CC BY
137
УДК 517.977
МЕТОДЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ТРАЕКТОРИИ ДВИЖЕНИЯ БЕСПИЛОТНОГО ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА
© 2017 А.Н. Попов
АО «Конструкторское бюро промышленной автоматики», г. Саратов
Статья поступила в редакцию 15.03.2017
Приводится описание аналитико-числового и приближенного численного матричных методов планирования траектории движения беспилотного летательного аппарата, которые отличаются от аналогов повышенной точностью и более низкой вычислительной трудоемкостью расчета баллистико-навигационных задач.
Ключевые слова: беспилотный летательный аппарат, баллистиконавигационное обеспечение, планирование траектории, маршрутная матрица, матрица базисных функций
Разработка беспилотных летательных аппаратов (БЛА) является проблемой федерального уровня, которая отнесена к разряду критических технологий государства и решается в рамках государственных оборонных программ. Успешное решение проблемы во многом зависит от степени совершенства отечественных бортовых систем управления, программно-аппаратные средства которых должны обеспечивать в т.ч. автономное планирование траектории движение летательного аппарата в режиме времени, близком к реальному, в зависимости от динамических характеристик летательного аппарата. Трудности обеспечения планирования траектории движения БЛА в настоящее время связаны:
- с недостаточной точностью глобального (предполетного) и локального (в полете) планирования траектории движения из-за использования приближенных численных методов математического моделирования динамических свойств летательного аппарата (ЛА);
- с высокой вычислительной трудоемкостью локального планирования траектории движения средствами бортовой системы управления из-за необходимости выполнения расчетов для каждой опорной (контрольной, узловой) точки траектории.
Цель работы: совершенствование методического аппарата и создание специализированных бортовых средств автономного решения траектор-ных задач, применительно к БЛА.
Постановка задачи баллистиконавигаци-онного обеспечения БЛА. Рассматривается динамическая модель БЛА заданная в виде однородного обыкновенного дифференциального уравнения п-го порядка или системы из п однородных дифференциальных уравнений первого порядка в форме Ко-ши или в виде матрицы системы п * п. Необходимо
рывной функции у (t) , проходящей через п опорных точек маршрута у(tJ = у1, ...,у(tп) = уп, с учетом наличия ограничений на ресурсы бортовых вычислительных средств.
Аналитико-числовой матричный метод планирования траектории движения БЛА [1-5]. В ходе предполетной подготовки, до начала движения по траектории, с использованием вычислительных средств бортовой системы управления или наземных средств баллистиконавигационного обеспечения полетов ЛА:
1. По имеющейся приближенной математической модели летательного аппарата n-го порядка, строится характеристический полином вида а0 + a+ а2s2+ ... + sп, где а£ - постоянные коэффициенты^ = 0 , — — 1 , s - независимая переменная (параметр интегрального преобразования Лапласа). Если порядок математической модели меньше количества опорных точек траектории, с использованием положений теории обыкновенных дифференциальных уравнений предварительно строится эквивалентная математическая модель ЛА необходимой размерности.
2. Аналитическими методами вычисляются различные корни характеристического полинома и их кратности т1,т2, ...,тр, где Xt - t-й корень полинома; mt -кратность г-го корня полинома; р - количество различных корней полинома [6].
3. Для частного случая простых корней характеристического полинома (п = р) строится матрица базисных функций
eAzt,..,,еЛп^, где eAi t - t-я базисная функция, соответствующая корню . Для случая кратных корней полинома ( ) матрица строится в порядке следования корней и возрастания номера корневой модификации базисной функции [7, 8]:
построить траекторию движения БЛА в виде непре-
BASIS = (BASIS1 Е R1 х BASIS2 Е R1 х ..., BASISp Е R1 х mv), где . Т.е.: BASIS = [ (ЪЩ....., (bib2.....b*J.....( bp, Ь\.....Ъртр) ],
Попов Александр Николаевич, генеральный директор. E-mail: pilot@kbpa.ru
где Ь} = eÄitt} 1,i = 1 , p,j = 1 , m^
BASIS = [ (eÄlt, eÄltt,..., eÄittmi-^ ,. . ., (e^,. . ., eÄvHmv-^ ] .
4. Формируется маршрутная матрица R 0 UTE e Rnx n = (rij) , элементы которой вычисляются подстановкой планируемого времени прохождения опорныгх точек траектории в матрицу BASIS по формуле т1}- = faj) , i = 1, n,j = 1, п, где tt - планируемое время прохождения г-й опорной точки траектории.
5. Формируется матрица-столбец значений координат в опорных точках траектории на плоскости в порядке их следования где Cl, 1 = У i,i = Vn.
6. Матрицы BASIS, R 0 UTE и С0 0RD записываются в память выгаислительнык средств бортовой системы управления ЛА.
7. Средствами бортовой системы управления осуществляется глобальное планирование траектории движения ЛА единовременно для всех опорных точек траектории по матричной формуле
у(t) = BASIS x (R0UTE-1 x С0ORD) ,
где - непрерывная функция от времени, проходящая через все опорные точки траектории и описывающая программную траекторию движения ЛА с учетом его динамических свойств.
8. Функция у (t) записывается в память выгаисли-тельных средств бортовой системы управления ЛА и является результатом глобального планирования траектории его движения.
После начала движения ЛА аппарата по программной траектории движения средствами бортовой системы управления ЛА осуществляется отслеживание в каждый рассматриваемый текущий момент времени положения и компенсация с приемлемой точностью ухода центра масс ЛА относительно программной траектории движения при соблюдении условий достижения минимальной методической ошибки управления и исключения «срыша» ЛА с программной траектории. В случае возникновения необходимости оперативного изменения программной траектории движения ЛА в условиях полета с использованием вычислительных средств бортовой системы управления:
1. Корректируется маршрутная матрица R 0 U T E в части перевычисления значений элементов, у ко-торык изменились параметры (время прохождения) опорных точек траектории
1, n,j = 1, n, где tt - планируемое или фактическое время прохождения г-й опорной точки траектории. Если время прохождения планируемой опорной точки траектории не изменилось либо опорная точка траектории на момент возникновения необходимости изменения программной траектории фактически была пройдена, то соответствующий элемент маршрутной матрицы может не пере-выгаисляться. Общее количество опорнык точек траектории движения не должно изменяться.
2. Корректируется матрица-столбец значений координат в опорных точках траектории в части изменения значений элементов, у которых изменились параметры (координаты)
. Если координата опорной точки траектории не изменилась либо опорная точка траектории на момент возникновения необходимости изменения программной траектории фактически была пройдена, то соответствующий элемент матрицы может не перевычисляться.
3. Откорректированные матрицы R0UTE и
записываются в память вычислительных средств бортовой системы управления ЛА.
4. Средствами бортовой системы управления осуществляется локальное планирование траектории движения ЛА единовременно для всех опорных точек траектории (планируемых и фактически пройденных) по матричной формуле
у(t) = BASIS x (R0UTE-1 x С00RD),
где - непрерывная функция от времени, проходящая через все опорные точки траектории (планируемые и фактически пройденные) и описывающая программную траекторию движения ЛА с учетом текущей динамической коррекции.
8. Функция записывается в память вычислительных средств бортовой системы управления ЛА и является результатом локального планирования траектории его движения. Дальнейшее движение ЛА по откорректированной программной траектории движения осуществляется аналогичным способом, как и после глобального планирования траектории.
Новизна аналитико-числового метода планирования траектории в учете динамических характеристик БЛА, матричной формализации процедуры построения траектории и введении в рассмотрении нового типа матриц - маршрутной матрицы R 0 UTE. Метод не содержит методической погрешности, допускает параллельное выполнение операций с матрицами средствами бортовых вычислителей [9].
Приближенный численный матричный метод планирования траектории движения БЛА. В ходе предполетной подготовки, до начала движения по траектории, с использованием вычислительных средств бортовой системы управления или наземных средств баллистиконавигационного обеспечения полетов ЛА:
1. По коэффициентам однородного уравнения строятся характеристический полином и блочная матрица-строка BASIS (пп. 1-3 аналитико-числового метода планирования траектории).
2. Строится шаговая матрица базисныгх функций
, где - количество шагов решения задачи планирования траектории; Ь1} = (B ASIS1}) t=ixSTEp,j =Хп, i = 1Л; STEP = T/к
- величина шага решения задачи планирования траектории; TEN - величина времени, на котором решается задача планирования траектории; В AS I S1J
- j-й элемент матрицы-строки базисных функций BASIS [10].
3. Вычисляются маршрутная матрица R О UТЕ и матрица-столбец значений координат в опорных точках маршрута С О О R D (пп. 4, 5 аналитико-числового метода планирования траектории).
4. Матрицы STBASIS, R О UTE и С О О RD записываются в память вычислительных средств бортовой системы управления летательного аппарата.
5. Средствами бортовой системы управления осуществляется глобальное планирование траектории движения ЛА единовременно для всех опорных точек траектории по матричной формуле
у (t) = STBASIS х (R О UTE ~ 1 х С О О RD ).
6. Функция у (t) записывается в память вычислительных средств бортовой системы управления ЛА и является результатом глобального планирования траектории его движения. Дальнейший порядок движения и корректировки траектории в полете ЛА аналогичен аналитико-числовому методу планирования траектории.
Новизна приближенного численного метода планирования траектории в учете динамических характеристик БЛА, матричной формализации процедуры построения траектории и введении в рассмотрении нового типа матриц - шаговой матрицы базисных функций . Метод допускает
параллельное выполнение операций с матрицами средствами бортовых вычислителей.
Пример. Задана модель подвижного объекта в виде обыкновенного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
d5y(t) d4y(t)
dt5
dt4
= 0
и параметры опорных точек траектории движения на плоскости для глобального планирования
у(0) = 0, у (2) = 1,у(3) = 0, у (4) = 5,у(5) = 1
и локального планирования
у(0) = 0, у (2) = 1,у(3) = 0, у (4) = 2,у(5) = 3.
Необходимо построить траекторию движения подвижного объекта на плоскости, проходящую через все опорные точки с учетом их коррекции, с использованием аналитико-числового и приближенного численного методов.
Глобальное планирование траектории движения подвижного объекта аналитико-числовым методом. По дифференциальному уравнению строится характеристический полином , вы-
числяются корни и их кратности ;
. Строятся матрица базисных функций, маршрутная матрица и матрица-столбец значений координат в опорных точках траектории на плоскости:
BASIS = (BASIS1 е Rlxl, BASIS2 Е Rlx4) = [(е£), (1, t, t2, t3)] = [e£,l,t,t2,t3];
ROUTE=
Выполняется глобальное планирование траектории движения подвижного объекта (рис. 1, траектория а).
1 1 0 0 0 0
е2 1 2 4 8 1
е3 1 3 9 27 ;СООRD = 0
е4 1 4 16 64 5
е5 1 5 25 125 1
y(t) = [е£, 1 ,t,t2,t3] х
1 1 0 0 0 -1 0
е2 1 2 4 8 1
е3 1 3 9 27 X 0
е4 1 4 16 64 5
е5 1 5 25 125 1
Ch
где Ch = - 1 62е
5112 + 129 t2e3
45t2e4 — 39t2es —
-1 + 10e2 - 20e3 + 15e4 - 4e5'
162 - 162t - 162te3 - 81 te4 + 54te5 + 351te2 -1 8 6t2e2 - St3 - 1 9 t3e3 - 6t3e4 + 7 t3e5 + 2 3 t3e2).
Локальное планирование траектории движения подвижного объекта аналитико-числовым методом. Корректируется матрица-столбец значений координат в опорных точках траектории (маршрутная матрица не изменилась)
гОп
COORD =
Выполняется локальное планирование траектории движения подвижного объекта (рис. 1 , траектория б)
у(0 = [е£, 1ДД2Д3] х
1 1 0 0 0 -1 0
е2 1 2 4 8 1
е3 1 3 9 27 X 0
е4 1 4 16 64 2
е5 1 5 25 125 3
СК
-1 + 10е2 - 20е3 + 15е4 - 4е5'
=>3 _ 97СИ-о4 I 1 ПЯ<-г>5
где Ск = (- 1 68 е£ + 1 68 - 1 5 5Ь + 9 2 íe3 - 2 79Ь е4 + 1 0 8 Ье5 + 234í е2 + 45Ь2 - 2АЬ2е3 + 1 6 5 Ь2е4 -
12Ь2е5 - 114Ь2е2 - АЬ3 + 4Ь3е3 - 24Ь3е4 + 12Ь3е5 + 12Ь3е2).
Рис. 1. Результаты планирования траектории аналитико-числовым методом
Рис. 2. Результаты планирования траектории приближенным численным методом
Глобальное планирование траектории движения подвижного объекта приближенным численным методом. Строится шаговая матрица базисных функций и выполняется глобальное планирование траектории движения подвижного объекта (рис. 2, траектория а).
БТВАБ1Б =
г1.105170918 1 0.1 0.01 0.001
1.221402758 1 0.2 0.04 0.008
1.349858808 1 0.3 0.09 0.027
1.491824698 1 0.4 0.16 0.064
1.648721271 1 0.5 0.25 0.125
I.822118800 1 0.6 0.36 0.216 2.013752707 1 0.7 0.49 0.343 2.225540928 1 0.8 0.64 0.512 2.459603111 1 0.9 0.81 0.729 2.718281828 1 1.0 1.00 1.000 3.004166024 1 1.1 1.21 1.331 3.320116923 1 1.2 1.44 1.728 3.669296668 1 1.3 1.69 2.197 4.055199967 1 1.4 1.96 2.744 4.481689070 1 1.5 2.25 3.375 4.953032424 1 1.6 2.56 4.096 5.473947392 1 1.7 2.89 4.913 6.049647464 1 1.8 3.24 5.832 6.685894442 1 1.9 3.61 6.859 7.389056099 1 2.0 4.00 8.000 8.166169913 1 2.1 4.41 9.261 9.025013499 1 2.2 4.84 10.648 9.974182455 1 2.3 5.29 12.167
II.02317638 1 2.4 5.76 13.824 12.18249396 1 2.5 6.25 15.625 13.46373804 1 2.6 6.76 17.576 14.87973172 1 2.7 7.29 19.683 16.44464677 1 2.8 7.84 21.952 18.17414537 1 2.9 8.41 24.389 20.08553692 1 3.0 9.00 27.000 22.19795128 1 3.1 9.61 29.791 24.53253020 1 3.2 10.24 32.768 27.11263892 1 3.3 10.89 35.937 29.96410005 1 3.4 11.56 39.304 33.11545196 1 3.5 12.25 42.875 36.59823444 1 3.6 12.96 46.656 40.44730436 1 3.7 13.69 50.653 44.70118449 1 3.8 14.44 54.872 49.40244911 1 3.9 15.21 59.319 54.59815003 1 4.0 16.00 64.000 60.34028760 1 4.1 16.81 68.921 66.68633104 1 4.2 17.64 74.088 73.69979370 1 4.3 18.49 79.507 81.45086866 1 4.4 19.36 85.184 90.01713130 1 4.5 20.25 91.125 99.48431564 1 4.6 21.16 97.336 109.9471725 1 4.7 22.09 103.823 121.5104175 1 4.8 23.04 110.592 134.2897797 1 4.9 24.01 117.649
1-148.4131591 1 5.0 25.00 125.000-1
.
1.158340970 2.122989064 2.907370802 3.524816956 3.988552492 4.311685420 4.507194510 4.587915690 4.566527010 4.455532120 4.267241790 4.013753740 3.706930180 3.358373027 2.979396614 2.580997347 2.173820305 1.768122294 1.373731037 1.000000004 0.655758529 0.349256749 0.088104631 -0.120795360 -0.2713226108 -0.3582206261 -0.3771879317 -0.3249784797 -0.1995126829 -0.0000000001 0.2729253618 0.6170546840 1.0284391500 1.5012068410 2.0273601810 2.5965532760 3.1958436900 3.8094201100 4.4183009700 5.0000000002 5.5281584500 5.9721376100 6.2965685900 6.4608546800 6.4186222400 6.1171122300 5.4965091300 4.4891990100 3.0189486000 0.9999999999
Локальное планирование траектории движения подвижного объекта приближенным численным методом. Выполняется локальное планирование траектории движения подвижного объекта (рис. 2, траектория б)
у(0 = БТВАБ1Б х
1 1 0 0 0 -1 0
е2 1 2 4 8 1
е3 1 3 9 27 X 0
е4 1 4 16 64 2
е5 1 5 25 125 3
0.604130212 1.116193751 1.542017066 1.887393515 2.158079876 2.359792491 2.498203044 2.578933819 2.607552551 2.589566650 2.530416919 2.435470423 2.310012900 2.159240057 1.988248212 1.802023758 1.605431718 1.403202769 1.199919360 1.000000012 0.807681957 0.627002319 0.461776919 0.315576914 0.191703285 0.093158312 0.0226140476 -0.0176222016 -0.02564635489 -0.0000000001 0.06028283545 0.1556238419 0.2858431608 0.4500961700 0.6468035370 0.8735739770 1.1271187940 1.4031575930 1.6963139200 2.0000000028 2.3062893100 2.6057759500 2.8874187700 3.1383695000 3.3437830000 3.4866066900 3.5473488500 3.5038219000 3.3308588100 3.0000000000
Выводы: разработанные аналитико-число-вой и приближенный численный методы позволяют средствами бортовых средств баллистиконавигаци-онного обеспечения планировать траекторию движения БЛА одновременно для всех опорных точек с учетом динамических параметров ЛА. Однако данные методы не учитывают влияние на БЛА внешних воздействующих факторов и противодействие противника [11], что является предметом дальнейших исследований.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
Голуб, Дж. Матричные вычисления / Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун. - М.: Мир, 1999. 548 с.
Тетерин, Д.П. Методы моделирования линейных стационарных элементов систем управления летательных аппаратов // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2009. Т. 4, № 1(42). С. 65-71.
Быстрое, Л.Г. Синтез матрицы вывода линейной динамической системы по заданным регулируемым координатам / Л.Г. Быстрое, В.В. Сафроное, Д.П. Тетерин // XII всеросс. совещ. по проблемам управления ВСПУ-2014. Москва, 16-19 июня 2014 г.: Труды.
[Электронный ресурс] - М.: Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, 2014. С. 2511-2520.
4. Быстрое, Л.Г. Построение матриц пересчета многоточечных начальных условий в одноточечные / Л.Г. Быстрое, В.В. Сафроное, Д.П. Тетерин // Компьютерные науки и информационные технологии: Мат-лы междун. науч. конф. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2014. С. 81-84.
5. Быстрое, Л.Г. Метод и алгоритм вычисления матричной резольвенты / Л.Г. Быстрое, В.В. Сафроное, Д.П. Тетерин // Труды VI Междунар. науч.-практич. конф. «Инженерные системы-2013», посвященной 100-летнему юбилею первого ректора РУДН профессора С.В. Румянцева. Москва, 24-26 апреля 2013 г. / под общ. ред. К.А Пупкоеа. - М.: РУДН, 2013. С. 280-284.
6. Дьяконов, В.П. Математическая система Maple V R3 / R4/ R5. - М.: СОЛОН, 1998. 399 с.
7. Быстрое, Л.Г. Решение n-точечных краевых задач при моделировании систем управления / Л.Г. Быстрое, Д.П. Тетерин // Надежности и качество: Труды
Междунар. симпозиума // Под ред. Н.К. Юркова.-Пенза: Инф.-изд.ц. Пенз. ГУ, 2009. 1 т. С. 258-260.
8. Быстрое, Л.Г. Решение п-точечных краевых задач при моделировании систем управления / Л.Г. Быстрое, Д.П. Тетерин // Компьютерные науки и информационные технологии: Мат-лы Междунар. науч. конф. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2009. С. 233234.
9. Способ планирования траектории движения летательного аппарата / А.Н. Попов, Т.Г. Ежова, Д.П. Тетерин: Рос. Федерация. № 2016151070; заявл. 23.12.2016.
10. Быстрое, Л.Г. Решение линейных дифференциальных уравнений. Аналитико-числовые методы и алгоритмы. Часть 1 / Л.Г. Быстрое, Г.С. Говоренко, Д.П. Тетерин и др. - М.: МГУЛ, 2004. 440 с.
11. Тетерин, Д.П. Аналитическое решение неоднородных линейных дифференциальных уравнений со сложной правой частью // Доклады Академии военных наук. 2008. № 5. С. 139.
PLANNING METHODS OF MOVEMENT TRAJECTORY OF UNMANNED AERIAL VEHICLE
© 2017 A.N. Popov JSC "Design Bureau of Industrial Automation", Saratov
The description of analytical-numerical and approximate matrix methods of numerical planning the movement trajectory of unmanned aerial vehicle, which differ from analogs in the increased accuracy and lower computing labor input of calculation the ballistic and navigation tasks is provided.
Key words: unmanned aerial vehicle, ballistic and navigation providing, trajectory planning, generalized matrix, matrix of basic functions
Попое Алектндр Нuколaевuч, генерaльный д^ектор. E-mail: pilot@kbpa.ru
