Методика выбора оптимальных структур антенных решеток фазовых пеленгаторов и оценка вероятностных характеристик Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.317.08 Г.Г. Порубов

Методика выбора оптимальных структур антенных решеток фазовых пеленгаторов и оценка вероятностных характеристик

Предлагается метод выбора оптимальных структур антенных решеток многобазовых фазовых пеленгаторов. Метод основан на выборе размеров дополнительных баз, обеспечивающих устранение неоднозначности в интервале однозначных измерений на большой базе с максимальной вероятностью. Ключевые слова: пеленгатор, разность фаз, разрешение неоднозначности. ао1: 10.21293/1818-0442-2017-20-1-05-09

В данной статье выбор оптимальных фазомет-рических баз основан на выборе дополнительных баз с минимальными фазовыми ошибками, обеспечивающими максимальную вероятность правильного устранения неоднозначности максимальной базы, по результатам измерения разности фаз на дополнительных базах.

Рассматриваются однокоординатные фазовые пеленгаторы, предназначенные для пеленгации в одной плоскости. Антенные системы таких пеленгаторов представляют собой линейные решётки.

Простых аналитических методов выбора оптимальных антенных структур фазовых пеленгаторов по заданным характеристикам по точности пеленгования и вероятности правильного пеленгования не существует. Существует численный метод оптимизации антенных систем пеленгаторов, основанный на полном переборе всех возможных положений антенных элементов при заданном их количестве и габаритном размере решётки [1, 2]. Метод основан на использовании для устранения неоднозначности измерений принципа максимального правдоподобия, в предположении о нормальности распределения фазовых погрешностей. При этом логика выбора того или иного значения конкретной фазометриче-ской базы (за исключением максимальной) не просматривается.

Рассмотрим алгоритм устранения неоднозначности по результатам измерения разности фаз на примере двухбазового пеленгатора [3]. При этом полагаем, что имеют место ошибки измерения фазы и на обеих базах отсчёт производится неоднозначный. Полный фазовый сдвиг сигналов на любой из баз определяется формулой

Ф, = 2nexi sin а = ф, + 2nk¡, (1)

где exi = 1,/ X - размер ,-й базы в X (далее размеры баз в целых числах); а - угол прихода волны, отсчитанный относительно перпендикуляра к антенной решетке; ф,=фог- +5,- - разность фаз, измерения

фазометром; фог- - разность фаз, точно соответствующая углу прихода волны; 5,- - ошибка измерения; k, - число полных периодов разности фаз, утраченных при измерениях в силу периодичности сигналов.

Обозначим максимальную базу пеленгатора символом еХ1, а вторую базу вХ1■. По результатам измерения разности фаз ф1 на базе еХ1 и фг- на базе еХ выполняется устранение неоднозначности, состоящее в поисках числа потерянных периодов разности фаз /, утраченных при измерениях на максимальной базе еХ1 (1).

Алгоритм вычисления состоит в следующем. Подставляя последовательно значения /1, определяются ожидаемые величины измеренной разности фаз на базе еХ1■ по формуле

Фп = (ф1 + 2%к1)еХг1 еХ1 - 2%к1 , (2)

где /1 - число полных периодов разности фаз, утраченных при измерениях на базе еХ1; к, - число полных периодов разности фаз, утрачиваемых при измерениях на базе еХ1■.

Величина фп- (2) принимается за математическое ожидание измерений разности фаз для базы еХ■, относительно которой выстраивается разрешенная зона по фазе.

Определим величину разрешённой зоны по фазе Zф! =±0,5А,, (3)

где А, - величина отклонения измеренной разности

фаз с направления неоднозначности относительно измерений с направления истинного пеленга для базы еХ1■ [4]. Неоднозначные направления - это направления, отличные от истинного направления приёма сигнала, для которых значения измеренных фаз на максимальной базе имеют одинаковые значения.

Находится разность измеренной и ожидаемой разностей фаз для базы еХ1■ по формуле

V =ф/ -фп -<ф/ -фп > , (4)

где ф; - результат измерения фазы на базе еХ; фп- - результат вычисления по (2); (•> - операция округления до ближайшего целого.

Условие правильного устранения неоднозначности запишется в виде

М ^ V. (5)

При выполнении условия (5) принимается решение о правильном устранении неоднозначности и определении числа потерянных периодов к при измерении фазы на базе ех1.

Величина у,- является случайной величиной, т.к. она зависит только от ошибок измерения фаз на базах еХ1 и ех,-, которые случайны и распределены по нормальному закону. Плотность вероятности случайной величины у,- (4), имеющей нормальный закон распределения, представляется в виде [5]

(( -т

"(У, )=

1

2 а,

СТф,л/2л

фг

(6)

где аф,- - СКО измерения фазы на базе ех,; т = 0 -

математическое ожидание при оценке вероятности правильного устранения неоднозначности.

Вероятность правильного устранения неоднозначности можно вычислить по формуле

Р0 =| ™(Уг)Уг

(7)

где гф- - разрешенная зона по фазе (3); w(yi) -плотность распределения случайной величины у,-.

Реально величина фп- (2), принятая за математическое ожидание при оценке вероятности правильного устранения неоднозначности по (7), отлична от нуля, т. к. измерения на базе ех1 выполняются с ошибками. Оценка вероятности правильного устранения неоднозначности по (7) при равенстве т = 0 завышена относительно реальной вероятности правильного вычисления пеленга, реализованной в вычислителе.

Влияние ошибок измерения разности фаз максимальной базы ех1 при оценке вероятности правильного устранения неоднозначности по (7) необходимо учесть, изменив значение фазовых ошибки базы ехг . Величина увеличения ошибок измерения фазы базы ехг , позволяющих обеспечить точную оценку вероятности правильного устранения неоднозначности, зависит от величины коэффициента корреляции и размера базы ехг .

Рассмотрим схему четырёхбазового фазового пеленгатора, приведенную на рис. 1, которую представим как набор трёх независимых двухбазовых пеленгаторов с базами ех1 :ех2, ех1 :ехз и ех1 :ех4, объединённых максимальной базой ех1 в схему четырёхбазового пеленгатора. Набор трёх схем двухба-зовых пеленгаторов с коэффициентами корреляции г = -0,5, г = 0,5 и г = 0 позволяет определить влияние коэффициентов корреляции фазовых ошибок при оценке вероятности правильного устранения неоднозначности.

а2 аз а4 а5

71 Т2 Уз Т4 Т5

-ех4"

ех1

Рис. 1. Антенная решетка четырёхбазового пеленгатора: аь а2,..а5 - антенные излучатели; уь у2,..., у5 - фазовые ошибки приёмных каналов

Каждая из дополнительных баз ехг обеспечивает определённую величину отклонения измеренной разности фаз с направления неоднозначности относительно измерений с направления истинного пеленга [4]. Величина отклонения измеренной разности фаз определяет размер разрешенной зоны по фазе для каждой дополнительной базы гф, (3) и при

известных ошибках измерения фазы определяет вероятность правильного устранения неоднозначности.

Рассмотрим случай приёма сигналов с направления а = 0. Измеренные разности фаз определяются ошибками приёмных каналов у,-, которые определяют ошибки измерения фазы при любом направлении приёма сигналов.

Измеренные разности фаз двухбазовых пеленгаторов с базами ех1 :ех2, ех1 :ехз , ех1 :ех4 и соответственно коэффициенты корреляции равны: для пеленгатора с базами ех1 :ех2

ф1 =У5-У2, ф2 =У4-У2, Г = 0,5, (8) для пеленгатора с базами ех1 :ехз

Ф1 =У5 — У2, Ф3 =У2 -У1, г2 =-0,5, (9) для пеленгатора с базами ех1 :ех4

Ф1 =У5 - У2 , Ф4 =У4 -У3 , г3 = (10)

Подставим значения ф1 и ф2 (8) в (4), с учётом (2) получим

ех 2 К ех 2 |

у,- =У4--у 5-11--|У 2.

(11)

ех1 V ех1. Полагаем, что фазовые ошибки приёмных каналов у,- случайные величины с равными дисперсиями

а, . Дисперсия суммы или разности любого числа некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий этих величин [5]. Тогда дисперсия величины у,- (11) будет равна

а2 + Гех2 а,- +1- ]2 а? +Г1- ех2 \2 2 2 2 , ех2 2 . а,- =аi +——а,- +

V ех1 ) V ех1, 2 ех1

2 ех2 а2 - 2-а,- 2 , ех 2 2 +—т-а,- = 2аг2 Г 2 ,2 Л ех1 + ех 2 - ех1ех2

ех1 2 ех1 V е21 )

е

е

2

г

- г

Значение среднеквадратических фазовых ошибок, определяющих точную оценку вероятности правильного устранения неоднозначности дополнительной базой еХ2 по (7), для схемы пеленгатора с базами еХ1: еХ2 можно вычислить по формуле

Ст2р

= ст.л/2

е21+ех2 - еХ1еХ2

е21

(12)

Для пеленгаторов с базами еХ1:еХз и еХ1:еХ4 с учетом (9) и (10) величины стгр будут соответственно равны

Ст3р

еХ1 + еХз + еХ1еХ3

еХ1

Ст4р

= стгл/2

2 2

еХ1+еХ4

еХ21

(13)

(14)

В общем виде формулы (12), (13) и (14) представим в виде

СТгр ^л/^

2 2 еХ1 + еХ - 2r/■ex1ex/■

еХ21

(15)

где г - коэффициент корреляции.

Из (15) следует, что величина фазовой ошибки стгр, определяющей точную оценку вероятности

правильного устранения неоднозначности по (7), зависит от величины подкоренного выражения.

На графиках рис. 2 приведена зависимость изменения Стф (15) от величины коэффициента корреляции и относительного размера базы еХ1. При расчётах принято СТ; =1°.

2,6 2,4 2,2 2 1,8 1,6 1,4 1,2 1

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Рис. 2. Зависимость стгр от величины коэффициента корреляции г и отношения баз е^/е^

Из графиков рис. 2 видно, что величина средне-квадратической фазовой ошибки стгр (15) для дополнительных баз с коэффициентом корреляции ошибок измерения фазы г = 0,5 минимальная, что

Ср , град г - 0 5 —^

"1

г - 0

г-4 г

, ■ > .< ..... а, • г - 0,5

ц. ;—Ж—! ж—

определяет максимальную вероятность правильного устранения неоднозначности.

Для дополнительных баз с коэффициентом корреляции г = 0 и для дополнительных баз с коэффициентом корреляции г = -0,5 величина среднеквад-ратической фазовой ошибки ст^ уменьшается с

уменьшением размера базы.

Распространим условие (5) на пеленгатор с числом баз равным п . Условие правильного устранения неоднозначности п-базового пеленгатора запишется в виде

М < V, (16)

где ■ = 2,3, ..., п .

Величины м (4) можно отнести к независимым величинам. Реально при расчете величин м (4) для 1-й или (■ ±1) -й баз используются одни и те же случайные канальные фазовые ошибки уг- базы еХ1.

Однако, величина м (11) определяется суммой случайных ошибок уг-, которые распределены по нормальному закону с нулевым вектором средних значений. Для совокупности независимых случайных величин у1,у2,...,уп, каждая из которых распределена по нормальному закону с нулевым вектором средних значений, совместное п-мерное распределение имеет нормальный закон распределения с нулевым средним значением.

Отсутствие или наличие корреляции между ошибками измерения фазы ф1 и фг-, разность которых используется при вычислении м (4), не влияет на форму закона распределения величины м . Ошибки измерения фазы ф1 на базе еХ1, заложенные при вычислении фг (2), определяют смещение координаты максимума кривой функции распределения величины м (4) относительно точки, равной

нулю. То есть имеет место случайное отклонение от нуля моды функции плотности распределения величины Мг. Относительно данной точки в вычислителе пеленга выстраивается разрешенная зона по фазе. Поэтому вероятность правильного устранения неоднозначности, вычисленная по (7) при равенстве т = 0 и СКО измерения фазы на базе е^ Стф■, определяет несоответствие расчетного и реального значений вероятности правильного устранения неоднозначности.

Несоответствие вероятностей правильного устранения неоднозначности исключается при замене СКО Стф; на Стф (15). Таким образом, компенсируется отклонение математического ожидания от нуля при оценке вероятности правильного устранения неоднозначности по (7). Последнее позволяет считать, что для совокупности независимых случайных величин у1,у2,...,уп, совместное п-мерное распределение имеет нормальный закон распределения с нулевым средним значением.

и

Условие правильного устранения неоднозначности в «-базовом пеленгаторе описывается совокупностью (п-1) неравенств (16), связанных между собой оператором «И» [3]. Арифметических операций между величинами у,- нет, поэтому нет взаимного влияния.

Таким образом, величины у,- (4) можно считать независимыми, а плотность распределения случайных величин у,- определяется функцией [5]

-1 ( У3— Уп ) = П-

( -тгу ) 2о2,п

г=2° гр

(17)

где п - число баз пеленгатора; у = 0,1,2,...,(к-1) -номер зоны неоднозначности базы гх\ = к ; у = 0 -при оценке вероятности правильного пеленгования;

агр - фазовые ошибки базы

(15);

тгу = ^—J у — | у) - математическое ожидание

для базы ехг в у-й зоне неоднозначности базы ех1; - операция округления до ближайшего целого.

Вероятность правильного устранения неоднозначности или вероятность регистрации любого из ложных пеленгов можно вычислить по формуле

т2 ] + 2ф2 тп] + 2фп

Р] = | ... | ™п-1 (2, ..., Уп))У2...<ЛУп , (18)

т2 ]-2ф2 тп]-гфп

где п - число баз пеленгатора; 2ф?1 - разрешенная зона по фазе г-й базы (3); тгу - математическое ожидание для базы ехг в ]-й зоне неоднозначности базы ех1; ] = 0,1,2,...,(к-1) - номер зоны неоднозначности базы ех1 = к ; wn-l(у2,...,Уп) - плотность распределения вероятностей случайных величин уг (4).

На рис. 3 приведены результаты расчета вероятности правильного устранения неоднозначности от ошибок измерения фазы, выполненные по формуле (18), - Р01, Р02 , Ро з и результаты математического моделирования Рт 1, Рт 2, Рт 3. Расчеты

выполнены для вектора относительных размеров баз 9:6:4 при задании коэффициентов корреляции г = 0,5, г = 0 и г = -0,5;Р01, Р02 , Р03- расчет проведен по формуле (18) при коэффициентах корреляции г = 0,5,г = 0 и г = -0,5; Рт1, Рт2, Ртз-резуль-таты математического моделирования при коэффициентах корреляции г = 0,5, г = 0 и г = -0,5.

Из графиков рис. 3 видно, что вероятности правильного устранения неоднозначности, полученные расчетным путём по формуле (18) и методом математического моделирования, совпадают.

Достоинством метода оценки вероятностных характеристик является то, что он позволяет оценить вероятность правильного устранения неоднозначно-

сти при любом числе баз и положении их в антенной решетке пеленгатора, пользуясь известным классическим методом вычисления вероятностей. Кроме этого метод даёт возможность оценить правильный выбор числа баз антенной решетки, размеров баз и величины разрешенной зоны по фазе (3), проверив выполнение равенства

к-1

Р0 + Х Р] =1, ]=1

где к - размер базы ех1; Р0 - вероятность правильного устранения неоднозначности (18) при равенстве ] = 0 ; Ру - вероятность регистрации у-го пеленга

неоднозначности.

-- Р01, Рт1 (г = 0,5) '^""'""""'Ч^ч.. 4/-'-г

1 ^^ 1 1 1 1 Р02, Рт2 (г = 0)^

Р03, Рт3 г = -0,5). Ч

1 1 1

1 1 1 1 -

1 1 1 1 1 1 > 1

л 1

н

0

1 0,9

& 0,8 га '

0,7 0,6 0,5 0,4

12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45

СКО, град

Рис. 3. Зависимость вероятности правильного устранения неоднозначности от ошибок измерения фазы антенной структуры ех1:ех2:е*3 = 9:6:4

При выборе оптимальной структуры антенной решетки, учитывающей возможность размещения баз в заданном габаритном размере, оптимизация сводится к выбору размеров дополнительных баз.

В таблице приведены результаты оценки вероятности правильного устранения неоднозначности по формуле (18). Расчёты проведены при величине среднеквадратических канальных фазовых ошибок стг = 36°/72.

Результаты оценки вероятности правильного

Вектор относительных баз Коэффициент корреляции Р0 Разрешенная зона по фазе

9, 6, 4 9, 6, 4 9, 6, 4 г = 0,5 г = 0 г = -0,5 0,89 0,728 0,604 V = 60°

9, 6, 8 9, 3, 1 9, 3, 1 9, 3, 1 г = 0,5 г = 0,5 г = 0 г = -0,5 0,867 0,867 0,8 0,738 Zфг = 60°

8, 4, 6, 5 8, 4, 6, 5 9, 4, 6, 5 г = 0,5 г = 0 г = -0,5 0,986 0,899 0,781 V = 90°

00 00 00 , , , , , , г = 0,5 г = 0 г = -0,5 0,983 0,947 0,896 V = 90°

Из таблицы видно следующее.

е

Для антенных структур с опорной антенной или структур со свёрнутыми базами в схеме антенной решетки, коэффициент корреляции которых г = 0,5, оптимальными структурами будут структуры с размерами дополнительных баз, максимально приближенными к уровню 0,5 размера максимальной базы.

Для антенных структур с параллельными базами г = 0 или структур с развёрнутой схемой баз в антенной решетке г = -0,5 оптимальными структурами будут структуры с минимальными размерами дополнительных баз.

Литература

1. Белов В.И. Теория фазовых измерительных систем. - Томск: Изд-во ТУСУРа, 1994. - 102 с.

2. Белов В.И. Оптимизация антенных структур фазовых пеленгаторов по критерию минимума вероятности аномальной ошибки / В.И. Белов, В.П. Денисов // Радиотехника и электроника. - 1990. - Т. 35, № 3. - С. 521.

3. Денисов В.П. Фазовые радиопеленгаторы / В.П. Денисов, Д.В. Дубинин. - Томск: Изд-во ТУСУРа, 2002. - 252 с.

4. Порубов Г.Г. Методика расчёта антенных структур многобазовых фазовых пеленгаторов / Г.Г. Порубов,

9

B.П. Денисов // Доклады ТУСУРа. - 2015. - №3 (37). -

C. 25-32.

5. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. - Кн. 1. - М.: Сов. радио, 1969. - С. 59.

Порубов Геннадий Гаврилович

Инженер ОАО «НИИАП», Новосибирск Тел.: 8 (383-2) 79-52-28 Эл. почта: [email protected]

Porubov G.G.

Method to select the optimal structures for antenna arrays of phase direction finders and assessment of probability characteristics

A method is proposed to select the optimal structures for antenna arrays of multi-base phase direction finders. The method is based on selecting the size of additional bases that ensure elimination of ambiguity in the range of unambiguous measurements on a large base with the maximum probability. Keywords: direction finder, phase difference, ambiguity resolution.