CC BY
169
№ 1 2006
А.Ф. Шориков
Методология моделирования многоуровневых систем: иерархия и динамика1
Для сложных динамических систем — подвижных механических объектов (ракетные носители, самолеты, надводные и подводные корабли и др.), робототехнических систем, производственных предприятий, транспортных компаний, банков, крупных коммерческих фирм и др. — основной задачей является создание системы оперативного обеспечения требуемой информацией. Такая система должна, в свою очередь, иметь базы данных, позволяющие на их основе моделировать решение задач оценивания данных, прогнозирования изменения их во времени и обеспечивать поддержку принятия оперативных, краткосрочных и долгосрочных решений, т. е. управления рассматриваемой системой.
Известно, что для решения задач разработки программного обеспечения (ПО), позволяющего формировать количественные оценки состояния параметров конкретной системы (например, экономической) и связанных с ней процессов или прогнозировать изменения этих параметров по ходу реализации процессов при изменении имеющихся для них условий (например, физических, технических, экономических, информационных и др.), возникает необходимость в математическом и компьютерном моделировании. Это означает, что реальной системе необходимо поставить в соответствие некую математическую модель, т. е. одну из известных (или модернизированных) математических структур. При этом необходимо сформировать такую математическую модель, которая бы достаточно адекватно отража-
ла исходную систему и имеющиеся в ней процессы. Таким образом, если для исследования важными являются какие-то параметры, то они должны присутствовать в модели, и если имеются какие-то условия реализации процессов в системе, то они также должны учитываться в модели. Причем обычно в исходной системе присутствует большое число параметров, характеризующих связанные с ней процессы, и учет всех этих параметров приводит к сложным и громоздким моделям. Поэтому для реализации математического и компьютерного моделирования таких систем необходимо учитывать только значимые для их исследования параметры, которые позволяют получать при моделировании и решении соответствующих задач приемлемые для практики результаты.
Вопросам математического и компьютерного моделирования посвящено множество работ [например, 1-6], в которых отражены различные точки зрения на эту проблему и методологические подходы. Отметим только, что в этих работах отсутствует общая методология математического и компьютерного моделирования многоуровневых иерархических динамических систем, функционирующих в условиях неопределенности. В то же время именно таковыми являются все достаточно сложные современные системы.
Отметим, что результативность компьютерной модели в большей степени определяется качеством используемого ПО. При этом основными требованиями, предъявляемыми к ПО, являются простота ввода
1 В данной статье отражены результаты работы, выполненной при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 04-01-00059).
№ 1 2006
и корректировки исходных данных и визуализация (наглядность) результатов компьютерного моделирования. Сегодня имеются достаточно мощные специализированные системы моделирования и программирования (MAPLE, SolidWorks, AutoCAD, SIMULINK, Project Expert и др.) и специальные прикладные пакеты, в которых реализуются удобные графические пользовательские возможности. Однако в этих программных системах для пользователя отсутствует возможность математического и компьютерного моделирования многоуровневых иерархических динамических систем, функционирующих в условиях неопределенности.
В данной статье предлагается общая методология математического и компьютерного моделирования, которая позволяет сформировать математические модели для таких сложных систем с целью разработки компьютерного ПО и решения исходных задач (например, экономических) средствами современных информационных технологий. Отметим, что предлагаемая методология позволяет, в частности, формировать математические модели динамических систем на основе известных математических структур оптимизации гарантированного результата в рамках одноуровневых систем [1,2] и применять соответствующие математические методы для их моделирования и анализа значимых параметров. При этом она позволяет также разрабатывать алгоритмы решения чисто математических задач, сформулированных в рамках таких моделирующих систем, которые можно представить в виде соответствующих последовательностей различных логических, математических и иных операций. Их исследование позволяет улучшать как методы, так и результаты решения исходных практических задач и реализовать, например, компьютерное моделирование реальных экономических систем с применением современных информационных технологий.
В настоящее время предлагаемая в статье методология математического и ком-
пьютерного моделирования еще не реализована в форме ПО для конкретных классов прикладных задач. Но на основании ее ведется разработка ПО для решения задач планирования и управления в экономических системах (оптимальное планирование и управление оборотным капиталом производственного предприятия и др.).
Методология математического и компьютерного моделирования
Существуют различные подходы и принципы математического моделирования функционирования сложных систем (объектов). Рассмотрим один из таких возможных подходов.
Дадим основное определение. Под общей многоуровневой иерархической динамической системой (объектом исследования) будем понимать совокупность объектов и элементов, в которых рассматриваются процессы, управляемые соответствующими субъектами управления, имеющими собственные сферы интересов в условиях иерархической подчиненности основному субъекту управления. Система функционирует в конкретной среде при наличии неопределенности и имеет в своем составе следующие компоненты:
• входные информационные устройства и средства (устройства ввода данных), сопряженные с ее объектами или элементами;
• устройства и средства для приема, хранения, анализа, обработки и передачи данных, сопряженные с ее объектами или элементами;
• выходные информационные устройства и средства (устройства вывода данных), сопряженные с ее объектами или элементами;
• устройства и средства, позволяющие реализовать математические, логические и иные операции, сопряженные с ее объектами или элементами;
• устройства и средства для реализации управляющих связей между ее объектами или элементами;
А.Ф. Шориков
Методология моделирования многоуровневых систем: иерархия и динамика
№ 1 2006
• устройства и средства для реализации информационных связей между ее объектами и элементами;
• устройства и средства, позволяющие реализовать выбранные системы кодирования и декодирования данных, сопряженные с ее объектами или элементами.
Основные этапы математического моделирования различных задач проектирования и организационного управления в сложных многоуровневых иерархических динамических системах, функционирующих в условиях неопределенности, заключаются в следующем.
1. В системе выделяются основной субъект управления рассматриваемыми в ней процессами, контролирующий основной уровень управления, а также ее части (подсистемы) — другие (подчиненные) уровни управления, которые могут находиться в сфере интересов иных (подчиненных) управляющих субъектов (если таковые присутствуют) в условиях иерархической подчиненности основному субъекту управления.
2. В системе и ее подсистемах выделяются наиболее значимые для их исследования параметры состояния, характеризующие рассматриваемые в системе процессы в фиксированный момент времени (если рассматривается динамический процесс как наиболее общий), и соответствующие им ограничения.
3. Выделяются параметры управления процессами в системе в целом и в подсистемах, которые могут изменяться при реализации конкретного процесса в зависимости (по желанию и возможностям) от выбора управляющего субъекта, и соответствующие им ограничения (физической реализуемости, технические, экономические и др.).
4. Выделяются неуправляемые параметры для рассматриваемых в системе в целом и в подсистемах процессов (не контролируемые конкретным управляющим субъектом, или учитывающие влияние конкретной внешней среды, или описыва-
ющие погрешности моделирования процессов), которые изменяются независимо от желания и возможностей конкретного управляющего субъекта, и соответствующие им ограничения.
5. Для каждой подсистемы и для системы в целом определяются параметры процессов, характеризующие их структуру и внутренние связи между объектами или элементами системы.
6. Формируются условия информационного обеспечения для каждого из управляющих субъектов, которым подчиняются соответствующие уровни управления, информационные и управляющие связи между ними и условия иерархической подчиненности при принятии управленческих решений субъектами управления, а также соответствующие им ограничения.
7. Для каждой подсистемы формируются критерии (в частном случае — один критерий), позволяющие оценивать качество функционирования этой подсистемы, а также формируются соответствующие критерии (или критерий), которые позволяют оценивать качество функционирования исследуемой системы в целом.
8. На основании выбранных критериев для каждой подсистемы качества функционирования соответствующих процессов формируются цели, достижение которых является оптимальным для соответствующего управляющего субъекта; аналогично формируются соответствующие цели и для субъекта, управляющего рассматриваемыми процессами в системе в целом.
9. На основании предыдущих этапов определяется математический и технический инструментарий моделирования и формируются математические модели для каждой подсистемы и системы в целом, учитывающие соответствующие им процессы, которые в какой-то мере адекватны реальным процессам и позволяют анализировать и исследовать их имеющимися средствами и в приемлемое время.
10. В математических моделях процессов, исследуемых в подсистемах и системе
№ 1 2006
в целом, формируются математические задачи, соответствующие набору имеющихся реальных задач и процессов.
11. Для сформированных задач разрабатываются математические методы их решения в форме реализации соответствующих последовательностей логических, математических и иных операций.
12. Для каждого из математических методов решения задач разрабатываются соответствующие им численные алгоритмы (также в форме логических, математических и иных операций), позволяющие реализовать моделирование решения этих задач (например, на компьютере) с целью получения приемлемых результатов.
13. С помощью программных и технических средств на базе разработанных численных алгоритмов осуществляется математическое моделирование исследуемых процессов в подсистемах и в системе в целом.
Рассматриваемая методология математического моделирования различных систем и процессов в них может применяться как в целом, состоящая из всех этапов (для достаточно сложных систем и процессов), так и частично — в зависимости от основных целей моделирования и структуры конкретного исследуемого процесса.
Следует сделать важное замечание: с помощью такого подхода можно реализовать математическое моделирование различных процессов в технике, экономике, медицине и в других предметных областях деятельности человека.
Реальная исследуемая система может иметь достаточно большое количество значимых параметров (состояния, управляемых, неуправляемых и др.), характеризующих ее функционирование. В связи с этим для анализа и исследования соответствующих ей процессов выделяют только наиболее существенные (с точки зрения выбранных критериев качества процессов) параметры, описывающие ее подсистемы и систему в целом, т. е. снижают размерность соответству-
ющих математических моделей, формируя упрощенный образ рассматриваемой системы. Затем разрабатывают математические модели подсистем и системы в целом, которые являются определенной абстракцией, приемлемой для исследования соответствующих им реальных процессов.
Образно сформированные математические модели по отношению к реальной системе и ее подсистемам, учитывающие соответствующие им процессы, можно представить, как это показано на рис. 1. При этом математическая модель системы находится вне реальной системы, а не содержится в ней, так как она может быть использована и для исследования других реальных систем и соответствующих им процессов. Так, например, математические модели могут быть такими математическими структурами, которые могут применяться для моделирования и исследования реальных систем и соответствующих им практических задач как в области техники, так и в области медицины.
Рис. 1. Математическая модель по отношению к реальной системе
Реализация методологии математического и компьютерного моделирования
Приведенную выше последовательность основных этапов математического моделирования на практике можно реализовать в виде следующих основных блоков.
Блок 1. Для выделенных значимых параметров состояния системы, структурных параметров, управляемых и неуправляемых
А.Ф. Шориков
Методология моделирования многоуровневых систем: иерархия и динамика
№ 1 2006
параметров в рамках выбранного математического инструментария формируется математическая модель, описывающая стационарные или динамические процессы, соответствующие исследуемым процессам для подсистем и системы в целом в форме:
• алгебраических или операторных соотношений (детерминированных или стохастических, в случае, если объект стационарный);
• алгебраических рекуррентных соотношений, дифференциальных или операторных динамических соотношений (детерминированных или стохастических, в случае, если процесс динамический) и др.
При этом соотношения будут стохастическими, если присутствуют неопределенные параметры, для которых известны их вероятностные характеристики.
Блок 2. Для математических моделей подсистем и системы в целом формируются имеющиеся условия информационного обеспечения для соответствующих субъектов, управляющих подсистемами, и для субъекта, управляющего системой в целом, в виде:
• информационных сигналов, являющихся «выходными данными» или значениями функционального (операторного) преобразования (соотношения), определенного на входных данных — параметрах состояния, структурных параметрах, управляемых или неуправляемых параметрах, при наличии погрешностей (ошибок) измерений (эти преобразования могут иметь вид, например, действительных функций многих переменных, дифференциальных или операторных соотношений, описывающих уравнение измерений информационных сигналов);
• алгебраических, дифференциальных или операторных уравнений или неравенств (детерминированных или стохастических), описывающих ограничения на погрешности измерений информационных сигналов.
Блок 3. Для каждой подсистемы и для системы в целом формируются критерии
качества функционирования соответствующих им процессов, которые в случае наличия, например, одного критерия имеют вид действительной функции одной или нескольких действительных переменных. А при наличии нескольких критериев (наиболее общий случай) критерием качества является набор функций (или векторная функция), состоящий из набора действительных функций нескольких действительных переменных (в таких случаях говорят, что имеется векторный критерий качества или векторный показатель функционирования процесса в конкретной подсистеме или в системе в целом — наиболее сложный показатель).
Блок 4. Для параметров состояния, структурных параметров, управляемых и неуправляемых параметров, всех априори неопределенных параметров системы (погрешностей моделирования подсистем и системы в целом, ошибок измерений информационных сигналов и др.) формируются ограничения на их изменения, отражающие имеющиеся реальные ограничения (физические, химические, биологические, экономические и др.), в форме:
• алгебраических уравнений или неравенств (детерминированных или стохастических);
• дифференциальных уравнений или неравенств (детерминированных или стохастических);
• операторных уравнений или неравенств (детерминированных или стохастических) или др.
При этом важна достаточная адекватность ограничений в математической модели имеющимся реальным ограничениям.
Блок 5. Для выделенных подсистем и системы в целом, а также для сформированных критериев качества функционирования подсистем и системы в целом формируются цели, которые преследуют соответствующие управляющие субъекты, имеющие обычно форму достижения максимальных или минимальных значений соответствующих критериев (причем
№ 1 2006
для векторных критериев необходимо использовать аналогичные им понятия, с учетом специфики задачи).
Блок 6. Для сформированных в блоках 1-5 математических моделей, образующих в комплексе математическую модель исследуемых процессов в рассматриваемой системе, формулируются, например, математические задачи оптимизации гарантированного результата (позволяющие учитывать наличие неопределенности или конфликта в рассматриваемой системе), соответствующие реальным практическим задачам. Для сформулированных задач разрабатываются математические методы их решения [см., например, 1, 2], а также численные алгоритмы (например, в форме реализации конечных последовательностей логических, математических и иных операций), позволяющие организовать и реализовать моделирование решения этих задач, например, на компьютере.
Блок 7 На основе сформированных в блоке 6 алгоритмов разрабатывается программное и техническое обеспечение или используется стандартное, позволяющее реализовать процесс моделирования исходной системы и решения сформулированных в рамках ее задач, соответствующих исходным реальным задачам.
Блок 8. С помощью сформированных программных и технических средств реализуется, например, компьютерное моделирование исследуемых процессов для рассматриваемой системы. При этом в случае получения приемлемых результатов моделирования, согласующихся с известными практическими результатами, моделирование считается приемлемым для решения практических задач. В случае если отсутствуют приемлемые результаты при компьютерном моделировании, процесс формирования математической модели системы корректируется, начиная с блока 1 до блока 6, и затем повторяется до получения приемлемых результатов компьютерного моделирования, согласую-
щихся с практическими результатами реализации исследуемых процессов в рассматриваемой системе.
Следует отметить, что процесс математического моделирования (в общем случае) является циклическим. При его реализации изменяются как рассматриваемые параметры исследуемой системы, так и используемые математические и технические средства.
На основании вышеизложенного, можно сделать вывод: для реализации математического моделирования сложных процессов в форме многоуровневых иерархических динамических систем необходимо изучение методов формирования и анализа методов решения различных задач, которые могут быть сформулированы в рамках таких моделей (например, задач оптимизации гарантированного результата), а также исследование различных математических операций, которые позволяют организовать реализацию этих методов, например, с помощью компьютера и современных информационных технологий, имеющимися или сформированными техническими и программными средствами.
Литература
1. Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.
2. Шориков А. Ф. Минимаксное оценивание и управление в дискретных динамических системах. Екатеринбург: Изд-во УрГУ, 1997.
3. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: Мир, 1964.
4. Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуровневых систем. М.: Мир, 1973.
5. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970.
6. Портер У. Современные основания общей теории систем. М.: Наука, 1971.
А.Ф. Шориков
