Методы построения полярного разложения матрицы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Показанная структура позволяет выполнять запросы на извлечение данных по двум параметрам (атрибутам) — метке времени («Timestamp») и отношению значения напряжения и к значению тока I (атрибут «К»), Она позволяет, например, выбирать

все объекты, имеющие на временном интервале значение коэффициента К в диапазоне от 50 до 60 (на рисунке на эти объекты ссылаются указатели Е5 и Ец). Причем в такой схеме оба атрибута, являющиеся условиями в запросе, попадают в создаваемый индекс.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Лафоре Р. Структуры данных и алгоритмы Java / Р. Лафоре. СПб. : Питер, 2011. 704 с.

2. Луни К. Oracle database 10g. Полн. справ. / К. Луни. М. : Лори, 2006. 1456 с.

3. Albert K. W. Yeung. Spatial Database Systems : Design, Implementation and Project Management / Albert K. W. Yeung, G. Brent Hall. Springer, 2007. 553 p.

4. Guttman A. R-trees : A dynamic index structure for spatial searching / Antonio Guttman // SIGMOD'84, Proceedings of Annual Meeting, Boston, Massachusetts. 1984. June 18 21. С. 47 57.

5. Theophano M. Temporal Data Mining / M. Theophano. University of Minnesota, 2010. 337 p.

Поступила 03.04.2012.

УДК 512.643

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПОЛЯРНОГО РАЗЛОЖЕНИЯ МАТРИЦЫ*

А. Ф. Зубова, М. В. Стрекопытова

Полярное разложение линейного оператора является одним из основных канонических его форм. В приложениях (задачи аэродинамики, математической статистики, обработки сигналов, механики, факторного анализа) весьма важной является задача построения полярного разложения невырожденной матрицы, т. е. представления ее в виде произведения симметричной положительно определенной матрицы на ортогональную.

Рассмотрим метод построения ортогональной матрицы полярного разложения матрицы, использующий аппарат матричных функций Ляпунова [2]. Пусть А — заданная невырожденная (п х п) — матрица. Требуется найти симметричную положительно определенную матрицу ¥ и ортогональную матрицу и такие, что выполняется соотношение

А = ¥и. (1)

Введем в рассмотрение множество Мп

квадратных матриц порядка (п х п) и множество Dn невырожденных матриц того же порядка. Множество Мп является линейным нормированным пространством с нормой, определяемой соотношением

|1ш 1СХ1 (2)

С = та^^—(2)

Хе£„ 1X11

где С е Мп, X е Еп.

На множестве Мп можно задать динами© Зубова А. Ф., Стрекопытова М. В., 2012

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) (проект № 10-08-00624).

ческую систему, определяемую матричной системой дифференциальных уравнений

X = Г (X, Ь), (3)

где X, F е Мп, F гарантирует существование единственности и продолжаемости решений на интервале (¿0, да), точка обозначает дифференцирование по параметру Ь.

Поставим следующую задачу: построить такую дифференциальную систему вида (3), что решение задачи Коши с начальным условием X = Хо при Ь = = 0 сходится к значению матрицы и полярного разложения (1). Таким образом, мы сведем первоначальную задачу к численному интегрированию построенной системы дифференциальных уравнений.

Рассмотрим матричное дифференциальное уравнение [1]:

X = 1 (- X + X*-1). (4)

Обозначим через X (Ь, Хо) решение этой системы, удовлетворяющее начальному условию X = Хо при Ь = 0.

Теорема 1. Если матрица начальных условий Хо невырожденная, то решение X (Ь, Хо) системы (4) также будет невырожденной матрицей при Ь > 0, причем решение X (Ь, Хо) неограниченно продолжаемо при

Ь > о.

Доказательство. Сначала покажем, что при Ь > о выполняется условие

X (Ь, Хо) е Ц,- (5)

Предположим противное, а именно, пусть существует момент времени ¿1, в который выполнено соотношение det (X Xо )) = о. Тогда справедливо равенство

det (X X0 ) X*-1 X0 )) = 0. (6)

Введем в рассмотрение матричную функцию V = XX*, заданную в Мп. Эта функция удовлетворяет на решениях системы (4) следующему уравнению:

V = -V + Е. (7)

Интегрируя, получаем

V = (уо - Е) ехр (-Ь) + Е. (8)

В силу того что матрица V) = XоXо является симметричной и положительно определенной, из формулы (7) следует, что при t > 0 определитель матрицы V не обращается в нуль, что находится в противоречии с посылкой (6), которое и доказывает справедливость (5).

Необходимым и достаточным условием

продолжаемости решений системы (4) является расходимость в этих решениях интегралов

t

J v i/dvij.

0

Из (7) имеем

t |t Jvi/dvj = - ln (vij - dij) 0, 00

где djj — символ Кронеккера.

Расходимость интеграла следует из формулы (8), так как из нее вытекает Vj ^ 8jj, и выражение в правой части последнего соотношения неограничено. Теорема доказана.

Теорема 2. Решение X (t, X0) системы (4) с начальным условием = А сходится при t ^ 0 к значению матрицы U полярного разложения (1), причем справедлива оценка

||X (t, A) - U|| < ||aA* - El exp (-t). (9)

Доказательство. Поскольку решение X (t, А) удовлетворяет условиям теоремы 2, оно представимо единственным образом в виде

X (t, A) = F (t) U (t), (10)

где F (t), U (t) — матрицы полярного разложения. Отметим, что F (0) = F, U (0) = U. Подставляя выражение (10) в уравнение (4), можно получить следующее соотношение:

F (t) F (t) + F (ti)U (t)U* (t) F (t) =

(11)

= F (t) U (t) U* (t) F (t) + F (t) F (t).

Из (8) следует, что матрица F(t) представляет собой ряд по целым отрицательным степеням экспоненциальной функции параметра t с коэффициентами, являющимися постоянными симметричными матрицами

F (t) = E + i (F2 - E -

- i (F2 - E)) e-2t + .

Следовательно, имеет место тождество

F (t) F (t) = F (t) F (t). (12)

Рассматривая совместно выражения (11), (12) и условие ортогональности U (t) U* (t) + U (t) U* (t) = 0, получаем, что имеет место соотношение U (t) = 0 или U (t) = const = U.

Поскольку ||р (Ь) - Е — 0 в силу (8), то справедливо следующее утверждение:

||х (Ь, А) - и — 0 при Ь ^ ю.

Оценку (9) получаем следующим образом. По свойству нормы (2) можно выписать цепочку равенств и неравенств

||х (Ь, А) - и = ||(^ (Ь) - Е)и (Ь)|| < (Ь) - Е|| =

= ||(р2 (Ь) - Е)(F (Ь) + Е)-1|| < (Ь) - е|| =

= ||е2 (Ь) - е|| ехр (-Ь) = ||АА* - Е ехр (-Ь).

При оценке нормы ||р2 (Ь) - е|| мы использовали выражение (8). Теорема доказана.

На основании доказанных теорем можно утверждать, что значение матрицы и можно получить, численно проинтегрировав систему (4) с начальным условием Х0 = А при Ь = 0. Точность нахождения матрицы и будет зависеть как от длины интервала интегрирования, так и от точности самого метода интегрирования.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Решение системы матричного дифференциального уравнения

У ■■

У + УУ*У)

(13)

*-1

А = ви,

где

и = Р-1А.

Обозначим через М множество всех квадратных корней из матрицы (х ■ х*) :

М = (ф : Ф2 = А ■ А*}.

с начальным условием = А * сходится при Ь ^ да к значению матрицы и полярного разложения (1), причем справедлива оценка (9).

Численный метод интегрирования системы (13) может быть основан на методе типа Рунге — Кутты при условии согласования порядка метода и его шага с требуемой точностью вычислений.

Рассмотрим второй метод построения ортогональной матрицы полярного разложения матрицы.

Ищем компоненты Р, и полярного разложения невырожденной матрицы А:

и и = Е, Х*ТХ > 0 "X * 0, X е Еп.

Заметим, что справедливо соотношение АА = Р . Следовательно, задача нахождения полярного разложения сводится к нахождению положите*льно определенного корня из матрицы АА . Матрица и определится по формуле

Теорема 4. Множество М является инвариантным, асимптотически устойчивым в целом для матричной системы дифференциальных уравнений

X = -X + X-1АА*. (14)

Доказательство. Инвариантность М очевидна. Для доказательства асимптотической устойчивости в целом множества М построим матричную функцию Ляпунова

2 *

V = X2 - АА . Ясно, что V обращается в нуль-матрицу лишь при X е М и удовлетворяет дифференциальному уравнению

V = -2V, откуда видно, что V ^ 0 при любом начальном значении Vo = X2 - АА*. Следовательно, X2 ^ АА* независимо от

начального значения Xo, а это и означает,

что X — М. Теорема доказана.

Х0еМ„

Таким образом, интегрируя систему (14) при условии корректно выбранного алгоритма, мы обязательно попадаем в точку множества М. Выпишем вычислительное предписание Рунге — Кутты четвертого порядка

Хк+1 = хк + 6 (к + 2 (к + Кз) + к),

к = - хк + х^аа* к =

= -г хк + ^ к1 + (к)-1 АА*

К =- (X, + 2 К2 j + (к)-1 АА*К =

= - (X,, + НКзз ) + (К)-1 АА*.

Корректность метода будет обеспечиваться надлежащим выбором шага к, который должен удовлетворять условию

2

■ АА* < X2 - АА*

Критерием окончания будет близость к нулю норм в последнем неравенстве. Пусть матрица Ф е М найдена; приведем Ф к каноническому виду Жордана

Ф =

В силу определения Ф матрица /ф диагональная: /ф = diag(Х\_, ..., 1п). Построим матрицу /р по правилу /р = diag (| , к, 1п I). Тогда Г определится по формуле

р = 5 1/рБ. Поскольку справедливы соот-

2 * 2 2 ношения Ф2 = АА , Р = Ф , матрица Г и

является матрицей полярного разложения в силу своей положительной определенности.

Как было отмечено выше, матрица и находится по формуле

и = Г-1А.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Зубов А. В. Динамическая безопасность управляемых систем / А. В. Зубов, Н. В. Зубов. СПб. : Изд-во НИИ химии СПбГУ, 2009. 172 с.

2. Зубов И. В. Анализ управляемых систем и равновесных движений / И. В. Зубов, Н. В. Зубов, М. В. Стрекопытова. СПб. : ВВМ, 2012. 322 с.

Поступила 15.06.2012.

УДК 517.928.4

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ В ОБЛАСТИ АНАЛИТИЧНОСТИ ОДНОГО НЕЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

В. Н. Орлов, М. П. Гузь

В работе построено приближенное решение в области аналитичности для одного нелинейного дифференциального уравнения, с подвижными особыми точками, в общем случае не разрешимого в квадратурах. Улучшены оценки, полученные авторами ранее.

В работе [1] была рассмотрена задача Коши для нелинейного дифференциального м_2 = таХ < уравнения в нормальной форме.

Y '(x) = Y 4(x) + r (x), (1)

Y(xo) = Yo. (2)

Для коэффициентов разложения реше-

r(n)

|Yo| - suPj

(x0)

- n = 0- 1-2- ... -

которая в данной работе улучшена. Теорема 1. Пусть:

1) rix) е С" в области K = {x : \x -ния данной задачи в области аналитичности - х0| < pj, pj > О},

Y = I Cnl

0

была получена оценка

"xo )П

2) 3 M1 :

(n

Л

(x)

n!

< M1- x e Kb

|C„| * 1 ■ M-2

n

2n-1

(M + 1)

3n

где

где Mi = const, n = 0, 1, ... .

Тогда решение задачи (2) — (3) является аналитической функцией

Y (x) = X C (x - xo)n (3)

o

© Орлов В. H., Гузь М. П., 2012