Численное интегрирование Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.3

ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ*

И. Н. Зубов, С. В. Зубов, И. С. Стрекопытов, С. А. Стрекопытов

В статье предложена модификация численных методов интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, учитывающих физическую природу этих уравнений, т. е. наличие интегралов, а именно: численные методы интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, обладающих кососимметриче-ской матрицей коэффициентов при линейных членах.

Модифицированные методы являются более точными, чем исходные методы Рунге — Кутты, Адамса — Штермера и др., и более предпочтительными в задачах интегрирования на больших промежутках. Точность модифицированных методов обусловлена тем, что они сохраняют интеграл однородной системы - свойство ортогональности фундаментальной матрицы.

Рассмотрим линейную систему

XX = Л(í)X, (1)

где X = (Х1, ..., хп) , Л(Ь) — кососимметри-

ческая (п х п) — матрица. Условия теоремы

существования и единственности мы будем считать выполненными. Решение задачи Ко-

ши X = Х0 при Ь = 0 дается формулой

Х(0 = Н(ОХо, (2)

где Е(0 — фундаментальная матрица, удовлетворяющая соотношениям

а = Л(0н, х (о) = е.

Известно [4], что х (Ь) является унитарной матрицей, т. е. выполняется соотношение

X (*) X* (*) = E. (3)

Предполагаемая модификация численных методов заключается в таком их изменении, что соотношение (3) будет выполнено для всей последовательности приближенных

значений хк фундаментальной матрицы в узлах = kh, причем это изменение произ-

водится в пределах локальной точности метода, что, очевидно, не ухудшает его.

Пусть Л — заданная невырожденная

(п х п) матрица. Требуется найти симметрическую положительно определенную матрицу Е и ортогональную матрицу и такие, что выполняется соотношение

А = FU. (4)

Введем в рассмотрение множество Мп квадратных матриц порядка п и множество Оп невырожденных матриц того же порядка. Множество Мп является линейным нормированным пространством с нормой, определяемой соотношением [6]

C = max -

X^En

где C е Mn, X е En. На множестве Mn

||CX|| llxll

(5)

можно задать дина-

мическую систему, определяемую матричной системой дифференциальных уравнений

X = F(X, t),

(6)

где X, Е е М; для Е выполнены условия, обеспечивающие существование, единственность и продолжимость на интервале (¿о, <»)

решений; точка обозначает дифференцирование по параметру Ь.

Поставим следующую задачу: построить такую дифференциальную систему вида (10), что решение задачи Коши с начальным усло-

© Зубов И. Н., Зубов С. В., Стрекопытов И. С., Стрекопытов С. А., 2012

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) (проект М 10-08-00624).

вием X = Х0 при Ь = ¿о = 0 сходится к значению матрицы и полярного разложения (8). Таким образом, мы сведем первоначальную задачу к численному интегрированию построенной системы дифференциальных уравнений [3].

Рассмотрим матричное дифференциальное уравнение

X = 2 (-X + X *-1). (7)

Обозначим X (¿, Хо ) решение системы (7), удовлетворяющее начальному условию X = Х0 при Ь = 0.

Теорема 1. Если матрица начальных условий Хо невырожденная, то решение

X (¿, Х0 ) системы (7) также будет невырожденной матрицей при £ > 0, причем решение

X (Ь, Xо ) неограниченно продолжимо при t > 0.

Доказательство. Сначала покажем, что при t > 0 выполняется условие

X (Ь, Xо ) е Ди. (8)

Предположим противное, а именно: пусть существует момент времени ¿1, в который

выполнено соотношение det (X (^ Xо )) Ф о. Тогда справедливо равенство

det (X Xo) X* Xo)) ф 0. (9) Введем в рассмотрение матричную функцию V = XX , заданную в Мп. Эта функция удовлетворяет на решениях системы (7) следующему уравнению:

V = -V + Е. (1о)

Интегрируя, получаем

V = (V - Е) ехр (-Ь) + Е. (11)

В силу того что матрица V) = XоXо является симметрической и положительно определенной, из формулы (1о) следует, что при t > 0 определитель матрицы V не обращается в нуль, что находится в противоречии с формулой (8), которое и доказывает справедливость условия (8) [1].

Серия «Физико-математические науки»

Необходимым и достаточным условием продолжимости решений системы (7) являет-

t

ся расходимость интегралов |V- dv¿y.

0

Из (9) имеем

0

где 5 ¿у — символ Кронеккера [2].

Расходимость интеграла следует из формулы (1о), так как из нее вытекает v¿у ^ б^у,

и выражение в правой части последнего соотношения не ограничено. Теорема доказана.

Теорема 2. Решение X (Ь, Xo) системы (7) с начальным условием Xо = А сходится при Ь ^ ж к значению матрицы и полярного разложения (4), причем справедлива оценка

IX (¿, А) - и|| < ||АА* - Е ехр (-Ь). (12)

Доказательство. Поскольку решение X (Ь, А) представимо единственным образом в виде

X (Ь, А) = Р (Ь) и (Ь), (13)

где Р (ь) , и (Ь ) — матрицы полярного разложения. Отметим, что Р (о) = Р, и (о) = и. Подставляя выражение (12) в уравнение (7), можно получить следующее соотношение:

р (£)р + р ( и* =

(14)

= р (£) ( (£) (* (£) р (£) + р (£) р (£).

Из (1о) следует, что матрица Р (Ь) представляет собой ряд по целым отрицательным степеням экспоненциальной функции параметра Ь с коэффициентами, являющимися постоянными симметрическими матрицами:

р (f) = Е + 1 (Г2 - Е)е-' -

-1 ('2 - Е )2 е-2' +... .

Следовательно, имеет место тождество

Р (Ь) Р (ь) ^ Р (Ь) Р (Ь) . (15)

147

Рассматривая совместно выражения (13), (14) и условие ортогональности

U (t) U* (t) + U (t) U* (t) = 0, получаем, что имеет место соотношение

U (t) = 0 или U (t) = const = U.

Поскольку \\f (t) - E ^ 0, в силу (10) справедливо следующее утверждение:

IX (t, a) - U|| ^ 0 при t

Оценку (11) получаем следующим образом. По свойству нормы (5) можно выписать цепочку равенств и неравенств

II* (t, A) - U = ||(F(t) - E)U(t)|| <

< (Ь) - Е = М - Е)(Е (Ь) + Е)-< ||е2 (Ь) - Е|| = ||е2 - Е|| ехр(-Ь) = = 11АА* - е|| ехр (-Ь).

При оценке нормы ||е2 (Ь) - . мы использовали выражение (10). Теорема доказана.

На основании доказанных теорем можно утверждать, что значение матрицы и можно получить, численно проинтегрировав систему (7) с начальным условием Х0 = А при £ = 0. Точность нахождения матрицы и будет зависеть как от длины интервала интегрирования, так и от точности самого метода интегрирования [5].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Зубов А. В. Управление динамическими системами / А. В. Зубов. СПб. : Изд-во НИИ химии СПбГУ, 2005. 83 с.

2. Зубов А. В. Динамическая безопасность / А. В. Зубов. СПб. : Изд-во НИИ химии СПбГУ, 2009. 172 с.

3. Зубов А. В. Математические методы безопасности управляемых систем и методы анализа нестационарных систем управления / А. В. Зубов. СПб. : Мобильность плюс, 2010. 319 с.

4. Зубов В. И. Каноническая структура векторного силового поля В. И. Зубов // Проблемы механики твердого деформированного тела. Л. : Судостроение, 1970. С. 167 170.

5. Зубов С. В. Анализ равновесных движений и расчетная устойчивость / С. В. Зубов, М. В. Стрекопытова. СПб. : СПбГУ, 2010. 446 с.

6. Зубова А. Ф. Математические методы моделирования промышленных процессов и технологий / А. Ф. Зубова. СПб. : СПбГУ, 2004. 472 с.

Поступила 01.11.2011.