Методы обратных задач динамики в адачах синтеза систем управления распределенным объектом Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

1. Podlubny /. Fractional-order systems and PKD^-controllers. IEEE Trans. Automatic Control, vol. 44, no. 1, pp. 208-214, 1999.

2. Самко С Г., Kwioac А.А.. Марычев M.P. Интегралы и производные дробного порядка. Минск: Наука и техника, 1987. 702 с.

3. Sabatier J., Ousialoup A., Iturricha А. G, Lanusse P. CRONE Control: Principles and Extension to Tinie-V'ariant Plants with Asymptotically Constant Coefficients. Nonlinear Dynamics, vol 29(1-4), p. 363-385, 2002.

4. Vinagre H.M, Podlubny /., Hernandez A., Feliu V. Some approximations of fractional order operators used in control theory and applications Fractional Calculus & Applied Analysis, vol. 3, p. 231-248, 2000.

5. Podlubny I.. Petras И , Vinagre М.. O'Leary P., Dorcak L Analogue realizations of fractional-ordcr controllers. International Journal of Nonlinear Dynamics and Chaos in Engineering Systems, vol. 29, no. 1-4, p 281-296, 2002

6. Petras /., Grega S. Digital fractional-order controllers: A possible hardware realization. Proc. of the ICCC2001, May 22 - 25, Krvmca, Poland, p. 217-222, 2001.

7. Goldberg D E Genetic Algorithms in Search, Optimization & Machine Learning Addison-Wesley Publishing, 1989

Статья поступила в редакцию I октября 2005 г.

УДК 681.51

А.В. Тычипин

МЕТОДЫ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ В ЗАДАЧАХ СИНТЕЗА СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ОБЪЕКТОМ

Исследован метод синтеза систем управления решением обратной задачи динамики применительно к объектам с распределенными параметрами Основным достоинством такого подхода является возможность не учитывать зависимость теплофизических характеристик от температуры, поскольку синтезированная система управления обладает свойством естественной адаптивности к параметрическим возмущениям объекта.

Известна задача синтеза системы управления, придающей объекту свойства заданной эталонной модели. Распространен подход, использующий компенсационный регулятор, который осуществляет компенсацию отдельных элементов передаточной функции объекта.

К основным недостаткам такого подхода относится жесткая зависимость регулятора от параметров объекта управления. Следовательно, при недостаточно точной идентификации объекта или в случае воздействия параметрических возмущений компенсационный регулятор, реализованный таким способом, становится несостоятельным.

В работе исследован способ синтеза компенсационного регулятора решением обратной задачи динамики [ 1 ].

Пусть объект управления описывается дифференциальным уравнением

с12х(1) сЬс(1) .. , ... ...

г— + а, —— + а0х(/) = Ь0и{1), (1)

<*1

где г<(/) - управляющий сигнал, - управляемая величина или выход объекта.

Необходимо перевести объект из начального состояния а'(0) = 0. л:(0) = 0 8 некоторое ко-

нечное х(1 ) = х°, к(1к) = 0 таким образом, чтобы управляемая величина следовала по траектории у (у), которую можно описать дифференциальным уравнением

^-Ур. + С]^!1 + С0у(0 = с10х0. (2)

(11 Ж

Уравнение (2) описывает эталонную модель.

Необходимо синтезировать систему управления, которая придаст объекту' свойства заданной этачонной модели.

Дтя синтеза управляющей структуры прибегают к задаче минимизации функционала

с?(и(0)=фя о-т)2

(3)

Функционал (3) построен на старших производных объекта.

Для синтеза эффективного алгоритма управления предполагается придать системе свойства грубости и минимизировать функционал по градиентной схеме

с!и(/) _ , сЮ{и)

Л = сопя!

Ж <1и

Из (4) несложно получить уравнение управляющей структуры

и(0 = *( |(с/0*° - с0х^))А - с, х(/) - *(/)).

(4)

(5)

В (5), вообще говоря, коэффициент к зависит от параметра Ь0 объекта. Больше ни одного параметра объекта управления в уравнении (5) нет. Поэтому синтезированная таким образом система управления обладает свойством естественной адаптивности к параметрическим возмущениям объекта.

Подстановкой уравнения (5) в дифференциальное уравнение объекта (1) получаем передаточную функцию замкнутой системы.

&№ = —,--------------------------------------------• (6)

р3 , +Ь0 ■ к _2 , а0 + с, Ь0 к

----+----------------------р +------р + С п

Ь0к Ь0к Ь0к

В (6) при к -+ со передаточная функция замкнутой структуры оказывается равной передаточной функции модели. То есть при увеличении этого коэффициента система управления сформирует такие управляющие воздействия, которые обеспечат требуемый переходный процесс с большей точностью.

Из (6) несложно показать, что при к —» оо система будет устойчивой.

Структура полученной системы управления представлена на рис. 1.

1

р

Объект управления

Рис. 1. Структура системы управления

Была выполнена проверка влияния коэффициента к на точность системы.

При увеличении коэффициента уменьшается величина абсолютного отклонения выходной величины объекта от желаемого значения (рис. 2).

Необходимо проверить инвариантность системы относительно параметрических возмущений, действующих на объект.

Изменим параметры объекта при неизменной системе управления следующим образом:

Щр) =

3

Щр) =

щр) =

2р~ + р + 3 3

2 р2 + р + 3 3

2 р2 + р + 3

Щр) =

щр)= , 0.1/-2

Щр) =

0.075

0.05 р~ + р + 0.05 30

0.1 р2 +4/7 + 15 ’ 5

20 р2 +0.01/7 + 75

Переходные характеристики системы даже в этом случае достаточно точно совпадают с желаемым переходным процессом.

Р и с. 2. Влияние коэффициента к на точность

Такой подход был опробован на объектах первого, второго, третьего и четвертого порядка. Рассматривались случаи, когда объект управления и эталонная модель имели одинаковый порядок, эталонная модель была более высокого порядка, объект управления имел нули. Во всех случаях синтезированная система управления обладала свойством адаптивности к параметрическим возмущениям объекта и придавала системе свойства заданной эталонной модели с некоторой точностью.

В случае эталонной модели низкого порядка по сравнению с порядком объекта качество переходных процессов несколько ниже (появляется некоторая колебательность) и увеличивается управляющее воздействие, что связано с появлением дифференцирующих свойств системы управления.

Для каждого случая были исследованы управляемость и наблюдаемость [2]. Выяснилось, что во всех случаях происходит потеря управляемости, наблюдаемости или сразу двух свойств системы при слишком большом значении коэффициента к . В случае разных порядков эталонной модели и объекта управления значение коэффициента к , при котором происходит потеря управляемости и наблюдаемости системы, тем меньше, чем выше разница в порядках.

При увеличении к увеличивается также управляющее воздействие, но повышается точность. Таким образом, при синтезе системы управления решением обратной задачи динамики необходимо таким образом выбирать коэффициент к , чтобы управляющие воздействия не выходили за допустимые рамки, система оставалась управляемой и наблюдаемой, обеспечивалась приемлемая точность.

При синтезе цифровой системы управления не составляет труда возложить функцию варьирования коэффициента к с учетом указанных требований на устройство цифровой обработки информации.

Рассмотренный подход был опробован для решения задачи синтеза системы управления распределенным объектом.

/ ▼

К---р!:-------------■

о---

Р и с. 3. Постановка задачи управления распределенным объектом

Была рассмотрена задача нагрева массивной пластины равномерным тепловым потоком, направленным на нее только с одной стороны (рис. 3). Поскольку поток равномерный, а тол-

щина везде одинакова, то задача сводится к одномерному случаю и рассматривается неравномерность распределения температурного поля только по толщине.

Известно, что температурное поле такого объекта описывается параболическим уравнением Фурье в частных производных [3].

Приняты начальные и граничные значения. Была решена следующая краевая задача:

8в{х,г) _ д2в(х,1)

Ж

ох~

#(.г,0) = 0, 0 <х<Я\

30(0,0

сії

дв(Я,1)

Л

= 0, і > о = ?(/), />0

граничные условия 2 рода.

Получена передаточная функция ОУ, которая учитывает сосредоточенное граничное управление и представляется в виде так называемого х-блока:

,2

Гх(х,р) =

суЯ

Я'

О V л / і \ л 7ШХ

- + 22^(-1) с°5|“^

Л=1

тх I ап п

2 2

2 2 ал п

Р + 1

Получены переходные характеристики модели распределенного объекта (рис. 4).

Р и с. 4. Переходные характеристики распределенного объекта Получено распределение температур по толщине пластины (рис. 5).

Р и с. 5. Распределение температур по толщине пластины

Применительно к синтезированной модели распределенного объекта решалась задача синтеза системы управления, осуществляющей нагрев пластины таким образом, чтобы температура в средней точке пластины изменялась по заданному временному закону.

Система управления, синтезированная решением обратной задачи динамики, с удовлетворительной точностью решала поставленную задачу и обладала свойством инвариантности к параметрическим возмущениям объекта.

Полученный результат имеет определенную ценность, потому что он позволяет избежать допущений о независимости теплофизических параметров объекта от температуры.

Кроме того, СУ нагревом массивных заготовок способна работать со слитками из любого материала без изменения параметров СУ.

Достоинства синтезированной СУ: простота реализации; универсальность;

инвариантность к параметрическим возмущениям.

Недостатки:

эталонная модель должна иметь порядок не ниже, чем порядок объекта; при слишком сильном увеличении коэффициента к происходит повышение точности системы, но увеличивается управляющее воздействие и теряются свойства управляемости и наблюдаемости.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

I Крутько И.Д. Обратные задачи динамики н теории автоматического управления: М.: Машиностроение, 2004 576 с.

2. Тян В.К Дискретные многомерные системы автоматического управления: Учеб. пособ./ Самар, гос. те\н. ун-т. Самара, 2001. 131с.

3. Рапопорт ЭЯ. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными параметрами М.. Высшая школа, 2003. 298 с.

Статья поступила в редакцию 10 ноября 2005 г.

УДК 681.5:681.3

В. К. Тян

СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНОЙ САУ С ЦИФРОВЫМ ИИД-РЕГУЛЯТОРОМ ОБОБЩЕННОГО ВИДА С ПРИМЕНЕНИЕМ РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА

Разработана методика синтеза оптимального цифрового ПИД-регулятора обобщенного вида, базирующаяся на теории линейной регрессии. Определение параметров Г1ИД-регулятора обобщенного вида по квадратическому критерию сведено к решению нормализованной системы линейных алгебраических уравнений относительно этих параметров.

Приведем некоторые известные положения регрессионного анализа и теории цифровых систем управления, использованные в данной работе [1], [2], [3].

Теория регрессии связана с задачей предсказания величины у на основе информации, полученной при измерении других величин у ,VI/ и .

Динамические системы являются адекватным объектом применения понятия регрессии, в котором у - выходная величина системы (в текущий момент времени), а у, содержит информацию о прошлом поведении динамической системы. Обозначим

VI

У*

(1)