CC BY
271
УДК 523
А.К. Аубакирова
СГГ А, Новосибирск
МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАДИУС-ВЕКТОРОВ ОСНОВНОЙ УРОВЕННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
Применяемый на практике способ вычисления высот квазигеоида над эллипсоидом [1] не позволяет получать решение свободное от систематических погрешностей обусловленных особенностями самого способа.
Планетарные, главные особенности геоида и отступление его от Нормальной Земли представляются в виде множества высот квазигеоида д над общеземным эллипсоидом по формуле Брунса
T Wo - и0 m
д = - + ——0 = д +дс, (!)
у у
где T - возмущающий потенциал, W0 - значение потенциала силы тяжести на поверхности геоида (в нуле футштока), U0 - значение потенциала на поверхности отсчётного эллипсоида, у - нормальная сила тяжести.
При вычислении высот д над общеземным эллипсоидом принимают [1] U = W и д0= 0, и затем в (1), подставляют T = V - V0, разность реального потенциала притяжения V и потенциала Нормальной Земли Vo:
T = — f—1 (ACnm cos тЛ + Snm sin mX)Pnm (eos 5), (2)
Г n=2 m=0 V Г J
где fM - гравитационная постоянная, a - экваториальный радиус Нормальной Земли, r - модуль радиус-вектора исследуемой точки на поверхности квазигеоида, ACnm = Cnm - C0m и Snm - гармонические коэффициенты разложения возмущающего потенциала, а коэффициенты нормального потенциала кроме чётных зональных С200, С400,... равны нулю. Из
выражения (1) и (2), принимая в сферическом приближении ае « r « R,
У = */ 2 и
V r J
1 (3)
получаем
W n
g = RZZ (ACnm C0s m^ + Snm sin m^)Pnm (c0S 5) (4)
n=2 m=0
где X - геоцентрическая долгота и & = 90° -ф полярное расстояние. Далее предлагается вводить поправки за влияние ближней зоны [1]. Чтобы оценить погрешность сферического приближения, левую часть выражения (3) преобразуем к виду
f a ] n
e = 1 + —
Vr J V ae J
где S = r - ae, —<< 1, разложим выражение (6) в степенной ряд [3]
e *
ae
í \n ae
V r J ae 2 V ae J
„ nS n(n +1)
= 1-------+
/ \ 2 —
a2
a
(6)
Можно видеть, что ряд сходящийся и знакопеременный. При подстановке (6) в (4) первый член ряда отвечает за сферическое приближение, второй член ряда представляет величину погрешности сферического приближения третий погрешность определения ошибки за сферическое приближение (3) Л^з. Например:
N n n —
Л$2 = rЁ Ё — (ЛСпш cosтЛ + Snm sinmX)Pnm(sinр) (7)
n=2 m=0 ae
При вычислении Л^2 и Л^3 считаем, что r = гйлл = f(р) радиус-вектор эллипсоида вращения, т.к. Smx « 21км (влияние сжатия Земли), а отступления квазигеоида от эллипсоида меньше 100м. Вычисления выполнены по модели Нормальной Земли GRS 80 [4], и модель потенциала силы тяжести GEM 10 [5] до 30-го порядка и степени. В результате вычислений max\ Лд2 \=0.365м, СКОЛд2 = 0,090м, max \ Л^3\= 0.002 м. СКОЛдъ = 0,0004 м.
Например, работы [7, 8] посвящены преодолению этих трудностей. Однако, предложенные решения записаны в системе эллипсоидальных координат и их численная реализация сложна или ещё не разработана вовсе.
В тоже время, существует несколько способов получения основной уровенной поверхности Земли путём вычисления радиус-векторов точек её поверхности. Причём, вычисляется лишь модуль геоцентрического радиус-вектора, а сферические координаты р и Л могут быть заданы произвольно. Для рассмотрения были выбраны три способа, которые обозначим «А», «Б», «В»:
Способ «А» - рассмотрен в работах Г.А. Мещерякова [5];
Способ «Б» - предложен Машимовым М.М. [8];
Способ «В» - приводится в работе М.Бурши [9].
Применение этих алгоритмов на практике требует разработки технологии, программного обеспечения, и доказательство того, что они обеспечат необходимую точность представления основной уровенной поверхности Земли.
Рассмотрим более подробно каждый из них.
Особенности способа «А» - подробно рассмотрены в работе [10], приведём лишь конечное уравнение, пригодное для итераций.
Заданы границы изменения r: /3> r <а, принимается
х = а/r, (8)
K = а W(9, Л), A* = q0(1 - P№ Л)), 90 =фа (9)
Gm 3 GM
n
Е (cnm cosтЛ + Snm sin mÁ)P¡m (cos9) =Zn (9,Л), (10)
m=0
и получается
,„x
(11)
- основное уравнение, разрешающее задачу. Очевидно, что величины к, Л*, 2п- есть функции 3 и Л, т.е. для любой данной точки земной поверхности они принимают определённое постоянное значение и выражение (11) есть алгебраическое уравнение степени N+3 вида х = ф( х). Рассмотрим способ «Б»:
r0 = R
/ \n
W ' П ' П
e
1-E “ I E(JnmcosтЯ + KnmsinmA)Pnm(srnp)+1 q
n=2 у r0 J m=0 2
V
V ae J
cos p
(12)
v = — q cos2 p + J2 (3sin2 p -1), получено окончательное выражение (13)
r = R
1 - E
n=2
V r0 J
\
E (jnm cosmÁ + Knm sln mÁ)Pnm(slnP)+ 1 q
m=0 2 V ae J
3
cos2 p
+ (r 0 - r0 ^
Таким образом, вычисление геоцентрического радиус-вектора точки геоида r выполняется двумя приближениями.
Рассмотрим способ «В». В работе [9] приводится формула для геоцентрического радиус-вектора основной эквипотенциальной поверхности W=W0. Указывается, что такой радиус-вектор r может быть представлен через геопотенциальный скалярный фактор R , набор Стоксовых параметров
и угловую скорость вращения Земли.
1 + 40) + E E (A(m) cos kÁ + B(m} sin k2)p(m ^sinp)!
r = Rr
(14)
n=2 k=0
где коэффициенты А(0), Л(т), В(т) - функции Стоксовых параметров /п 8п (т) (сохраняем авторские обозначения) и параметра д
(m)
2 3
о a
Ч = ,
ОМ
где Р^ - полиномы и присоединённые функции Лежандра, я - геопотенциальный скалярный фактор, т.е. я =6363672.40 ± 0.10м.
Удерживая члены порядка /(0) )*, ч3 и пренебрегая их зависимостью от времени, имеем
4°) = V3q + V6q2 - — v-Ji0)q - -v4 (/f )2 + 24 vV
24
15
35
и=2
0
V
A(1) = 0, B2a) = 0, A(2) = v2Jf, B(2) = v2Sf,
(15)
A(0) = vnJ(°\ n = 3,5,7,8,9... N,
A(m) =vnJ(m)] n = 3,4...,N ae
n n J , где v = —.
B(m) =vnS(m) J m = 1,2,...,N Я
Алгоритм представления высот квазигеоида из разложения
возмущающего потенциала в ряд по сферическим функциям обозначим -способ «00».
Для того чтобы сравнивать подобные величины, из радиус-векторов полученных по способам «А», «Б» и «В» мы вычитаем радиус-векторы эллипсоида вращения гелл [10] и получаем дА, дБ, дВ соответственно.
Сравниваем поверхность получаемую по способам «А», «Б» и «В» с результатами, вычисленными по способу «00».
Однако, величина r - тлш не точно равна высоте геоида ^ [9],
измеренной по нормали к эллипсоиду, они отличаются, но мало:
Я = (r - Гелл )cos£. (16)
Откуда s малый угол между r и вертикалью в соответствующей точке геоида, М (рис. 2.1). Пусть |r-rj < 200м, s<0,3°, то мы можем, считать, что
coss = 1 скажется в уравнении (16) с ошибкой меньше чем 1 см. Таким образом, этой ошибкой можно пренебречь.
Вычисления модулей радиус-векторов по способам «А», «Б», «В» и «00» выполнены по исходным данным, описанным выше, в узлах регулярной сети
с шагом по широте и долготе 5°. Результаты численных экспериментов позволяют сформулировать следующие выводы:
- В способе «А» необходимо отказаться от редуцирования стоксовых постоянных на сферу Бьерхаммера, как это предлагается в [5], поскольку это приводит к расхождениям со способом «00» более чем на 15,0м;
- Тогда способы «А» и «Б» дают результаты близкие по величине, их расхождения не хуже чем 0,0079м;
- После доработки способа «А», величины отклонений от высот квазигеоида по способу «00» близки по величине (не хуже чем 1.927м) и пространственному распределению близки к величинам и распределению ошибок сферического приближения, таким образом, видно, что способы «А» и «Б» позволяют исключить погрешности сферического приближения;
- Однако, способ «В» даёт результаты не сходные ни с одним из вышеперечисленных способов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Пеллинен Л.П. Высшая геодезия (теоретическая геодезия). М., Недра, 1978, 264
с.
2. Молоденский М.С., Еремеев А.Ф., Юркина М.М. Методы изучения внешнего гравитационного поля и фигуры Земли. Тр. ЦНИИГАиК, М.: 1960 г., Вып. 131, 251 с.
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. Т. 2, М.: Наука, гл. ред. Физ.-мат. лит-ры. 1970 г., 576 с.
4. Moritz H. Geodetic Reference System 1980. Bulletin geodesique, 1980, vol. 54, № 3, p. 395 - 405.
5. Мещеряков Г.А. Задачи теории потенциала и обобщённая Земля. - М.: Наука. Гл. ред. Физ.-мат. литературы, 1991. - 216 с.
6. Юркина М.И. Уточнение связи высоты квазигеоида с возмущающим потенциалом. Физическая геодезия. Научно.-техн. сборник по геодезии, аэрокосмическим съёмкам и картографии. - М.: ЦНИИГАиК, 1999 г. - с. 55 - 70.
7. Бровар В.В., Бровар Б.В. Высокоточный метод определения внешнего возмущающего потенциала реальной Земли. С. 14 - 54. Научно-технический сборник по геодезии, аэрокосмическим съёмкам и картографии. Физическая геодезия. ЦНИИГАиК. -М.: ЦНИИГАиК, 1999. - 120 с.
8. Машимов М.М. Геодезия. Теоретическая геодезия. Справочное пособие / Под
ред. В.П. Савиных и В.Р. Ященко. - М.: Недра, 1991. - 268 с.
9. Bursa Milan, Jan Kostelecky Space Geodesy and Spase Geodynmics. Prague. 1999 Czech Technical.
10. Аубакирова А.К. Решение обратной задачи теории потенциала методом итераций. Материалы VI международной конференции АПЕП-2002, том 6, Новосибирск, 2002 г., с. 9 -13.
11. Закатов П.С. Курс высшей геодезии. Изд. 4, переработанное и дополненное, М., «Недра», 1976, 511 с.
© А.К. Аубакирова, 2005
