Методы и модели управления ограниченными ресурсами проекта в условиях неопределенности и риска Текст научной статьи по специальности «Математика»

20 (371) - 2014

ЭК9помиК9-математическде

моделирование

УДК 330.45

МЕТОДЫ И МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ОГРАНИЧЕННЫМИ РЕСУРСАМИ ПРОЕКТА В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ И РИСКА

А.В. МИЩЕНКО,

доктор экономических наук, профессор кафедры логистики E-mail: [email protected] Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

П.С. КОШЕЛЕВ,

аспирант кафедры экономики и финансов E-mail: [email protected] Институт экономики и предпринимательства

Рассмотрен метод ветвей и границ применительно к задаче о назначениях, позволяющий строить управление ограниченными ресурсами инвестиционного проекта в условиях неопределенности и риска. Соответствующие экономико-математические модели задачи представлены в ее детерминированной постановке и в случае, когда затраты на выполнение работ по проекту не являются детерминированными величинами, что приводит к двухкритериальной задаче о назначениях. Для иллюстрации практического применения теоретических результатов проведен расчетный анализ на примере проекта по ремонту квартиры-студии.

Ключевые слова: задача о назначениях, метод ветвей и границ, анализ устойчивости, управление ресурсами

Введение

Управление проектами представляет собой совокупность различных методологий и методик, используемых при разработке и реализации

проектов, которые в свою очередь представляют собой комплекс взаимосвязанных мероприятий, направленных на достижение поставленных целей на протяжении ограниченного времени и при ограниченных финансовых и других ресурсах [2]. У любого проекта имеется свой жизненный цикл, состоящий из трех основных стадий - начальной, инвестиционной и эксплуатационной.

Инвестиционная фаза проекта является наиболее капиталоемкой во всем жизненном цикле проекта. Она заключается в проектировании и непосредственной реализации объекта, являющегося предметом проекта. Успешное выполнение всех действий, относящихся к инвестиционной фазе проекта, зависит от правильного планирования, которое позволяет определить необходимые параметры выполнения проекта и реализовать его в заданные сроки с минимальной стоимостью в рамках нормативных затрат ресурсов [7].

Понятие «ресурсы» в теории управления проектами трактуется довольно широко. Это все то, чем

располагают исполнители и инвесторы проекта, в первую очередь материалы, команда проекта, специалисты, непосредственно участвующие в выполнении работ проекта, информация и др.

Основная задача управления ресурсами - обеспечить их оптимальное использование для реализации проекта с заданными характеристиками.

Существенную часть моделей и методов управления проектами составляют задачи построения календарных планов реализации проекта, связанных в основном с распределением ограниченных ресурсов.

Авторами рассматривается воспроизводимый (ненакапливаемый) тип ресурсов. Такие ресурсы сохраняют свою натурально-вещественную форму и по мере высвобождения могут использоваться на других работах. Если эти ресурсы простаивают, то их неиспользование на данном отрезке времени не компенсируется в будущем, т.е. они не накапливаются, поэтому такие ресурсы еще называют ресурсами типа мощности [1]. Примерами подобных ресурсов являются люди и средства труда многократного использования (машины, станки, механизмы и т.д.).

При анализе эффективности проекта одним из важных показателей является продолжительность инвестиционной фазы, которая, в частности, определяет время, за которое может быть создана организация, производящая продукцию или услуги, реализация которых обеспечит окупаемость проекта. В связи с этим, учитывая ограниченность жизненного цикла выпускаемой продукции и оказываемых услуг, инвестор заинтересован в сокращении инвестиционной фазы. При этом увеличивается временной интервал, на котором организация может эффективно функционировать.

Еще одним важным критерием оценки эффективности проекта является стоимость выполнения всех работ.

Рассмотрим задачи оптимизации управления ресурсами проекта при различных условиях и типах ограничений.

Детерминированная задача о назначениях

Задача о назначениях в детерминированной постановке формулируется следующим образом. Пусть необходимо выполнить п различных работ проекта. Для выполнения этих работ можно привлечь п исполнителей, каждый из которых может выполнить любую работу за определенную плату или за определенное время. На каждую работу назначается только

один исполнитель. Необходимо так распределить работы между исполнителями, чтобы общие затраты (временные или финансовые) были минимальными. Исходной информацией для решения этой задачи является матрица А, размерностью п х п, в которой элемент а., задает затраты исполнителя / на выполнение работы у (/ = 1,..., п, у = 1,..., п). Искомыми переменными являются х (} = 1,., п, ] = 1,., п), при этом

х.. = 1, если исполнитель 1 назначается на выполнение

у '

работы у, и х.. = 0 - в противном случае.

Математическая постановка задачи заключается в следующем:

п п

ЕЕ а ху ^ т1п; (1)

1= ]=\

Е Ху =1; (2)

1=1

Е ху=1 (з)

М

Ху е{0,1>,/ = 1,...,п,] = 1,...,п. (4)

Задача (1)-(4) является частным случаем транспортной задачи линейного программирования и может быть решена с использованием метода ветвей и границ [6].

В настоящее время алгоритмы метода ветвей и границ являются наиболее надежным средством решения целочисленных задач, встречающихся в практических исследованиях [3].

Идея метода ветвей и границ в общем состоит в разбиении допустимого множества на подмножества (правило ветвления) и вычислении оценок целевой функции на этих подмножествах, которые позволяют исключать из рассмотрения подмножества, заведомо не содержащие оптимальных точек. Относительно рассматриваемой задачи суть этого метода заключается в том, что сначала интервально ограничиваются значения целевой функции с помощью верхних и нижних оценок целевой функции, где обязательно будет и значение целевой функции на оптимальном решении. При формировании очередного допустимого решения вычисляются так называемые текущие нижние оценки целевой функции на этом решении, которые являются своеобразным индикатором оптимальности формируемого решения.

Метод ветвей и границ в задаче о назначениях

Верхняя оценка zв на оптимальном решении вычисляется путем формирования некоторого до-

пустимого решения. Таким решением, в частности, может быть решение, построенное по следующей схеме.

В матрице затрат (a.), i = 1,..., n,j = 1,..., n выбирается наименьший элемент a№ где ак1 = min min ap. В этом случае полагаем, что исполнителю (бригаде) с номером к выделена работа (объект) с номером l (1 < к < n,1 < l < n). Далее можно считать, что в распределении объектов по исполнителям объект с номером l не участвует, и исполнитель с номером к также не участвует. Следовательно, из первоначальной матрицы (a.j), i = 1,., n, j = 1,., n, можно вычеркнуть строку и столбец, стоящие на пересечении элемента akl (к-й столбец и l-я строка).

После чего переходим к матрице (a'), которая задает затраты на выполнение работ для оставшихся бригад и оставшихся объектов. Выбираем среди элементов этой матрицы очередной минимальный элемент ат, где ат = min min aii, и считаем, что

i=1,...,n j=1,...,n ¿фк j ф1

работе с номером m выделен исполнитель с номером f. Продолжая эту процедуру до тех пор, пока не будут распределены все работы по исполнителям, получим некоторое допустимое решение. Просуммировав соответствующие элементы матрицы (aij), i = 1,., n, j = 1,., n, получим значение целевой функции на этом решении, которое обозначим как z

Эта процедура формирования допустимого решения во многих отраслях дает хороший результат, хотя могут быть приведены и отрицательные примеры. Такое, в частности, может произойти в том случае, когда последнему исполнителю p выделяется такой объект q, что a > n х 100 х max max aj.

^ i=1,...,nj=1,...,n J

i Ф p j фп

В этом случае сформированное допустимое решение будет далеко не оптимальным, хотя на практике такие ситуации встречаются крайне редко.

Далее вычисляется нижняя оценка целевой функции на оптимальном решении. Выбираем в каждой строке минимальный элемент по формуле Ь = min av. Нижняя оценка целевой функции на

j=1,...,n

оптимальном решении вычисляется по формуле

n

zH=1 ь.

i=l

Если zв = zR, то оптимальное решение сформировано. Если нет, то переходим к формированию нового допустимого решения с вычислением z™ (K), где z™ (K) - это нижняя текущая оценка целевой функции на формируемом решении при условии, что исполнителям множества K с N (N - множество

всех исполнителей, К - множество исполнителей, которым выделены работы) работы уже выделены. Значение текущей нижней оценки вычисляется по следующей формуле:

К) =Х ^ + *н(N\К),

где ^ ар - затраты на проведение работ, выде-

%еК

ленных исполнителям множества К; г^^Ы \ К) - нижняя оценка затрат на работы, которые будут выделены исполнителям множества N \ К. Здесь N \ К - это множество элементов N без элементов множества К. Эта оценка вычисляется аналогично тому, как вычисляется оценка гн, но на матрице, которая получится из исходной матрицы (а.) после того, как из нее будут вычеркнуты строки, соответствующие исполнителям множества К, и столбцы, соответствующие выделенным исполнителям множества К работам.

Если после вычисления ¿^ (К) мы получим, что К) > гв, то дальнейшее формирование текущего решения прекращаем и переходим к формированию нового решения. Если же (К) < гв, то выбираем очередного исполнителя из множества N \ К, выделяем ему работу и вычисляем (К'), К с К и осуществляем сравнение ^ек(К') и 2в.

Продолжая эту процедуру, в итоге либо отбракуем формируемый вариант решения, либо получим решение, целевая функция на котором 2 <2Ъ. В

этом случае корректируем по следующей формуле:

* „

2 = 2в, т.е. сдвигаем влево по числовой оси значение 2в. Если при этом произошло совпадение и т.е.

=то оптимальное решение найдено. Если > переходим к формированию допустимого плана.

Алгоритм заканчивает свою работу в двух случаях:

- при очередной корректировке получим =

- рассмотрены все варианты формирования допустимых решений.

В этом случае в качестве оптимального решения выбирается то, которое соответствует последнему (минимальному) значению 2в.

Двухкритериальная модель о назначениях

В этом случае предполагается, что затраты на выполнение работ не являются детерминированны-

ми, а зависят от ряда факторов и, вообще говоря, являются случайными величинами, т.е. задано вероятностное распределение а у а! - с вероятностью

т

р1; атт - с вероятностью рт; Е Р1 = 1, Р1 ^ 0.

г=1

Таким образом, математическое ожидание затрат на выполнение работы г исполнителем у вы-

т

числяется по формуле а у = Е аг р г.

г=1

Соответственно, дисперсия затрат на выполнение работы у исполнителем 1 вычисляется по

т

формуле а* =Е (ау - 4)2Рг.

г=1

Принимая в качестве количественной оценки риска суммарную дисперсию затрат при фиксированном распределении исполнителей по работам, получим следующую двухкритериальную модель распределения исполнителей по работам [4]:

ЕЕ ау ху ^ т1п;

=1 у =1 пп

— 2

ЕЕа у ху ^ т1п;

=1 у =1

п

Е х у = 1; =1

(5)

(6)

(7)

(8)

ЕЕ ау ху ^ т1п;

=1 у =1 пп

2

ЕЕа2х < R„

уу г'

=1 у =1 п

Е х у = 1; =1

п

Е х у = 1;

у=1

ху е {0,1},г = 1,...,п, у = 1,...,п.

(11) (12)

(13)

(14)

Необходимо отметить, что в правой части неравенства (11) R задает максимальное значение

допустимого плана при решении задачи (10)-(14). Легко понять, что R не может быть меньше зна-

* * г

чения R , где R - оптимальное значение целевой функции следующей оптимизационной задачи:

ЕЕ

=1 у =1

аухр ^ т1п;

Е х у = 1;

у=1

ху е{0,1>,г = 1,...,п,у = 1,...,п. (9)

Двухкритериальная задача (5)-(9) может быть сведена к однокритериальной путем замены критериев их линейной сверткой либо путем выбора главного критерия и перевода второго критерия в разряд ограничений. Выберем в качестве главного критерия минимизацию ожидаемых затрат времени на выполнение работ, а критерий минимизации риска распределений исполнителей по работам переведем в ограничения. Получим следующую однокритериальную задачу оптимизации:

пп

(10)

Е х у = 1;

=1

п

Е х у = 1;

у=1

хг] е {0,1},г = 1,...,п, у = 1,...,п.

Учитывая переборный характер задачи (10)-( 14), а также то, что уже без соблюдения ограничения (11) она является NP-трудной, далее будет изложена схема метода ветвей и границ для получения точного решения и приближенного решения с заданной точностью. Традиционно метод ветвей и границ при решении задач целочисленной оптимизации на минимум связан с вычислением верхних и нижних оценок оптимального решения и дальнейшим анализом всех вариантов назначения исполнителей на работы с вычислением так называемых нижних текущих оценок формируемого решения, которые являются своеобразным индикатором возможной оптимальности формируемого допустимого решения задачи (10)-(14). Далее дается подробное описание схемы метода ветвей и границ в предположении, что множество всех исполнителей обозначено через N.

Шаг 1. Вычисление нижней оценки zн задачи (10)-(14) путем решения задачи непрерывного линейного программирования следующего вида:

ЕЕ а у ху ^ т1п;

=1 у =1

пп

2

(15)

(16)

(17)

(18) (19)

Значение целевой функции (15) на оптимальном решении и выбирается в качестве zн.

Шаг 2. Вычисление верхней оценки задачи (10)-(14) путем выбора некоторого допустимого целочисленного решения этой задачи и вычисления целевой функции (10). Это значение целевой функции и будет верхней оценкой z Если zв = z то задача решена. Если нет, то переходим к шагу 3.

ЕЕаЛ < ^;

=1 у =1 п

Е ху = 1; =1

п

Е ху = 1;

у=1

0 < ху < 1,г = 1,...,п, у = 1,...,п.

Шаг 3. На этом шаге осуществляется формирование очередного решения, и после того, как исполнитель назначен на определенную работу, вычисляется г1^ек (К), где К - подмножество исполнителей (К с Ы), которым уже выделены работы. Вычисление 21ек(К) происходит путем решения задачи (15)-(19) с учетом того, что если сам исполнитель принадлежит множеству К, и ему выделена работа], то х .. = 1. Если исполнителю / не выделена работа, то при решении задачи (15)-(19) 0 < х. < 1 для всех j е М \ L, где М \ Ь - множество работ, которым не назначен исполнитель.

Если ^ек(К) < гв, то выбираем очередного исполнителя и назначаем ему некоторую работу для выполнения. Если г1^ек(К) > гв, то дальнейшее формирование данного решения прерывается и переходим к анализу нового решения. Используя предложенную процедуру вычисления текущих нижних оценок при формировании решения, в итоге будет либо сформировано новое допустимое решение, либо анализируемый вариант будет отброшен. Если сформировано новое решение, то на нем вычисляется значение целевой функции (1), которое обозначим через г*. Если г* < гв, то сравниваем

* 1—'

г = гн. Если равенство выполняется, то задача решена. Если г* > гн, то в качестве гв принимаем значение

*

г и переходим к анализу очередного решения.

Задача (10)-(14) решена, если при очередной корректировке гв получим гв = гн, либо когда все варианты решений проанализированы. В последнем случае в качестве оптимального выбираем то решение, которому соответствовало бы последнее (наименьшее) значение гв.

Учитывая, что задача (1)-(4) даже без ограничения на риск является NP-трудной, можно использовать усеченную схему метода ветвей и границ, заключающуюся в том, что процесс поиска прекращается, если достигнута требуемая абсолютная точность решения, т.е. если гв — гн < в, или относительная точность решения в процентах, т.е.

г — г

если ^-а-100% < С % [6].

Два подхода к анализу устойчивости в модели о назначениях

Вернемся к исходной постановке задачи (1)-(4), где затраты на выполнение работы ] исполнителем I заданы матрицей А = (а..), I = 1,..., п,] = 1,..., п. Будем предполагать, что существует некоторое

подмножество элементов матрицы А, которое обозначим G*, G* с А, величина которых может возрасти на некоторое в > 0. Будем называть множество G* множеством возмущенных элементов матрицы А. Матрицу А', в которой значение а, для всех а., е G* увеличено на в, назовем возмущенной матрицей затрат, или просто возмущенной матрицей. Анализ устойчивости решений для задачи (1)-(4) в описанной ситуации состоит в том, чтобы выяснить, останется ли решение задачи (1)-(4), полученное для невозмущенной матрицы А, оптимальным и для возмущенной матрицы А* [5].

Введем некоторые определения.

Определение 1. Пусть хопт - решение задачи (1)-(4) для невозмущенной матрицы А. Будем говорить, что хопт является устойчивым решением, если существует такое в > 0, что хопт остается оптимальным и для возмущенной матрицы А*.

Из определения, в частности, следует, что достаточным условием устойчивости оптимального решения хопт является его единственность. Действительно, значение целевой функции на решении хопт (обозначим его как ^опт) на возмущенной матрице А* можно оценить следующим образом:

11+к^ЕЕх,,. (20)

X] ехопт .] е

В этом выражении х - допустимое решение задачи (1)-(4) для невозмущенной матрицы А, обладающее тем свойством, что значение целевой функции на решениях х и хопт для невозмущенной матрицы А отличаются минимально, т.е. тт(^ — RопT) = R, где в - множество всех допустимых решений задачи (1)-(4), а R - значение целевой функции (1) на решении х, Rопт - значение целевой функции на решении хопт.

Из неравенства (20) следует, что величина возмущения в, при которой хопт остается оптимальной для матрицы А*, должна удовлетворять следующему неравенству:

ЕЕа]х]— Е Е

в<

к

В этом случае, если число оптимальных решений задачи (1)-(4) не единственно для невозмущенной матрицы А, то устойчивым будет то, в

которое войдет минимальное число элементов из

G*

.

Действительно, пусть число оптимальных решений будет равно Ь. Тогда значение целевой функции на каждом таком решении при возмущенной матрице

х. ех

х. ех

г

в

А* вычисляется по формуле Як = Цархр + акв,

¿=1 ¿=1

к =1,..., Ь, ак - число элементов из множества & на оптимальном решении к.

Так как первое слагаемое для всех оптимальных решений на матрице затрат А одинаково, то величина изменения целевой функции будет определяться только вторым слагаемым, и минимальное изменение будет давать то решение, в которое входит

*, откуда следует

требуемое утверждение.

Определение 2. Пусть хопт - оптимальное решение задачи (1)-(4) для невозмущенной матрицы А. Назовем решение хопт абсолютно устойчивым, если оно остается оптимальным при возмущении элементов множества &* на любое в > 0, т.е. в е (0, да).

Утверждение 1. Оптимальное решение задачи (1)-(4) хопт является абсолютно устойчивым тогда и только тогда, когда в него входит минимальное

* по сравнению с другими допустимыми решениями задачи (1)-(4) для невозмущенной матрицы А.

Достаточность. Если хопт устойчиво и содер-

*, то для всех в е (0, да) выполняется следующее неравенство:

IIаух°пт + ктшв<££аух1 + к,в, I = 1,...,Д ¿=1 ¿=1 ¿=1 j=1 где Ь - число всех допустимых решений.

Выполнение этого неравенства следует из того,

п п п п

что Ц а ¿. х®*1 <Ц а ¿. х1 вследствие оптималь-

¿=1 ¿=1 ¿=1 ¿=1 ности решения хопт на невозмущенной матрице А и ктшв < к1в для всех в е (0, да) вследствие того, что

ктт < к1.

Необходимость. Предположим противное, т.е. что хопт абсолютно устойчиво и существует решение хр (неоптимальное), в которое входит меньшее число элементов из &*, чем в решении хопт. Обозначим это количество элементов через кр. В этом случае легко определить такую величину возмущения в > 0, при которой оптимальным становится решение хр. Для этого запишем следующее неравенство:

I I а. . + к 0пт в>£ I а. хр + крв.

¿=1 ¿=1 ¿=1 ¿=1

Разрешив его относительно в, получим:

в >

¿=1 ¿=1

а¿-хР -IIа¿,хГ

=1 ¿ =1

копт - кр

Величина в > 0 вследствие того, что числитель и знаменатель дроби положительны. Следовательно, хопт не является абсолютно устойчивым, что противоречит исходному условию. Необходимость доказана.

Рассмотрим все множество допустимых решений задачи (1)-(4) для невозмущенной матрицы А. Пусть число элементов из множества &* в каждом допустимом решении меняется от к1 до к Разобьем все множество допустимых решений на т классов, в каждый из которых войдут только те решения, число элементов из &* в которых равно к. ( = 1,..., т). Выберем в каждом классе решение, которое минимизирует значение целевой функции (1) в задаче (1)-(4) при невозмущенной матрице А и обозначим их х1,..., хт. Очевидно, что среди решений х1,..., хт будет и оптимальное решение задачи (1)-(4) х1, при этом к1 < к1 < кт. В силу доказанного утверждения 1, если к1 = к1, то решение х1 абсолютно устойчиво. Если к1 > к1, то решим (1 - 1) уравнение вида

п п п п

II архР + крв = 11 арх1 + кB, Р = к1, к2,..., к-1 .

=1 ¿ =1 =1 ¿ =1

Получим решения в1,в2,...,в1-1. Выберем

^ = 1™, в,=в,, 1 < ч <1 - 1.

г=1, ...,1 —1 ^

Если ч = 1, то при дальнейшем увеличении в перехода на новое оптимальное решение не будет. Если ч > 1, то при возмущении в > вч будет осуществлен переход на решение х ч. Далее процедура повторяется, но уже на сокращенном множестве допустимых решений х1,х2,...,хч (ч < 1). При определенном значении в > ве осуществляется переход на новое решение хе (е < ч). Учитывая, что число допустимых решений х1,...,хт конечно, через конечное число итераций получим, что при в > в1 оптимальным решением задачи (1)-(4) с возмущенной матрицей А* будет решение х1, которое останется оптимальным для любого возмущения в е (в1 , да).

Таким образом, доказано следующее утверждение.

Утверждение 2. Для возмущенной задачи

(1)-(4) существует конечное число допустимых

11

решений х ,...,х , каждое из которых х' остается оптимальным при изменении возмущения на интервале (в ¿+1,в¿), при этом х1 остается оптимальным на интервале (в1 , да).

Таким образом, если оптимальное решение задачи (1)-(4) абсолютно устойчиво, то объемы затрат

на различных допустимых решениях в зависимости от величины возмущения в меняются (рис. 1).

Если решение задачи (1)-(4) устойчиво, но не является абсолютно устойчивым, то величина затрат в зависимости от величины возмущения на оптимальном решении изменяется (рис. 2).

Точки в1, в2 соответствуют величине возмущения, при котором происходит переход на новое оптимальное решение задачи (1)-(4).

Рассмотрим ситуацию, когда элементы матрицы А могут принимать любые значения из заданных числовых интервалов, т.е. ау ,а2У = 1,2,...,п;у = 1,2,...,п.

В этом случае необходимо дать ответ на следующие вопросы:

какие из допустимых решений могут быть оптимальными?; при каких значениях а., допустимое решение остается оптимальным (/ = 1,..., п, у = 1,..., п)?; Иными словами, необходимо многомерный параллелепипед

и включим решение x во множество решении X

-опт *

Выберем среди [Rj, Rf ] такое, что R^ = min Rf,

— i=1,...,L

и включим решение xm в Xопт. Далее включим во множество Xопт все решения X е X, у которых R < Rm. На этом формирование множества Xопт оптимально потенциальных решении будет завершено.

Определим область Ot с P, задающую значения a при которых решение xt е X, будет оптимальным, следующим образом:

aj ^ aP ^ af, i = 1,...,«; i = 1,..., n;

P = ППа, af ] разделить на об-

i=1 j=1 ij ij m

ласти Oj,..., Om , так чтобы P = ^J Or

r=1

и каждои Oj поставить в соответствие некоторое допустимое решение xl, которое останется оптимальным для всех значении трудозатрат ap е Ot.

Для решения этои задачи рассмотрим множество всех допустимых решении о назначениях X = {x1,..., xL } и выделим среди них множество потенциально оптимальных решении Xопт е X, т.е. множество таких решении, которые могут быть оптимальными для каких-то значении трудозатрат aii е P, i = 1,...,n, i = 1,...,n. Обозначим значение целевоИ функции (1) на решении xi при трудозатратах ai1i через Rj, а при трудозатратах af - через Rf. Очевидно, что, меняя значения aij е [ai1j , aif ], получим, что значение целевои функции (1) на решении xi заполнит все точки интервала [Rj, Rf ]. Выберем среди всех [Rj, Rf ] i = 1, 2,..., L такое, что Rj = min R1,

Абсолютно устойчивое решение

Величина возмущения е

Рис. 1. Затраты на абсолютном устойчивом решении задачи (1)-(4) в зависимости от величины возмущения в

Величина возмущения s

°1 2

Рис. 2. Затраты на оптимальном решении задачи (1)-(4) в зависимости от величины возмущения в

I ау < I аг], Ухк с Xхк Ф х1. % еД; % еКк Таким образом, доказано следующее утверждение: если в задаче (1)-(4) элементы матрицы а.. принимают значения из интервалов 1 ^ 2

ар е [а1У,ав], ¿ = 1,2,...,п; j = 1,2,...,п, то многомер-

V' j -

ный параллелепипед Р = , а2 ] может

¿=1 ¿=1

быть, таким образом, разбит на конечное число

т

областей 01,...,01, что Р = ^0г, и для каждой

г =1

области 01 существует решение хг е Xопт, которое остается оптимальным для всех значений ае 01, ( = 1,..., п, j = 1,..., п) [6].

Расчетный анализ

На основе описанной теории проведем расчетный анализ с построением моделей минимизации ограниченных ресурсов на примере следующей задачи.

Имеется квартира-студия площадью 32 м2. Необходимо продать эту квартиру-студию на вторичном рынке, предварительно сделав ремонт. Для ремонта выделены пять бригад и пять обязательных основных работ. На каждую работу назначается только одна бригада. Необходимо так распределить работы между исполнителями, чтобы общие затраты были минимальными (временные или финансовые).

Исходная информация стоимости работ по исполнителям задается матрицей А, размерностью 5 х 5, в которой элемент а ^, задает затраты бригады ¿ на выполнение работы j (¿' = 1,..., 5, j = 1,..., 5) в тысячах рублей, включая при этом затраты и на материалы, и на оплату услуг работникам: (38 12 28 20 241 37 13 29 19 24 А = (ап) = 39 13 27 19 22 40 20 26 18 22 35 14 26 20 23

Такой способ представления затрат возможен, поскольку бригады обладают относительной взаимозаменяемостью. Взаимозаменяемостью -поскольку каждый работник разбирается во всех работах по ремонту квартир, что соответствует его образованию; относительной - поскольку у каждого работника разный профессиональный опыт и разные расценки своего трудочаса.

(16 63 40 6 151

15 67 39 4 14

9 66 35 4 13

11 65 36 3 14

V11 60 32 4 12,

Матрица Т выражает временные затраты бригад на выполнение работ, выраженные в часах, следующим образом:

т = с ¿,) =

Искомыми переменными являются х (¿' = 1,., п, j = 1,., п), при этом ху = 1, если бригада ¿ назначается на выполнение работы ], и х = 0 - в противном случае.

Проект состоит из выполнения определенных работ, технологическая последовательность которых представлена в виде сетевого графика на рис. 3.

Технологическая последовательность выполнения работ представлена ациклическим графом &(7, 8) с 7 вершинами и 8 дугами. Работа 1 и работа 7 - фиктивные работы, которые лишь обозначают начало и окончание проекта соответственно.

Также предоставлен список объектов и работ, которые будут распределены по бригадам (табл. 1).

Рис. 3. Технологическая последовательность проекта

Таблица 1 Перечень объектов и работ проекта

Объект Работа

Окна Демонтаж старых окон

Установка новых окон

Стены Подготовка стен

Шпаклевка

Грунтовка

Покраска

Потолок Натяжной потолок

Пол Снятие старого покрытия

Установка профиля для ламината

Настил ламината

Ванная Демонтаж старой плитки

Замена труб и кранов

Двухкритериальная модель о назначениях

Инвестор решил узнать, каковы будут его средние затраты по ремонту квартиры-студии и последующей ее продаже, чтобы собрать необходимые денежные средства. Стоимость работ еще точно не известна, к тому же она зависит от многих факторов. Инвестор, проведя маркетинговое исследование, выделил четыре основных фактора (появление на рынке новых работников, динамика стоимости услуг на рынке, динамика затрат на материалы, уровень квалификации), которые могут повлиять на уровень цен. Таким образом, затраты на выполнение работ являются не детерминированными, а случайными величинами с заданным вероятностным распределением.

Приведем пример расчета математического ожидания затрат и дисперсии затрат на выполнение первой бригадой первой работы. Вероятностное распределение для а11 с учетом основных четырех

4

факторов I р1 = 1, р1 > 0 представлено в табл. 2.

1=1

Математическое ожидание составляет

4

а11 = 1 с^ р 1 = 0,1 X 30 + 0,4 X 37 +

1=1

+ 0,4 х 38 + 0,1 х 35 = 36,5.

Таким образом, средняя стоимость затрат для первой бригады, выполняющей первую работу, равняется 36,5 тыс. руб.

Для расчета дисперсии нужны промежуточные данные, которые представлены в табл. 3.

Дисперсия равна

То есть 5,45 - степень отклонения ожидаемого значения от средней величины. Чем меньше данное отклонение, тем меньше риск того, что цена изменится от ожидаемой.

В итоге получены матрицы математических ожиданий и дисперсий для бригады .,выполняющей работу у (рис. 4).

Принимая в качестве количественной оценки риска суммарную дисперсию затрат при фиксированном распределении исполнителей по работам, получим следующую двухкритериальную модель:

5 5

II с ,х, ^ т1п;

¿=1 ,=1

55

11

¿=1 ,=1

I х, = 1;

х, ^ т1п;

=1

5

I х, = 1;

,=1

х, е{0,1>,i = 1,...,5, ] = 1,...,5.

Для упрощения расчетов сведем двухкритери-альную задачу путем выбора главного критерия и перевода второго критерия в разряд ограничений. Выберем в качестве главного критерия минимизацию ожидаемых затрат времени на выполнение работ, а критерий минимизации риска распределений бригад по работам переведем в ограничения. Получим следующую однокритериальную задачу оптимизации:

55

с2 = 1 (С11 - С\1 )2 р, = 0,1 х 42,25 + 0,4 х 0,25

IIс,х, ^ т1п;

=1 , =1

I I* ^;

=1 , =1

(21)

(22)

+

+0,4 х 2,25 + 0,1 х 2,25 = 5,45.

Таблица 2

Вероятностное распределение для а11 с учетом основных четырех факторов

Показатель Значение

Вероятность 0,1 0,4 0,4 0,1

Цена 30 37 38 35

Таблица 3

Промежуточные данные для расчета дисперсии

Показатель Значение

Вероятность 0,1 0,4 0,4 0,1

(ап - МОп)2 42,25 0,25 2,25 2,25

Математические ожидания

36,50 14,40 27,10 18,65 23,10

36,50 14,50 28,90 18,55 23,50

38,00 12,90 29,00 18,40 21,60

38,80 17,25 27,60 18,30 21,80

35,30 12,90 29,00 19,20 21,40

5,45 4,0400 2,09 2,2275 3,09

0,85 4,0500 0,69 2,0475 1,25

1,20 5,6900 0,80 0,8400 1,84

1,56 14,3875 1,04 1,0100 1,16

0,61 1,9900 5,30 1,1600 3,24

Рис. 4. Матрицы математических ожиданий и дисперсий для бригады ¿, выполняющей работу,

1=1

I -, =

(23)

1=1 5

I -, =

j=1

-j е {0,1},i = 1,...,5, j = 1,...,5.

(24)

(25)

Для нахождения Rg, которое задает максимальное значение допустимого плана при решении задачи (21)-(25), нужно найти значение R*, которое задает оптимальное значение целевой функции следующей оптимизационной задачи:

5 5

36,5 14,40 27,1 18,65 23,1

36,5 14,50 28,9 18,55 23,5

38,0 12,90 29,0 18,40 21,6

38,8 17,25 27,6 18,30 21,8

5,45 4,0400 2,09 2,2275 3,09

0,85 4,0500 0,69 2,0475 1,25

1,20 5,6900 0,80 0,8400 1,84

1,56 14,3875 1,04 1,0100 1,16

II

=1 j =1

с j-j ^ mm;

I - j = i; =1

I - j = i;

j=1

е {0,1},i = 1,...,5, j = 1,...,5.

(26)

(27)

(28) (29)

Решая задачу (26)-(29) с помощью программы Excel, получаем, что R* = 6,93 (рис. 5).

Поскольку Rg не может быть меньше значения R*, полагаем, что Rg = 7. Решаем задачу (21)-(25) с помощью программы Excel (рис. 6).

Получается, что оптимальным решением явля-

ется X = (х j) =

на этом решении г* = 116,2.

Таким образом, инвестору следует иметь в наличии до начала реализации проекта как минимум 116,2 тыс. руб.

0 0 1 0 0

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 0 1 0

6,93 < 7 F = 116,2

Рис. 6. Средняя стоимость выполнения работ, матрицы дисперсий и (хР)

Оптимизация стоимости работ проекта

Математическая постановка задачи сводится к следующему виду:

(0 0 1 0 0 > II av^ min

1 0 0 0 0 =1 j =1

0 1 0 0 0 . Целевая функция =1 j -

0 0 0 1 0 =1

v 0 0 0 0 1V II j -

а

Дисперсии

5,45 4,0400 2,09 2,2275 3,09

0,85 4,0500 0,69 2,0475 1,25

1,20 5,6900 0,80 0,840 1,84

1,56 14,3875 1,04 1,010 1,16

0,61 1,9900 5,30 1,160 3,24

0 0 1 0 0

1 0 0 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

0 1 0 0 0

Р=1

ху- е {0,1},i = 1,...,п, у = 1,...,п.

Найдем оптимальное решение задачи на минимизацию стоимости проекта. Решим эту задачу методом ветвей и границ.

Вычислим верхнюю оценку целевой функции.

Сформируем некое допустимое решение, построенное по следующей схеме: на каждом шаге в матрице затрат (а Р), 1 = 1,..., 5,р = 1,..., 5, выбирается наименьший элемент а,,, где а,, = ттттау, после

и 1 р J

чего из матрицы вычеркиваются соответствующие строка и столбец для следующего аналогичного шага:

А = (а ^) =

Рис. 5. Матрицы дисперсий и (- )

( 38 12 28 20 24 ^

37 13 29 19 24

39 13 27 19 22

40 20 26 18 22

V 35 14 26 20 23 J

Так как min a.. = 12 = a12, то первой бригаде

j=1,..,5

выделяется вторая работа.

Далее рассмотрим матрицу, полученную вычеркиванием первой строки и второго столбца:

А = (а ^) =

(38 1 2 -58- 20 -54"

37 1 3 29 19 24

39 1 3 27 19 22

40 2 0 26 18 22

V 35 1 4 26 20 23,

Выбираем min min a. = 18 = a44. Следова-

j=1,...,5 i=1,...,5 J

j*2 M

тельно, четвертой бригаде - четвертая работа.

Далее рассмотрим ситуацию после распределения работ первой и четвертой бригадам:

А = (а,,) =

Выбираем min min a.. = 22 = a35. Таким обра-

j=1,...,5 i=1,...,5 j 35

j ^2 i*1 j#4 i#4

зом, третьей бригаде выделяется пятая работа.

Матрица после вычеркивания пятого столбца и третьей строки приобретает следующий вид:

(38 12 28 20 24 ^

А = (а,,) =

37 39

40 2

13

-43-

29 -27-

0 26 1

35 14 26 2

02

Поскольку zв Ф zн, то переходим к формированию нового решения с вычислением нижних текущих оценок целевой функции по формуле zнтек(^) = X аР + Zн(N \к), где X ау - затраты

ау еК а1} еК

на проведение работ, выделенных исполнителям множества К; zн N \ К) - нижняя оценка затрат на работы, которые будут выделены исполнителям множества N \ К.

Эта оценка вычисляется аналогично тому, как вычисляется оценка zн, но на матрице, которая получится из исходной матрицы (а.) после того, как из нее будут вычеркнуты строки, соответствующие исполнителям множества К, и столбцы, соответствующие выделенным исполнителям множества К работам.

Формируем очередное допустимое решение и вычисляем текущие нижние оценки.

Выделим для первой бригады вторую работу и рассмотрим матрицу после вычеркивания первой строки и второго столбца:

(38 1

А = (а,,) =

37

39

40 35

2 -28- 20 -54"

3 29 19 24

3 27 19 22

0 26 18 22

4 26 20 23,

гнтек(K = {1}) = 12 +19 +19 +18 + 20 = 88 < 115. Выделим для второй бригады первую работу и

вычислим ^ек( K)

(38 12 28 20 24^

А =(а,)=

Выбираем min min a.. = 26 = a53. Следователь-

j=1,...,5 1=1,...,5 . 53

j *2 1*1 j *4 1*3 j*5 1* 4

но, пятой бригаде выделяется третья работа.

Последний выбор определяет также, что вторая бригада получает третью работу, т.е. а21 = 37. Следовательно, гв = 12 + 18 + 22 + 26 + 37= 115.

Вычислим нижнюю оценку целевой функции. Выбираем в каждой строке минимальный элемент по формуле b i = min a.. Соответственно вычисляем значения b4 = 12, b>2'= 13, b3 = 13, b4 = 18, b5 = 14. Нижняя оценка целевой функции на оптимальном

5

решении вычисляется по формуле = X b t = 70.

71

3 29 19 24

27 26 26

19 18

20

22 22 23

^ек(K = {1,2}) = 12 + 37 +19 +18 + 20 = 106 < 115. Выделим третьей бригаде четвертую работу и вычислим Z^K( K)

(3|8 12 28 20 24^

А =(аj)=

71

3 29 1

9^

9 24

3 27 1

26 26

9^2

0

22 23

zнтек(К = {1,2,3}) = 12 + 37 +19 + 22 + 23 = 113 < 115.

Если четвертой бригаде выделим пятую работу, то получим

гнтек(К = {1,2,3,4}) = 12 + 37 + 19 + 22 + 26 = 116 > 115.

1=1

Следовательно, формируемый план неоптимален, его необходимо отбраковать и перейти к формированию нового плана.

Формируем очередное допустимое решение и вычисляем текущие нижние оценки.

Выделим для первой бригады вторую работу и рассмотрим матрицу после вычеркивания первой строки и второго столбца

(38 12 28 20 241

Л =(а,)=

37

39

40 35

29 27 26 26

19

19 18

20

24 22 22 23

37 1 3 29 1 9 24

39 1 3 27 1 9 22

40 2 0 26 1 8 22

35 1 4 26 2 0 23

числим ^ек( К)

л=а)=

(38 12 28 20 241

37 1

3 29 1

39 1

40 35

3 27 1

26 26

0

Л =(а,)=

37 1

39 1

40 2

35 1

42

92

62

2

82

02

(0 1 00 01

0 0 01 0

( Ху ) = 0 0 00 1

0 0 10 0

11 0 00 0)

* z = 114 < ^ = 115.

zHек(K = {1}) = 12 +19 +19 +18 + 20 = 88 < 115. Выделим для второй бригады четвертую работу и вычислим zнтек (К)

(38 12 28 20 241

В этом случае корректируем zв по следующей формуле: z* = z т.е. сдвигаем влево по числовой оси значение z

Аналогично перебираем все возможные допустимые планы (рис. 7).

Число всех допустимых решений для п независимых работ и т исполнителей вычисляется по

формуле А = -

П!

л=а)=

zHек(K = {1,2}) = 12 +19 + 22 + 22 + 23 = 98 < 115. Продолжаем выделять работы бригадам. Выделим третьей бригаде пятую работу и вы-

-. В нашем случае число всех (п - т)!

допустимых вариантов равно 5!= 120. То есть, е сли перебирать по одной компоненте первой строки, то необходимо рассмотреть 1х 4 х 3 х 2 = 24 (рис. 7). А таких компонент в строке пять, значит, всего допустимых решений 5 х 24 = 120. Все варианты решений были проанализированы. Значит, в качестве оптимального выбираем то решение, которому соответствовало бы последнее (наименьшее) значение zв. При переборе наименьшим оказалось значение z* = 114, которое соответствует оптимальному решению

Х = (х ,) =

(0 0 0 0 1

0 1 0 1 0 0

zHек(К = {1,2,3}) = 12 +19 + 22 + 26 + 26 = 105 < 115.

Выделим четвертой бригаде третью работу и вычислим zнтек( К)

(38 12 28 20 241

гнтек (К = {1,2,3,4}) = 12 +19 + 22 + 26 + 35 = 114 < 115.

Целевая функция на данном полученном решении

Заключение

Подходы, применяемые для решения задачи о назначениях, могут быть различными и зависят от того, какой именно алгоритм положен исследователем в основу процесса нахождения оптимального варианта решения. Число таких алгоритмов достаточно велико.

Авторами был рассмотрен процесс решения данной задачи с помощью метода ветвей и границ. Данный метод, хотя и имеет ряд недостатков, отмечаемых некоторыми исследователями, тем не менее является весьма надежным средством решения целочисленных задач, встречающихся в практических исследованиях. В связи с этим изучение

ЭKffнoмuкp-мameмamweскoe Ät^odexupoeaHu^e

20 (371) - 2014

Рис. 7. Перебор решений по первой компоненте первой строки а.

этого метода применительно к решению задачи о назначениях (в том числе различных ее модификаций) представляется достаточно перспективным направлением.

Для задачи о назначениях, поскольку она имеет достаточно обширные практические приложения, весьма актуальным является вопрос об устойчивости найденного оптимального решения с учетом возможного изменения величин затрат на реализацию этапов проекта, что достаточно часто имеет место в реальных условиях.

Даже в том случае, когда число работ в рассматриваемом проекте относительно невелико, количество возможных вариантов назначений даже для такой небольшой задачи может быть значительным (что было продемонстрировано при проведении расчетного анализа), поэтому совершенствование подходов к решению данного типа задач при различных способах их постановки имеет большую практическую значимость.

Список литературы

1. Баркалов П.С., Буркова И.В., Глаголев А.В., Колпачев В.Н. Задачи распределения ресурсов в управлении проектами. М.: ИПУ РАН, 2002. 65 с.

2. Гранатуров В.М. Экономический риск: сущность, методы измерения, пути снижения. М.: Дело и Сервис, 2010. 208 с.

3. Косоруков О.А., Мищенко А.В. Исследование операций. М.: Экзамен, 2003. 448 с.

4. Математические основы управления проектами: под ред. В.М. Буркова. М.: Высшая школа, 2005. 423 с.

5. Мищенко А.В. Методы управления инвестициями в логистических системах. М.: Инфра-М, 2009. 363 с.

6. Мищенко А.В., Котов К.В. Модели управления ограниченными ресурсами в проектах создания и модернизации объектов логистической инфраструктуры // Логистика сегодня. 2011. № 1.

7. Танаев В.С., Шкуба В.В. Введение в теорию расписаний. М.: Наука, 1975. 256 с.

Economic and mathematical modeling

METHODS AND MODELS OF A PROJECT SCARCE-RESOURCE MANAGEMENT IN UNCERTAINTY AND RISK CONDITIONS

Aleksandr V. MISHCHENKO, Pavel S. KOSHELEV

Abstract

The article deals with the branch and bound algorithm in relation to an assignment problem which permits to manage an investment project's finite resources in conditions of uncertainty and risk. The authors present the corresponding economic and mathematical models for two cases: determinate problem definition and non-determined project costs. This leads to a two-criterion assign-

ment problem. The authors apply a stability analysis of assignment models, when expenditures at various project stages cannot be determined precisely. A studio-apartment repair design serves an illustration of practical application of the theoretical results of the calculation done above.

Keywords: assignment problem, branch and bound, stability analysis, resource management

References

1. Barkalov P.S., Burkova I.V., Glagolev A.V., Kolpachev V.N. Zadachi raspredeleniia resursov v upravlenii proektami [A problem of resource allocation in project management]. Moscow, ICS RAS Publ., 2002, 65 p.

2. Granaturov V.M. Ekonomicheskii risk: sushch-nost', metody izmereniia, puti snizheniia [Economic risk: essence, measurement methods and reduction ways]. Moscow, Delo i Servis Publ., 2010, 208 p.

3. Kosorukov O.A., Mishchenko A.V. Issledovanie operatsii [Operations research]. Moscow, Ekzamen Publ., 2003, 448 p.

4. Matematicheskie osnovy upravleniia proektami [Mathematical basics of project management]. Moscow, Vysshaia shkola Publ., 2005, 423 p.

5. Mishchenko A.V. Metody upravleniia inves-titsiiami v logisticheskikh sistemakh [Methods of investment management in logistics systems]. Moscow, Infra-M Publ., 2009, 363 p.

6. Mishchenko A.V., Kotov K.V. Modeli upravleniia ogranichennymi resursami v proektakh sozdaniia i modernizatsii ob"ektov logisticheskoi infrastruktury [Models of scarce-resource management in logistics infrastructure creation and modernization projects]. Logistika segodnia - Logistics today, 2011, no. 1.

7. Tanaev V.S., Shkuba V.V. Vvedenie v teoriiu raspisanii [Introduction to scheduling]. Moscow Nauka Publ., 1975, 256 p.

Aleksandr V. MISHCHENKO

National Research University Higher School of Economics, Moscow, Russian Federation [email protected]

Pavel S. KOSHELEV

Institute of Economics and Business, Moscow,

Russian Federation

[email protected]