Методика прогнозирования температур и температурных напряжений в элементах конструкций стартового оборудования при газодинамическом воздействии струй двигателей стартующей ракеты Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 629.7.085:629.764.7

В. А. И г р и ц к и й, В. В. Чугунков, А. В. Языков

МЕТОДИКА ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ТЕМПЕРАТУР И ТЕМПЕРАТУРНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В ЭЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦИЙ СТАРТОВОГО ОБОРУДОВАНИЯ ПРИ ГАЗОДИНАМИЧЕСКОМ ВОЗДЕЙСТВИИ СТРУЙ ДВИГАТЕЛЕЙ СТАРТУЮЩЕЙ РАКЕТЫ

Рассмотрен научно-методический аппарат методик численного расчета температур и температурных напряжений, возникающих в конструкциях стартового комплекса при газодинамическом воздействии струй ракетных двигателей. Необходимость проведения подобных расчетов возникает при проектировании вновь создаваемых и модернизации существующих стартовых комплексов под новые варианты ракет-носителей с увеличенными значениями стартовой массы и тяги ракетных двигателей.

E-mail: [email protected]

Ключевые слова: ракета-носитель, пусковое устройство, воздействие струй, теплообмен в конструкции, температурные напряжения, метод конечных элементов.

При разработке пусковых устройств вновь создаваемых стартовых комплексов для ракет космического назначения (РКН), а также при модернизации существующих стартовых комплексов для осуществления пусков модернизированных вариантов РКН, имеющих, как правило, более мощные двигатели, возникает необходимость в расчетном обосновании прочности конструкций стартовой системы для обеспечения ее надежной эксплуатации в составе стартового комплекса в течение длительного периода, который может составлять несколько десятков лет.

Одним из расчетных случаев нагружения конструкций стартовой системы является старт ракеты, когда стартовое оборудование подвергается интенсивному газодинамическому воздействию со стороны газовых струй ракетных двигателей стартующей ракеты, которое может усугубляться ее боковым сносом на начальном участке движения под действием возмущающих факторов (ветра, разной тяги двигателей боковых блоков и других факторов).

Воздействие струй двигателей на конструкции стартового комплекса проявляется в виде динамического давления и нагрева, что приводит в условиях неравномерного распределения температур к появлению термических напряжений. Для расчета изменения температур конструкций агрегатов стартового комплекса, напряжений и деформаций, вызванных нагревом, предлагается методика, позволяющая прогнозировать температуры и температурные напряжения в разных элементах

конструкций стартового оборудования при газодинамическом воздействии струй двигателей стартующей ракеты. Поскольку конструкции пусковых устройств для РКН отличаются сложной геометрией и наличием большого числа узлов и элементов, то для прогнозирования их температурного режима и напряженно-деформированного состояния использован метод конечных элементов.

Теоретическая основа предлагаемой методики базируется на решении задачи моделирования процессов теплообмена в конструкциях стартовой системы при воздействии на них струй двигательной установки РКН и задачи математического моделирования тепловых деформаций.

Предлагаемая методика моделирования процессов теплообмена позволяет, исходя из параметров струй двигательной установки РКН, получить распределение температур в элементах конструкции стартовой системы для различных моментов времени и задать это распределение в ее конечно-элементной модели.

Моделирование тепловых деформаций осуществлено путем ввода в модель фиктивных сил, влияние которых на конструкцию эквивалентно тепловой нагрузке. Такой подход возможен при справедливости допущения о линейности модели и, следовательно, о возможности суммирования действий различных видов нагружения.

При расчете нестационарных температурных полей в конструкциях стартовой системы для ее элементов должна решаться система уравнений нестационарной теплопроводности, каждое из которых при применении для дискретизации чисто неявной расчетной схемы имеет вид:

СТг = -ктг + ял (гг) + Ян (п, Т),

где С — сосредоточенная (диагональная) матрица теплоемкости; Тг, Т_1 — векторы температур на вычисляемом и предшествующем шагах; Дт — шаг по времени; К — матрица теплопроводности, является не строго диагонально доминирующей, симметричной и сильно разреженной; Ял (тг) — вектор тепловых потоков, зависящих только от времени; Ян (тг, Тг) — вектор тепловых потоков, зависящих как от времени, так и от температур.

Перепишем эту систему уравнений следующим образом:

СС (к + — Тг = —Тг _1 + Ял (тг) + Ян (тг, Тг) .

Обозначив вектор правой части полученной системы как Яе, получим

С

Яе = -т— Тг_1 + Ял (тг) + Ян (тг, Т).

Зависимость, заключенную в скобках из системы уравнений, будем называть динамической матрицей системы, обозначим ее как О и запишем

С

О = к + .

ДЬ

Динамическая матрица О симметрична и сильно разрежена. Кроме того, эта матрица положительно определенная, поскольку при отсутствии узлов без теплоемкостей она является строго диагонально доминирующей [1].

С учетом введенных обозначений система уравнений примет вид

ОТ = Qs.

Учитывая симметричность и положительную определенность динамической матрицы, к ней можно применить разложение Холецкого (метод квадратного корня). При этом методе определяется нижняя треугольная матрица О, удовлетворяющая следующему уравнению:

О = О • От.

Основное преимущество применения этого метода состоит в малом числе операций с плавающей точкой (флопов) при решении систем уравнений с большим числом неизвестных. Метод Холецкого требует для плотнозаполненных матриц п3/3 операций с плавающей точкой (флопов) (п — число столбцов динамической матрицы), в то время как Ьи-разложение (метод Гаусса) требует 2п3 флопов [1].

После получения такого разложения система уравнений разбивается на две системы уравнений, решаемых последовательно:

ОХ = Qs; ОтТ = X,

где Х — промежуточный вектор.

Поскольку матрица О является нижней треугольной, обе системы уравнений и при известном векторе Qs могут быть решены за 2п2 фло-пов. Поэтому эти системы уравнений решаются значительно быстрее, чем разложение динамической матрицы.

Описанный процесс решения системы уравнений предусматривает, что каким-то образом на каждом шаге должен быть получен вектор правой части Однако только первые два слагаемых в зависимости могут быть найдены непосредственно из известных данных. Для вычисления же вектора тепловых потоков Qн (¿¿,Т), зависящего как от времени, так и от температур на вычисляемом шаге, нужно задаться значениями вычисляемых температур.

Для определения Qн (и, Т) используется метод простой итерации, при котором искомые температуры на первой итерации заменяются

значениями температур на предыдущем шаге. На каждой последующей итерации используются значения температур, полученные на предыдущей итерации.

Условием завершения итерационного процесса является критерий:

£1 ^ тах (а);

здесь

' = {

где £1 — малая константа, определяющая точность вычислений; £2 — малая константа, определяющая границу окрестности нуля, в которой деление близких величин приводит к неприемлемой вычислительной погрешности; (Ьг,Тг) и Ян (Ьг,Тг) — последующее и предыдущее значения вектора правой части.

Для вычисления этого критерия на каждом шаге по времени должны проводиться минимум две итерации.

Полученные таким образом распределения температур по конструкции стартовой системы для различных моментов времени далее используются для расчета температурных деформаций.

Как уже отмечалось, для определения напряжений и деформаций от теплового нагружения необходимо рассчитать фиктивные силы, влияние которых эквивалентно заданной тепловой нагрузке. При разработке методики расчета сил были сделаны следующие допущения:

— тепловая нагрузка приложена в узлах конечных элементов;

— непрерывные физические величины внутри конечных элементов аппроксимируются линейными уравнениями;

Определим данные силы для различных типов конечных элементов.

В случае равномерно нагретого по сечению стержня расчет эквивалентных усилий, вызывающих такую же деформацию, как и нагрев, проводится, исходя из того, что при тепловом воздействии такой стержень работает на растяжение-сжатие.

Расчет ведется из условия равенства деформаций, вызываемых температурным и силовым нагружениями.

Приравнивая тепловую и силовую деформации получаем уравнение для эквивалентных усилий в узлах стержня:

Р = Е^а(Т - То),

где Р — эквивалентное усилие в узлах стержня; Е — модуль упругости материала стержня; ^ - площадь поперечного сечения стержня; а — коэффициент линейного расширения материала стержня.

Ян (U,Ti) Г\1 (х

- Q (t T)' Q T) ^ е2;

0, если Q'H (ti,Ti) <£2,

Поскольку одномерное упругое тело (стержень) ориентировано вдоль одной оси, то имеется только одна компонента тензора напряжений — нормальное напряжение {ах}. Уравнение для нормального напряжения может быть записано следующим образом:

{ах} = [О] {е - ее} ,

где [О] = Е — матрица упругости; е — полная деформация элемента; {ее} = а(Т — Те) — деформация элемента от теплового нагружения.

Тепловые деформации пластин можно разделить на два вида: равномерное расширение в плоскости пластины и изгиб плоскости пластины. Первый вид деформации реализуется при равномерном по толщине нагреве пластины, второй — при градиенте температур по толщине.

Рассмотрим пластину, испытывающую равномерный по толщине нагрев (рисунок, а).

Выражение для определения эквивалентных узловых сил в такой пластине имеет следующий вид [2]:

{Р} = [В]т [О] {ее} 1Л,

где {P} = <

[D] =

PiX ^

PiY

PjX

PjY PkX PkY ,

E 1 - ß2

> — вектор эквивалентных узловых сил;

1 ß 0 ß 1 0

0 0

матрица упругости

(ß — коэффициент Пуассона);

0 Yk - Yi

[B]=2S

Yj - Yk 0

YY

Yi - Yj

Xk — Xj 0 Xi — Xk 0

Xj — Xi

Xk - Xj Yj - Yk Xi - Xk Yk - Yi Xj - Xi Yi - Yj

— матрица градиентов (Х^, Yi, X), Yj, , Хк, Yк, — декартовы координаты соответствующих узлов элемента); £ и Б — толщина и площадь пластины;

{ее} = а(Т — Те) | 1

I 0

— деформация, вызываемая тепловым нагружением.

Рассмотрим пластину, испытывающую неравномерный нагрев по толщине (рисунок, б).

0

0

К расчету пластины, испытывающей равномерный (а) и неравномерный (б) нагрев по толщине

Выражение для определения эквивалентных узловых моментов и поперечных сил в этом случае принимает вид [3]

{P} = У [B]т [D] {ее} dxdy =

_S = 6 где

в (2, 2 • 0)1т D ]+ [в (0,2,1)1т [D ] + [в (2, 0,1)

[D] {ее } ,

( Qi

MX i My i

Q2

{P} = ^ MX2

MY 2 Qs MX s MY s

т

вектор узловых моментов и поперечных сил

1 ^ 0

Е

[Я] =

1 -

^ 1 0

(1 -

00

— матрица упругости; |е0} = a(T — T0)

1 1 0

— деформация, вызы-

ваемая тепловым нагружением.

Матрица градиентов [В] вычисляется по формуле [ВР2, Р3)] =

= — [А] [Р(¿1, ¿2, ¿з)], где матрицы [А] и [Р(¿1, ¿2, ¿з)] определяются следующим образом [3]:

1

[A] =

У23

У21

1

2

з2 2

— 2 x 1

— 2 Xl3

12 __Т*2

2 Х21

У23 Х32 У31Х13 У12 Х21

-У23У31 -Х32Х13 Х13У21 + Х32У31 -У31У12 -Х13Х21 Х21У31 + Х13У12 -У12У23 -Х21Х32 Х32У12 + Х21У23

(Уч = У — У; х1, у1 — декартовы координаты узла).

Остальные компоненты матрицы определяются аналогично:

[Р11] [Р12] [Р13] [Р21] [Р22] [Р23]

[P ] =

L2 + L3 —^12^2 + У31L3 —X21L2 + X13L3

[P11] = —L1 0 0

—L1 0 0

L1 — L2 —У12^1 + c23L3 — x21L1 + d23L3

[P21] = — L1 c23L1 d23L1

— L1 У31^1 + C23L2 X13L1 + ¿23^2

1

1

где С23 = —-(У12 — У31); ¿23 = — (Х21 — £13); ¿1, ¿2, ¿з — естественные

4

4

координаты пластины.

Остальные подматрицы получаются из подматриц [Рп] и [Р21] циклической перестановкой индексов и строк.

Уравнение для напряжений в треугольной пластине может быть записано следующим образом:

м =

а,

= [D] {е - ее} =

т.

x,

E

1 - ß2

1 ß 0

ß

1 0

0 0

(1 - ß)

е - a(T - Те)

1 1 0

Четырехугольные и прямоугольные пластины, имеющиеся в расчетной модели, могут быть разделены на четыре треугольные пластины каждая по двум диагоналям. Треугольные пластины имеют толщину, равную половине толщины соответствующей четырехугольной или прямоугольной пластины. Далее расчет ведется для полученных треугольных пластин по зависимостям, представленным ранее.

Для моделирования было разработано специальное программное обеспечение, реализующее положения представленной методики.

Предлагаемая методика позволяет прогнозировать температурный режим и напряженно-деформированное состояние конструкций стартовых комплексов, испытывающих температурное воздействие от струй двигателей РКН, и используется для обоснования конструктивных решений стартовой системы РКН "Союз-СТ" стартового комплекса, создаваемого в Гвианском космческом центре по совместному проекту Европейского и Российского космических агентств.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. ГолубДж., ВанЛоунЧ. Матричные вычисления: Пер. с англ. - М.: Мир, 1999.

2. СегерлиндЛ. Применение метода конечных элементов: Пер. с англ. - М.: Мир, 1979.

3. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов; Под общ. ред. В.И. Мяченкова. - М.: Машиностроение, 1989.

Статья поступила в редакцию 21.12.2009