Методика расчета ветроэнергетической установки на основе использования вихревой теории Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.438

МЕТОДИКА РАСЧЕТА ВЕТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКОМ УСТАНОВКИ НА ОСНОВЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ВИХРЕВОЙ ТЕОРИИ

© 2008 г. Н.Н. Ефимов, Н.Л. Матвеев, Г.К. Епифанов

Процессы энергообмена между лопастями ветряного колеса (в дальнейшем репеллер) и воздушного винта весьма близки с тем отличием, что репеллер преобразует энергию набегающего потока в механическую, а в воздушном винте подведенная к валу механическая энергия передается набегающему потоку, увеличивая его кинетическую энергию. Теория рассматривает эти процессы как две разновидности одного явления.

Основным допущением теории идеального винта является то, что приращения скорости потока в плоскости винта и за винтом относятся как 1:2, т.е. осевая скорость потока в плоскости винта в два раза меньше добавочной осевой скорости за винтом. Такое же соотношение соответственно принято для угловых скоростей потока. Аэродинамический расчет репеллера по классической теории базируется на таком же допущении.

Предполагается, что в работе принимает участие только поток воздуха, проходящий через ометаемую площадь, разрыва струй нет, и существует некоторый обмен энергиями между частями внешнего потока и струями проходящими через репеллер. Расчет по Сабинину [1] основан на теории идеального репеллера, с которого сходит вихревой соленоид. Заштрихованная зона на рис. 1 - это часть потока, принимающая участие в рабочем процессе в виде присоединенной массы, попадающей справа внутрь вихревого соленоида.

1

0

2

V - U2

1

2

Рис. 1. Схема потока вокруг репеллера: - по Сабинину [1];--по классической теории

Основные кинематические соотношения в этом процессе следующие.

Ометаемая площадь - среднеарифметическое из площадей струй в достаточном удалении в обе стороны от репеллера: F1 = 0,5 (F0 + F2).

Торможение потока в плоскости репеллера и1 зависит от режима работы и в частном случае равно

половине полного торможения Аи = и2, причем и 2 = Уо - V2 = 2«1/(1 + и 1/Го ) = 2и 1/(1 + е) .

Величина е = и 1 /У0 , которая будет использована

в предлагаемом расчете, называется относительным торможением.

Принятые обозначения: а - угол атаки, град; Ь -ширина лопасти, м; в - угол между плоскостью вращения репеллера и относительной скоростью, град; В - нагрузка на ометаемую площадь, равная

т!(%R 2рУ02 /2); Т - осевая нагрузка на репеллер; Г -циркуляция скорости, м2/с; Су - коэффициент подъемной силы, равный у/(£ рУ02/2); У - подъемная сила

крыла (лопасти), Н; £ - площадь лопасти, м2; Сх -коэффициент профильного сопротивления крыла,

равный Ху/(£ рУ02/2); р - плотность воздуха, кг/м3; М

= Сх1Су - коэффициент обратного аэродинамического качества крыла; D - диаметр ветряка, м; R -внешний радиус репеллера, м; £ - нерабочая часть лопасти, равная г^ ; к - число лопастей; Р, Р„ Р, Рт -рабочая мощность, мощности идеального ветродвигателя, потерянная на индуктивное сопротивление и на кручение струи, Вт; и1, и2 - окружная скорость вращения струи в плоскости репеллера и за репеллером, м/с; и1, и2 - приращение скорости потока в плоскости репеллера и далеко за репеллером, м/с; У0 - скорость потока далеко перед репеллером, м/с; w - относительная скорость потока, м/с; г = wR|У0 - число модулей

на конце лопасти; г = w>R|У - число модулей на радиусе г; 2и =(w2 + и 1 )/(У0 -и 1) - число относительных модулей; ^ - коэффициент использования энергии ветра идеального ветряка; £ - коэффициент использования энергии ветра; ^ - угловая скорость вращения репеллера, 1/с.

Под словом «репеллер» мы подразумеваем какой-то аппарат, конструкция которого не предопределяется, но который обладает свойством пропускать воздух через свой диск, называемый плоскостью репеллера, и воспринимать часть его кинетической энергии. На рис. 2 приведена диаграмма скоростей лопастного репеллера. Идеальным репеллером мы будем называть репеллер, действующий в идеальной жидкости, сквозь диск которого в осевом направлении проходит воздух с одинаковой скоростью по всей площади диска.

0

Vo - U

0

вызванная окружная скорость; вызванная осевая скорость;

Рис. 2. Диаграмма скоростей по Сабинину [1]

Аэродинамический расчет ветроэнергетической установки (ВЭУ) предлагается на базе вихревой теории воздушного винта, но с внесением принципиального отличия, которое характерно для рабочего процесса ВЭУ. В основу вихревой теории винта Н.Е. Жуковским положено следующее: действие винта в данном пространстве заменяется аналогичным действием на поток вихревой системы, состоящей из системы вихрей. В качестве основного параметра данной теории принята циркуляция скорости (Г). Циркуляцией можно назвать неравномерность скоростей вокруг аэродинамического профиля крыла, лопасти и не только скорости. В соответствии с теоремой Н.Е. Жуковского на профиль действует аэродинамическая сила R = р^Г. Для того чтобы при плавном обтекании крыла на нем возникла результирующая сила воздействия потока, необходима несимметрия в распределении местных скоростей, нормальных давлений. Математическое выражение циркуляции Г = <£0^5. Построение вихревой теории винта

Н.Е. Жуковского заключается в том, что находится связь между: 1) циркуляцией и вызванными винтом скоростями; 2) циркуляцией и конструктивными параметрами лопасти (уравнение связи); 3) циркуляцией и мощностью. На основании проведенных исследований первые два пункта полностью используются в

У

расчете ВЭУ. Третий пункт не является столь однозначным для ВЭУ, поскольку мощность зависит не только от циркуляции, но и от скорости в плоскости репеллера, которая и определяет величину циркуляции.

Для упрощения формул вихревой теории В.П. Ветчинкиным были введены отвлеченные обозначения. Эти обозначения значительно упрощают вычислительную работу. Отвлеченные обозначения (относительные величины) следующие: г = г^ -

радиус; V = V/ ) = 1/ Z - скорость потока;

й = Ог/ (QR ) = г - окружная скорость лопасти; й= и/ (Ж) - I й = о/(П R ) -

Ь = кЬ/( 4 nR )= кЬ/ (2 nD ) - ширина лопасти; Г = кГ/(4%ОЯ 2 ) - циркуляция; Т = Ту/(2прП 2R 2 ) -

тяга; М = Му/(2лрО 2R 5 ) - крутящий момент;

Р = р(2прП3D5 ) - мощность.

Поскольку, по вихревой теории, циркуляция является основным параметром в аэродинамическом расчете крыла, то прежде всего необходимо выбрать наивыгоднейшее или близкое к нему распределение циркуляции по радиусу. На практике часто пользуются распределением циркуляции по закону эллипса. Подбор циркуляции упрощается и цель достигается скорее, если будет найдена средняя циркуляция Г ср

по лопасти и затем распределена вдоль лопасти по установленному закону. Практика показывает, что мощность репеллера с постоянной вдоль лопасти циркуляцией очень близка к мощности винта с переменной вдоль лопасти циркуляцией (рис. 3). Однако и среднюю циркуляцию приходится находить путем проб. Связь между циркуляцией и скоростью потока V1 в плоскости репеллера определяется с использованием уравнения Бернулли применительно к одной кольцевой струйке при условии установившегося движения:

W

P

- F н— = const. 2 Р

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

Рис. 3. Тип распределения циркуляции 71

r Y/YcV

0,2 0,622

0,4 1,155

0,6 1,244

0,75 1,125

0,9 0,77

2

Г

К частице жидкости, движущейся по криволинейной траектории с радиусом г, приложена центробежная сила ти2/г = т О2г2/г, а к единице массы О2г -удельная силовая функция F = 0 2г 2/2 . Силой тяжести вследствие ее малости для воздуха можно пренебречь.

Уравнение Бернулли для двух сечений до и после репеллера примет вид

Po + Y^L + Mo ^2 го2 = + ^ + м 2

м 2 Q2 r2

Р

2 2

2

Р

22

2

(1)

где Р0, V0, и0, Р2, V2, и2 - давление, осевая и окружная скорости перед и за репеллером соответственно.

Преобразуем уравнение (1), подставив V2 = V0 -и2,

и 2 = и0 + ^2г и примем, что в частном случае г = г0 = г2.

Получим

„2 ^->0} + ,,,2 (О + ^] = ^ (2)

Так как струя за репеллером вращается, то на нее действуют центробежные силы и поэтому атмосферное давление Р0 ф Р2. Разность давлений между внешним давлением и давлением в струе уравновешивается центробежной силой со скоростью

Po P? Г 2 1 --2 = I w 2 rar

Р Р r

(3)

Уравнение (2) с учетом формулы (3) тогда преобразуется в

>2 [-у _ Yo l + w 2Г 2 |П + w22|=| W22rdr . (4)

Связь между циркуляцией и скоростью ,2 устанавливается теоремой Стокса, которая гласит: «Циркуляция по некоторому контуру равна удвоенному произведению величины вихря (,) на удвоенную площадь (/), охватываемую контуром». Если циркуляция одной лопасти Г, то циркуляция, охватывающая вихревой столб, равна сумме циркуляций всех лопастей кГ = 2м>/ = 2пиг .

С другой стороны, эта же циркуляция равна окружной скорости, помноженной на длину контура, т.е. на длину окружности. Отсюда

кГ кГ Мт = wr =- или w 2 =

2яг 2 2яг2

(5)

Вызванная окружная скорость далеко за репеллером согласно уравнению в отвлеченных обозначениях будет равна

й = кГ = 2Г 2 2n0rR г

Окружная скорость в плоскости репеллера, из вихревой теории, вдвое меньше вызванной окружной

_ Г

скорости далеко за репеллером и 1 = — .

г

Вставим в уравнение (4) полученное значение угловой скорости ,2 (5)

2

кГ_

2я

кГ

о,|^_к | + ^|Q + ^| = J|^| (6)

4яг2

R кГ Л 2 dr

и перейдем к отвлеченным обозначениям, для чего разделим уравнение (6) на О2R2 и сделаем соответствующие преобразования:

О2 _ Yo| + 2 Г11+£| = 4| Г2 £

• dr

приняв Г = const, после соответствующих преобразований получим

(7)

-2-_Yo | + 2Г(1 + Г) = 0.

Поскольку уравнение (7) получено для частного случая г0 = г2, е = 0, то необходимо найти решение в общем случае, когда г0 Ф г2 и е Ф 0.

Из уравнения неразрывности выразим площади сечений рабочей струи перед и за репеллером через величину ометаемой площади

FoVo = Fl(V0 -„,) = F2(V0 -и2).

Откуда, учитывая, что F1 = (F0 + F2)/2, получим

F0 = 1-й! = 1-,, ^ = 1 + ^1 = 1 + в ,

F

Уп

Fo 1 _ е

F 1 + е

F

r = r

Y

1 _ е 1 + е

Таким образом, мы определили соотношение площадей сечений потока перед репеллером, в плоскости репеллера и далеко за ним. Установили также, что радиусы г0 Ф г2, и зависят от параметра е. Ранее принято й 2 = 2й11 (1 + е). После преобразований уравнения (7) получим

О 2

2 _УоО1 (1 + е) + Г(1 + Г)(1 + е)2 = 0. (8)

Заменим и 1 = ^ - V1 и подставим в уравнение (8). В окончательном виде имеем уравнения, связывающие скорость V1 в плоскости репеллера с циркуляцией и параметром относительного торможения е

-У<У\ I1 - е) - V^e + (1 + е) 2 Г (1 + Г) = 0 ,

откуда

У1 = yo(1 _ е).

Уо (1_е)'

+ Уо2е_(1 + е)2 Г(1 + Г)

при е = o: У, = + . Р 1 2 ]1

- \ 2

^ I _ Г (1 + Г)

2

2

2

+

2

У винта при этих условиях

Коэффициент использования энергии ветра иде-

Ъ +

|12+Г.

(10)

Сравнение (9) и (10) показывает, что влияние Г на скорость в плоскости вращения У1 оказывает противоположное влияние у репеллера и винта.

Увеличение циркуляции уменьшает скорость У1 у репеллера и увеличивает ее у винта и наоборот. Этот фактор имеет большое значение при определении среднего значения циркуляции вдоль лопасти.

Средняя циркуляция по лопасти может быть получена из уравнения мощности в относительных значениях [2]

Р

Г =

V (l2)±23 ц(1 -

(1 3)"

(11)

ального репеллера

С г = 4e

1 - e 1 + e

Коэффициент нагрузки на ометаемую площадь

л = - r 4e

где знак «+» - для винта, «-» - для репеллера.

Расчет циркуляции для винта находится экспериментально.

Задавшись какой-либо величиной циркуляции, распределенной вдоль радиуса по выбранному нами закону, подсчитывают по (11) мощность такого винта и сравнивают с мощностью мотора. Если мощность винта получается больше мощности мотора, то циркуляцию необходимо уменьшить, и наоборот, и снова подсчитать мощность винта при новом измененном значении циркуляции; это приходится проделывать до тех пор, пока не получится совпадение мощности винта и мощности мотора. Практически это делается следующим образом: задаваясь некоторым значением циркуляции, подставляем в формулу (10), а полученное значение скорости У в уравнение (11) для винта, после чего идет сравнение по мощности.

Для подсчета циркуляции у репеллера воспользуемся связями, приведенными в работе Сабинина [1] между параметрами е, С г, У1, В, л а .

0,5 рУ02 F1 1 + е

Скорость в плоскости репеллера У1 = У0 (1 - е).

Осевой КПД репеллера л а = У1/У0 = (1 - е).

В основу расчета положены экспериментальные характеристики четырехлопастного репеллера: диаметром D = 0,36 м, при скорости ветра У0 = 14 м/с, £ = = 0,14 и расчетном модуле Z = 3,0; ^ = 0,035 - принято среднее для всей лопасти. Предварительные результаты расчета приведены в табл. 1.

Анализ расчета (табл. 1) показывает, что подбором величины циркуляции невозможно обеспечить заданную мощность без нарушения заданных расчетных параметров: относительного торможения е, относительной скорости У1 и осевого КПД репеллера л а . Ни в одном случае не получено равенство заданных параметров и расчетных, т.е. У1зад Ф У1расч,

Л а зад ФЛ а расч и соответственно е зад Ф е расч . Та*,

например, в первых двух столбцах таблицы расчетные значения скорости У1 имеют под корнем отрицательные значения. В третьем столбце получено положительное значение скорости У1расч = 0,22, вместо заданного У1 = 0,266 при Г ср = 0,0217. Отсюда следует вывод, что подбор циркуляции нужно производить не по заданной мощности, а по заданной скорости У1, при этом равенство заданных и расчетных параметров полностью обеспечивается.

Таблица 1

е 0,4 0,3 0,2

Л а = 1 - е 0,6 0,7 0,8

V зад = Ус (1 -е) = 0,333(1 -е) 0,2 0,233 0,266

Энергия ветра 0,5рУ03 F1 = 0,171 кВт - 17,44 -

С г = 4е (1 - е )/(1 + е ) 0,685 0,646 0,553

Рг = 0,5С грУ02 F1 , н 11,95 11,26 9,64

Рг = Р^ (2лрО 3R5) = Р/1884,35 0,00634 0,00597 0,00511

гСр = рг/(Угр(1 ч2)-23 ^3)) 0,0373 0,0295 0,0217

У1 расч по формуле (9) ^-0,0214 V-0,0045 0,22

Например, заданы: ¥0 = 14 м/с, У0 = 0,333, е = 0,2, = 0,266, "л зад = 0,8. Тогда циркуляция, обеспечивающая заданные характеристики, является не 0,0217 из расчета по формуле (11), а Гср = 0,0153 :

r7 Vо (l" «)

V

Vо (1 - е )

-V02e-(1 + е)2 Г(1 + Г) =

0,333 • 0,8 2

+ V0,13322 + 0,0221-1,44• 0,01534,0153 ;

¡0,266, ц а = 0,8.

Теперь проведем детальный расчет, основой которого является найденная средняя циркуляция вдоль лопасти репеллера при е = 0,2, Z = 3,0, Fср = 0,0152,

¥0 = 0,333, цср = 0,035 . При расчете в случае необходимости можно пользоваться характеристиками крыла бесконечного размаха, которые приведены на рис. 4.

Результаты расчета приведены в табл. 2.

Графики зависимости: Ь = f (г), ф0 = f (г) приведены соответственно на рис. 5. Расчетное распределение циркуляции вдоль радиуса репеллера - на рис. 6.

Таблица 2

2

2

2

№ N 0,2 0,4 0,6 0,75 0,9

1 y 21 39 42 38 26

2 y y ср 0,622 1,155 1,224 1,125 0,77

3 Г = Г ср У ¡У ср 0,0095 0,0176 0,0187 0,0172 0,11178

4 V по формуле (9) 0,295 0,252 0,245 0,254 0,284

5 u j = r/r 0,0475 0,0440 0,0311 0,023 0,013

6 u j = r + u j 0,2475 0,444 0,631 0,773 0,913

7 tg P = Vj¡ Uj 1,191 0,567 0,388 0,328 0,311

8 P 0 50 29,5 21,2 18,2 17,27

9 sin P 0,766 0,492 0,361 0,312 0,296

10 W = ^/sin P 0,385 0,512 0,687 0,814 0,959

11 ц u j = 0,035UJ 0,00866 0,0155 0,022 0,027 0,032

12 Vj - ц u j 0,286 0,236 0,223 0,227 0,252

13 CN = л 4гГ (Vj -ц u ) 0,052 0,161 0,243 0,284 0,26

14 Cyb = 2 Г/Wj 0,0493 0,0687 0,0551 0,0422 0,0245

15 Cyb = Y(knDCyb) 0,0278 0,0388 0,0311 0,0238 0,0138

16 b, м 0,065 0,072 0,068 0,06 0,04

17 Cy по графику рис. 4 0,427 0,538 0,47 0,396 0,345

18 а0 по графику рис. 4, 8, 9 3,5 7,5 4,0 ~2 ~1,2

19 Ф 0 =р0-а0 46,5 22 17,2 16,2 16

Су 0,5

0,4 /

0,3 /

V

Л 0 ,2

0,1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0,10

0,08

0,06

0,04

0,02

-4

12

№ х .Уверхний унижний

0 5,7 - 5,7

1 11,5 - 7,0

2 23,0 - 0,2

3 13,8 0,0

4 14,0 - 0,2

5 13,8 - 1,2

6 13,0 - 2,0

7 12,0 - 3,0

8 10,5 - 3,4

9 8,5 - 4,3

10 5,5 - 5,5

% от хорды

b, м 0,08

0,06

0,04 0,02

ф,град

40 с b

20 Ч Ф° \

—

Рис. 4. Характеристика профиля репеллера

Г 0,02

0,01

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

0

Рис. 5. График зависимостей Ь = /(г ) и ф0 =/(г )

На рис. 7 из табл. 2 изображена зависимость коэффициента мощности от радиуса Сы = / (г). Спла-ниметрировав площадь кривой Ск по г и умножив ее на произведение масштабов по оси абсцисс и по оси ординат, получим коэффициент мощности репеллера См = 0,18

Р = Сыр(п^)3 D5 = 0,18• 0,125-13,3753 • 0,362 и

и 7,0 ккал/с = 0,0686 кВт.

Коэффициент использования энергии ветра С = 2PF| рУ3 = 0,4.

Для того чтобы запроектированный репеллер имел на каждом радиусе установленную выше циркуляцию и полученную мощность, необходимо при подборе сечения удовлетворять уравнению связи потока с лопастью: 2Г = С уЬШ . Из этого уравнения мы имеем

С Уе = 2 Г^ . Таким образом, можно получить значение строки 14 (табл. 2).

г

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Рис. 6. Расчетное распределение циркуляции вдоль радиуса репеллера

Си

0,3

0,2

0,1

0,2

0,4

0,6

0,8

r 1,0

Рис. 7. Диаграмма коэффициента мощности репеллера по радиусу

Пользуясь характеристиками каких-либо винтовых профилей, т.е. кривыми коэффициентов подъемной силы Су по углам атаки а0, в нашем случае рис. 4, 8, 9, можно подобрать профиль, ширину (Ь), толщину и угол атаки (а) сечения на каждом радиусе лопасти репеллера такими, что при этих значениях произведение СуЬ получаются равными вышеуста-новленным (строка 14, табл. 2).

X

о

4

0

8

а

r

0

0

Таким путем можно рассчитать репеллер, удовлетворяющий заданным аэродинамическим условиям, развивающий рассчитанную мощность.

С,,

1,0

0,5

-5

15 ао

Рис. 8. Коэффициент подъемной силы семейства винтовых дужек бесконечного размаха

В дальнейшем подбор сечения репеллера необходимо связывать с расчетом прочности конструкции.

В заключение хотелось бы напомнить, что в 30-е гг. прошлого столетия в Новочеркасском политехническом институте был создан 18-лопастной ветродвигатель диаметром 0,3 м и коэффициентом использования энергии равным 0,35.

1/ц

60

40 20

0,102

--„0,21 ""^^0,132

0,132 W ^0,102 0,071 .0,086V 0,076

с = 02$th У 0,086 0,076 0,071 __-— 0,069 0,069

-4

0

4

8

12

Рис. 9. Качество семейства винтовых дужек для бесконечного размаха

Литература

1. Сабинин Г.Х. Теория и аэродинамический расчет ветряных двигателей / ЦАГИ. М., 1931.

2. Александров В.Л. Воздушные винты. М., 1951.

Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)

13 марта 2008 г.

о

0

а

0