CC BY
29(Решетневскце чтения
УДК 621.01
П. Н. Смирнов, Н. А. Смирнов
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск
МЕТОДЫ ОДНОРОДНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ КИНЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ПЛОСКОГО МЕХАНИЗМА
Рассмотрен аналитический метод выполнения кинематического анализа плоского механизма при помощи однородного преобразования координат Денавита-Хартенберга.
При проектировании механизма выполняется структурный, кинематический и силовой анализ. Конечной целью анализа механизма является определение полезных моментов и (или) сил, которые необходимо приложить к ведущим звеньям для преодоления известных сил и (или) моментов полезного сопротивления, приложенных к выходным звеньям. Решение этой задачи позволяет рассчитать мощность на ведущих звеньях, иными словами - выбрать двигатель и, при необходимости, привод, который сможет обеспечить работоспособность механизма. При анализе сил, действующих на механизм, для каждой группы Ассу-ра, начиная с группы, в которую входит ведущее звено, записываются уравнения кинетостатики. Записать такие уравнения можно только для замкнутой системы сил, которые получаются, следуя принципу Да-ламбера, присоединением к системе внешних сил, действующих на группу звеньев, сил инерции звеньев, входящих в эту группу. И если внешние силы, как правило, известны либо легко определяются из геометрических размеров звеньев и свойств материалов, из которых они изготовлены, то для определения сил инерции необходимо знать скорости и ускорения точек каждого звена в любой момент времени. Эту задачу призван решить кинематический анализ механизма. Для выполнения кинематического анализа механизма используются разные методы: графические методы построения диаграмм перемещения конкретного звена с дальнейшим графическим дифференцированием; графоаналитические методы (метод планов и метод, заключающийся в определении мгновенных центров скоростей и ускорений); аналитический метод, более сложный, чем предыдущие, но и более точный. Графические и графоаналитические методы основаны на прямых измерениях, и, естественно, содержат погрешность, с ними связанную. Таким образом, графические и графоаналитические методы подходят только для приближенных расчетов, когда не требуется высокая точность вычислений [1].
Рассмотрим аналитический метод кинематического анализа плоского механизма. Общая постановка задачи выглядит следующим образом. Пусть дан плоский механизм, состоящий из п звеньев, длины которых ^, / = 1, п известны. Все звенья, включая стойку, соединены между собой при помощи т кинематических пар (КП). Необходимо определить скорости пк
и ускорения ак, к = 1, т в каждой кинематической паре в любой момент времени.
Введем базовую систему координат, связанную со стойкой X0 = (хо; уо). Кроме того, поставим в соответствие каждому звену специальную систему координат X = (х; у). Преимуществом рассматриваемого метода является то, что любое движение каждого звена описывается только четырьмя координатами, называемыми обобщенными, а не шестью. Определим обобщенные координаты для каждой кинематической пары:
КП 6 а 5 а
0,1 Ф1 0 0 и
1—1,1 Ф/ 0 0 1/
М-1,п Фп 0 0 1п
Здесь 6 - вращение относительно оси г, перпендикулярной плоскости рисунка; а - вращение относительно оси х, направленной вдоль звена; 5 - перемещение вдоль оси г; а - перемещение вдоль оси х. Плоская схема механизма определяет равенство нулю переменных а и 5.
Для решения задачи воспользуемся методом однородных преобразований координат Денавита-Хартенберга, который заключается в последовательном переходе от специальной системы координат, связанной с выходным звеном, к предыдущей специальной системе координат, связанной со звеном, присоединенным к выходному, и так далее до базовой системы координат. В процессе такого перехода определяются обобщенные координаты выходного звена относительно специальных систем координат, не связанных непосредственно с самим выходным звеном. При этом каждой кинематической паре соответствует матрица перехода, отражающее преобразование движения, реализуемое этой парой [2].
Матрица перехода от /-системы координат к /-1-системе имеет вид
(
Т-1 / =
008 фг-БШ фг-0 0
- Б1П фг-С0Б фг-0 о
I { С0Б ф. ^ 1г БШ ф/ 0 1
Механика специальных систем
Матрица перехода от специальной k-системы координат к базовой определится как произведение всех матриц перехода от первого звена до k-звена:
(cos j¡ - sin Фг- 0 li cos j¡ ^ sin ji cos ji 0 li sin ji 0 0 10
T0 k =П
0
0
0
1
Последний вектор-столбец матрицы Т0к и определит координаты кинематической пары т относительно базовой системы координат:
(«14 )„ к = Хк = Л (ф) , («24 )с к = Ук = /2 (ф).
Тогда проекции скорости и ускорения этой кинематической пары на соответствующие оси определяется формулами
dvi dt
dxk dt
d 2 Xu.
dyk. dt ''
dt
d 2 y¿
Ж2 ' к & Ж2
Предложенные методы преобразований координат позволяют совершенствовать программное обеспечение кинематического синтеза плоских рычажных механизмов произвольной структуры.
Библиографические ссылки
1. Смелягин А. И. Теория механизмов и машин. Курсовое пректирование : учеб. пособие. М. : Инфра-М, 2003.
2. Воробьев Е. И., Попов С. А., Шевелева Г. И. Механика промышленных роботов : в 3 кн. Кн. 1. Кинематика и динамика. М. : Высш. шк., 1988.
P. N. Smirnov, N. A. Smirnov Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk
HOMOGENEOUS COORDINATE TRANSFORMATION METHODS FOR PERFORMING KINEMATIC ANALYSIS OF PLANAR MECHANISMS
Consider the analytic method of performing kinematic analysis of planar mechanisms using homogeneous coordinate transformation of Denavit-Hartenberg.
© Смирнов П. Н., Смирнов Н. А., 2012
УДК 62-2.589
Н. А. Смирнов, П. Н. Смирнов
Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск
ЗАДАЧИ КИНЕМАТИКИ МЕХАНИЗМОВ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ
Рассмотрены основные задачи кинематического анализа механизмов параллельной структуры. Приводятся примеры решения задач кинематики с помощью матричного аппарата однородных преобразований.
В настоящее время широко развивается область исследований, связанная с созданием инновационного технологического оборудования на основе механизмов параллельной структуры. В таких механизмах координаты всех точек звеньев связаны, поэтому любые перемещения звеньев требуют согласованного взаимного перемещения. Основными преимуществами механизмов параллельной структуры являются высокая жесткость, когда подвижные звенья работают только на растяжение-сжатие (изгибающие нагрузки отсутствуют); сокращение количества элементов для осуществления движения по нескольким координатам (следовательно, упрощение конструкции и уменьшение массы технологического оборудования).
Наиболее распространены механизмы на основе гексапода, обладающие шестью степенями подвижно-
сти. Для некоторых технологических операций достаточно пяти, четырех, трех и даже двух степеней подвижности. Например, для устройства ориентации наземной антенны приема телесигнала со спутника достаточно использовать механизм с двумя степенями свободы, обеспечивающий перемещение относительно двух координат (угловые координаты относительно двух осей).
Обеспечение управления движением механизма параллельной структуры требует решения обратной задачи кинематики. В этом случае нужно определить законы движения приводов с целью обеспечения заданного закона движения (изменение перемещения и скорости) выходного звена механизма. Решение данной задачи можно осуществить, используя матричный аппарат однородных преобразований.
