Методы идентификации динамических процессов при разработке композиционных материалов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

########## ###############################

МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПРИ РАЗРАБОТКЕ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

И. А. А. М. А. П.

ГАРЬКИНА, кандидат технических наук, ДАНИЛОВ, доктор технических наук, ПРОШИН, член-корреспондент РААСН,

доктор технических наук, Ю. Г. ИВАЩЕНКО, доктор технических на

оа последние десятилетия наметился существенный сдвиг в математизации исследований в строительном материаловедении. На место эвристических методов приходят строгие формализованные методы, позволяющие осуществить разработку материалов при значительном сокращении количества экспериментов, в том числе основанных на использовании математических методов планирования эксперимента. Так, появились первые попытки использования современных методов фрактальной геометрии, методов системного анализа, теории принятия решений при управлении в технических системах и др.

Не касаясь многих аспектов применения математических методов в строительном материаловедении, ограничимся рассмотрением чрезвычайно важного вопроса построения моделей кинетических процессов в различных системах (как в гомогенных, так и в гетерогенных) и последующей оптимизации структуры и свойств материала.

Известно [1, 2], что кинетика формирования физико-механических характеристик рассматриваемых материалов чаще всего графически изображается в виде кривых, приведенных на рис. 1. Контролируемый параметр х с течением времени асимптотически приближается к значению х » хт. Между кривыми 1, 2 имеется существенная разница, заключающаяся в наличии или отсутствии точки перегиба.

Рассмотрим кинетический процесс, протекающий в гомогенной системе

сспь

Р и с. 1

(кривая 1). Здесь химический состав и физические свойства материала во всех точках одинаковы или меняются непрерывно без скачков (между частями системы нет поверхностей раздела).

Пусть

ДхД г

х - х

ш

1

Если стабилизированный параметр хт за счет внешнего возмущающего

воздействия изменится на значение Ах,

% **

при снятии этого возмущения параметр х вернется к значению хт. Отсюда следует

= - кг. (1)

С учетом

й\

<к (Зх

~ <И

йъ =

ей

будем иметь

кг.

(1')

Общее решение ъ — се"к\ откуда

(1')

X = хт

начальных условиях г (о) получим

имеет 4- се~м

ш

вид: При х(о) - О

© И. А. Гарькина, А. М. Данилов,

А. П. Прошин, Ю. Г. Иващенко, 2000

XmO

- o-kl

(2)

Таким образом, динамические процессы в гомогенных системах определяются уравнением

^ = (х — хш)

и имеют вид (2). Им соответствует апериодическое звено с передаточной функцией

^р) = т^ГТ *

Предположение, что проявление отдельных структурных элементов подавлено глобальными процессами либо влияние этих элементов на систему незначительно, практически неприемлемо при анализе дисперсных систем, Например композитных материалов.

Характерным для кинетических процессов в дисперсных системах является наличие точки перегиба функции х(0 (кривая 2), определяющей исследуемый процесс.

С математической точки зрения кинетические процессы в гетерогенных системах могут быть описаны дифференциальным уравнением второго по-

рядка тр) = (Т]Р + ^р + 1} '

Иначе говоря, при анализе кинетических процессов необходимо учитывать не только скорость изменения контролируемого параметра, но и (как минимум) ускорение.

В отклонениях от равновесного состояния х == хт будем иметь:

г + 2nz + coqz = 0 (п > 0).

(3)

Пусть ki 2 ~ "Л1 2 — корни харак-

теристического уравнения

к2 + 2nk + col = 0. Рассмотрим

п2-&о > 0.

Имеем

сначала

с1е

-A,t

+ с2е

где

А

1

п +

Я

1

со о ; А2 =

> Я2 > 0.

лП—7

При г(0) = -хт, ¿(0) = 0 с учетом

z(t) = -CjAje

-A,t

с2Я2е

-Хл

будем иметь

хш

х = , _ 3 (Я2е

Х\ -Я

A,t

2

Х\еГ*гх) + Хщ. (4)

Из х = 0 следует

АгЯ

А1 — Д

2

1 -X t

— xme 2

AjA2 Aj —Я

2

xme

-JUt

0,

откуда

Л

1

¿2

е(Я, ~A2)tn.

Точке перегиба соответствует значение I = 1п, определяемое из условия

t

п

1 lnAi

Ai~A2 А2

(5)

Так как А2<Я1, то составляющая

ГП л — 7 ♦ ^

Я!-Я

2

Я2е^1! затухает быстрее, чем

аналогичная составляющая, соответствующая корню Я2. Поэтому значение

Я2 можно определить по концу экспериментально полученного процесса хШ.

Без ограничения общности "рассуждений примем хт = 1 (равносильно масштабированию х(Ш. В силу предыду-

щего

1 - x(t)

1

Ai -X

2

(-Аае~я+ А ^-до-

определим значение такое, чтобы при г >11 выполнялось условие

1 ~x(t)

Я

1

Ai -А2

а2 t

Имеем

/

Xit~hx >> Я2е~А11,

откуда

1

Ai

- г- In > > t Al -л2 л2

случаи или

t » tn.

Таким

1 - x(t)

образом,

- А А —A"lt

А2

Яг

Введем y(t) Тогда y(t + Т) = Ае"А2(

е~Л21 при t » tn.

1 - x(t) « А е~я2*.

-к)({ + т)

откуда

Д

m

Ае^г1

y(t + Т) Ае~я20 + Т)

ея2т (6)

или

А2Т = 1пА

Следовательно,

А2

1пА

Т"

Из х ™ 0 следует А^-^'п -*2е

откуда ге 2'

е-Я21

(г

1

А

А2

>1)

или

.Г - 1

(7)

Рассмотрим функцию

1

У

г— 1

Имеем

1

У

_!_ О - т) - 1яг

Гг-. -Е-

(г- 1)2 при г > 1.

< О

Справедливо

1

1

Иш г

г-1

1

Иш (1 + а)а = е, а = г - 1 а О

Следовательно, в интервале (1, + <*>)

тг"1 не превышает е, поэтому уравнение (7) имеет решение Г > 1 лишь

при е < е. Отсюда следует

¿2 должно

V = Л21п < 1; удовлетворять

(8)

условию

(9)

При этом А2тах = п (тогда А1 = Аг, п = а>0).

Из (5) следует, что

Ни

1

А А

1

2

1п

1

-1

А

¿2

или

1п г г-1

(10)

Из выражения

дV

йг

1 —-— 1пг г

(г-1)

2

< 0

следует, что V = Х2Хп с ростом г умень-

шается (отметим, что ^

г-1 &

<1г

Имеем < п < Х\ < 2 п. При этом к\ при п со(). Вид зависимостей ¿1 = ¿1 (^о.п) И Л2 = А2(<уо»п) приводится на рис. 2.

Рис. 2

Введем безразмерный коэффициент демпфирования £ = —, п > шо, £ £ 1.

Его величина определяется структурой и физико-химическими свойствами материала. Имеем

Я» +

2

1

(11)

Справедливо

dr

dÇ

>0 v Ç > 1,

то есть с ростом Ç

Из

d2r

dÇ2

А

1

значение.-^ растет.

0

следует, что г -г© имеет перегиб в

точке с абсциссой Ç

_2_ V3"

Изменение структуры и физико-хи-мических свойств материала приводит к изменению расположения точки перегиба. Определим связь между абсциссой точки перегиба и параметрами

юр, п модели (или 5 = и щ) •

о) о

Из (5), (11) следует

3tn _

2(и

2

(1пг

2

В силу п2 > суо знак

д\п

дсо0 1пг

определяется

- 2çVpTf.

знаком функции у = Так как у < 0 v Ç > 1, то значение tn

с ростом су о (щ > 0,

убывает £ = —> 1!).

Также справедливо

дп

п

Г^2

(211

J_

< 0 V Ç > 1 (n > ш0!).

lnr) <

Таким образом, с ростом п значение tn уменьшается, точка йердгиба смещается влево.

Для увеличения значения tn следует уменьшать coq и п (предполагается выполнение условия п > (Уо).

Отметим, что cdq определяет упругость системы, а значение п — рассеяние энергии (демпфирование).

Рассмотрим случай кратных корней. Общее решение уравнения (3) имеет вид

z = (cl + c2t) е^, Х\ = А2 = n = (Do

а решение задачи Коши при начальных условиях z(0) = -xm, ¿(0) = 0 дает

xm [1 — (1 + nt)e~nt].

частности, при xm -» 1 х = 1

В

- (1 + nt) é~nt; х - 0 при nt - 1, откуда абсцисса точки перегиба

tn

1 n

(Р2)

Отметим, что значение tn не зависит от хт. При этом

x(tn)

хт(1

2

)

не зависит от п.

Таким образом, точка перегиба

процесса х(0 есть точка 1 2

Мп(-; (1 — —) хт). Увеличение п ведет

к уменьшению 1п, то есть к сдвигу точки Мп влево (щ = п!).

Справедливо

х(1)

/1 1 + Пч

*т (1 —-=—);

х(п) = хщ (1

1 + п2.

.2 )•

П

■

Из приведенного выше вытекает алгоритм определения абсциссы точки перегиба в случае кратных корней, а именно: абсцисса точки Мп равна абсциссе точки пересечения 9 кривой

У. V %# /1 ^

х - x(t) с прямой X 5= хт (I

Невыполнение условия

1\ ..... 2

m

(1

) V П

*А2.

означает

^ » xm nt2e nt > 0 V t on

Из

следует, что

х(0 возрастает с ростом п V

Время то, в течение которого контролируемый параметр примет значение, равное 0,95 хт (приближенное время выхода контролируемого параметра на эксплуатационное значение), определяется из условия

х(т0) = 0,95 х(оо) = 0,95 х

m

или

1 + пт0 = 20е~пто (например, при п - 0,17, т0- 11,3,

1П « 5,88).

Увеличение ведет к уменьшению

абсциссы 1п точки перегиба процесса х(0 при значениях близких к 1. При

1 » процесс х(0 определяется значением Я2. Таким образом, значение

Л2 должно находиться в некотором интервале: большие значения Л2 могут повлечь чрезмерно быстрое увеличение контролируемого параметра в начале процесса; малые значения Л2

могут привести к чрезмерно длительному времени его выхода на эксплуатационное значение. Отметим, что увеличение Л2 (уменьшение 1п) соответствует увеличению щ. Отсюда следует, что увеличение Л2 ведет к постепенному переходу гетерогенной системы в гомогенную (1п = 0), возможно, с потерей необходимых свойств. Так что, как и следовало ожидать, гомогенная система является предельной для гетерогенной при 1п 0.

Качество композиционного материала определяется и значением А^ (или

Л1/А2 ), которое также должно лежать

в определенном диапазоне. Это естественным образом приводит к возможности использования для оценки качества композиционного материала функционала

Ф(Б) = fA2 + а 1/А2 + Ъ Хх/Х2 +

+ с A2/Ai

(13)

где f, а, Ь, с — весовые константы.

Без ограничения общности рассуждений можно принять 1 ~ I (это равносильно масштабированию Ф(Б)). Подставляя А^^, си0) и А2 (£, ю0) в

(13), получим:

Ф(8) - £ - - 1 со0 + + а о>0 +

+ с е-+

Границы областей Ок равных оценок качества композиционного материала определяются как линии уровня

ф as ф (£, со о) = d = const, а области двойными неравенствами

dK-i £ Фф) < dK, К = 1, 2, 3, ..., N,

где N — балльность шкалы; К — класс (оценка качества) композиционного материала в баллах в выбранной шкале. Границы областей равных оценок

определяются функциями

(О02

-Р-

q;

й>01» <°02 - о,

где

- р = 1/2 [Ь (£ + ^-Т)2/

Ч-а в + ^рГГТ),

р2 - Ч > 0.

Уточнение весовых констант а, Ь, с осуществляется в соответствии с нижеприводимой методикой, пригодной для случая глобального аддитивного критерия

Л именно:

1) задаются начальные значения ве

сов

«}°> = l/s;

%

2) вычисляется интегральная оценка

К

2 «14

j=l

3)

определяются коэффициенты корреляции частных оценок К> с оценкой К:

= 2 (к^ - Щ (км - к)/ /^.(крт-кд» X

У

х (KW - К)2

у

j = 1, s;

4) определяются уточненные значе-

ния весовых констант as:

s J

J-0

5) определяется уточненное значение оценки

К

D^Kj;

j=i

б) итерационная процедура по п. 3 — 5 осуществляется до выполнения условия

а

СО

J

1-1)

| < е , j — "Hs.

В результате будет получена оценка

к-У

«<■> к.

Здесь значения весовых констант не сят от их начальных значений а определяются только долей участия частных критериев ^ в общем функционале качества К.

Очевидна возможность использования предложенной методики и в случае

Ж

J »

s m;

к = 2 ai 2 /VKjv-

j=l V=1

Весовые константы р^ определяются аналогично а^ на основе коэффициентов корреляции

у

rVki

1ф - к^) (К$а> - Kj) /

V2 <*J - Kj)2.

Дальнейшая идентификация областей равных оценок осуществляется выбором числовых значений d^ на основе сравнения расчетных границ областей с экспериментальными.

Разработку материалов целесообразно проводить с учетом зависимостей ¿2 и г от 5, <ы<)> п- Справедливо

àh > Q аЯг

dûjQ 9 дп

дг дп

О,

дг

дсо0

О,

> О V <w0» п, п2 - coq > 0.

h

U увеличением coq значения л2 и у-

1 Л.

растут, а т" и Т" убывают; при уве-

2 2 1 А2 * личении п значения А2 и у- убывают,

1 А,

а т~ и т" возрастают.

¿2 я2

Отсюда следует, что выбором coq и

п всегда можно отнести рассматриваемую систему к требуемому классу, определяемому функционалом Ф(Б). Одновременно указанное подтверждает правильность выбора предложенного функционала качества.

Улучшить качество материала можно с использованием вектора-градиента

дФ дФ

grad Ф (Ç, шо)

dÇ ÔCOq

А именно, класс системы улучшается при движении в антиградиентном направлении.

На рис. 3 приводятся области равных оценок при значениях весовых констант { = а = Ь « с а 1/4 и значениях dк = 2,5; 5; 7,5.

р и с. 3

На рис. 4а, б приводятся границы областей равных оценок на плоскости (суо, п) соответственно для значений

со01 и со02. При известных весовых кон-

а

б

Рис. 4

стантах выбор чисел d^-i и dк относит рассматриваемый материал к соответствующему классу в используемой шкале. Так, точка Т соответствует композиционному материалу с параметрами coq = 0,174, п = 0,175.

Зависимость характеристик материала от параметров модели определяется экспериментально.

Синтез материала может осуществ-

ляться градиентными методами на основе предложенного функционала. С незначительными изменениями методику можно применять при наличии существенной связи между со^ и п.

Практическая апробация метода при разработке тяжелых бетонов для защиты от радиации дала положительные результаты.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

0

1. Бобрышев А. Н., Козомазов В. Нм Прошин А. П., Соломатов В. И. Новая кинетическая модель для композитных материалов // Новое в строительном материаловедении. М., 1997. Вып. 902. С. 35 — 40.

Поступила 15.03.99.

2. Соломатов В. Т., Сслясв В. П., Низина Т. А. Исследование химического сопротивления полимерных композитов методом микротвердости // Новое в строительном материаловедении. М., 1997. Вып. 902. С. 29 — 35.