Методы многокритериальной оптимизации транспортной задачи Текст научной статьи по специальности «Математика»

Методы многокритериальной оптимизации транспортной задачи

А.В.Нуркаева

Финансовый Университет при правительстве Российской Федерации, Москва

Аннотация: Статья посвящена разработке решения многокритериальной транспортной задачи. В качестве критериев брались минимальные стоимость перевозок, время перевозок, накладные расходы и максимальный объем перевозок. Классические методы решения задач многокритериальной оптимизации модифицированы и приспособлены под особенности транспортной задачи. В среде Visual Studio на языке программирования С# составлен программный комплекс, позволяющий решать задачу многокритериальной транспортной задачи одним из методов: линейной свертки, главного критерия, уступок или методом гарантированного результата, и сравнивать полученные результаты. Ключевые слова: четырехкритериальная транспортная задача, метод потенциалов, начальная симплексная таблица, метод главного критерия, метод уступок, лямбда-задача, метод линейной свертки, транспортные перевозки, программная реализация, мультипликативная свертка, метод гарантированного результата

Введение

Развитию транспортных перевозок уделяется много внимания: расширяются транспортные сети, максимизируется их пропускная способность, модернизируются дороги, появляются новые виды транспорта и транспортных средств, автоматизируются процессы погрузки-разгрузки товаров, совершенствуется логистика транспортных перевозок.

Для заказчиков транспортных услуг необходимы решения транспортных задач для осуществления перевозок с минимальными издержками и с большим экономическим эффектом.

К настоящему времени достаточно полно исследована однокритериальная транспортная задача, рассмотрены различные ее постановки, комбинации с другими задачами производства и хранения продукции, найдено и обосновано достаточно методов ее решения, на основе которых разработаны компьютерные приложения решения классических транспортных задач. Для многокритериальных задач описаны лишь направления решения, например, с использованием методов Парето.

Многокритериальная транспортная задача рассмотрена в работах А.В. Золотарюка [1], который, проанализировав процессы транспортных перевозок и факторы, снижающие их эффективность, сформулировал математическую постановку транспортной многокритериальной оптимизационной задачи, и рассмотрел пути ее решения на основе парето-оптимальных методов и с помощью интеллектуального нейросетевого прогнозирования. Также двухкритериальная транспортная задача рассмотрена О.В. Серой [3]. Она разработала итерационный алгоритм и доказала, что полученное решение парето-оптимально. Ю.А. Осыкина и Г.Д. Чернышова [2] рассмотрели многокритериальную транспортную задачу с разрывными функциями и целочисленными переменными.

В данной статье для четырехкритериальной транспортной задачи, сформулированной А.В. Золотарюком, разработан алгоритм решения, который положен в основу работы программного комплекса. Известные стандартные методы решения многокритериальных задач приспособлены к решению транспортной многокритериальной задачи.

Математическая модель четырехкритериальной транспортной модели

Сформулируем математическую постановку задачи

многокритериальной оптимизации транспортных перевозок с учетом одного цикла.

Найти оптимальные параметры транспортной сети

G*+1 =11 g°j,gijv-gtjv-gkj\\ ;j =0,к; j =1 Mj;

исходя из условий:

• минимума времени нахождения в пути из исходного в конечный пункт

назначения Тпут:

к Mi

min T = min YVi.. • g

пут ^^ ^^ jj о jj

i=0 j=1

J

минимума общей себестоимости перевозки единицы груза Сед:

k Mi

min Cд = min ■ g,

i=0 j=1

максимума общего количества перемещенных грузов Утр!

k Mi

maxКР = max■ g,

i=0 j=1

минимума общих накладных расходов при доставке груза R^:

k M i

min R б = min УУ r • g .

оо ^^ ^^ гj О г,

i=0 j=1

Решение многокритериальной транспортной задачи

k Mt

Нормируем полученные критерии: т =

t 'g ij

1 -,_Г>

пут i=0 j=1

k Mi

• gj

k Mt

■ gj

T max t max

пут пут

kMi

^ pa i=0 j=1 тр i=0 j=1

< = —— = —--, и = —— = —--, p =

R УУг- ' g ij

Лоб i=0 j=1

C

ед

С

ед

Vm

тр

Vm

тр

R

об

R

об

Рассмотрим применение метода гарантированного результата, который предполагает максимизацию следующей функции

f = min

k Mi k Mi k Mi k Mi

^^ ^ij gij ^^ сij gij ^^ Vij gij ^^ Гу gij

i=0 j=1

i=0 j=1

i=0 j=1

i=0 j=1

Г

пут

С

ед

Vr

тр

R

об

У ^ max.

Введя

X = min

k M i k M i k M i k M i

yyt1!-g1! TT^-g« yyv1!-g1! TTrrg

ij ij ij ij

i=0 j=1 i=0 j=1

Tr

СI

ij ij ij ij i=0 j=1 i=0 j=1

v:

R

об

обозначение

получим задачу

линейного программирования

f = X ^ min

при ограничениях

max

max

max

max

max

Л >т, Л>а, 1 - Л < и, Л >р,

Л е [0;1].

Другими словами, нам нужно найти минимальное Л, при котором существует допустимый план решения задачи. Поиск можно осуществлять разными способами. Во-первых, решением Л-задачи. Но програмно этот способ реализовать достаточно сложно. Во-вторых, перебирая значения с заданным шагом с 1 до 0, допустим, с шагом 0.01 (так как содержательный смысл - процент, то с точностью до 1 процента). В этом случае задача решается за 101 шаг, а в общем случае, за (1/точность+1) шаг. Но на наш взгляд наиболее эффективно вести перебор методом дихотомии по нижеизложенной схеме. Заметим, что при Л = 1 ограничения принимают вид

1 > т,1 > а,0 < и,1 > р .

Но так как нормализованные критерии точно имеют положительные значения, меньшие единицы, то задача имеет допустимое решение. А вот при Л = 0 ограничения с учетом положительности и нормализации принимают вид

0 = т,0 = а,1 = и,0 = р.

и здесь возможны две ситуации:

1) если допустимое решение существует, то оно является идеальным, так как оно минимизирует те критерии, которые нужно минимизировать и максимизирует те критерии, которые нужно максимизировать. Также напомним, что этот случай на практике встречается крайне редко. Как бы там ни было, допустимое решение в данном случае решение оптимально. Задача решена.

:

2) Если допустимое решение не существует, то применим метод дихотомии. А именно, обозначим Л1 = 0, Л2 = 1. Требуемую точность

обозначим за s. Пока \ Л2 - Л1 \> s = 0 находим Л0 = Л2 + Л .

Если при Л0 допустимое решение задачи есть, то и продолжаем искать минимальное Л, при котором существует допустимое решение среди меньших его значений, то есть на отрезке Ле[Л1;Л0]. Если же при Л0 допустимого решения не существует, то и продолжаем искать минимальное Л , при котором существует допустимое решение среди больших его значений, то есть на отрезке Л е [Л0; Л2 ].

Количество переборов при использовании данного метода дихотомии -

log — +1. В случае, если точность равна 1 процент, количество переборов

s

снижается со 101 в случае простого перебора до 8.

Программный комплекс

Создано программное приложение для решения многокритериальной транспортной задачи, описанной в [1], в инструментальной среде Visual Studio Professional 2015. Приложение позволяет воспользоваться одним из четырех методов: методом уступок, линейной свертки, методом главного критерия и гарантированного результата. Метод линейной свертки и первый этап метода уступок позволяют применить метод потенциалов. Остальные этапы метода уступок и метод главного критерия используют обычный симплекс-метод решения задачи линейного программирования. Причем для построения первоначального базисного плана используется построение искусственного базиса. Метод гарантированного результата применяет симплекс-метод только для построения первоначального опорного плана, так как ищет минимальное значение параметра, при котором в принципе решение возможно.

Литература

1. Золотарюк А.В. Математическая модель многокритериальной оптимизации транспортных перевозок. // Инновационные технологии в науке и образовании. 2015. № 1(1). С. 317-320.

2. Осокина Ю.А, Чернышова Г.Д. Многокритериальная транспортная задача с разрывной целевой функцией. // Вестник, серия: системный анализ и информационные технологии. 2008. № 2. С.: 10-12.

3 Серая О. В. Двухкритериальная транспортная задача // Вестник Национального технического университета «Харьковский политехнический институт». НТУ «ХП1», 2009. №4. - С. 64-68.

4. Боженюк А.В., Герасименко Е.М. Разработка алгоритма нахождения максимального потока минимальной стоимости в нечеткой динамической транспортной сети // Инженерный вестник Дона. 2013, №1. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n1y2013/1583.

5. Нечитайло Н.М., Мартемьянов С.В., Панасов В.Л. Транспортная задача по критерию минимума суммарного времени и модификация метода Балинского для её решения // Инженерный вестник Дона. 2016, №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2016/3796.

6. Dawes R. The robust beauty of improper linear models in decision-making. /In: « Judgement under uncertainty: Heuristics and biases». Cambridge Univ., Press, 1982. - pp. 571-582.

7. McGrimmon K. An overview of multiple objective decision making. /in Multiple criteria, decision-making. Cohrane I., Zeleny M. (Eds). Columbia Univ: South Carolina Press, 1973. pp: 656-667.

8. Подиновский В.В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982. 256 с.

9. Константинова М.А. К вопросу многокритериальной задачи в транспортной логистике // Научное сообщество студентов XXI столетия.

Технические науки: сб. ст. по мат. XVIII междунар. студ. науч.-практ. конф. № 3(18). URL: sibac.info/archive/technic/3(18).pdf (дата обращения: 05.05.2017)

10. Емельянов С.В., Ларичев О.И. Многокритериальные методы принятия решений. М.: Знание, 1985. 32 с.

References

1. Zolotaryuk A.V. Innovatsionnye tekhnologii v nauke i obrazovanii. 2015. № 1(1). pp. 317-320.

2. Osokina Yu.A, Chernyshova G.D. Vestnik, seriya: sistemnyy analiz i informatsionnye tekhnologii. 2008. № 2. pp: 10-12.

3 Seraya O.V. Vestnik Natsional'nogo tekhnicheskogo universiteta «Khar'kovskiy politekhnicheskiy institut». NTU «KhPI», 2009. №4. pp: 64-68.

4. Bozhenyuk A.V., Gerasimenko E.M. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, №1. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n1y2013/1583.

5. Nechitaylo N.M., Martem'yanov S.V., Panasov V.L. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2016, №1. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2016/3796.

6. Dawes R. The robust beauty of improper linear models in decision-making. In: «Judgement under uncertainty: Heuristics and biases». Cambridge Univ., Press, 1982. pp: 571-582.

7. McGrimmon K. An overview of multiple objective decision making./In Multiple criteria decision making. Cohrane I., Zeleny M. (Eds). Columbia Univ: South Carolina Press, 1973. pp: 656-667.

8. Podinovskiy V.V., Nogin V.D. Pareto-optimal'nye resheniya mnogokriterial'nykh zadach. [Pareto optimal decision of multicriterial problems] M.: Nauka, 1982. 256 p.

9. Konstantinova M.A. Nauchnoe soobshchestvo studentov XXI stoletiya. Tekhnicheskie Nauki: sb. st. po mat. XVIII mezhdunar. stud. nauch.-prakt. konf.

№ 3(18). URL: sibac.info/archive/technic/3 (18).pdf (data obrashcheniya: 05.05.2017).

10. Emel'yanov S.V., Larichev O.I. Mnogokriterial'nye metody prinyatiya resheniy. [Multicriterial methods of decision maker]. M.: Znanie, 1985. 32 p.