Методы измерения неравенства денежных доходов населения Текст научной статьи по специальности «Социальная и экономическая география»

Колмаков И.Б.

МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ НЕРАВЕНСТВА ДЕНЕЖНЫХ ДОХОДОВ НАСЕЛЕНИЯ

(исследование проведено при финансовой поддержке РГНФ, проект №16 - 02 - 00533/16)

Распределение населения по уровню среднедушевых денежных доходов (СДД), рассчитывается Росстатом с использованием логарифмически-нормального распределения [1; 2]. Кривая плотности вероятностей логарифмически нормального распределения населения по уровню СДД с параметрами ц и ^(математическое ожидание и дисперсия логарифма дохода х) имеет вид:

(1пх-ц)2

Г(х] =-е 2а (1)

а ■х■ V2п

Важнейшими индикативными характеристиками плотности лог-нормального распределения численности населения по уровню СДД являются [3; 4]: модальное значение Хшоё = ехр(ц - а2); (2)

медианное значение Хшеё= ехр(^); (3) среднее значение Хс=ехр(ц +0.5а2). (4)

Между индикативными характеристиками существует параметрическая связь, определяемая дисперсией логарифма дохода -а2. Чем больше

значение а2 или чем дальше находятся индикативные характеристики друг от друга, тем больше степень неравномерности доходов и выше степень расслоения населения.

Уравнения (2), (3) и (4) образуют три системы из двух уравнений с двумя неизвестными ц и а Решая любую из них, получаем параметры распределения ц и а, выраженные через индикативные характеристики распределения (Хто^ Хтед. и Хс), имеющие явный экономический смысл [3]. Так как все три системы уравнений описывают одно и тоже распределение населения по уровню СДД, то для всех трех систем уравнений параметры ц и а должны быть одинаковы. Проверка этого утверждения на данных Росстата за 2015 год (Хс=30473,6 руб.; Хшей =22718,4руб.; Хшой =12626,6 руб.) показала, что точность расчетов параметров распределения достаточно высокая [3]:

ц = 10,0309307 ±0,0000003; а = 0,7664008±0,0000005.

Для оценки неравенства, наряду с распределением численности населения, необходимо рассматривать

распределение доходов населения. Плотность вероятности распределения доходов населения по уровню СДД — ср(х) — имеет вид:

1 „ . 1 2а2

р(х)=х-т =_1

X с 2п

е

(5)

Также как и для /(х) — плотности логнормального распределения численности населения по уровню СДД, для р(х) — плотности логнормально-го распределения доходов населения, важнейшими индикативными характеристиками являются [3]: модальное значение плотности дохода Хф^ = вхр(ц); (6)

медианное значение плотности дохода Хфшеё= вхр(ц+ог); (7)

среднее значение плотности дохода Хфс= вхр(ц+1,5о2). (8)

Видно, что модальное значение плотности дохода р(х) (6) в точности соответствует медианному значению плотности распределения численности населения/(х) (3).

На рис. 1 приведены кривые логарифмически-нормального распределения населения по уровню СДД — плотность вероятности распределения численности населения /(х) и кривая логарифмически-нормального распределения доходов по уровню СДД — плотность вероятности распределения доходов ф(х). На этих же кривых обозначены основные индикативные точки.

0,000035

со

0

1

О

0,00003

0,000025

% 0,00002 и

^ 0,000015

Ь

о

5 0,00001

т

5

р 0,000005

о =1

О 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000 100000 —•—Плотность распределения численности населения по уровню денежных доходов ^У®-—•—Плотность распределения доходов населения по уровню денежных доходов

Рис. 1. Графики плотностей распределения численности населения — f(x), денежного дохода — р(х) и индикативные точки этих кривых

Интегральной характеристикой плотности вероятностей логарифмически нормального распределения населения по уровню среднедушевых

денежных доходов является функция распределения накопленных долей численности населения:

x

F(x) = j f(u)du =

1 f1

x (lnu-,u)

a^j 2n

j -

„ u

2a

du.

(9)

Накопленные доли доходов населения по уровню СДД есть интеграл или функция й(х):

D(x)

= j cp(u)du =

kr je-

x (lnu-u)

2ct

хГа42П

du.

(10)

Именно функции F(x) и D(x) определяют кривую Лоренца и индекс Джини, а следовательно, и дифференциацию денежных доходов населения. Эти функции позволяют определять, какая доля численности населения обладает каким объемом доходов. В работе [5] исследовалось поведение разности долей функций R(x) = F(x) — D(x) и установлены зависимости, определяющие связь индекса Джини с показателем распределения a и нормированным значением интеграла R(x). На рис. 2 приведен вид интегральных характеристик функций F(x), D(x) и R(x).

о

0

1 i

0) ц

□

S 7 5

с о сг

1

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 о

10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000 100000

Руб.

-Функция логарифмически нормального распрвделэния численности населения по уровню СДД -Функция логарифмически нормального распределения доходов населения по уровню СДД -Разность функций распределения численности населения и доходов

Рис. 2. Графики функций распределения по уровню СДД:

накопленных долей численности населения — Р(х), накопленных долей денежных доходов населения — й(х) и долей разности этих функций — Й(х)

Индикативные полярные характеристики доходов населения

Социальная устойчивость общества определяется численностью и доходами «среднего класса». Из двух официально используемых показателей дифференциации доходов никак не следует оценка численности «среднего класса», кроме очевидного утверждения: «чем меньше индекс Джини, тем выше численность «среднего класса».

В процессе обсуждений проблем социальной устойчивости общества настоятельно выявлялась необходимость иметь такие характеристики доходов, которые позволяли бы оценивать расслоение населения по уровню денежных доходов относительно неких индикативных показателей доходов. Если условно XI считать индикативным доходом, то логично рассматривать характеристики (долю численности, долю дохода и средний доход) тех, кто имеет доходы ниже XI и тех, кто имеет доходы выше, и сравнивать их между собой.

Поскольку эти характеристики полярно отличаются по знаку оцениваемых параметров, то назовем эти характеристики расслоения населения по уровню денежных доходов полярными. При расчете полярных характеристик требования к ним были весьма простые: не противоречить общепринятым, не заменять, а дополнять существующие, отличаться простотой и ясностью экономической трактовки, и прозрачностью вычислений.

В качестве индикативных границ деления населения и, соответственно доходов, выберем индикативные показатели, имеющие явный экономический смысл: модальный доход (2),

доход медианной численности населения (3), средний доход (4), медианное значение плотности дохода (7), среднее значение плотности дохода (8).

Фиксация границы расслоения на уровне выбранного индикативного дохода выявляет поляризацию населения и позволяет определить, какая часть населения имеет доходы ниже выбранного индикативного уровня, какой частью доходов владеет и какой средний доход в этой исследуемой группе. Точно также определяются характеристики группы населения, имеющего доходы выше выбранного уровня.

Сравнение средних доходов этих полярных групп населения позволяет получать количественную характеристику неравенства и не менее емко характеризуют дифференциацию доходов, чем индекс Джини. Поэтому предлагается наряду с уже используемыми показателями дифференциации рассматривать другие показатели: индексы поляризации денежных доходов населения:

1) индекс поляризации модального дохода (Хтаф ¡Мй;

2) индекс поляризации дохода медианной численности ('Хтвй) 1МБ;

3) индекс поляризации среднего доход а(Хс) ¡БИ;

4) индекс поляризации численности медианного дохода (Хртвй) ¡МИ;

5) индекс поляризации среднего значения плотности дохода (Хрс) ¡Бй.

Методы расчета всех индексов поляризации одинаковы1. Поэтому далее приводится только расчет индекса поляризации модального дохода — 1Мй. Для других индексов пред-

1 Индекс поляризации среднего дохода ¡БИ подробно рассмотрен в работах [5; 6].

ставлены конечные результаты — формулы и графики, которые позволяют понимать трактовку и получать их количественные оценки.

Индекс поляризации модального дохода — ¡Мй

Если индикативной границей доходов населения считать модальный доход Хтой, то индекс поляризации модального дохода предлагается определять, как отношение среднего дохода в относительно высокодоходной группе населения (ВДГ) к среднему доходу в относительно низкодоходной группе (НДГ).

Доля численности тех, кто имеет доходы ниже модального значения, равна:

¥1шой(Хшой) = Ф(-о) = 1 - Ф(о)

Доля доходов низкодоходной группы в общем объеме доходов населения составит:

Оьтой(Хтой) = Ф(-2о) = 1 - Ф(2о)

Тогда средний доход в группе населения с доходами ниже модального уровня равен:

ББьтой = Ф(-2о)/Ф(-о) = (1 - Ф(2о))/ (1 - Ф(о))

Аналогичные расчеты проводятся для группы населения с доходами выше модального уровня. Последовательно вычисляется доля численности этой группы населения, доля доходов этой группы в общем объеме доходов и средний доход:

Ритой(Хтой) = 1 - Ф(-о) = Ф(о);

йитой(Хтой) = 1 - Ф(-2о) = Ф(2о);

Бйитой = Ф(2о)/Ф(о).

Отношение средних доходов населения в группе с доходами выше модального уровня, к средним доходам населения в группе с доходами ниже модального уровня дает очень простую и наглядную процедуру построения индекса поляризации модального дохода (рис. 3).

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

**тв1ш (1 - ^. ■.:'::) ^пчМ? Условный средний доход высокодох

одных

населения

л г"

У

/

^Н-Т {1 " ^НЙ^У ^И! 11 /1

I 10 20 30 40 50 Доли населения

-Равномерное распределение

60

70

80

90 100

-*- Распределение Лоренца Рис. 3. Графическая интерпретация индекса поляризации модального дохода !Мй

Через точку с координатами модального дохода (р1тоё(Хтаё); ¥ьтой(Хтой)) проводятся горизонталь и вертикаль до пересечения с осями координат. В левом верхнем углу и правом нижнем образуются два прямоугольника. Площадь левого верхнего прямоугольника

Нтоё = (1 -DLmod(Xmod)) • Рьтоё(Хтоё),

трактуется как условный средний доход населения с доходами выше модального, а площадь прямоугольника в правом нижнем углу

Lmod = (1-FLmod(Xmod)) • DLmod(Xmod) — как условный средний доход населения с доходами ниже модального. Отношение площадей прямоугольников Hmod и Lmod и есть индекс поляризации модального дохода:

¡Мй = Hmod/Lmod = (1 — DLmod(Xmod))•

FLmod(Xmod)/ ((1 — FLmod(Xmod)) •

DLmod(Xmod))= (Ф(2а)/Ф(с))• (1 — Ф())/(1 — Ф(2)) (11)

В случае «абсолютного равенства» Hmod = Lmod индекс поляризации ¡Мй = 1. В случае «абсолютного неравенства» Hmod^ 1 и Lmod^ 0 и индекс поляризации ¡Мй^оо.

Теоретический диапазон изменения индекса поляризации модального дохода 1 < ¡Мй< оо, а фактический — значительно меньше.

Индекс поляризации дохода медианной численности ¡МБ

Индикативной границей доходов в этом случае принимается доход, соответствующий доходу медианной численности населения Xmвd. Доля численности тех, кто имеет доходы ниже медианного уровня и доля численности тех, кто имеет доходы выше медианного, равны Ф(0) = 0,5.

FLmвd(Xmвd) = ФLmвd(Vmвd) = 0,5.

Доля дохода DLmвd(Xmвd) и средний доход SDLmвd в группе населения с доходами ниже медианного дохода составляют:

DLmвd(Xmвd) = Ф(-О) = 1 — Ф(О);

SDLmвd = Ф(-О)/0,5 = (1 — Ф(о))/0,5.

Аналогичные показатели для группы с доходами выше медианной численности:

Dнmвd(Xmвd) = 1 — Ф(-о) = Ф(о);

SDнmвd = Ф(о)/0,5 = (1 — Ф(-о))/0,5.

Индекс поляризации дохода медианной численности:

¡МБ = SDнmвd/SDLmвd = Ф(О)/Ф(-О) = Ф(о)/(1-Ф(О))

Графическая интерпретация индекса поляризации дохода медианной численности приведена на рис. 4. Через точку на кривой Лоренца с координатами {0,5; DLmвd(Xmвd)} проводятся горизонталь и вертикаль до пересечения с осями координат. В левом верхнем углу и правом нижнем образуются два прямоугольника.

Площадь левого верхнего прямоугольника Hmвd = (1 — DLmвd(Xmвd)) • 0,5 трактуется как условный средний доход населения с доходами выше дохода медианной численности, а площадь прямоугольника в правом нижнем углу Lmвd = 0,5 • DLmвd(Xmвd) — как условный средний доход населения с доходами ниже дохода медианной численности.

Отношение площадей прямоугольников HmвdU Lmвd и есть индекс поляризации дохода медианной численности:

¡МБ= Hmвd/Lmвd= (1 — DLmвd(Xmвd)) • 0,5/0,5 • DLmвd(Xmвd) = Ф())/(1 — Ф())) (12)

В случае «абсолютного равенства» Hmвd = Lmвd и индекс поляризации 1МЕ= 1.

В случае «абсолютного неравенства» Hmвd^ 1 и Lmвd^ 0 и индекс по-

ляризации 1МЕ^оо. Теоретический диапазон изменения индекса 1<1МЕ<о а фактический — значительно меньше.

Рис. 4. Графическая интерпретация индекса поляризации дохода медианной численности 1МЕ

Индекс поляризации численности медианного дохода ¡МИ

Индикативной границей доходов в этом случае принимается доход, соответствующий численности медианного дохода населения Х9шеё = вхр(^+)2).

По аналогии с расчетами исходных данных для индекса поляризации медианной численности дохода определяются исходные данные для расчета индекса поляризации медианного дохода — ¡МИ:

FLфmed(Xфmвd) = ФLфmed(Vфmed) = Ф());

Оьфт^ХфтеЛ) = Ф(0) = 0,5; БОьфшей = 0,5/Ф(о);

Рифшеё(Хфшеё) = Фифшей(Уфшей) =1 - Ф(о);

Вифтей(Хфшей) = Ф(0) = 0,5; ББифшей =0,5/(1 - Ф(о)).

Индекс поляризации численности медианного дохода:

¡МЯ = БВифтей/БВ1фтей= Ф(о)/(1 -Ф(о))

Графическая интерпретация индекса поляризации численности медианного дохода приведена на рис. 5.

Доли населения

Равномерное распределение Распределение Лоренца

Рис. 5. Графическая интерпретация индекса поляризации численности медианного

дохода IMR

Через точку на кривой Лоренца с координатами {Fифmed(Xфmed); 0,5} проводятся горизонталь и вертикаль до пересечения с осями координат. Площадь левого верхнего прямоугольника Ифтеё = Рифтей(Хфтей) • 0,5 трактуется как условный средний доход населения с доходами выше

медианного дохода, а площадь прямоугольника в правом нижнем углу Lфmed = (1 - Рифтеё(Хфтеё) • 0,5 — как условный средний доход населения с доходами ниже медианного дохода.

Индекс поляризации численности медианного дохода есть отношение

площадей прямоугольников Hфmed и Lфmed:

¡МИ = Hфmвd/Lфmвd = Ф()/(1 - Ф()) (13)

В случае «абсолютного равенства» Hфmed = LфmedИ индекс поляризации ¡МИ = 1. В случае «абсолютного неравенства» Hфmed^ 1 и Lфmed^ 0 и индекс поляризации ¡МИ^оо. Теоретический диапазон изменения индекса поляризации численности медианного дохода 1 <ШИ<щ а фактический рабочий диапазон изменения значительно меньше.

Сравнивая формулы вычисления индекса поляризации дохода медианной численности ¡МБ (12) и индекса поляризации численности медианного дохода ¡МИ (13) отмечаем, что они полностью совпадают. В практике международных сравнений неравенства используются именно эти оценки координат кривой Лоренца [8]. Для оценки дохода медианной численности:

FLmвd(Xmвd) = Fнmвd(Xmвd) =Ф(0) =0,5 и DLmвd(Xmвd)= 1 — Ф()); для оценки численности медианного дохода:

Dнфmed(Xфmed) = DLфmed(Xфmed) = Ф(0) =0,5 и FLфmed(Xфmed) = Ф()).

Индекс поляризации среднего значения плотности дохода ¡Бй

Индикативной границей доходов в этом случае принимается доход, определяемый формулой среднего значения плотности дохода: Хфс = вхр(ц +1,5)) (8).

Исходные данные для расчета индекса ¡Бй:

FLфc(Xфc) = ФLфc(Vфc) = Ф(1,5o);

DLфc(Xфc) = Ф(0,5)); SDLфc = Ф(0,5))/ Ф(1,5 )); Fнфc(Xфc) = 1 — Ф(1,5o)/Dнфc(XфC) = 1 — Ф(0,5а);

SDнфc = (1 — Ф(0,5)))/(1 — Ф(1,5))).

Индекс поляризации среднего значения плотности дохода ¡Бй:

¡Бй = SDнфc/SDLфc= ((1 - Ф(0,5и))/(1 -Ф(1,5))))/(Ф(0,5 и)/Ф(1,5 и))

Графическая интерпретация индекса поляризации среднего значения плотности дохода приведена на рис. 6. Через точку на кривой Лоренца с координатами ^ф^Хф^; DLфc(Xфc)} проводятся горизонталь и вертикаль до пересечения с осями координат. В левом верхнем углу и правом нижнем образуются два прямоугольника. Площадь левого верхнего прямоугольника Щс = FLфc(Xфc) • (1 — DLфc(Xфc)), а площадь прямоугольника в правом нижнем углу Lфc = (1 — FLфc(Xфc)) • DLфc(Xфc).

Отношение площадей прямоугольников Hфc и Lфc и есть индекс поляризации среднего значения плотности дохода.

¡Бй= нф^Ьф^ FLфc(Xфc) • (1 —

DLфc(Xфc))/(1 -FLфc(Xфc)) • DLфc(Xфc) =

= ((1 -Ф(0,5)). Ф(1,5))/(Ф(0,5). (1 - Ф(1,5))) (14)

В случае «абсолютного равенства» Hфc = Lфc и индекс поляризации ¡Бй = 1. В случае «абсолютного неравенства» Hфc^ 1 и Lфc^ 0 и индекс поляризации ¡Бй^оо. Теоретический диапазон изменения индекса поляризации среднего значения плотности дохода 1 <№й<о а фактический — значительно меньше.

Рис. 6. Графическая интерпретация индекса поляризации среднего значения

плотности дохода ¡Бй

Величины индексов поляризации — аналог коэффициента фондов, так как определяются отношением средних доходов в группах населения с доходами выше и ниже принятой границы доходов. В отличие от коэффициента фондов здесь граница, а соответственно, и численность населения в группах не остаются постоянной величиной, зависит от средне-квадратического отклонения логарифмов доходов.

Оценка точности вычисления индексов поляризации зависит только от точности определения величины среднеквадратического отклонения, которая в свою очередь зависит от точности исходных данных.

Индексы поляризации наряду с индексом Джини, рекомендуются для оценки неравенства населения по уровню денежных доходов. Выбор индексов зависит от поставленных целей анализа или прогноза.

Литература

1. Методологические положения по статистике. Вып. 1. — М.: Госкомстат России, 1996.

— 674 с.

2. Великанова Т.Б., Колмаков И.Б., Фролова Е.Б. Совершенствование методики и моделей распределения населения по среднедушевому доходу // Вопросы статистики.

— 1996. — № 5 — 1996. — С. 50-58.

3. Великанова Т.Б. Средний, медианный и модальный уровень денежных доходов населения в целом по России и по субъектам Российской Федерации. [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://www.gks.ru/free_doc/new_ site/population/bednost/tabl/tab-bed1-2-6.htm(дата обращения 29.04.2017)

4. Социальное положение и уровень жизни населения России. Стат. сб. — М.: Росстат, 2000-2016.

5. Колмаков И.Б. Методология измерения неравенства денежных доходов населения: анализ и прогноз показателей дифференциации и поляризации // Аудит и финансовый анализ. — 2016. — №6. — С. 409-424.

6. Колмаков И.Б. Методология анализа интегральных оценок показателей поляризации денежных доходов населения // Вопросы статистики. — 2015. — № 2. — С. 2336.

7. Колмаков И.Б. Методы и модели прогнозирования показателей дифференциации и поляризации денежных доходов населения: Дисс. ... д-ра экон. наук. — М., 2008.

8. Миланович Б. Глобальное неравенство доходов в цифрах: на протяжении истории и в настоящее время: Обзор : докл. к XV Апр. Межд. науч. конф. по проблемам развития экономики и общества, Москва, 1-4 апреля 2014 г. / Пер. с англ. — М.: ИД ВШЭ, 2014.

Bibliography

1. Metodologicheskiye polozheniya po statistike [Methodological Guidelines on Statistics]. Issue 1. Moscow. Rosstat. 1996. 674 p.

2. Velikanova T., Kolmakov I., Frolova E. Sovershenstvovaniye metodiki i modeley raspre-deleniya naseleniya po srednedushevomu dokhodu [Improving the methods and models of population distribution by average per capita income]. Voprosy statistiki [Statistical Studies]. 1996. № 5. P. 50-58.

3. Velikanova T. Sredniy, mediannyy i modal'nyy uroven' denezhnykh dokhodov naseleniya v tselom po Rossii i po sub"yektam Rossiyskoy Federatsii [Average, median and modal levels of population monetary incomes for Russia on the whole and by the Russian Federation subjects]. Available at: http://www.gks.ru/free_doc/new_site/population/ bed-nost/tabl/tab-bed1-2-6.htm (Accessed: 29 April 2017)

4. Sotsial'noye polozheniye i uroven' zhizni naseleniya Rossii [Social Status and Living Standards of the Russian Population]. Statistical handbook. Moscow. Rosstat. 2000-2016.

5. Kolmakov I. Metodologiya izmereniya neravenstva denezhnykh dokhodov naseleniya: ana-liz i prognoz pokazateley differentsiatsii i polyarizatsii [Methodology for measuring inequality of the population monetary incomes: analysis and forecast of differentiation and polarization]. Audit i finansovyy analiz [Audit and Financial Analysis]. Moscow. 2016. №6. P. 409-424.

6. Kolmakov I. Metodologiya analiza integral'nykh otsenok pokazateley polyarizatsii denezhnykh dokhodov naseleniya [Methodology for analysis of integral estimates of the indicators of polarization of the population monetary incomes]. Moscow. Voprosy statistiki [Statistical Studies]. 2015. № 2. P. 23-26.

7. Kolmakov I. Metody i modeli prognozirovaniya pokazateley differentsiatsii i polyarizatsii denezhnykh dokhodov naseleniya [Methods and models of forecasting the indicators of differentiation and polarization of the population monetary incomes]. Moscow. Thesis of the Doctoral diss. 2008.

8. Milanovic B. Global'noye neravenstvo dokhodov v tsifrakh: na protyazhenii istorii i v nas-toyashcheye vremya: obzor: doklad k XV Apr. mezhdunarodnoy nauchnoy konferentsii po problemam razvitiya ekonomiki i obshchestva [Global Income Inequality in Numbers: in History and Now. Overview of the reports at the XV April international scientific conf. on development of economy and society]. Moscow, April 1-4, 2014. (in Russian). Moscow. Iz-datel'skiy dom Vysshey shkoly ekonomiki [Higher School of Economics]. 2014.