CC BY
61
Г/=Я](2хУЛ. (9)
^ О
Таким образом, проведя расчеты по формулам, приведенным выше при изменении i от 1 до N (где N - число древесных стволов) мы моделируем размеры всех древесных стволов в насаждении. Зная эти параметры, мы можем осуществлять отбор самых худших, угнетенных деревьев при рубках ухода и моделировать раскрой вырубаемых стволов на сортименты.
Для того, чтобы успешно осуществлять раскрой древесных стволов на сортименты нужно знать не только геометрические размеры стволов, но и распределение и влияние пороков на качество заготавливаемой древесины.
Наиболее часто встречающимся пороком древесного ствола являются сучья. Поэтому показатель сучковатости является основным сортообразующим параметром и первостепенным фактором, определяющим качество древесины [5].
Зависимость длины наиболее ценной, безсучковой зоны от диаметра ствола близка, согласно [3,4], к линейной и для сосновых стволов может быть выражена:
Ц = 0,1-1 Ии\ / + Ю . (10)
Диаметр сучьев моделируется как случайная величина, распределенная по закону Вейбулла:
Л, = 1.13 - Л, -фпГ ,|) “ , (11)
где ф/к - диаметр к-то сучкау'-й мутовки /-го ствола, см; с/„ - математическое ожидание диаметра сучьев, см: с/,у определяется как
(?и = 1,2 • ([2х] ,)05. (12)
Межмутовочное расстояние у сосновых стволов определяется по закону Вейбулла:
'.=1.13 •/.(ИГ’, (13)
где 1т - расстояние между мутовками сучьев, см; 1т - математическое ожидание межмуто-вочного расстояния, см. /,„ определяется как L =8 + 3,5- [2*],. (14)
Таким образом, осуществляя расчеты по вышеприведенным формулам мы можем моделировать распределение сучьев по длине древесных стволов. Зная также геометрические размеры участков ствола, на которых
располагаются сучья, мы можем, в соответст-
вии с ГОСТ 9463-88, определить их влияние на качество заготовленной древесины. Тем самым можно решить задачи оптимизации раскроя хлыстов на сортименты круглого леса.
Литература
1. Анучин Н.П. Лесная таксация. - М.: Лесн. Пром-сть, 1982.-552 с.
2. Брейтер B.C. Статистическое моделирование эксплуатационных параметров деревьев в различных регионах страны. В кн. : Перспективная технология и организация лесозаготовительного производства.
- Труды ЦНИИМЭ. - Химки, 1997. - С. 38-49.
3. Голуб А. А., Струкова Е.Б. Экономика природопользования. - М.: Аспект Пресс, 1995. - 188 с.
4. Отбросов М.Я. Моделирование параметров сучковатости на ЭЦВМ. - В кн.: Механизация обрезки сучьев. Труды ЩШИМЭ. - Химки, 1978. - С. 45-54,
5. Осипенко Ю.Ф., Рябчук В.П. Лесное товароведение. -Львов: Высшая школа, 1979. - 323 с.
6. Петровский B.C. Оптимальная раскряжевка лесоматериалов. - М.: Лесн. Пром-сть, 1989. - 288 с.
7. Толоконников В.Б. Новые таксы и цены в лесном хозяйстве: обзорн. ин-форм. - М.: ВНИИЦлесре-сурс Госкомлеса СССР, 1989. - С. 28.
МЕТОДЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЭКСПЕРТНОЙ ИНФОРМАЦИИ В ВИДЕ СОВОКУПНОСТИ ТЕРМ-МНОЖЕСТВ ПОЛНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ
СЕМАНТИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
О.М. ПОЛЕЩУК, к.ф.-м.н., доцент МГУЛа
Успешное функционирование любой сис- решения принимаются на основе самой раз-темы главным образом зависит от того, ноплановой информации, которая определя-как этой системой управляют. Управляющие ется как количественными, так и качествен-
ными показателями. Различие в характере поступающей информации определяет тип заложенной в этой информации неопределенности и соответственно требует дифференцированного подхода к методам ее обработки с целью получения адекватных реальности выводов и принятия на их основе эффективных и своевременных управленческих решений. Представление полученной информации в виде удобном для лица, принимающего управленческие решения, и близком его мыслительной деятельности, является существенным этапом, определяющем успешность всех последующих этапов ее обработки.
Настоящая статья посвящена методам представления экспертной информации в виде совокупности терм-множеств полных ортогональных семантических пространств (ПОСП) [1]. Информация получена от эксперта в результате процедуры оценивания им наличия качественного признака у совокупности объектов. Для процедуры оценивания интенсивности проявления признака эксперт использует элементы порядковой шкалы. Поскольку элементы порядковой шкалы являются не более чем символическими обозначениями лингвистических значений этого признака, то построение функций принадлежности этих значений по сути дела является решением задачи вскрытия внутренней сущности оцениваемого признака в рамках рассматриваемой совокупности объектов. Особенности порядковой шкалы, описанные ниже, существенно ограничивают возможность оперирования с ее элементами. Применение, например, арифметических операций с последующим переносом выводов на реальные объекты по меньшей мере некорректно в силу того, что элементы порядковой шкалы не являются обычными числами числовой прямой. Возможность замены этих элементов значениями лингвистических переменных снимает ряд ограничений в силу перехода на другой категорийный уровень как самих элементов, так и определенных для них операций.
Методы, описанные в работе, являются новыми. Важность этих методов состо-
ит в том, что они обеспечивают возможность оперирования не со значениями признаков, измеренных в разных шкалах и единицах, а с абстрактными безразмерными понятиями -функциями принадлежности значений признаков.
Начнем с рассмотрения порядковой шкалы. Порядковая (ранговая) шкала применяется для разбиения объектов на классы эквивалентности, и для упорядочивания этих объектов по интенсивности проявления рассматриваемого качественного признака. После упорядочивания классы эквивалентности занимают определенные порядковые места (ранги). В общем случае порядковая шкала не имеет начала отсчета и масштаба. В порядковой шкале оцениваются знания обучающихся, их психофизические и характерологические показатели, выступления спортсменов на соревнованиях, твердость минералов и т. д.
Полученные в результате исследования выводы могут быть адекватны реальности тогда и только тогда, когда они не зависят от того, какую единицу измерения предпочитает исследователь, то есть эти выводы должны быть инвариантны относительно допустимого преобразования значения измеренного в той или иной шкале признака. Допустимыми преобразованиями порядковой шкалы являются все строго возрастающие преобразования. Допустимость монотонного преобразования значений признака, измеренных в порядковой шкале, означает, что эти значения можно произвольно изменять при условии сохранения установленного ими порядка следования объектов или классов эквивалентности этих объектов.
Когда эксперты измеряют в порядковой шкале некий качественный признак, то для нахождения агрегирующих показателей используют средние значения балльных экспертных оценок [2,3]. Есть несколько способов вычисления средних значений: среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое, среднее квадратичное, мода, медиана. Рассмотрим применение в порядковой шкале среднего арифметического, как наиболее часто используемого.
Предположим, что два абитуриента по одному вступительному экзамену получили соответственно оценки 4, 3, а по другому вступительному экзамену соответственно оценки 4, 5. Суммы баллов и средние арифметические баллов по результатам двух экзаменов у них одинаковые и равны соответственно 8 и 4. Отсюда делается вывод, что они имеют равные шансы на зачисление. Поскольку при выставлении оценок на экзаменах мы имеем дело с порядковой шкалой, то применим строго возрастающее преобразование этой шкалы Ф:
Ф(3) = 3,Ф(4)=4,Ф(5) = 7.
В соответствии с проведенным преобразованием (которое является допустимым) сумма баллов и среднее арифметическое баллов одного абитуриента остались прежними, а у второго абитуриента стали равняться соответственно 10 и 5. Таким образом, шансы на зачисление второго абитуриента больше, чем первого. Устойчивость результатов после преобразования нарушается, что говорит о некорректности применения арифметической операции сложения (и среднего арифметического). Аналогично можно показать некорректность применения в порядковой шкале всех арифметических операций.
Поскольку применение средних в различных шкалах достаточно распространено, то нас интересует поиск средних значений, результаты сравнения которых устойчивы относительно допустимых преобразований значений признаков, измеренных в конкретной шкале. Дадим определения средних по Колмогорову и по Коши.
Определение 1. Для чисел х],х2,...хп средним по Колмогорову называется величина F-1[(F(Jc1) + F(x2) + ...F(xл))/»],F(x) -
строго монотонная функция, Fч(x) - обратная к F(x).
Если F(x) = х, то среднее по Колмогорову - это среднее арифметическое, если F(x) = 1п х, то среднее геометрическое, если F(x) = 1 / х, то среднее гармоническое.
В [4,5] доказано, что, например, в шкале интервалов из всех средних по Колмогорову можно использовать только среднее арифметическое, а в шкале отношений из всех средних по Колмогорову можно использовать только степенные средние и среднее геометрическое.
Определение 2. Функция
/(х,, х2,..хи) называется средним по Коши
для чисел х,,х2,...хя, если т1п(х1,х,,...х|)< < /(х,,х2,...хл) < тах(х,,х2,...х„).
В [5] доказано, что в порядковой шкале из всех средних по Коши можно использовать только члены вариационного ряда, в частности медиану. Применение членов вариационного ряда для нахождения агрегирующего показателя по ряду частных показателей часто неинформативно в силу очень грубой оценки. Например, в образовательном процессе, когда знания оцениваются в баллах от двух до пяти. Как уже говорилось, порядковые оценки качественного признака являются не более, чем символическим обозначением лингвистических (описательных) значений этого признака. Так, например, оценки 2, 3, 4, 5 - символические обозначения лингвистических значений «неудовлетворительные», «удовлетворительные», «хорошие», «отличные» качественного признака «знания». В лингвистическом виде достаточно часто представляются не только качественная информация, но и информация, имеющая количественный характер. Делается такое представление с целью принятия своевременных и адекватных управленческих решений. Например, вероятность наступления события характеризуется обычной числовой величиной и изменяется от нуля до единицы. Если же, например, речь идет о вероятности разорения предприятия, то руководителя этого предприятия интересует не конкретное число, а отождествление этой вероятности с одним из лингвистических значений: «очень высокая», «высокая», «средняя», «малая», «очень малая».
Исходя из вышесказанного, предлагается подойти к представлению значений качественных признаков с позиции теории не-
нечетких множеств. Одним из основных понятий теории нечетких множеств является понятие лингвистической переменной [1]
Определение 3. Лингвистической переменной называется пятерка
{Х,Т{Х\и,У,Б}, где X- название переменной; Т(х)~ терм-множества переменной X, то есть множества названий значений переменной X. Каждое из этих значений - нечеткая переменная со значением из универсального множества и. V - синтаксическое правило, порождающее названия значений лингвистической переменной X. Б - семантическое правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой переменной ИЗ т{х) нечеткое подмножество множества и.
Определение 4. Семантическим пространством называется лингвистическая переменная с фиксированным терм-множеством.
Семантические пространства широко применяются в самых разных областях -экономика, техника, образование, и т.д. [6-13]. Находят они свое применение в классических разделах математики, например, в теории вероятностей, когда исследователю важно получить не точное значение вероятности события, а определить, например, мала или велика вероятность появления этого события [12]. Задача определения значений качественных признаков является одной из основных задач экспертного оценивания. Определение количественных оценок, выражающих интенсивность проявления качественных признаков, необходимо для процедур оценивания объектов по этим признакам и выставления, например, агрегирующих оценок по результатам всех процедур. Как правило, эксперту в ходе таких процедур гораздо проще словами выразить интенсивность проявления рассматриваемого признака (например «высокое», «среднее», «малое»), чем напрямую оценить ее в рамках количественной шкалы. В связи с этим возникает проблема представления качественного признака в виде лингвистической переменной (семантического пространства).
Если количественный признак можно измерить и тем самым однозначно определить универсальное множество II, то с качественным признаком дела всегда обстоят сложнее. При обработке информации самых разных областей переход от четких данных к нечетким данным называется фаззификаци-ей или размыванием данных. Этап фаззифи-кации данных является необходимым этапом для любой модели в условиях нечеткой информации. Видимость ухода от реальных данных путем их фаззификации (размывания) возникает только на первый взгляд. При более глубоких изучениях реальных ситуаций оказывается, что этот этап наоборот приближает исследователя к действительности, поскольку оперирование конкретными числами в нечетких условиях при большом количестве влияющих, но трудноформали-зуемых факторах, по крайней мере, самонадеянно и неадекватно. Чем глубже изучается объект или событие, тем больше обнаруживается источников неопределенности, которые не могут быть раскрыты четко и однозначно. Ряд параметров оказываются недоступными для точного измерения, и в их оценках неизбежно появляется субъективная компонента. Попытка применения точных оценок в итоге только больше и больше уводит от реальной действительности.
Введем некоторые ограничения на
функции принадлежности \хк(х),к = \,п
терм-множеств семантического пространства. Значения функций принадлежности конкретного терм-множества - это степень оттеночной уверенности лица, производящего оценивание (ЛПО), о принадлежности оцениваемого объекта к этому терм-множеству.
Для каждого к,к = \,п существует по крайней мере один х е и : \хк (х) = 1.
Условие 1) означает, что у каждого терм-множества существуют хотя бы по одному типичному представителю (степень оттеночной уверенности ЛПО в их принадлежности данному терм-множеству равна единице).
Пусть ик = {хе£/: цк(х) = 1}, тогда \1к(х\к = 1,п не убывает слева от ик и не возрастает справа от IIк.
Условие 2) означает требование плавности границ понятий. Например, интервал является частным случаем нечеткого множества с прямоугольной функцией принадлежности. Если два соседних терм-множества будут иметь такие функции принадлежности, то их общая граница будет своеобразным скачком от одного понятия к другому.
\хк{х),к = \,п имеют не более двух точек разрыва первого рода.
Условие 3) обеспечивает возможность использования наряду с функциями принадлежности характеристические функции.
Для каждого х е II существует к, к = \,п : щ(х)* 0.
Условие 4) обеспечивает для каждого объекта существование хотя бы одного терм-множества, которое описывает этот объект с ненулевой степенью.
п
Для каждого хе(/ ^ (х) = 1.
к=1
Условие 5) обеспечивает разделимость понятий, образующих семантическое пространство, отсутствие в построении синонимии или семантически близких терминов.
Определение 5. Семантические пространства, функции принадлежности терм-множеств которых удовлетворяют условиям 1)-5), называются полными ортогональными семантическими пространствами.
Применение лингвистических переменных и ПОСП в решениях задач самых разных областей привело к тому, что прикладные приложения стали опережать теоретические разработки в этой области [1], в связи с чем назрела насущная необходимость разработки новых методов построения ПОСП. Построение ПОСП или, что, то же самое, определение функций принадлежности его терм-множеств (лингвистических
термов) особенно важно и, можно сказать, первостепенно при решении практических задач, поскольку это определение происходит вне теории нечетких множеств и, следовательно, его адекватность не может быть проверена непосредственно средствами самой теории. В каждом известном к настоящему времени методе построения функций принадлежности формулируются свои требования и обоснования к выбору именно такого построения.
Первым методом, предложенным в настоящей статье, будет метод построения кусочно-линейных функций принадлежности к,к> 2 терм-множеств ПОСП «качественный признак» на основе статистической апостериорной информации, представленной элементами порядковой шкалы. Этот метод является универсальным, он может быть применим для построения ПОСП любого качественного признака.
Постановка задачи 1. Построить ПОСП с названием «качественный признак» на основе апостериорной статистической экспертной информации.
Решение задачи 1. Пусть X - название качественного признака, Т(Х) =
= {Х{, Хг,...Хк}, Хх - терм-множество, соответствующее минимальной интенсивности проявления признака X и порядковой оценке х,, Хк -терм-множество, соответствующее максимальной интенсивности проявления признака X и порядковой оценке хк,
и = [од]. Процентное отношение объектов в рассматриваемой совокупности с порядковой оценкой х, признака X обозначим за а,, процентное отношение объектов с порядковой оценкой х2 признака X обозначим
к
за аг и т.д., =1 •
>1
Построим функцию принадлежности терм-множества, соответствующего максимальной интенсивности проявления признака.
(I) а)акйак_1
О,
1 + -
1,
0<х<1-^
2
. За. . а.
1---- < х < 1 —-;
2 2
1--^-<х<1
2
б) а, > ак_
М*)
х-(1 -ак+-^)
1 +
**-1
1,
О < х < 1 -а, -
1к-\
1 - ак - < х < 1 - ак +
2 2
1-а* +^± < х < 1 * 2
Построим функции принадлежности средних терм-множеств качественного признака. (II) а) аы > тах(ак,ак_2)
л
О, 0 < х < / \ а. + -
4-2
к-2
1 +
1=1
4-2
1,
(л к \
О,
/=1
*-3 _ к-2
|]а).+-^-<х<^й,.+-* 1=1 *
&-2
м
*“2 п
£>,-+—<Х< 1-
За,
/=1
1-^-<х<1-^ 2 2
1- —<х<1 2
б) ак < ак_, < ак_2
О,
1 + -
4-1
1,
3ак ч
х_(1--------А.)
ак
0<х<1-а,.
За
к-1
1 - - ^£*.1 < х < 1 - - ——
1 ЗЯ* ^ 1 ак 2 2
1-^<х<1
2
в)а*_2'<а*_1 <ак
1 +
О,
*к-2
1,
1-
*к-\
к~ 3
О < х < +
4-2
/=1
*-3 п к-2
У" а , + < х < У а , +
^ ' 2 ^ 2
*-2
/=1
к-2
а
к-2
< х < 1 - а*. -
1к-1
1 ак-\ ^ л йк-1
1 - а4 —— < х < 1 - ак + ——
1 -ак+ < х < 1 2
г)аЬ1 <тт(а*,а*_2)
О,
1 + -
4-1
О,
О < х < 1 -я,.
За
£-1
1 - я* - < х < 1 - ак +
2 2
1 — +^-1<х<1
‘ 2
Аналогично ц ^ (х) строятся функции принадлежности \хх (х), / = 2, /с - 2.
Построим функцию принадлежности для крайнего терм-множества, соответствующего минимальной интенсивности проявления признака.
(Ш) а) а, < а2 1,
О < х < — 2
М*):
1--
б) я, > а2
1,
х “ (аі “ 4г)
О,
^2 . а2
а, —- < х < а, + — 1 2 1 2
а, + — < х < 1
Нетрудно проверить, что функции принадлежности (х), г = 1, к терм-множеств Т(х) удовлетворяют условиям 1)-5), поэтому построенное семантическое пространство действительно является полным и ортогональным.
Построенные функции принадлежности терм-множеств ПОСП являются функциями принадлежности нечетких чисел Т -типа или треугольного типа [14]. Таким образом, при моделировании гуманистических систем, полученные данные х -,_/ € N (например, оценки качественных признаков, психофизические, характерологические показатели и т. д.) могут быть представлены в виде нечетких множеств (нечетких чисел) функциями принадлежности
Пример 1. Рассмотрим данные о состоянии деревьев вида «береза повислая»,
произрастающих в сложных экологических условиях Бульварного кольца г. Москвы (обследовано 484 дерева). Для оценки состояния деревьев была использована лингвистическая шкала с семью категориями состояния: 1 - старый сухостой, 2 - свежий сухостой, 3 - усыхающее, 4 - сильноослаб-ленное, 5 - среднеослабленное, 6 - умеренно ослабленное, 7 - здоровое без признаков ослабления [15,16]. На основе этой шкалы в 1997-2001 гг. были обследованы насаждения г. Москвы в рамках общегородского мониторинга состояния зеленых насаждений [17,18]. Обозначим за « .,_/ = 1,7 - относительное процентное содержание деревьев вида «береза повислая» в насаждениях Бульварного кольца, отнесенных экспертами к у -му состоянию. Полученные при этом данные занесены в таблицу.
Таблица 1
№ п/п Название вида Бульварное кольцо
а, «2 а3 йА а5 аб а7
1 Береза повислая 0.090 0.180 0.000 0.180 0.180 0.370 0.000
По данным табл. 1 построим ПОСП X ^«состояние деревьев вида «береза повислая» в насаждениях Бульварного кольца» с терм-множествами сп ] -1,7, сх = {старый сухостой}, с2-{свежий сухостой}, с3 = {усыхающее}, с4 = {сильноослабленное}, с5 = {средне-ослабленное}, е6 = {умеренно ослабленное}, с7 = {здоровое}.
Так как а-, - 0, то функция принадлежности ц7 терм-множества с7 вырождается в обычную характеристическую функцию точки х = 1 [О, х Ф 1
[1,х = Г
Из таблицы 1 видно, что а6 > а5, поэтому
О, 0 < х < 1 - а6 - —
=■
1 -а6 + •
1 +
1, 1-а,+ — <х<1
Поскольку а5 = а4, то
О, 0 < х < 1 - ай
3 а.
1-а6--
1 + -
/
1--
л
а.
, 1-а6—-<х<1-а6 + “5
£з
2
О, 1 - а, + — < х < 1
Так как а, > а,, то
О, 0<х<1-а6-2а5
I, 1-а6 -2а5 <х<1-а6 -
За,
х -
1-а*
За,
1 - а6 - <х<1-а6- —
6 2 6 2
а.
О, 1-а6 —- < х < 1
Так как а3 =0, то функция принадлежности ц3 терм-множества с3 вырождается в обычную характеристическую функцию точки х = 0,27
ГО, х* 0,27 Цз [1, х = 0,27'
Из последнего соотношения а2 > а, вытекает
0, 0 < х < а±-2
Ц2 =Н
За,
1 +
а, ^ За, ~^<х< 1
2 ’
За,
1, —-<х<1-а6-2а5
2
0, 1 - а6 - 2а5 < х < 1
1, 0<х<-^
2
х -
1-
< X <
За,
0, --1- < х < 1
2
Функции принадлежности терм-множеств ПОСП Хг= «состояние березы
повислой на Бульварном кольце» изображены на рисунке.
Изложенный метод удобен и прост в применении, поскольку он не требует повторного привлечения эксперта, проводившего оценивание объектов, с целью получения какой-либо дополнительной информации. Однако при всех своих достоинствах и перспективах многочисленных приложений он имеет и некоторые ограничения в применении. В частности этот метод неприменим для построения ПОСП в условиях малого количества оцениваемых объектов. Например, при решении задачи формирования экспертной группы и выявлении различий и сходств в экспертных подходах к оцениванию некоторого признака, не всегда представляется возможным оценивать большое число объектов. Кроме этого, сами объекты оценивания могут быть редкими и соответственно малочисленными. Когда речь идет о нахождении степеней принадлежности объектов к нечеткому множеству, то можно ограничиться известным методом попарного сравнения объектов [19]. Если же речь идет
о построении ПОСП, то недостаточно определить степени принадлежности объектов к каждому из его терм-множеств. Необходимо определить универсальное множество и удовлетворяющий условиям 1)-5) набор функций принадлежности.
Рисунок
Исходя из сказанного, представляется необходимым изложение метода построения функций принадлежности ПОСП на основе попарного сравнения.
Постановка задачи 2. Построить ПОСП с названием «качественный признак» на основе попарного сравнения объектов.
Решение задачи 2. Пусть совокупность объектов У],У2,...,Ум изучается на наличие качественного признака X, интенсивность проявления которого оценивается в рамках порядковой шкалы с числом категорий интенсивности этого признака равным к. Поставим в соответствие категориям интенсивности числа х,., г = 1 ,к - элементы
порядковой шкалы, х, соответствует категории минимальной интенсивности признака, хк соответствует категории максимальной интенсивности признака. Будем считать, что эксперт оценил каждый из объектов У,,У2,...,Уд, двумя оценками. Первая оценка - г} - х,.,] = 1, N г = 1 ,к, вторая оценка ^ е [0.11 у - 1, N . Первая оценка определяется путем отнесения экспертом каждого объекта к одной из категорий интенсивности проявления признака. Вторая оценка определяется, например, на основе теста, состоящего из вопросов (заданий), определяющих наличие признака у каждого из объектов. Вопросы теста подразумевают, например, ответы «присутствует», «отсутствует» или «верно», «неверно». Не ограничивая общности, оценка у / е [ОД], у = получается из отношения числа вопросов с ответами, определяющими наличие изучаемого признака, к числу всех вопросов. Например, применительно к образовательному процессу, оценки х= 2,3,4,5, у = 1, /V могут быть получены на экзамене в рамках некоторого предмета, а оценки у] е [ОД], у = 1, N могут быть получены в результате тестирования в рамках этого же предмета, у е [од],
у = 1, N определяются равными отношению числа заданий с правильными ответами к числу всех заданий.
Прежде, чем начать построение ПОСП исключим из рассмотрения ошибочные данные. Будем считать данные ошибочными, если ук < у ], а хк > х., к = 1,/У,
у = 1, N. В этом случае из рассмотрения исключаются две пары оценок {хк,ук),{х],у]). Построим ПОСП X с числом терм-множеств равным к (в соответствии с числом категорий интенсивности) и функциями принадлежности ц ., у = 1 ,к
трапециевидного вида (Т -типа) или треугольного вида (треугольного типа). Будем употреблять выражение «объект отнесен к X. терм-множеству» или выражение «объект отнесен к г'-ой категории интенсивности проявления признака X », считая эти выражения равнозначными.
Построение начнем с крайнего терм-множества Хк, которое соответствует максимальной интенсивности проявления признака X. Для функции принадлежности этого терм-множества будем считать характерной точку х = 1, то есть \хк (1) — 1. Если число объектов, отнесенных экспертом к категории максимальной интенсивности, равно нулю, то
Если число объектов, отнесенных экспертом к категории максимальной интенсивности, меньше 3, то к ним присоединяются объекты, отнесенные экспертом к соседней категории или, что то же самое, к соседнему терм-множеству Хк_х. Присоединение объектов из соседней категории начинается с объекта, имеющего наибольшую оценку у1 из всех объектов, отнесенных к этой категории. Присоединение или заканчивается на этом или присоединяется еще один объект, имеющий наибольшую оценку у1 из всех оставшихся в этой категории объектов. Если объекты двух категорий в сумме составляют меньше 3, то построение невозможно и требуется дополнительная инфор-
мация. Пусть У,,..., , / > 3 - объекты, отнесенные экспертом к терм-множеству Хк или объекты, отнесенные экспертом к терм-множеству Хк с присоединенными объектами из терм-множества Хк_х. Расположим эти объекты по убыванию оценок г = 1,/. Получим условный порядковый ряд У^,У^,...,У^, которому соответствует числовой порядковый ряд .У(1), >>(2),.••>>>(,)•
Произведем попарные сравнения объектов условного порядкового ряда по шкале Саати [20]. Пусть а у, г = 1,/, ] = 1,/ -оценки по шкале Саати превосходства наличия признака X у объекта У^ по сравнению
с объектом % Будем считать, что а~ = ^
а,
Составим матрицу попарных сравнений
А =
(1 а, 2 аи .. аи'
1 1
^23 .. а21
«12
1 1 1 .
— .. аЪ1
а,3 й2Ъ
І І І .. 1 )
ч аи а21 а31
и найдем ее собственные числа. Для этого приравняем к нулю определитель
1-Х ап а13 . а,
1 ' а12 1-1 а23 • а2
1 1 1-Х . ■ аъ
а,3 агъ
• 1 І І . 1-
а\і а21 а31
21
= 0.
Выберем максимальное собственное число и найдем соответствующий этому числу собственный вектор со,. = = (со*.,,...,соА_;). Для этого решим систему уравнений, записанную в матричном виде
^ ^пи «12 ап а\ 1
1 1 “ ^гаах а2Ъ - аг1
ап 1 1
ау ®*.з
Я, з а2Ъ
І І І - 1-^п»
= о
Если решением этой системы является только нулевой вектор, то одно из уравнений системы заменяется уравнением
+а»*,2 + - + °Ч/ =1-
В [19] показано, что результат не меняется при замене любого из уравнений системы. В этом случае находим шах(со4, ,®к 2,...,®к1) = (8к
и нормируем (йк !, г = 1,/.
Получаем <Як. = ——, г = 1, /. Будем
считать ю*,., г = 1,/ (йЗАг = 1,/) степенью принадлежности объекта У^, г = 1, / терм-множеству Хк. Дальнейшее изложение производится в предположении, что собственный вектор максимального собственного числа не является нулевым. Если вектор является нулевым, то в этом изложении (О*,., i = l,l заменяется на сЗкп г = 1,/. Так
как для V У((), г = 1, / существуют оценки У а) є [оді ыи , то будем считать, что эти оценки принадлежат терм-множеству Хк соответственно со степенями принадлежности &кі, і = 1,1. Чтобы получить кусочнолинейную функцию принадлежности цДл-) терм-множества Хк, левое крыло которой будет иметь вид у = акх + Ьк, применим метод наименьших квадратов
р = ЦІакУ(і) + К -а*,,)2 -> тіп-
і=і
Из системы нормальных уравнений
дак
ар
дк
= 0
= 0
а*£,У(0 + ь*£,У(0 = £1У1<он
і=і і=і /=1 і і
ак^У{ о+й*
ы\
і=і
найдем неизвестные коэффициенты ак, Ьк.
Если выполняется условие у(1) =
= ак+Ьк> 1, то функция принадлежности
терм-множества, соответствующего максимальной интенсивности признака, будет иметь трапециевидный вид (или будет функцией принадлежности Т - числа):
О, 0 < х < - —
И*
(.х) =
акх + Ьк, -
Ьг,
<х<
1 -Ъ,
ик ик 1, —< X < 1
Если >’(1) = ак + Ьк < 1, то прямая ищется в виде у = акх +1 - ак. Неизвестный коэффициент ак находится из решения оп-
тимизационнои задачи
1(<
1=1
'*^(0
Л + 1 ~ Ял
-СО
ИЛИ
др
да,
X (-^(о - 1Хсо^,/ - О
= 0 о а.
_ 1=1
ЕМ
м
Итак, в этом случае функция принадлежности крайнего правого терм-множества (соответствующего максимальной интенсивности признака) будет иметь треугольный вид и являться функцией принадлежности треугольного числа
а, -1
(х) =
0, 0 < х <
1 ак ~ 1
акх +1 -ак, —------------< х < 1
< х <-----
^-1М=•
Исключим из рассмотрения все объ-
екты, чьи оценки у1
> -
Рассмотрим
Определение левого крыла функции принадлежности терм-множества Хк дает однозначное определение правого крыла функции принадлежности ЦАЧ(х) терм-
множества Хк_{, то есть при
объекты, отнесенные экспертом к терм-множеству Хк_х. Если число объектов, отнесенных экспертом к терм-множеству Хк_х,
К
чьи оценки у1 , меньше трех, то при-
ак
соединим к ним объекты из терм-множества Хк_2 по принципу аналогичному принципу присоединения объектов из терм-множества Хк_х к объектам из терм-множества Хк.
Пусть У/+],...,У;+у, V > 3 - объекты, отнесенные экспертом к терм-множеству Хк_х или объекты, отнесенные экспертом к терм-множеству Хк_х с присоединенными объектами из терм-множества Хк_2. Расположим эти объекты по убыванию оценок У;, / = / + 1,/ + V . Получим условный порядковый ряд
^(/+1)> ^(г+2)’-"> ^(/+у)»
которому, как и ранее, соответствует числовой порядковый ряд
У(М)’У(1+2)’--’У(1+х')-
Произведем попарные сравнения объектов этого ряда по шкале Саати. Пусть Ьу, г = I +1,1 + V, j = / +1,1 + V - оценки по шкале Саати превосходства наличия признака X у объекта У(у) по сравнению с объектом У(у), тогда Ьп = 1
Ьу
Составим матрицу
попарных сравнении
Г 1 К Ьп
1 Ъп 1 ^23
1 1 1
Ьп Ь2Ъ
1 1
А К К
2 у
Зу
1
и найдем ее собственные числа. Для этого приравняем к нулю определитель
- X 1 Ьп ЬХ2 Ьи
1-Х Ь2Ъ
1 1 1-Х
Ьп ^23
і І і
К К 1 > 1 гп 1 "О
'IV
2 у
'Зу
= 0.
1-Х
Выберем максимальное собственное число А,тах и найдем соответствующий этому числу собственный вектор со4_, =
= (со^соН1). Для этого решим систему уравнений, записанную в матричном виде
12
1-^.
1
1
1-х,
1
1
К К К
1-К
Щ-и
®/Ь-1.2 «>*-1.3
\Pk-u;
= 0
Если решением этой системы является только нулевой вектор, то одно из уравнений системы заменяется уравнением
®*-1,1 + ■■•+ “*-!.» =1-
В этом случае находим шах(со4_11,со4_12,...,со4_1;) = сб4_1 и нормируем
СО, 1, ----
Получаем (йк л . =----------, г = 1,у . Будем
оЗ
к-1
считать со^и, г = 1, V (сбА_, г., і = 1у ) степенью принадлежности объекта Г(;+;), г = 1,у терм-множеству Хк_х. Дальнейшее изложение производится в предположении, что собственный вектор максимального собственного числа не является нулевым. Если вектор является нулевым, то в этом изложении <в*_,г = 1, / заменяется на сбА_, г, і - \,1.
ми принадлежности со^ ,-, г = 1, V . Чтобы
получить кусочно-линейную функцию принадлежности ц*_,(х) терм-множества Хк_х, левое крьшо которой будет иметь вид у = ак_хх + Ьк_х, применим метод наименьших квадратов.
Если выполняется условие у Ь,
ґ О
Так как для V г = / +1,/ + V существуют оценки у^ е [0Д1 г = / +1, / + V, то будем считать, что эти оценки принадлежат терм-множеству Хк_х соответственно со степеня-
= -ак:, — + Ък, > 1, то функция принадлеж-
ности терм-множества Хк_х будет иметь
трапециевидный вид (или будет функцией принадлежности Т - числа)
7-
0, 0 < х < "
'к-1
ик-1
ак^х + Ьк_х, -^<х^ ак-1 ак-1
і 1 - К-\ ^ ьк
1, -— < X <
°к-1 ак
К Л-ьк
кЛ~„к, -±<Х<-------------к-
ак ак
0, —^ < X < 1
1 -акх-Ьк,
Если это условие не выполняется, то
предполагается, что ~ак_х — + Ьк_х= 1. Не-
ак
известный коэффициент ак_х находится из условия
р = Т,(ак-хУ{ы) + ~(0к_иУ -> тт.
<=1
В этом случае функция принадлежности будет иметь треугольный вид или являться функцией принадлежности нечеткого треугольного числа.
Из системы нормальных уравнений '
дак_х
= 0
= 0
найдем неизвестные коэффициенты ак_х, Ък_х.
р = + К_х -сок_и} -> тіп.
,=1
О, 0<х<-5_+5-А
акак-1 О* + «*-А
а к,х + 1 + а,.—,
в* а*а*-1
1 и Ьк 1
1 -акх-Ьк, —- < х < -
< х <-
О, —^<х<1
Определение левого крыла функции принадлежности терм-множества Хк_х дает однозначное определение правого крыла функции принадлежности ц^2(х) терм-
множества
X.
к-2 >
то есть при
Ц*-2 (*)=1-**-!*“ V.-
1к-1
Если нет объектов, отнесенных экспертом к
V ^ Ьк
терм-множеству Хк_х, чьи оценки у. > —-,
ак
то переходим к построению левого крыла функции принадлежности Ц4.2(х) терм-
множества Хк_2. Пусть у = ак_2х + Ьк_2 - левое крыло ц.*_2(х). Тогда правое крыло цА_2 (х) - есть прямая проходящая через точ-\ ґ /. л
ки
1 -Ь,
к-2
V к-2
д
-^,0
а,
а левое крьшо
функции принадлежности Ц*_,(х) - есть прямая, проходящая через точки
\ / , Л
1 -Ь
к-2
,0
К
-л
крыло функции принадлежности ц2(х) или построить левое крьшо функции принадлежности Ц2(х) и тем самым однозначно определить функцию принадлежности ц, (х).
Будем строить функцию принадлежности цДх). Пусть правое крыло (х2(х) имеет вид у = 1 - а3х - Ь3, - — > 0. Рассмотрим
аъ
объекты, отнесенные экспертом к категории, соответствующей минимальной интенсивности проявления признака. Будем рассматривать только те объекты из этой категории или присоединенные к ним объекты из со-
седнеи категории, чьи оценки у1 < —-.
«3
Проведя попарные сравнения этих объектов и последующие за этим построения, которые изложены выше, получим линейную функцию у = а:х + Ьг, которая является правым крылом искомой функции. Если эта функция удовлетворяет двум условиям:
<0,
*3 /
Построение функций принадлежности цДх), ] = 3,к-2 осуществляется аналогично вышеописанному. Остановимся на построении функций принадлежности ц, (х) и ц2(х). Левое крыло функции принадлежности Ц3(х) однозначно определяет правое крыло функции принадлежности ц2(х). Остается построить функцию принадлежности цДх), которая однозначно определит левое
то
(х) =
а.х + К,
1 -Ь,
<х<-
ц2(х) =
О, 0 < х < -——
К 1 < х < _А
«і а,
< х < —-
ах а3
К Ъз И —- < х < - “йз
«3 а3
1- ^<Х<1
а,
Если функция у = ахх + Ь{ удовлетво
ряет условиям:
: Яо)>1,
У
1** ' и\
к"
V аз;
> 0, то по-
строение функции принадлежности щ(х)
осуществляется при условии у
ґ ^ V «зу
= -я, — + 6, = О. В этом случае неизвестным аъ
остается один из коэффициентов, который находится из нормального уравнения. Получаем функции принадлежности
1-6,
ц,(х) =
1, 0 < х <
ахх + ах ,
К 1 -Ь,
1 < х < -
ш(*)=
нормального уравнения. Функции принадлежности имеют вид
^(х) =
ц2(х) =
1, х = О ахх + 1, 0 < х < - —, а\
О, - — <х<1 ах
О, х = О
- ахх, 0 < х < - — а,
,1 . Ь3
1,-----< х < - —
1 I. Ъъ ^1 _ ^3
1 -аъх-Ьъ, —-<х<------------
аъ «3
О, ^<х<1
Если функция у = ахх + Ьх удовлетво-
ряет условиям: у(о) < 1
предполагается Ьх = 1,
У
У
ґ ъл
V азу
> 0, то
г. а аз
= -ах — + о, = 0, ах = —
я3 ах й3
О, -^<х<1 а3
о, о < х < 1лА.
я,
1 ~ахх-ах—, -—— < х < ——
«з
щ(х) =
аз ах
*3Л с/3 5
а3 а3
О, —^<х<1
Если функция = ахх + Ъх удовлетво-
^2 {Х) :
1, х = О
— х +1, 0 < х < - — 63 а3
О, -^<х<1
О, х = О
аз л ^ *з —^х, 0 < х < —-
1 -аъх-Ъъ,
<х<
3 3
О, —^<х<1
ряет условиям: у(о) < 1,
У
ґ Лл
V «зу
< 0, то
предполагается 6, = 1, а а, находится из
Если число объектов, отнесенных экспертом к одной из категорий (например, 7 -ой, 7 = 1 ,к) равно нулю, то
' [0, х*\
Пример 2. Преподаватель оценивает знания десяти обучающихся в рамках некоторого предмета. Результатом его оценивания являются две оценки. Одна оценка х;, і = 1,10 является результатом экзамена и может принимать значения «2», «3», «4», «5». Вторая оценка уп і = 1,10 является результатом тестирования и может принимать
дискретные значения
0< — <1, п
т -число
правильно выполненных задании, «-число всех заданий. Результаты оценивания занесены в табл. 2.
Таблица 2
№п/п х,. Уі
1 5 0,8
2 5 0,9
3 4 0,6
4 4 0,7
5 4 0,3
6 3 0,3
7 3 од
8 3 0,4
9 3 0,2
10 2 0
Исключим ошибочные данные № 5 и № 8. Занесем оставшиеся данные в табл. 3.
Таблица 3
№ п/п х,. Уі
1 5 0,8
2 5 0,9
3 4 0,6
4 4 0,7
5 3 0,3
6 3 од
7 3 0.2
8 2 0
Построим ПОСП=«знания» с терм-множествами Х) = «неудовлетворительно»,
Х2 = «удовлетворительно», Х3 = «хорошо», X4 = «отлично». Построение начнем с функции принадлежности ц4(х) терм-множества ХА = «отлично». Так как к категории «5» отнесены только два человека, то присоединим к ним обучающихся, отнесенных к соседней категории «4» и предложим проводившему оценивание преподавателю произвести попарные сравнения знаний всех четырех обучающихся менаду собой. В соответствии с вышеописанным методом, расположим их по убыванию оценок У;, I = 1,8. Получим условный порядковый ряд № 2, № 1, № 4, № 3, которому соответствует числовой порядковый ряд 0,9;
0.8; 0,7; 0,6.
Преподаватель производит попарные сравнения субъектов условного порядкового ряда по шкале Саати. Получается следующая матрица попарных сравнений:
М 2 5 7Л
1/2 1 3 4
1/5 1/3 1 2
ч1/7 1/4 1/2 1,
Находим собственные числа этой матрицы:
1,= 4,022; -0,010, \ =
= -0,006 + 0,0294/; \ = -0,006 - 0,0294*.
Выбираем максимальное собственное число и находим соответствующий ему собственный вектор (04= (0,859;0,466; 0,180; 0,109). По четырем точкам (0,9; 0,859), (0,8; 0,466), (0,7; 0,180), (0,6; 0,109), применяя метод наименьших квадратов, строим прямую у = 2,537х -1,499 . Проверим значение 7(1) = 2,537-1,499 = 1,038. Как видно, выполняется условие _у(1) > 1, которое обеспечивает существование хотя бы одной точки х е [ОД]: |и4(х) = 1. Таким образом 0; 0 < х < 0,59 2,537х -1,499; 0,59 < х < 0,985 1; 0,985 <х<1
,Ы:
Определение функции принадлежности ц4(х) позволяет однозначно определить правое крыло функции принадлежности ц3(х), то есть при 0,59 < х < 0,985
ц,(х) = 1 - ц4 (х) = 2,499 - 2,537х. Продолжение построения ц3(х) не представляется возможным, поскольку нет обучающихся, получивших оценку «4», чьи оценки у1 < 0,59. В этом случае переходим к
построению функции принадлежности ц2 (х) терм-множества Х2 = «удовлетворительно». Рассмотрим результаты учащихся нижней части табл. 3, получивших оценки «3» и «2». Расположим их по убыванию оценок уп г = 1,8. Получим условный порядковый
ряд № 5, № 7, № 6, № 8, которому соответствует числовой порядковый ряд 0,3; 0,2; 0,1; 0.
Преподаватель производит попарные сравнения субъектов условного порядкового ряда по шкале Саати. Получается следующая матрица попарных сравнений:
л =
(1
2
I
5
1
2
1
1
2
1
9 5
5
2
1
2
9Л
5
2
1
Находим собственные числа этой матрицы: 1, = 4,008, Х2 = -0,004,
= -0,001 + 0,175», \ = -0,001 - 0,175г. Выбираем максимальное собственное число и находим соответствующий ему собственный вектор со4 = (0,879; 0,427; 0,191; 0,093). По четырем точкам (0,3; 0,879), (0,2; 0,427), (0,1; 0,191), (0; 0,093), применяя метод наименьших квадратов, строим прямую у = 2,6 х - 0,01. Проверим значение
Я0,59) = 1,534 -0,01 = 1,524. Найдем значения х при у = 0 и у = 1. При у = 0, х = 0,0038, при у = \, х = 0,39. Таким образом, у нас построено левое крыло функции принадлежности ц2(х) и правое
крыло функции принадлежности ц3(х).
Чтобы закончить построение этих функций, найдем уравнение прямой, проходящей через две точки (0,39;1), (0,59;0) у = 2,95 - 5х . Эта прямая будет ограничивать функцию принадлежности ц2(х) справа, а прямая у = 1 - 2,95 + 5х = 5х -1,95 будет ограничивать функцию принадлежности ц3(х) слева. Таким образом
0; 0 < х < 0,39 5х -1,95; 0,39 < х < 0,59 2,499 - 2,537х; 0,59 < х < 0,985 ’
0; 0,985 < х < 1 0; 0<х<0,0038 2,6*-0,01; 0,0038 < х < 0,39 2,95 - 5х; 0,39 < х < 0,59
И
(х)
(*) =
0; 0,59 < х < 1 Функция принадлежности р,,(х)терм-множества с минимальной интенсивностью проявления знаний определяется однозначно через функцию ц2 (х).
1; 0 < х < 0,0038 ц,(х) = 0,99 - 2,6х; 0,0038 < х < 0,39 .
0; 0,39 < х < 1
Литература
1. Рыжов А.П. Элементы теории нечетких множеств и
измерения нечеткости- М.: Диалог-МГУ, 1998.-116 с.
2. Алчинов В., Купцов А. Рейтинг-контроль успевае-
мости курсантов // Высшее образование в России. -1998. -№1. - С.95-97.
3. Асеев Н., Дудкина Н.,Федоров А. Оценка мастерства преподавателя // Высшее образование в России. - 2001. -№3. - С. 41-46.
4. Орлов А.И. Прикладной многомерный статистический анализ . - М.: Наука, 1978,- С. 68-138.
5. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. - М.: Наука, 1979.
6. Chiu-Keung Law. Using fuzzy numbers in educational
grading system // Fuzzy Sets and Systems. - 1996. -v. 86.-p. 311-323.
7. Полещук O.M. О применении нечетких множеств в
задачах построения уровневых градаций // Лесной вестник. - 2000-№4 (13). - С.142-146.
8. Полещук О.М. Некоторые подходы к моделирова-
нию системы управления образовательным процессом // Телекоммуникации и информатизация образования. - 2002.- № 3 (10). - С. 54-72.
9. Домрачев В.Г., Петров В.А., Полещук О.М. Лингвистические переменные в задачах кадрового отбора // Лесной вестник. - 2001. - № 5 (20). - С. 192-197.
10. Полещук О.М., Рыбников К.К. О формировании образа эталонного специалиста. Тезисы докладов VIII Белорусской математической конференции,
ч. III. Минск, 2000,-С. 81.
11. Домрачев В.Г., Полещук О.М., Ретинская И.В., Рыбников К.К. Нечеткие модели рейтинговых систем оценки знаний. Телематика 2001 // Труды Международной научно-практической конференции,- С. 245 - 246.
12. Недосекин А.О., Максимов О.Б. Анализ риска банкротства предприятия с применением нечетких множеств // Вопросы анализа риска - 1999. -№2-3.
13. Chang Y.-H., Ayyub В.М. Fuzzy regression methods
- a comparative assessment // Fuzzy Sets and Systems. -2001. -v. 119. -p. 187-203.
14. Аверкин A.H., Батыршин И.З., Блишун А.Ф., Си-лов В.Б., Тарасов В.Б. Нечеткие множества в мо-
делях управления и искусственного интеллекта-М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1986.-312 с.
15. Мозолевская Е.Г. Мониторинг состояния зеленых насаждений и городских лесов Москвы. Методы оценки состояния деревьев и насаждений //Экология большого города. - М.: Прима-пресс, 1997.-Вып. 2.-С. 16-59.
16. Санитарные правила в лесах России. 1993.
17. Фролова В.А. О состоянии зеленых насаждений на территории бульваров юго-запада Москвы (по результатам мониторинга 1998 года)//Проблемы управления качеством окружающей среды. Сборник докладов Международной конференции. -М.: Прима-пресс-М, 1999. - С. 202-204.
18. Авсиевич Н.А., Агальцова В.А., Атрощенко Л.А. и др. Состояние зеленых насаждений и городских лесов в Москве (по данным мониторинга за 1999 г.): Аналитический доклад. - М.: Прима-пресс -М, 2000.-277 с.
19. Борисов А.Н., Алексеев А.В., Крумберг О.А., Меркурьева Г.В.. Попов В.А. Модели принятия решений на основе лингвистической переменной.
- Рига : Зинатне, 1982. - 256 с.
20. Саати Т. Математические модели конфликтных ситуаций,-М.: Сов. Радио, 1977.
