Методология и математические модели телекоммуникационных сетей на основе тензорного анализа и использования тригонометрических функций

Пасечников Иван Иванович; Штейнбрехер Валерий Васильевич; Назаров Александр Сергеевич; Одинцов Илья Анатольевич

УДК 621.396

DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1355-1360

МЕТОДОЛОГИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННЫХ СЕТЕЙ НА ОСНОВЕ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА И ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

1) Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, ул. Интернациональная, 33 E-mail: pasechnikov_ivan@mail.ru 2) ООО «Экотелеком-Т» 392000, Российская Федерация, г. Тамбов, пл. Льва Толстого, 4 E-mail: alsnazarov@gmail.com

Представлена общая модель анализа и синтеза метрической телекоммуникационной сети (ТКС) на основе тензорной методологии и тензорного анализа. Приведена математическая модель и показана возможность использования тригонометрических функций при описании взаимозадержанных потоков ТКС, математическая модель потока в виде цифровой последовательности комплексных чисел, позволяющая применить быстрое преобразование Фурье для проведения спектрального анализа потоков ТКС.

Ключевые слова: тензорный анализ ТКС; тригонометрическая функция потока пакетов; БПФ в телекоммуникациях; спектральный анализ потоков

Сложная электрическая или механическая системы описываются формулами поведения, которые характеризуют функционирование системы в разных режимах работы. Аналогично, эффективность работы телекоммуникационной сети (ТКС) должна определяться рабочей точкой в информационном пространстве состояний [1], а ее движение осуществляться в соответствии с формулой поведения сети. В основу понятия состояния сети положена информационная нагрузка сети, отображаемая в пространстве возможных состояний в виде точки, расстояние до которой определяется понятием кибернетическая мощность сети [1]. Методологией расчета нагруженных ТКС, находящихся в стационарном состоянии, может служить тензорная методология Г. Крона [2]. Для того чтобы описать движение точки в информационном пространстве, т. е. изменение состояния ТКС, необходимо применять специальный математический аппарат исследования окрестности точки - классический тензорный анализ.

Целями статьи являются: определение совокупности задач расчета ТКС на основе тензорной методологии; представление тригонометрической модели для описания сетевых потоков; обоснование возможности применения спектрального анализа потоковой ситуации ТКС на основе использования быстрого преобразования Фурье (БПФ).

А. Общее представление методологии анализа и синтеза нагруженной ТКС. Основные задачи, характеризующие методологию анализа и синтеза нагруженной ТКС, представлены на рис. 1. В их основу положена метрика информационного пространства и инвариант, поэтому ее можно называть метрической сетью.

Понятие метрической ТКС основано на следующих особенностях.

1. Все процессы передачи и хранения пакетов рассматриваются в едином информационном пространстве, определяемом различными системами координат. Системы координат пространств определяются не только топологией, но и потоковой ситуацией совместно с используемыми сетевыми протоколами, характеризующими режимы работы ТКС.

2. Метрический тензор ТКС [1] отображает всю зависимость состояний каналов и путевых потоков друг от друга при использовании сетевых протоколов. Изменение протокола ведет к изменению компонент тензора.

3. Расстояние в пространстве состояний определяется квадратичной формой Римана [3], которая соответствует понятию приращения кибернетической мощности ТКС [1].

4. Топологические преобразования связаны с изменением компонент тензора преобразований. Следовательно, имеется возможность определять расстояние между различными пространствами - сетями и информационными технологиями.

5. Все преобразования в пространствах состояний - тензорные преобразования. Они используют реально существующие объекты (параметры), которые преобразуются по физическим законам. Их необходимо вскрыть и использовать в процессе анализа и синтеза ТКС.

При решении задачи построения метрической ТКС тензорной методологией большое значение имеет построение топологии и определение в ней линейно-независимых потоков, которые, по сути, и описывают систему координат стационарной на интервале рассмотрения ТКС. Поддержание фиксированной стационарной сети возможно за счет алгоритмов построения

Рис. 1. Блок-схема модели построения метрической ТКС

нечетких (мягких) графов, которые должны быть управляемы обратной связью значениями компонент тензора преобразования связей. Фиксированная топология создается путем структурной избыточности сетей с применением возможностей математического аппарата теории нечетких подмножеств на основе расширения Гогена [4], когда функции принадлежностей образуют упорядоченные структуры, которые в свою очередь позволяют формировать сложные упорядоченные самоподобные структуры.

Подход синтеза ТКС на основе тензорной методологии позволяет создавать многомерную самоорганизующуюся пакетную ТКС, в которой процессы передачи информации и структурные преобразования являются компонентами формулы поведения. В такой сети процессы описываются с использованием мультитен-зоров и многомерных матриц, она может быть представлена в виде многоуровневой сети, с интеграцией сетей различного предназначения. Важной особенностью подхода является то, что сеть необходимо рассматривать аналогично физическому устройству. Это означает, что она должна обладать параметрами мощность и КПД в смысле передачи информации. Кроме

того, т. к. она представляет собой структуру с происходящими в ней процессами по передаче информации, то необходимо выявить информационно-волновые свойства и определить их в формуле поведения сети. Совмещение дискретного пространства-структуры ТКС с непрерывными процессами передачи информации можно осуществить тензорной методологией Г. Крона. Вычисление динамики нагруженного состояния сети (приращения кибернетической мощности ТКС) возможно на основе решения задачи тензорного анализа -параллельного переноса вектора и, в частности, определения ковариантной производной количественной меры информации.

Б. Модель представления информационных потоков на основе тригонометрической функции. Цель: разработка математической модели взаимодействия потоков при передаче информации в режиме промежуточного хранения в сети на основе использования тригонометрических функций.

При определении взаимного влияния потоков пакетов в канале связи (КС) будем исходить из условия непрерывности их передачи и заданного в них объема информации. Отметим особенность условия. В случае

помеховой обстановки скорость передачи пакетов может меняться. Однако постоянство скорости передачи можно обусловливать необходимым интервалом рассмотрения, с одной стороны, с другой - наличием фазовой составляющей в скорости передачи (что достаточно очевидно при использовании описания тригонометрической функцией).

Основываясь на непрерывности передачи пакетов в КС и фиксированной скорости, можно определить количество передаваемой информации в единицу времени тригонометрической моделью вида:

йпак = А СО S (Э t - ф0) ,

(1)

где 0 - частота передаваемых пакетов в секунду, соответствующая текущей скорости передачи пакетов по КС; ф0 - фазовый сдвиг скорости, характеризующий задержку во времени передаваемых пакетов относительно тактов системного времени; А - количество информации, выраженное в битах, содержащееся в одном пакете.

В выражении (1) все параметры имеют принципиальное значение в процессах передачи с промежуточным хранением. Так, частота следования пакетов в КС в процессе передачи, с учетом объема информации в одном пакете, по сути характеризует скорость передачи с учетом объема информации, выраженную в бит/с (пакет/с), а фазовый сдвиг ср 0 - задержку потока пакетов относительно системного времени.

Тригонометрическая запись (1) позволяет представить процесс передачи пакета в комплексном пространстве в виде вектора (рис. 2).

Производя связь круговой частоты 0 с частотой Е, можно представить временную задержку передаваемого потока:

м = Фо = Д

(2)

Основываясь на математическом представлении потока передаваемых пакетов с учетом задержки относительно системной шкалы времени, можно определить взаимное влияние двух векторов в пространстве состояний - рис. 3.

Как видно из рис. 3, угол а между двумя условно обозначенными потоками (векторами) характеризует взаимное их влияние, позволяя определить метрику (с помощью значения cosa). В результате неортогональности векторов (рис. 3) результирующий вектор OM, характеризующий суммарный поток данных, разлагается на ко- и контравариантные составляющие. Кроме того, cosa характеризует метрическое расстояние между потоками и в результате позволяет определить долю ковариантной составляющей количества передаваемой информации, ожидаемой в очереди. Это количество может быть отображено в виде временной задержки (ожидание в буфере).

Количество ожидаемой информации можно вычислить на основе метрического тензора [1-3], который с математической точки зрения переводит индексы сверху вниз, т. е. превращает контравариантный вектор (характеризующий скорость передачи информации) в ковариантный (характеризующий количество информации в режиме ожидания).

Задачу взаимодействия потоков при передаче информации с промежуточным хранением путем исполь-

зования тригонометрической функции рассмотрим на основе усеченной модели потоков в коммутационном узле [5] - рис. 4.

В условиях непрерывной передачи пакетов с фиксированной скоростью во входном канале последовательность пакетов, следующих друг за другом, может быть представлена рис. 5а.

Процесс передачи пакета с промежуточным хранением заканчивается помещением последнего в буферное запоминающее устройство (БЗУ) приемного устройства. Будем считать идеализированную ситуацию, когда пакет, помещенный в БЗУ, тут же изымается и помещается в накопительное устройство цифрового выходного КС. Обслуживание процессором характеризуется цепью замкнутого типа, характеризующейся соответствующим быстродействием, т. е. временем изъятия пакета из БЗУ и помещением его в накопительное устройство выходного КС, является конечным, обозначим его:

^Цп п ,

"цп

(3)

где Яцд - быстродействие центрального процессора.

Из-за конечного значения Тт последовательность пакетов в выходном КС представляется в виде рис. 5б.

Так как процесс передачи непрерывного потока пакетов фиксированной длины представлен тригонометрической функцией (1) с фазовой задержкой (2), то необходимо оценить значение Тт и, таким образом,

¿г

к

\Фо

Рис. 2. Вектор процесса передачи пакетов

O

M

Ai

Рис. 3. Взаимное влияние векторов и проявление ко- и кон-травариантности количественной меры информации

Э

ПтА

X

АС

Узел коммутации

К

-е

п.

К

ПтА

-О-

К

X

АС

Рис. 4. Усеченная модель потоков в коммутационном узле

Пакет 0 Пакет 1 Пакет 2

Пакет п-1 Пакет п

1о 12 1э 1п-1 1п

а)

Тцп Пакет 0 Пакет 1 Пакет 2 к-п

Рис. 5. Потоки пакетов во входном и выходном КС

Пакет п-1 Пакет п

б)

1о 11 12 1э 1п-1 1п

записать временную задержку второго потока, обусловленную влиянием промежуточного процесса об-

служивания: Д£ = Тцп = ■

Фо

при этом считаем

^вых.п. = ~ - частота следования пакетов в выходной последовательности. В результате, фазовый угол тригонометрической функции, характеризующий задержку выходного потока, можно представить через отношение частот взаимодействующих потоков:

Фо = Тцп ' = '

(4)

Из (4), с учетом равенства скорости передачи информации во входном и выходном каналах, следует:

Д = Асоб

(5)

Таким образом, взаимное влияние потоков из-за задержки в обслуживании характеризуется фазой в (5), равной отношению скоростей передачи пакетов в КС и в центральном процессоре.

Указанный пример показывает возможность применения математической модели - тригонометрической функции для описания потоков в ТКС с целью описания взаимного влияния. Кроме того, потоки, представляемые такими функциями, можно использовать в спектральном анализе потоковой ситуации ТКС.

В. Дискретное и быстрое преобразования Фурье для решения задачи анализа потоковой ситуации в ТКС.

Модель потока пакетов, передаваемых в каналах связи

Поток пакетов в сети часто описывается моделью со случайными интервалами между пакетами с заданным средним, причем эти интервалы распределены по экспоненциальному закону. Такая модель соответствует пуассоновскому потоку.

Сужая обобщение, рассмотрим нагруженный цифровой КС, в котором осуществляется непрерывная передача пакетов. Учитывая синхронизацию в цифровых каналах связи (ЦКС), информационный поток, представляемый последовательностью пакетов, следующих в ЦКС с определенной частотой, модельно можно отождествить с цифровым потоком, каждый отсчет которого характеризуется числом, отображаемым количеством информации, передаваемой в этот момент времени. (Простейший вариант - технология передачи АТМ, где через равные промежутки времени передается фиксированное количество информации - пакет, соответствующий ячейке, 48 информационных байт.) В общем случае из-за нестабильности передаваемых пакетов, различной задержки в ЦКС пакеты могут находиться относительно точек системного времени со сдвигом в периоде их следования, в т. ч. со случайным фазовым сдвигом.

1

вых.п

цп

Дискретное преобразование Фурье потоков пакетов

Если представить последовательность пакетов, следующих через определенные интервалы и имеющие заданную информационную емкость, то математически эту последовательность можно отождествить с цифровой последовательностью. Учитывая тот факт, что для получения спектра такой последовательности применяют дискретное преобразование Фурье (ДПФ), то это преобразование также можно применить для потока ЦКС. При этом получаемый спектр своими частотными составляющими будет характеризовать разброс скоростей передачи информации. При определении спектра используются выборки последовательности пакетов. Если выборка имеет большое количество пакетов N = = 2п (тысячи и более), то применение ДПФ затруднено большим количеством операций (число умножений равно В случае представления последовательности пакетов в виде комплексных чисел возможно применение алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ), в результате чего количество указанных операций существенно сокращается и равно №п/2.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Возможность применения быстрого преобразования Фурье

Комплексные числа применительно к потоку пакетов применимы простым решением. К каждому действительному числу добавляется мнимое, но с нулевым значением. В результате при БПФ рассматривается исходная последовательность в виде двух массивов данных - действительных чисел и мнимых. Введение ненулевых мнимых компонент для описания потока пакетов возможно, т. к. имеют место реальные задержки пакетов относительно системного времени (тактовых точек), а временной сдвиг относительно тактовой точки в комплексной плоскости характеризуется ненулевой мнимой составляющей.

Что дает спектральный анализ потоков пакетов ТКС

Получение частотной характеристики потоков позволит применить в теории и практике ТКС возможности спектрального анализа. В результате можно опре-

делить широкополосность и нестабильность мультимедийного потока, ЦКС, возможность определения указанных характеристик маршрутизаторов и коммутаторов, создание понятий пространственных фильтров на основе сетевых ячеек и их частотных свойств. Основные выводы.

1. Применение тензорной методологии и задач классического тензорного анализа позволяет не только определять точку в пространстве состояний, но и решать задачи корректного описания режимов работы ТКС на основе описания ее окрестности.

2. Применение тригонометрических функций в качестве моделей потоков ТКС позволяет математически описывать взаимодействие потоков и определять ко- и контравариантный характер количества информации. Имеется возможность применения спектрального анализа в теории и практике ТКС.

3. Представление потоков пакетов в виде цифровой последовательности с комплексными числами позволяет применить БПФ с целью нахождения ее спектра.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Пасечников И.И. Методология анализа и синтеза предельно нагруженных информационных сетей: монография. М.: Машиностроение-!, 2004. 216 с.

2. Крон Г. Тензорный анализ сетей: пер. с англ. / под ред. Л.Т. Кузина, П.Г. Кузнецова. М.: Сов. радио, 1978. 719 с.

3. Рашевский П.К Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1964. 664 с.

4. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств / пер. с фр. под ред. С.И. Травкина. М.: Радио и связь, 1982. 168 с.

5. Назаров А.С., Степаненко И.Т., Пасечников И.И. Особенности вычисления компонентов метрического тензора модели взаимодействия потоков разомкнутого и замкнутого типов в цифровом канале связи // Вестник ТГТУ. 2015. Т. 21. № 1. С. 50-56.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 17-47-680748 р_центр_а).

Поступила в редакцию 31 июля 2017 г.

Пасечников Иван Иванович, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой теоретической и экспериментальной физики, e-mail: pasechnikov_ivan@mail.ru

Штейнбрехер Валерий Васильевич, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры теоретической и экспериментальной физики, e-mail: valshtein45@mail.ru

Назаров Александр Сергеевич, ООО «Экотелеком-Т», г. Тамбов, Российская Федерация, ведущий программист-системотехник, e-mail: alsnazarov@gmail.com

Одинцов Илья Анатольевич, Тамбовский государственный университет им. Г.Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, магистрант, e-mail: ilyaodintsov@mail.ru

Для цитирования: Пасечников И.И., Штейнбрехер В.В., Назаров А.С., Одинцов И.А. Методология и математические модели телекоммуникационных сетей на основе тензорного анализа и использования тригонометрических функций // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2017. Т. 22. Вып. 6. С. 1355-1360. DOI: 10.20310/1810-01982017-22-6-1355-1360

For citation: Pasechnikov I.I., Shteinbreher V.V., Nazarov A.S., Odintsov I.A. Metodologiya i matematicheskie modeli telekommuni-katsionnykh setey na osnove tenzornogo analiza i ispol'zovaniya trigonometricheskikh funktsiy [Methodology and mathematical models of the telecommunications networks, based on a tensor analysis and trigonometric functions]. Vestnik Tambovskogo universiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki — Tambov University Reports. Series: Natural and Technical Sciences, 2017, vol. 22, no. 6, pp. 13551360. DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1355-1360 (In Russian, Abstr. in Engl.).

UDC 621.396

DOI: 10.20310/1810-0198-2017-22-6-1355-1360

METHODOLOGY AND MATHEMATICAL MODELS OF THE TELECOMMUNICATIONS NETWORKS, BASED ON A TENSOR ANALYSIS AND TRIGONOMETRIC FUNCTIONS

1)1 Tambov State University named after G.R. Derzhavin 33 Internatsionalnaya St., Tambov, Russian Federation, 392000 E-mail: pasechnikov_ivan@mail.ru 2) ООО "Ecotelecom-T" 4 Leo Tolstoy Sq., Tambov, Russian Federation, 392000 E-mail: alsnazarov@gmail.com

The common model of an analysis and synthesis of metric telecommunications network (TCN) using tensor methodology and tensor analysis are examined. Mathematical model and the possibility of trigonometric functions usage in interlocking TCN flows is presented. Flow model in form of complex number sequence makes possible to apply a Fast Fourier Transform to a flow and analyze a TCN network spectrum. Keywords: tensor analysis of TCN; packets flow trigonometric function; FFT in telecommunications; spectral analysis

REFERENCES

1. Pasechnikov I.I. Metodologiya analiza i sintezapredel'no nagruzhennykh informatsionnykh setey [Methodology of Analysis and Synthesis of Ultimate Loaded Information Networks]. Moscow, Mashinostroenie-1 Publ., 2004, 216 p. (In Russian).

2. Kron G. Tenzornyy analiz setey [Tensorial Analysis of Networks]. Moscow, Sovetskoe radio Publ., 1978, 719 p. (In Russian).

3. Rashevskiy P.K. Rimanova geometriya i tenzornyy analiz [Riemann Geometry and Tensorial Analysis]. Moscow, Nauka Publ., 1964, 664 p. (In Russian).

4. Kofman A. Vvedenie v teoriyu nechetkikh mnozhestv [Introduction in Theory of Ungerate Multitude]. Moscow, Radio i svyaz' Publ., 1982, 168 p. (In Russian).

5. Nazarov A.S., Stepanenko I.T., Pasechnikov I.I. Osobennosti vychisleniya komponentov metricheskogo tenzora modeli vzaimodeystviya potokov razomknutogo i zamknutogo tipov v tsifrovom kanale svyazi [Features of Metric Tensor Components Computation in Interaction Model of Open and Closed Flow Types in Digital Communication Channel]. Vestnik Tambovskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta — Transactions of the Tambov State Technical University, 2015, vol. 21, no. 1, pp. 50-56. (In Russian).

ACKNOWLEDEGEMENTS: The work is fulfilled under financial support of Russian Foundation for Basic Research (project no. 17-47-680748p_^rnp_a).

Received 31 July 2017

Pasechnikov Ivan Ivanovich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Doctor of Technics, Professor, Head of Theoretical and Experimental Physics Department, e-mail: pasechnikov_ivan@mail.ru

Shteinbreher Valeriy Vasilevich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Candidate of Technics, Associate Professor, Associate Professor of Theoretical and Experimental Physics Department, e-mail: valshtein45@mail.ru

Nazarov Aleksander Sergeevich, ООО "Ecotelecom-T", Tambov, Russian Federation, Leading Programmer-System Integrator, e-mail: alsnazarov@gmail.com

Odintsov Ilya Anatolevich, Tambov State University named after G.R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Master's Degree Student, e-mail: ilyaodintsov@mail.ru