j кР j' Ю
z=0,L
Уравнение (13) и условия (14) достаточны для определения вектора начальных условий, конечно, если число граничных условий равно размеру вектора X, подробнее см. в [3].
Определение вектора х() позволяет вычислить
внутренние силы в поперечных сечениях по формулам (2), произведя в них замены типа (11).
определены внутренние усилия Мх. ((), Му (), Бт ■ (), Мкр (г), N () и составлена матрица А(,Sj) уравнения типа (12). Требуется определить квазиперемещения Дхj+l(z) при увеличении внеш-
них сил на
AF
j+1
ASj+1. Полагая
ДХ'+1 ()=А((Sj■ )ДХ■+1 0=^+1 (17)
Г0ДХ■+1 (0)=^ГЬ Дlj+1(ь)=уь (18)
и, решая соответствующую краевую задачу, по формулам (15), (10) и (11) определим соответствующие
перемещения Д^у+1, ДП■+1, Д9■+1, ДС■+1 и внутренние усилия ДМХ ■+1,.. ■+1, см. выражения (2).
Заметим, что эти функции могут быть уточнены, если выполнить повторный расчет, приняв
А : = А(,Sj+l), сохранив неизменными значения
нагрузок.
Нормальные и касательные напряжения находим по формулам (3) и (16).
3.2. Иной вариант решения задачи заключается в введении «фиктивных» нагрузок
/
: =бтхА +((ухМхб)-(Мхб')-\к ((+Оу9'У
Здесь ) - толщина стенки поперечного сечения стержня; 5 - криволинейная координата срединной точки профиля; (^) - статический сектори-альный момент «отсеченной» части сечения,
EI
У
GI кр кр
Мкр (e'ßx+п')
mZA: =П myA 'mxA - (МуЛ'+Мх^)-
/
-((Vr2e') -
EI
GI
юРюе'
кр
подробнее см. общую теорию стесненного кручения тонкостенных стержней в [3, 4].
= VL (r 2
EF I 2 \
И
о
после чего уравнения (4)-(6) получают вид
(EIy £') = qx+qf; (EIxn\)= qy+qf; (£/юе')'-(а/кре') = mM + mf; (EFQ=-qz - qf.
(19)
Метод был предложен автором в его докторской диссертации [1].
Применение уравнений (19) в форме
X (z)=A(z) X(z)+F (z)+Fф (z, s)
упрощает матрицу A(z), особенно для стержней
постоянного сечения. При A = const чрезвычайно упрощается составление переходной матрицы, см. [3].
Преимущество выражений (17) заключается в том, что они являются квазизависимыми, т.е. распадаются на ряд уравнений
Xi (z)=A (z) X (z)+F (z)+ Fф (z, s) ,
(20)
i=S,nAG.
Для постоянных матриц Aj переходные матрицы определяем формулами
ц ((-<о )=у^ (t-to V,
где V' - матрицы, составленные из собственных векторов матриц А,; Л, - диагональные матрицы характеристических чисел:
Л,. = Жад[хл\2..Хт] .
В соответствии с уравнениями (2) разделяются и краевые условия (18).
О недостатках и достоинствах рассмотренных методов см. в следующей из задуманной серии статье [5].
Литература
1. Воронцов Г.В. Численное решение задач строительной механики с помощью численного смешанного метода (прочность, устойчивость и колебания тонкостенных стержней, длинных цилиндрических оболочек и плоских рам): Дис. ... д-ра техн. наук. Т. 1-3. Новочеркасск. 1966. 547 с.
2. Воронцов Г.В., Кабельков А.Н., Кузина О.А. Дифференциальные уравнения задач об изгибно-крутильных колебаниях нелинейных тонкостенных стержней / Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 1996. № 4. С. 67-77.
3. ВласовВ.З. Тонкостенные стержни. М., 1960.
4. Воронцов Г.В. Сопротивление материалов: Учеб. пособие / Новочерк. гос. техн. ун-т. Новочеркасск, 1994.
5. Воронцов Г.В. Введение в математическую теорию оптимального оценивания и управления состояниями технических систем: Учеб. пособие / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). Новочеркасск, 2006.
Южно-Российский государственный технический университет
(Новочеркасский политехнический институт) 3 сентября 2007 г.
