CC BY
62
МЕТОДИКА ВОССТАНОВЛЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕПЛОВОГО ПОТОКА И КОЭФФИЦИЕНТОВ ТЕПЛООТДАЧИ С ПОМОЩЬЮ ДАТЧИКА ГАРДОНА Н.В. Пилипенко, М.Г. Зеленская
Предложена унифицированная методология нестационарной теплометрии на базе одномерных инерционных преобразователей теплового потока, в основе которой лежит параметрическая идентификация искомого параметра. Предлагаемый метод применен для восстановления нестационарного теплового потока и коэффициентов теплоотдачи с помощью датчика Гардона. Получены динамические характеристики датчика.
Для осуществления измерения переменных во времени или постоянных, но в динамическом режиме, основных тепловых параметров различных систем, таких как температура, тепловой поток от источников энергии различной природы, коэффициенты теплоотдачи, в нестационарной теплометрии могут быть применены одномерные инерционные преобразователи теплового потока, когда они работают в неустановившихся тепловых режимах. В этом случае решается нестационарная граничная обратная задача теплопроводности (ОЗТ): определяются (восстанавливаются) различные теплофизические характеристики процесса нестационарного теплообмена между датчиком и средой по непосредственно измеренным температурам или их градиентам в отдельных точках датчика.
В настоящей работе представлена унифицированная методология решения нестационарных ОЗТ, адаптированная к особенностям известных датчиков, в частности, датчика Гардона. В качестве метода решения ОЗТ использован метод параметрической идентификации оцениваемых параметров, в нашем случае - теплового потока ^(г) и коэффициентов теплоотдачи. Метод параметрической идентификации подробно рассмотрен в работах [1, 2], и далее будут изложены основные этапы восстановления нестационарного теплового потока и коэффициентов теплоотдачи с помощью датчика Гардона.
Датчик Гардона является перспективным средством исследования нестационарных процессов в силу своей малой инерционности. Как известно, в отличие от большинства датчиков с поперечным градиентом температуры, в датчике Гардона измеряется продольный градиент. Принцип действия датчика Гардона основан на методе тонкого диска. Метод базируется на решении осесимметричной задачи теплопроводности о распространении температуры по радиусу диска с известными температурами в его центре и на максимальном радиусе. Конструктивная схема датчика Гардона, реализующего метод, представлена на рис. 1.
Датчик Гардона представляет собой тонкий константановый диск 1 радиусом Я и толщиною к, теплоизолированный с тыльной стороны и закрепленный по периметру на массивном медном корпусе 2. Измерению с помощью медь-константановой дифференциальной термопары подлежит перепад температуры At между центром и периферией. По величине At в любой момент времени судят об интенсивности воздействующего на датчик теплового потока q0.
Для описания процесса теплообмена датчика с окружающей средой требуется составить его тепловую и математическую модель, состоящую из моделей теплопереноса и измерений:
= ^Т(т) + Об (т), (1)
ёт
ук = нтк +е, (2)
где Т(т) и и - векторы состояния и управления; Г и G - матрицы обратных связей и управления; У^ и а - векторы измерений и погрешностей в измерениях, соответственно;
Н - матрица измерений. Достоинством такого представления является возможность использования разработанных в общей теории динамических систем методов пространства состояния для анализа динамических характеристик датчика.
Параметрическая идентификация искомых величин сводится к решению прямой и обратной задач теплопроводности.
Для решения задачи проводим построение ДРМ для датчика Гардона (см. рис. 2). Для этого диск разбиваем по радиусу на п блоков (в данном случае 11) с линейным размером I и температурами t1, t2,..., Первый блок имеет радиус I/2 .
<*■( с)
х)
11 1 ъ 2
X \ \ \ / и
■
{ ^—з» Ко -^ Л
К
Рис. 2. Топология датчика Гардона для составления дифференциально-разностной
модели: 1 - диск; 2 - корпус
Для каждого блока составляем уравнение теплового баланса. В уравнениях теплового баланса каждого из блоков учитываем воздействующий на датчик тепловой поток #0(т), а также кондуктивный теплообмен с соседними блоками или корпусом датчика (для граничного 11-го блока).
д о( Т ) 51 = С! ^ ( ^ - / 2)
а т /
(^ - /2) + до(Т)52 = С2 а2 х52-3 (/2 - /з) + до(Т)53 = С3
X ^
X 5
/
3 - 4
X 5
4 - 5
X 5
5 - 6
X 5
6 - 7
/
X 5
7 - 8
/
X 5 8 - 9
(/3 - /4) + д0(Т)54 = С4 (/4 - /5) + д0 (Т)55 = С5
(/5 - /6) + д0 (Т)56 = С6 ( /6 - /7) + д 0 ( Т ) 5 7 = С 7
(/7 - /8) + д0 (Т)58 = С{
(¿8 - /9) + д0 (Т)59 = С9 , / аТ
аТ + / (
а/ 3 + X 5 3 - 4
аТ / 1
а/ 4 - + X 5 4. -5
аТ /
а/ 5 • + X 5 5. 6
аТ /
а/ 6 • + X 5 6- 7
аТ /
а/ 7 X 5 7 -8
аТ /
а/ 8 + X 5 7. 8
аТ / 1
а/ 9 + X 5 8 - 9
( /2 - /3)
( / 3 - / 4)
( / 4 - / 5 )
( / 5 - / 6)
( / 6 - / 7 ) ( / 7 - / 8)
( / 7 - / 8) ( / 8 - / 9)
X 5
9 -10
/
(¿9 - ¿10 ) + д 0 ( Т ) 510 = С
Ж
10
10
X 5
10 -11 ■(¿10 - /11) + д0(Т)511 = С11
аТ а/11
+
X 5
9 -10
/
(/ 9 - /10 )
+ /11 - t о + -° 11 -
(3)
/ Жт Л
где -п - площадь на границе между соседними блоками; £и_ - площадь между граничным 11-ым блоком и корпусом датчика; ^ - площадь сечения блока; X - теплопроводность материала диска; С, = cphSi - полная теплоемкость блока; с - удельная теплоемкость материала диска; р - плотность материала диска.
- ^ч а/
Выражаем из системы уравнении (3) — :
Жт
/
/
л
ё т Л 2 ё т л 3
ли
4
ё т
Л 5
ё т
л 6 ё т ёt 7
ёт ёt 8 ёт
ёt 9
ёт
ё 10 ёт ёt
4 а
+
4 а
а
2/2 3 а
-
ё т 4 /'
5 а
6/2
7 а
8 / 2
9 а
10 / 2
11 а
12 / 2 13 а
14/2
15 а 16/2
17 а
11
ёт
18 /'
76 а
39 /2
2а
^ 2 +
^ 2 -
^ 3 -
^ 4 -
2а /2
2а /2
2а /2
^ 3 +
+ Ч о (т) с р л
3а 1
—г13 + =-г Ч 0( т) 2 / с р Л
5а 1
14 + ^^ Ч 0 ( т )
4/
2
^ 4 +
7а
^ 5 +
6/2 9а
^ 5 +
8/
^ 6 +
с р Л 1
С р Л 1
с р Л
Ч 0 (т) Ч 0 (т)
-
2а
-
■Ь -
-
/ 2а /2
2а /2
2а /2
^ 6 +
^ 7 +
11 а
10/2 13 а
^ 7 +
1
Ч 0 (т)
^ +
12 / 15 а
2
2
^ 9 +
14 / 17 а
16 /
2
^ 9 -
2а
t10 +
19 а
2
с р Л
^ + Ч 0 (т) с р Л
г19 + Ч 0 ( т ) с р Л
^0 + Ч 0 (т) с р Л
^11 + Ч 0 (т) с р Л
t10 -
76 Я
18 / X + 80 /
39 Я
2
ср/
^11 + Ч 0 (т) + с р Л
80 t
39 Я
р/
(4)
где а =
ср
температуропроводность материала диска.
Таким образом, получаем математическую модель теплопереноса, которая в вектор-но-матричной форме для датчика Гардона имеет вид:
1
t
2
2
2
/
2
2
/
dT_
4a 4a 0 0 0 0 0
-l2 l2
a 2a Зa 0 0 0 0
2T -l2 2T
0 Зa 2a Sa 0 0 0
4l2 -12 4l2
0 0 Sa 2a ia 0 0
H2 -12 H2
0 0 0 ia 2a Qa 0
8l2 -12 812
0 0 0 0 Qa 2a 11a
1012 -12 1012
0 0 0 0 0 11a 2a
1212 -12
Ua
0 0 0 0 0 0
1412
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 o
1Зо
l2l2
2a
-l2 lSa
16/ 2
0
0
0 0 0 0 0 0 0
lSa
l4l
2
2a
-l2 lia
l8l2
0
0 0 o o o o o o
lia
16/
2
2a
i6a
З91 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0
19a
2
l8l
i6R А + 80l
39R
c pl2
rl
r tl ' -ph
12 l
t З -ph
14 l
t S -ph
l
16 +
-ph
11 l
t8 -ph
tQ l
tl0 -ph
l tll У l
ph l
ph l
ph l
ph l
0 0 0 0
0
0
0 80
-ph 3QR -pl
t (т) y
(S)
0
0
X
X
0
2
8S
ДРМ в виде (5) описывает процесс нестационарного теплопереноса в датчике Гардона. При этом измерению подлежит перепад температуры между центром диска и одиннадцатым блоком Aij_jj. Эта информация, а также сведения о характере и величинах погрешностей в измерениях отражаются в математической модели измерений датчика (2).
В нашем случае матрица измерений H имеет вид:
H = (1 000000000 _ 1). (6)
Реализация решения прямой и обратной задач теплопроводности осуществляется в компьютерной программе Heat Stream.
Результатом решения прямой задачи теплопроводности является матрица показаний тепломера T (т), которая при решении ОЗТ входит в исходные данные программы. Решение ОЗТ осуществляется методом параметрической идентификации. Конечным результатом выполнения программы при решении ОЗТ являются вектор значений восстанавливаемого параметра.
Для анализа процессов нестационарного теплопереноса в датчике Гардона были получены и исследованы все его динамические характеристики, а именно: переходная, импульс-но-переходная, частотные характеристики, которые позволяют судить о реакции датчика на различные входные воздействия. Получение динамических характеристик датчика основывается на использовании разработанных в общей теории динамических систем методов пространства состояний применительно к линейным системам, для чего необходимо представить полную математическую модель датчика в области пространства состояний. Непосредственно численно-алгоритмический путь получения динамических характеристик программно реализован в программном комплексе MatLab. На рис. 3—5 приведены некоторые результаты исследования состояния датчика Гардона под воздействием нестационарных тепловых потоков q(r).
Переходная характеристика датчика Гардона представлена на рис. 3. Рис. 3. Переходная характеристика датчика Гардона.
Переходная характеристика описывает реакцию датчика на ступенчатое воздействие. Из рис. 3 видно, что датчик Гардона быстро реагирует на поток постоянной величины. Переходный процесс длится приблизительно 3,5 с. Таким образом, по переходной характеристике мы можем судить о длительности переходного процесса датчика при резком изменении воздействия.
Импульсно-переходная характеристика датчика Гардона представлена на рис. 4. Рис. 4. Импульсно-переходная характеристика датчика Гардона.
Импульсно-переходная характеристика описывает реакцию датчика на импульсное воздействие. Из рис. 4 видно, что после него для возвращения в исходное состояние датчику Гардона требуется менее 3,5 с.
С помощью импульсной переходной матрицы можно получить выражения для нахождения амплитудно-частотных и фазочастотных характеристик датчиков. Логарифмические амплитудно- и фазочастотная характеристики датчика Гардона представлены на рис. 5.
Рис. 5. Логарифмические амплитудно- и фазочастотная характеристики датчика Гардона.
Логарифмические амплидудно- и фазочастотные характеристики показывают реакцию датчика на сигнал гармонической частоты. Из рис. 5 видно, что при частоте 1 рад/с (0.16 Гц) выходной сигнал сдвигается по фазе относительно входного на 40. Входной сигнал ослабляется на 63,5 дБ (в 63,5 раза). При частоте выше 1 рад/с наблюдается резкое возрастание ослабления сигнала.
В ходе исследований был успешно использован метод параметрической идентификации искомого параметра. По результатам исследований был сделан вывод о применимости предложенной унифицированной методологии нестационарной теплометрии для восстановления
нестационарного теплового потока и коэффициентов теплоотдачи с помощью датчика Гардона, а также для получения его динамических характеристик еще на стадии проектирования.
Литература
1. Пилипенко Н.В. Методы параметрической идентификации в нестационарной тепломет-рии (ч. 1). Изв. вузов. Приборостроение. — 2003. — №8. — С. 50—54.
2. Пилипенко Н.В. Методы параметрической идентификации в нестационарной тепломет-рии (ч. 2). Изв. вузов. Приборостроение. — 2003. — №10. — С. 67—71.
