CC BY
121
Андрей Федорович Шориков
Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой информационных систем в экономике Уральского государственного экономического
Методология экономико-математического моделирования многоуровневых иерархических динамических систем, функционирующих в условиях неопределенности
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 04-0100059).
Для сложных экономических систем - производственных предприятий, транспортных компаний, банков, крупных коммерческих фирм - основной задачей является создание информационной системы оперативного обеспечения экономической информацией. Такая система должна иметь базы данных, позволяющие на их основе моделировать решение задач оценивания данных, прогнозирования изменения их во времени и обеспечивать поддержку принятия оперативных, краткосрочных и долгосрочных решений, т.е. управления системой.
Известно, что для решения задач информационного обеспечения и управления в экономике, в которых требуется иметь количественные оценки состояния параметров конкретной экономической системы и связанных с ней процессов или прогнозировать изменения этих параметров по ходу реализации процессов при изменении имеющихся для них условий (например, технико-экономических, информационных), возникает необходимость в экономико-математическом моделировании. Это означает, что реальной экономической системе необходимо поставить в соответствие некую математическую модель, т.е. одну из известных (или модернизированных) математических структур. При этом необходимо сформировать такую экономико-математическую модель, которая бы достаточно адекватно отражала исходную экономическую систему и имеющиеся в ней процессы. То есть: если для исследования важными являются какие-то параметры, то они должны присутствовать в модели, и если имеются какие-то условия реализации процессов в системе, то они также должны учитываться в модели. Обычно в исходной системе присутствует большое число параметров,
характеризующих связанные с ней процессы, и учет всех этих параметров приводит к сложным и громоздким моделям. Поэтому для реализации моделирования таких систем необходимо учитывать только значимые для их исследования параметры, которые позволяют получать в результате моделирования и решения соответствующих задач приемлемые для практики результаты.
Вопросам математического и экономико-математического моделирования посвящено множество работ [1-12], в которых отражены различные точки зрения на эту проблему и различные методологические подходы. Отметим только, что в этих работах отсутствует общая методология экономико-математического моделирования многоуровневых иерархических динамических систем, функционирующих в условиях неопределенности. В то же время именно таковыми являются все достаточно сложные современные экономические системы.
В данной работе предлагается общая методология экономико-математического моделирования, которая позволяет реализовать формирование математических моделей для таких сложных экономических систем с целью разработки компьютерного программного обеспечения и реализации решения исходных задач средствами современных информационных технологий. Отметим, что предлагаемая методология позволяет, в частности, формировать экономико-математические модели динамических систем на основе известных математических структур оптимизации гарантированного результата в рамках одноуровневых систем [1; 2] и применять соответствующие математические методы для их моделирования и анализа значимых параметров. При этом она позволяет разрабатывать алгоритмы решения чисто математических задач, сформулированных в рамках таких моделирующих систем, которые можно представить в виде соответствующих последовательностей различных логических и математических операций. Исследование их позволяет улучшать как методы, так и результаты решения исходных практических задач и реализовать, например, компьютерное моделирование реальных экономических систем с применением современных информационных технологий.
Методология экономико-математического моделирования. Существуют различные подходы и принципы экономико-математического моделирования функционирования сложных экономических систем (объектов). Ниже предлагается один из таких возможных подходов.
Введем в рассмотрение следующее основное определение.
Под общей многоуровневой иерархической динамической экономической системой (объектом исследования) будем понимать совокупность ее внутренних частей (подсистем), состоящих из соответствующих им объектов и элементов, в которых рассматриваются процессы, управляемые соответствующими субъектами управления, имеющими собственные сферы интересов в условиях иерархической подчиненности основному субъекту управления, функционирующую в конкретной среде при наличии неопределенности, которую в целом можно различать среди других систем. В своем составе она имеет:
1) входные информационные устройства и средства (устройства ввода данных), сопряженные с ее объектами или элементами;
2) устройства и средства для приема, хранения, анализа, обработки и передачи данных, сопряженные с ее объектами или элементами;
3) выходные информационные устройства и средства (устройства вывода данных), сопряженные с ее объектами или элементами;
4) устройства и средства управления, сопряженные с ее объектами или элементами;
5) устройства и средства для реализации информационных связей между ее объектами и элементами.
Тогда экономико-математическое моделирование различных задач проектирования и организационного управления в сложных многоуровневых иерархических динамических экономических системах, функционирующих в условиях неопределенности, можно представить в виде реализации последовательности основных этапов.
1. В системе выделяется основной субъект управления рассматриваемыми в ней процессами, контролирующий основной уровень управления, и выделяются ее части (подсистемы) - другие (подчиненные) уровни управления, которые могут находиться в сфере интересов других (подчиненных) управляющих субъектов (если таковые присутствуют), иерархически подчиненных основному субъекту управления.
2. В системе и ее подсистемах выделяются наиболее значимые для их исследования соответствующие им параметры состояния, характеризующие исследуемые в системе процессы в фиксированный момент времени (если
рассматривается динамический процесс как наиболее общий) и соответствующие им ограничения.
3. Выделяются параметры управления процессами в системе в целом и подсистемах, которые могут изменяться по ходу реализации конкретного процесса в зависимости (по желанию и возможностям) от выбора соответствующего управляющего субъекта и соответствующие им ограничения (физической реализуемости, технико-экономические, экономические и др.).
4. Выделяются неуправляемые параметры для рассматриваемых в системе в целом и подсистемах процессов (не контролируемые конкретным управляющим субъектом или учитывающие влияние конкретной внешней среды, или описывающие погрешности моделирования процессов), которые изменяются вне зависимости от желания и возможностей конкретного управляющего субъекта, и соответствующие им ограничения.
5. Для каждой из подсистем и для системы в целом определяются параметры процессов, характеризующие их структуру и внутренние связи между объектами или элементами системы.
6. Формируются условия информационного обеспечения для каждого из управляющих субъектов, которым подчиняются соответствующие уровни управления, информационные и управляющие связи между ними и условия иерархической подчиненности при принятии управленческих решений субъектами управления, а также соответствующие им ограничения.
7. Для каждой из подсистем формируются критерии (в частном случае - один критерий), позволяющие оценивать качество функционирования этой подсистемы, а также соответствующие критерии (или критерий), которые позволяют оценивать качество функционирования исследуемой системы в целом.
8. Для каждой подсистемы, на основании выбранных соответствующих критериев качества функционирования соответствующих ей процессов, формируются цели,
достижение которых является наилучшим или приемлемым для соответствующего управляющего субъекта. Аналогично формируются соответствующие цели и для субъекта, управляющего рассматриваемыми процессами в системе в целом.
9. На основании предыдущих этапов определяется математический и технический инструментарий моделирования и формируются математические модели для каждой из подсистем и рассматриваемой системы в целом, учитывающие соответствующие им процессы, которые в какой-то мере адекватны реальным процессам и позволяют анализировать и исследовать их имеющимися средствами и в приемлемое время.
10. В математических моделях процессов, исследуемых в подсистемах и рассматриваемой системе в целом, формируются математические задачи, соответствующие набору реальных задач и процессов.
11. Для сформированных задач разрабатываются математические методы их решения в форме реализации соответствующих последовательностей логических, математических и иных операций.
12. Для каждого из математических методов решения задач разрабатываются соответствующие им численные алгоритмы (также в форме логических, математических и иных операций), позволяющие реализовать моделирование решения этих задач (например, на компьютере) с целью получения приемлемых результатов.
13. С помощью программных и технических средств на базе разработанных численных алгоритмов осуществляется реализация моделирования исследуемых процессов в подсистемах и в системе в целом.
Рассматриваемая методология математического моделирования экономических систем и процессов в них может применяться как в целом состоящая из всех этапов (для достаточно сложных экономических систем и процессов), так и частично - в зависимости от основных целей моделирования и структуры конкретного экономического процесса.
Сделаем важное замечание: с помощью такого подхода можно реализовать математическое моделирование
различных процессов в технике, экономике, медицине и в других предметных областях деятельности человека.
Отметим, что реальная исследуемая экономическая система может иметь достаточно большое количество значимых параметров (состояния, управляемых, неуправляемых и др.), характеризующих ее функционирование. Тогда для анализа и исследования соответствующих ей процессов выделяют только наиболее существенные (с точки зрения выбранных критериев качества процессов) параметры, описывающие ее подсистемы и систему в целом, т.е. снижают размерность соответствующих математических моделей, формируя упрощенный образ рассматриваемой системы. Затем разрабатывают математические модели подсистем и системы в целом, которые являются абстракцией, приемлемой для исследования соответствующих им реальных процессов.
Образно сформированные математические модели по отношению к реальной экономической системе и ее подсистемам, учитывающие соответствующие им процессы, можно представить так (см. рисунок).
При этом экономико-математическая модель системы находится «вне реальной системы», а не содержится в ней, так как она может быть использована и для исследования других реальных систем и соответствующих им процессов. Например, математические модели могут быть такими математическими структурами, которые могут применяться для моделирования и исследования реальных систем и соответствующих им практических задач как
в области экономики, так и в области медицины.
Реализация методологии экономико-математического моделирования. Приведенную выше последовательность основных этапов экономико-математического моделирования можно реализовать в форме следующих основных блоков.
I. Для выделенных значимых параметров состояния
системы, структурных параметров, управляемых и неуправляемых параметров в рамках выбранного математического инструментария формируется
математическая модель, описывающая стационарные или динамические процессы, соответствующие исследуемым процессам для подсистем и системы в целом в форме:
1) алгебраических или операторных соотношений (детерминированных или стохастических, если объект стационарный);
2) алгебраических рекуррентных соотношений, дифференциальных или операторных динамических соотношений (детерминированных или стохастических, если процесс динамический) и др.
При этом соотношения будут стохастическими, если присутствуют неопределенные параметры, для которых известны их вероятностные характеристики.
II. Для экономико-математических моделей подсистем и системы в целом формируются имеющиеся условия информационного обеспечения для соответствующих субъектов, управляющих подсистемами, и для субъекта, управляющего системой в целом, в форме:
1) информационных сигналов, являющихся «выходными данными», или значениями функционального (операторного) преобразования (соотношения), определенного на «входных данных» - параметрах состояния, структурных параметрах, управляемых или неуправляемых параметрах; при наличии погрешностей измерений эти преобразования могут иметь вид, например, действительных функций многих переменных, дифференциальных или операторных
соотношений, описывающих уравнение измерений информационных сигналов;
2) алгебраических, дифференциальных или операторных уравнений или неравенств (детерминированных или
стохастических), описывающих ограничения на погрешности измерений информационных сигналов.
III. Для каждой из подсистем рассматриваемой системы
и для системы в целом формируются критерии качества функционирования соответствующих им процессов, которые при наличии, например, одного критерия, имеют вид действительной функции одной или нескольких
действительных переменных, а при наличии нескольких критериев (наиболее общий случай) - критерием качества является набор функций (или векторная функция), состоящий из набора действительных функций нескольких действительных переменных (в таких случаях говорят, что имеется векторный критерий качества или векторный показатель функционирования процесса в конкретной подсистеме или в системе в целом - наиболее сложный показатель).
IV. Для параметров состояния, структурных параметров,
управляемых и неуправляемых параметров, всех априори неопределенных параметров системы (погрешностей
моделирования подсистем и системы в целом, ошибок измерений информационных сигналов и др.) формируются ограничения на их изменения, отражающие имеющиеся реальные ограничения (физические, химические, биологические, экономические и др.) в форме:
1) алгебраических уравнений или неравенств (детерминированных или стохастических);
2) дифференциальных уравнений или неравенств (детерминированных или стохастических);
3) операторных уравнений или неравенств (детерминированных или стохастических) или др.
При этом важна достаточная адекватность ограничений в экономико-математической модели имеющимся реальным ограничениям.
V. Для выделенных подсистем и системы в целом, а
также для сформированных критериев качества функционирования подсистем и системы в целом формируются цели, которые преследуют соответствующие управляющие субъекты, имеющие обычно форму
достижения максимальных или минимальных значений соответствующих критериев (причем, для векторных критериев необходимо использовать аналогичные им
понятия с учетом специфики задачи).
VI. Для сформированных в блоках 1^ математических
моделей, образующих в комплексе математическую модель исследуемых процессов в рассматриваемой системе, формулируются, например, математические задачи оптимизации гарантированного результата (позволяющие учитывать наличие неопределенности или конфликта в
системе), соответствующие реальным практическим задачам, и для сформулированных задач разрабатываются
математические методы их решения [1; 2], а также численные алгоритмы (например, в форме реализации конечных последовательностей логических, математических и иных операций), позволяющие организовать и реализовать моделирование решения этих задач, например, на компьютере.
VII. На основе сформированных в блоке VI алгоритмов разрабатывается и формируется программное и техническое обеспечение или используется стандартное, позволяющее реализовать процесс моделирования исходной системы и решения сформулированных в рамках ее задач, соответствующих исходным реальным задачам.
VIII. С помощью сформированных программных и технических средств реализуется, например, компьютерное моделирование исследуемых процессов для рассматриваемой системы. При этом в случае получения приемлемых результатов моделирования, согласующихся с известными практическими результатами, моделирование считается приемлемым для решения практических задач. Если приемлемые результаты при компьютерном моделировании
отсутствуют, то процесс формирования математической модели корректируется, начиная с блока I до блока VI, и затем повторяется до получения приемлемых результатов компьютерного моделирования, согласующихся с практическими результатами реализации исследуемых процессов в рассматриваемой системе.
Следует отметить, что процесс экономико-математического моделирования (в общем случае) является циклическим. При его реализации (в общем случае) изменяются как рассматриваемые параметры исследуемой системы, так и используемые математические и технические средства.
На основании вышеизложенного можно сделать общий вывод: для реализации экономико-математического моделирования сложных экономических процессов в форме многоуровневых иерархических динамических систем необходимо изучение методов формирования и анализа таких моделей, методов решения различных задач, которые могут быть сформулированы в рамках таких моделей (например, задач оптимизации гарантированного результата), а также исследование математических операций, которые позволяют организовать реализацию этих методов, например, с помощью компьютера и современных информационных технологий имеющимися или сформированными техническими и программными средствами.
Литература
1. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974.
2. Шориков А. Ф. Минимаксное оценивание и управление в дискретных динамических системах. Екатеринбург: Изд-во УрГУ, 1997.
3. Канторович Л.В. Экономический расчет наилучшего использования ресурсов. М.: Изд-во АН СССР, 1959.
4. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: Мир, 1964.
5. Леонтьев В.В. Исследование структуры американской экономики. М.: Госстатиздат, 1958.
6. Месарович М., Мако Д., Такахара И. Теория иерархических многоуровневых систем. М.: Мир, 1973.
7. Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970.
8. Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972.
9. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Айрис-пресс, 2003.
10. Портер У. Современные основания общей теории систем. М.: Наука, 1971.
11. Тер-Крикоров А.М. Оптимальное управление и математическая экономика. М.: Наука, 1977.
12. Федоренко Н.П. Оптимизация экономики. М.: Наука, 1977.
■к -к -к -к -к
