CC BY
39
Методика расчета распределения нагрузки между витками резьбового соединения Сабанчиев Х. Х. , Гапова М. А.
1Сабанчиев Хусейн Хажисмелович /Sabanchiyev Khusein Khajismeloth - доктор технических наук, профессор;
2Гапова Марина Анатольевна / Gapova Marina Anatoleth - учебный мастер, кафедра машиноведения,
Кабардино-Балкарский государственный университет, г. Нальчик
Аннотация: разработан метод расчета распределения нагрузки между витками винта и гайки, позволяющий выявить характер влияния различных факторов на резьбовое соединение для случая, когда разность шагов винта и гайки постоянны.
Ключевые слова: резьба, гайка, винт, стержень, шаг резьбы, соединение, распределение нагрузки, зазор.
УДК 621.852.44
Критериями работоспособности и расчета для резьбовых соединений является прочность, связанная с фактическим распределением нагрузки между витками, существенно зависящие от технологических и конструктивных отклонений размеров, и их упругие деформации. Примером оптимизации конструкции резьбовой пары по условию равнопрочности резьбы и стержня винта является определение распределения нагрузки по виткам резьбы. Однако существующие методы [1, с. 514], [2, с. 13] не позволяют найти действительное число нагруженных витков в резьбовом соединении. Поэтому для поиска путей направленного влияния с помощью различных конструктивных мер на выравнивание распределения нагрузки между витками с целью повышения долговечности соединения необходимо разработать общую методику расчета нагрузки между витками для любого варианта расположения случайных отклонений от номинального шага гайки и стержня соединения.
Ниже приводится методика решения задачи о распределении нагрузки между витками стержня и гайки.
На рис. 1а, б для составления уравнений совместности деформаций резьбового соединения представлены в развернутом виде схема ненагруженного соединения с выбранным зазором между одной парой витков винта и гайки и схема перемещений витков винта и гайки, и схема перемещений витков, происходящих при нагружении соединения. За начало отсчета всех упругих перемещений витков и элементов стержня винта при нагружении соединения примем пару витков, в которой, в первую очередь, выбирается зазор при ненатянутом стержне. Эту пару витков, которая может располагаться в любом месте длины соединения (что зависит от комбинации отклонений шагов), будем называть базовой, и все уравнения совместности деформаций составляем, отсчитывая перемещения по отношению к этой паре.
Если соединение нагрузить таким образом, чтобы базовый (контактирующий при ненагруженном винте в | данном его положении в соединении) виток винта переместится относительно его стержня на величину 8К, то уравнения совместности деформации соответственно витка а и базового витка к, и витка а и а+1, и также базового витка к, если витки а и а+1 расположены от базового винта ближе к опорному торцу гайки (рис. 1 а, б), имеют вид:
sa = sK-sa + ra- Vb (1)
5а+ 1 = 5K-Sa + !+££ 1f, (2)
| где £K _ 1f и £K+ 1 f - удлинения стержня винта, определяемые как суммы перемещений его шагов на
участках, соответственно, от а или а+1 до витка к;
S a и Sa+ ]_- зазоры в парах витков а и а+1 винта и гайки при не натянутом стержне винта, обусловленные погрешностями изготовления и монтажа соединения; S a и 5а+ ^ упругие перемещения витков винта а и а+1 относительно стержня винта.
Рис 1. Схема перемещений витков в резьбовом соединении относительно базовой пары: а - схема ненагруженного соединения с выбранным зазором между одной парой витков винта и гайки; б - схема перемещений витков винта и гайки при нагружении соединения
Исключая 5к из (1) и (2), получаем уравнение совместности деформаций для соседних витков резьбового соединения
5а - 5а+ 1 = /а - (л>а - ^>а+ l) (3)
| где /, = К— 1/ - X—1 / - растяжение i-го шага стержня винта, обусловленное действующей на этом шаге силой натяжения.
Следует отметить, что «базовый» виток, определяемый комбинацией случайных погрешностей шагов винта и гайки, периодически сменяется, и в общем случае может быть расположен в любой точке резьбового соединения.
Для составления уравнения совместности деформации на не соседних витках а и а+в, расположенных от базового витка стержня ближе к входу в контакт, записав по аналогии с (2) для витков а+в и к равенство
ZR —1
ft
а+в
с учетом (1), получаем
^а - 5а+в = Ка+(в—1) ft - (Sa - Sa+B), (4)
где Ка+(в—1) ft = E—1 ft -Кк—1ft.
В частном случае, когда при данном осевом усилии витки гайки, расположенные между витками а и а+в, не участвуют в зацеплении, т. е. 5а+1 = 5а+2 = ••• = 5а+(в—1) = 0, то натяжение всего стержня винта между рассматриваемыми витками одинаково, т. е. Ра = Ра+1 = Ра+2 = ••• = Ра+(в—1),
поскольку на промежуточные витки участка винта силы не действуют. Тогда в уравнении (4) сумма удлинений шагов
I K+^Vt^-fa. (5)
Аналогично для витков с и c+d винта, расположенных дальше, чем базовая пара от входа в контакт с гайкой, получаем уравнение совместности деформаций (рис. 1 а, б)
5С - 5c+d = £+(d—1) ft - (Sc - Sc+d), (6)
где £c+(d 1) ft = d - f - сумма удлинений шагов определяется по аналогии с формулой (5). Предварительный расчет числа работающих пар витков выполняем в предположении недеформируемости стержня. При определении числа работающих витков и их расположения на длине соединения с гайкой при заданном осевом усилии необходимо исходить из картины распределения зазоров между витками в различных парах при ненатянутом стержне и выбранном зазоре в базовой паре. При недеформированном стержне перемещения относительно стержня ' каждого участвующего в порядке нагрузки витка резьбы стержня отличаются от перемещения его базового I витка 6К на величину зазора, имеющего место между этим витком и витком гайки при ненатянутом стержне и выбранном зазоре и | базовой паре. Обозначим эти зазоры индексами из римских цифр: S;, S„, SH/, ... и т. д. с возрастанием цифры индекса по мере возрастания зазора. При этом необходимо иметь в виду, что нумерация зазоров в общем случае никак не связана с последовательной нумерацией расположения витков от начала соединения с гайкой.
Тогда уравнение для предварительного выбора числа нагруженных витков стержня можно записать в виде:
5к + (^к - S/) + (5к - S//) + (5К - S//7) +-----+ (5К - S„—1) = F - Я,
(7)
Или, группируя слагаемые
nSk-ri~1Si = FAB, (8)
где 5к- перемещение базового витка;
n - число нагруженных витков стержня, включая базовый;
Яв - коэффициент податливости витка стержня.
Используя закон изменения зазоров S, на длине гайки с выбранным зазором в базовой паре и ненатянутом стержне для некоторого относительного положения стержня и гайки, можно подобрать значения ни 5к, удовлетворяющие формуле (8), при заданных значениях S,, F и Яв. При подобных расчетах необходимо, чтобы полученное значение 5к, для н нагруженных витков, включая базовый, было меньше, чем S,^ парах витков, предполагаемых ненагруженными, т. е. 5к < Sn.
Если выбранное значение 5к не удовлетворяет этому условию, то расчет следует повторять при н большем на единицу базовый виток. Тогда, используя уравнения совместности деформации (4) и (6) и ввиду ненагруженности промежуточных витков равенства (5), получаем уравнения
(Ра - Ра+в) Л. с = [(а + в) - а] (F - Ра)Я с - (Sa - S а+в),
(Ра - Рк) Яв = [к - (а + в) - а] (F - Ра - Ра+в)Яс - S аВ; (9)
(Рк - Рс)Яв = (с - к) (F - Р а - Ра+в + Рк) Я с - Sc;
(Рс - Рс+d) Яв = [ (с + Ю - C](F - Ра + Ра+в + Рк + Рс) Яс - (Sc - Sc+d) ,
где Ра, Ра+в, Рк ... - силы, действующие на соответствующие витки;
Яс - коэффициент податливости стержня на длине одного шага витков;
I И
Пятым уравнением системы (6), содержащим пять неизвестных, является
уравнение равновесия гайки
I Ра + Ра+в + Рк + Рс + Рс+d = Р. (1°)
Из решения систем (9) и (10) находим нагрузки, действующие в указанных контактирующих парах витков стержня и гайки.
Для частного случая, при линейном законе изменения зазоров между витками стержня и гайки с | удалением от базового витка, когда S, = At; S,, = 2 At; . и т. д., уравнение (8) для
предварительного выбора числа нагруженных витков стержня без учета податливости стержня приводится к виду
n-^-^^A t = F-Яв. (11)
Причем подобранные по этому уравнению значения н и 5кдолжны удовлетворять неравенству
5к < nA t, (12)
требующему сохранения зазора в следующей паре витков в порядке удаления от базовой пары. При невыполнении условия (12) значение н следует взять большим на единицу, повторным использованием уравнения (11), последующей проверкой выполнения условия (12).
После предварительного определения числа н работающих при данном осевом усилии витков по формуле (11), система из н-1 уравнений составляется с использованием уравнения (9). Например, если | tc > tj,, то эти уравнения и условия равновесия для данного соединения, на котором в этом случае базовая пара располагается со стороны опорного торца гайки, имеют вид
(Р, - Р 2)ЯВ = (F - Р,)ЯС - (S, - S2) ,
(Р2 - Р 3)Яв = (F - Р, - Р 2)ЯС - (S2 - S3 ) , (13)
(pn-i
Рп)Яв = ( F-zn_ 1р0Яс
(Sn- 1 Sn) ,
X
Pi = p.
Полученное решение является окончательным, если с учетом податливости стержня не выбран зазор в соседней с последней из нагруженных парой витков, т. е. в паре н+1.
При ^ > tc, когда базовая пара, расположенная в конце резьбового соединения, система уравнений (9) имеет вид
(Р 1 - Р 2 )Яв = (F + Р 1 )Яс - (S, - S2 ) ;
(Р 2 - Рз )Яв = - (F + Р i + Р2 )ЯС - (S2 - S3 ) ; (14)
(Рп- i - Рп)Яв = - (F - £П- 1р0 Яс - (Sn - i - Sn) ;
Zn
*=р-
В качестве примера приводим расчеты, выполненные по уравнениям (11), (12), (13) и (14), когда число нагруженных пар витков н = 5. Изучено влияние разношаговости витков винта и гайки A t и податливость стержня винта Яс на распределение нагрузки между витками соединения.
Графики на рис. 2б показывают, что при tc > ^ повышение величины Яс ведет к увеличению нагрузки базового и соседних с ним витков и уменьшению нагрузки у витков, расположенных с противоположного | конца гайки. Таким образом, при tc > ^ увеличение Яс всегда усиливает неравномерность распределения
| нагрузки. При tT > tc повышение Xc при прочих равных условиях обуславливает обратный эффект - оно ведет к уменьшению нагрузки витков, расположенных на противоположном конце витка.
Рис. 2. Зависимость распределения нагрузки между витками от податливости стержня винта Xc с Хе = 0,01 мм2/Н; At = 0,05 мм; t = l,5 мм; F = 30; Р = 50 Н/мм: 1- Xc = 0,0005; 2-0,001; 3-0,003; 4-0,005; а - при t2 > tс; б - при
tc > ts.
Отсюда делаем вывод, что при tc > tT повышение Xc усиливает неравномерность, а при tT > tG повышение уменьшает неравномерность распределения нагрузки.
Варьирование в расчетах величины At в широких пределах показывает, что при реальных параметрах соединения и характеристиках винта, базовая пара витков является одной из нагруженных пар как при tc > tr, так и при tr > tc.
Более того, построенные на рис. 3б графики показывают, что увеличение At при tr > t0 снижает равномерность распределения нагрузки между витками при нагрузке . При этом происходит увеличение нагрузки базового и расположенных рядом с ним витков и снижение нагрузки на витках, расположенных на концевой стороне гайки. Из кривых рис. 3а следует, что, как и следовало ожидать, с увеличением величины At при прочих равных условиях происходит усиление неравномерности нагрузки витков на длине резьбового соединения.
Рис. 3. Влияние разности шагов At на распределение нагрузки между витками с t = l,5 мм; Р = 200 Н/мм; Xc = 0,001 мм2/Н; Хв = 0,01 мм2/Н: F = 100:1-At = 0,1 мм; 2 - At = 0,05; 3-At=0,03; а - при ts < ty б - t2 > ty 1 - At = 0,1; 2 - Aat = 0,05; 3 - At = 0,03;4 - At = 0,01
Вывод
Выполненное исследование позволяет найти число пар сопрягаемых витков и их нагрузку в зависимости от расположения базовой пары в резьбовом соединении. Разработана общая методика расчета нагрузки между витками для любого варианта расположения случайных отклонений от номинального шагов гайки и стержня, что позволяет решить задачу о выравнивании нагрузки между контактируемыми парами витков соединения.
Литература
1. Иосилевич Г. Б., Лебедев П. А., Стреляев В. С. Прикладная механика. М.: Машиностроение.
2. ИвановМ. Н. Детали машин. М.: Высш. шк. 1991. 383 с.
