Методы оптимизации и прогнозирования тепловых режимов вулканизации гуммированных изделий Текст научной статьи по специальности «Математика»

время прохождения покрытия между соседними парами валков на несколько сравнительно малых по продолжительности интервалов, составляющих не более 3 секунд, при этом температурное поле, рассчитанное в конце каждого интервала по формуле (7), следует использовать в качестве начального условия (2) при расчетах температурного поля следующего интервала.

Расчеты в соответствии с данной моделью могут быть проведены на персональном компьютере с использованием, в частности, средств математического пакета МаАСас! версий 2000 и выше.

Предлагаемая математическая модель может быть использована в инженерной практике для оптимальной организации рассматриваемой технологической схемы вулканизации полимерных покрытий на тканевой основе.

Список литературы

1. Лукомская А. И., Баденков П. Ф., Кеперша Л. М. Тепловые основы вулканизации резиновых изделий. - М.: Химия, 1972.-360 с.

2. Лыков А. В. Теория теплопроводности. - М.: Высш. шк, 1967.-600 с.

3. Гвоздев В. Г., АваевА. А. К вопросу о коэффициентах тепло- и температуропроводности ткани в системе ткань-эластомер // Теоретические основы химической технологии. - 1980. - Т. XIV. - № 1. - С. 127.

4. Карташов Э. М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. - М.: Высш. шк., 2001. -552 с.

Аваев Александр Алексеевич - кандидат технических наук, доцент, докторант Череповецкого государственного университета.

Тел.: 8(8172) 75-58-11.

Avaev Alexander Alexeevich - Candidate of Science (Technology), Associate Professor, Doctoral candidate, Cherepovets State University.

Tel.: 8(8172) 75-58-11.

УДК 53.043

В. В. Павлов, С. Ю. Осипов, Ю. Р. Осипов

МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ И ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ТЕПЛОВЫХ РЕЖИМОВ ВУЛКАНИЗАЦИИ ГУММИРОВАННЫХ ИЗДЕЛИЙ

V. V. Pavlov, S. Y. Osipov, Y. P. Osipov

METHODS OF OPTIMIZATION AND PREDICTION FOR THE THERMAL CONDITIONS FOR THE GUMMED PRODUCTS VULCANIZATION

Рассмотрены методы оптимизации и алгоритмы условного прогнозирования тепловых режимов вулканизации гуммированных изделий как объектов с распределенными параметрами. Показана возможность их реализации на базе средств

102

2 00

Т (m, т) = - £ [с (m, v„ ) exp (-А (m, v„ ) т)] :

1 n=\

, Vn +Bi2 + Bi2 + Bi

cos

V 1 y

С (m, v„ ) = Jcos v„ y \dy J/ (x, y) cos

r \ mnx

v L y

dx:

A(m,vn)-

f \2 тк

yL j

г.. \2

о J

vn > 0 (n = 1, 2,...) - корни характеристического уравнения

Bi

tgv =—, v

где Bi - критерий Био

a I

Bi = —.

X

При проведении расчетов необходимо разбить

современной вычислительной техники при управлении оборудованием, работающем в условиях индивидуального и поточного способов производства изделий.

Теплообмен, вулканизация, гуммированное изделие, оптимальное управление, критерий оптимизации, алгоритм, метод, прогнозирование, объект с распределенными параметрами.

The paper considers optimization methods and algorithms of conditional prediction for the thermal conditions of the gummed objects vulcanization as objects with the distributed parameters. It is shown that there is a possibility of realization of these methods on the basis of modern computer facilities controlling the equipment that operates in piece and bulk production.

Heat transfer, vulcanization, gummed product, optimal control, optimization criteria, algorithm, method, prediction, object with distributed parameters.

Вулканизация гуммированных изделий является одним из наиболее сложных тепловых процессов, протекающим при изменяющихся во времени (нестационарных) тепловых потоках и теплообмене между теплоносителем и нагреваемым изделием. Эти условия зависят от целого ряда факторов, в том числе от нестационарного распределения поля температур в вулканизуемом изделии, скорость прогрева которого ограничена его тепловыми свойствами, обусловленными составом, конфигурацией и размерами изделия. Кроме того, резко отличаются тепловые свойства различных слоев и элементов изделия, а также неодинаковы по контуру изделия и переменны во времени параметры теплоносителей (температура, давление). Однако при вулканизации необходимо обеспечить в минимально короткие сроки такое распределение и изменение температур во времени, при котором для заданной конструкции гуммированного изделия, применяемых материалов и рецептур резин получается наилучшее сочетание комплекса основных свойств готового изделия. Очевидно, что эти требования должны обеспечиваться выбором оптимального теплового режима вулканизации, который должен базироваться на анализе температурных полей в вулканизируемом изделии и объективной оценке результатов их воздействий. Управление должно осуществляться путем регулирования технологических параметров, определения по этим параметрам при помощи средств вычислительной техники комплекса свойств материалов и элементов изделия, фактически сформированных в контролируемом изделии, и проведения процесса регулирования в соответствии с заданными оптимальными уровнями показателей свойств. Процесс изменения температурных полей в вулканизуемом изделии описывается уравнением нестационарной теплопроводности типа Фурье,

а оценка степени вулканизации и качества вулканизуемого изделия - интегральным нелинейным уравнением Аррениусовского типа [1], [5], [6]. Следовательно, данный процесс как объект управления принадлежит к объектам с распределенными параметрами, описываемым нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных параболического типа. Так как аналитического решения таких уравнений для многослойных объектов сложной формы не существует, задачу оптимального управления процессами вулканизации и прогнозирования режимов необходимо решать на базе математического моделирования процессов вулканизации по фактически измеренным параметрам теплоносителей на оборудовании.

Вопросам оптимального управления режимами работы объектов с распределенными параметрами посвящено большое количество исследований, поэтому с целью определения основных направлений развития и оптимизации тепловых режимов вулканизации гуммированных изделий рассмотрим наиболее известные и практически используемые методы для оптимизации и прогнозирования режимов работы как общепромышленных объектов с распределенными параметрами, так и вулканизуемых изделий.

Градиентные методы решения задач оптимального управления объектами с распределенными параметрами, описываемыми параболическими уравнениями, рассмотрены в [3], [4]. В соответствии с этими методами требуется, регулируя температуру внешней среды изделия управлением и(() , сделать распределение температуры в изделии Т(х, т, и) к заданному моменту времени Т равным заданному распределению температуры Т3 (х). Математическая формулировка задачи

J{u)= м)-Г3(х)]2 ск.

о

Алгоритм решения задачи может быть записан следующими формулами.

Температура внешней среды для однородного нагреваемого стержня 0 < х < I

ип +1 (0 = и„ (0 + аи [йи (/) " и„ (?)], (1)

где а<и(^)<Ь - числа, выражающие крайние допустимые значения температуры; ип +, (/) -требуемое управление в п +1 приближении; ип (?) - вспомогательное приближение, определяемое как

X т

[а2Уф(/, г, ип)ип ({)Ж = тш [а2Уф(/, t, ип)ип (t)dt , о мби о

где Т, а, V, / - некоторые положительные постоянные коэффициенты, а ср(/) - является решением краевой задачи.

d4> .

dt

дх

дх

= 0, 0 < i < т ;

л = 0

34f

cbc

= -vcp (/,/), 0<t<x;

x = l

4\l=r=2 [T(x,t,u)-T3(x)], 0 <x<l.

Для множества и = \u(t): и(/) e Z2 [0, t]} . a<u(t)<b, 0<t<x следует:

a, если a2v^F(/, t,un)> 0,

b, если a2v4P(/,/,w„)< 0, (2) ый (/), если a2 vT (/, t,u„) = 0.

В целях повышения помехоустойчивости алгоритма формулу (2) целесообразней записать в следующем виде

a, если а2v ¥ (/, t, ип ) > А,

b, если а2v (/, t, ип ) < -А, если a2v4'(/, < | А |.

где А - заданная постоянная величина.

Коэффициент ап >0, входящий в формулу (1), находится из условия min qn (а) = qn (аи ) , где

Яп (а) = ^[ии+а(«л-ил)].

После преобразований в соответствии с [2] можно записать

qn (а) = J (ип ) + а ja2vТ (/, t, ип )\ип (t) - ип (г)] dt +

о

i

+а2 ||г(х,х,й"и)-г(х,х,ми)| dx. (3)

о

Откуда видно, что qn (а) достигает экстремума в точке

Jа2 vW(l, t, ип)\ип (i) - ип (/)]dt

о_

i

2 JI Т(х, т, ип)-Т[х, х, ип) | dx

а„ =■

это значит, что квадратный трехчлен (3) достигает

своего минимума на отрезке 0 < а < 1 в точке

* * *

ап = а„ при а„ < 1 ив точке аи = 1 при ап > 1, то есть можно записать ап = ппп |а„, 1| .

Полученное ап подставляется в (1), откуда следует {п +1) -е приближение для решения задачи. Если ап = 0 или Т{х, т, ми) = Г(х, т, ип), квадратный трехчлен (10) вырождается, итерационный процесс прекращается, и управление ип (/) = и будет неполным оптимальным решением задачи.

Достоинством этого метода является возможность его технической реализации с прогнозированием решений в ускоренном масштабе времени. Однако получение заданного приближения к концу п-го периода работы ограничивает использование алгоритма в реальном времени.

При разработке программного обеспечения для этих систем адаптивного управления необходимо формализовать алгоритмы условного прогнозирования режимов работы объектов с распределенными параметрами применительно к цифровой реализации системы управления.

Указанная задача в [7] - [9] сформулирована следующим образом. Суммарные потери

за время работы объекта от начального момента tQ

до конечного 1К определяются формулой

сигнал и„ вычисляется как

(4)

где /(т) - текущие потери производства в момент т. Если /(т) можно связать с оперативной информацией об объекте J{t) = |со(т), и(т), v(x)} , Vx е (-со, , состоящей из полученных к моменту

t измерений текущих и прошлых значений сигналов со, и и v, то задача сводится к построению алгоритма, преобразующего J(t) в сигнал оптимального управления иоп (/), доставляющего минимум функционалу (4) при соблюдении заданных ограничений, то есть

моп(0 = моп|/(0]= Kgrnm F(t0,tK).

"И')] £И доп

С учетом цифровой реализации критерия оптимизации t„ -пТ{п = О,1,2...), где Т - фиксированный период. При этом класс допустимых сигналов управления ограничен семейством ступенчатых функций

u(t) = u„ Vi е[иг,(и + 1)г], где ип- варьируемые переменные. Оптимальный

Ci = arg min

'm{F(tn» '„+1 )|J (*n >un,\) + Sn (un, 1)} »

где Б„ {ип - прогноз будущих потерь в промежутке + При данной J{tn) и данном ип, при условии, что все будущие значения сигнала будут строиться в моменты времени 1пМ = {п + г) Т,

(/ = 1,2,...,п -к), то есть на основании полученной в соответствующие моменты времени информации J{t„+i), будут реализованы оптимальные

значения ип+1 = .

Если подынтегральная функция в (12) задана в виде

/(0=л[«(0]+/2[>(0].

где /(И /2 - выпуклые, неотрицательные определенные функции от и и V , то оценить будущие суммарные потери непосредственно в виде функции от условного прогноза можно в виде формулы

} Г/i / +1) + /г (v(x/Ö, И„))

dx.

К достоинствам описанных методов следует отнести возможность их реализации на базе средств современной вычислительной техники при управлении оборудованием, работающем в условиях индивидуального и поточного способов производства изделий.

Список литературы

1. Баденков П. Ф., Лукомская А. И., Ионов В. А. Достижения и перспективы исследования в области вулканизации как теплового процесса / Под ред. П. Ф. Баденкова // Технологические проблемы повышения эффективности вулканизационных процессов и качества шин: Сб. науч. тр. -М„ 1978.-С. 15-30.

2. Бояринов А. К, Кафаров В. В. Методы оптимизации в химической технологии. -Изд. 2-е. - М.: Химия, 1975. -576 с.

3. Васильев Ф. П. Метод регуляризации в теории оптимального управления // Математика на службе инженера. -М.: Знание, 1973.-С. 200-211.

4. Васильев Ф. П. О градиентных методах решения задач оптимального управления системами, описываемыми параболическими уравнениями. Оптимальное управление: Сб.-М.: Знание, 1978.-С. 118-143.

5. Лукомская А. И., Баденков П. Ф., Кеперша Л. М. Расчеты и прогнозирование режимов вулканизации резиновых изделий. - М.: Химия, 1978. - 280 с.

6. Лукомская А. И., Баденков П. Ф., Кеперша Л. М. Те-

пловые основы вулканизации резиновых смесей. - М.: Химия, 1972.-359 с.

7. Осипов Ю. Р. Режимы вулканизации и прогнозирование свойств гуммировочных покрытий,- Вологда, 1992. - 204 с.

8. Осипов Ю. Р. Термообработка и работоспособность покрытий гуммированных объектов. — М.: Машиностроение, 1992.-232 с.

9. Осипов Ю. Р., Павлов В. В., Осипов С. Ю. Алгоритмы оптимального управления термодиффузионными процессами при гуммировании // Информатизация процессов формирования открытых систем на основе СУБД, САПР, АСНИ и систем искусственного интеллекта: Материалы междунар. науч.-техн. конф. - Вологда: ВГТУ, 2005. -С. 185- 190.

Павлов Вячеслав Витальевич - кандидат технических наук, доцент кафедры технологии и оборудования автоматизированных производств Вологодского государственного технического университета, докторант Череповецкого государственного университета.

Тел.: 8(8172) 72-27-96; 8-921-722-48-21.

Осипов Сергей Юрьевич - кандидат технических наук, доцент кафедры менеджмента Тверского государственного технического университета, докторант Череповецкого государственного университета.

Тел.: 8(0822) 44-33-90; 8-910-533-46-66.

Осипов Юрий Романович - доктор технических наук, профессор кафедры теории и проектирования машин и механизмов Вологодского государственного технического университета.

Тел.: 8-921-121-53-78.

Pavlov Vyacheslav Vitalievich - Candidate of Science (Technology), Associate Professor at the Department of Technology and Equipment for the Computerized Production, Vologda State Technical University, Doctoral Candidate at Cherepovets State University

Tel.: 8(8172) 72-27-96; 8-921-722-48-21.

Osipov Sergey Yurievich - Candidate of Science (Technology), Associate Professor at the Department of Management, Tver State Technical University, Doctoral Candidate at Cherepovets State University.

Tel.: 8(0822)44-33-90; 8-910-533-Ф6-66.

Osipov Yuriy Romanovich - Doctor of Technology, Professor at the Department of Machines and Mechanisms Theory and Design, Vologda State Technical University

Tel.: 8-921-121-53-78.

УДК 536.2

С. Ю. Загребин, С. Ю. Осипов, Ю. Р. Осипов, С. В. Волкова

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПЕРЕНОСА ПРИ МЕСТНОМ РЕМОНТЕ МНОГОСЛОЙНЫХ ГУММИРОВАННЫХ ОБЪЕКТОВ

S. Y. Zagrebin, S. Y. Osipov, У. P. Osipov, S. V. Volkova

SOLVING THE PROBLEM OF HEAT TRANSFER AT LOCAL REPAIR OF MULTILAYER GUMMED OBJECTS

Представлена математическая постановка задачи исследования теплообмена при местном ремонте гуммировочных покрытий. Разработана математическая модель процесса индукционного нагрева. Приведены результаты экспериментальных и имитационных исследований процесса вулканизации с использованием предложенной модели.

Теплообмен, гуммировочное покрытие, математическое описание, индукционный нагрев, алгоритм, моделирование, вулканизация, местный ремонт.

106