CC BY
19
Oleg Mikhailovich Lepeshkin, doctor of technical sciences, docent, lepechkin1 @yyandex.ru, Russia, St. Petersburg, Military Academy of Communications named after S.M.Budyonny,
Kudryavtsev Alexander Mikhailovich, doctor of military sciences, professor, pashasev-er@mail.ru, Russia, St. Petersburg, Military Academy of Communications named after S.M.Budyonny,
Ostroumov Oleg Alexandrovich, doctoral student, oleg-26stav@mail.ru, Russia, St. Petersburg, Military Academy of Communications named after S.M.Budyonny
УДК 004.021
DOI: 10.24412/2071-6168-2021-10-354-360
МЕТОДИКА ОЦЕНОЧНОГО АНАЛИЗА ВЕРОЯТНОСТИ СВОЕВРЕМЕННОЙ ДОСТАВКИ ПАКЕТОВ ПРИ НЕАДАПТИВНОЙ ПРОЦЕДУРЕ ВЫБОРА МАРШРУТА
А.Ю. Живодерников, В.Б. Чуйков, А.Ю. Трофимов, М.В.Ашлапов
Статья посвящена анализу применения приближенного метода оценки вероятностно-временных показателей качества обслуживания при неадаптивной процедуре выбора маршрута передачи пакетов. Приведено обоснование применимости методики и оценки с ее помощью для различных систем массового обслуживания, с учетом гамма-распределения случайной величины, значений времени задержки и вероятности своевременной доставки пакетов как в информационном направлении связи, так и на каждом участке этого направления, с учетом монотонно возрастающей нагрузки.
Ключевые слова: мультисервисная сеть связи, качество обслуживания, гамма-распределение, вероятность своевременной доставки, корреспондирующая пара узлов.
Задача анализа качества функционирования мультисервисной сети связи (МСС) обычно формулируется следующим образом. Дана структура сети, задаваемая в виде графа, потребность в услугах связи и предъявляются требования к качеству обслуживания. Требуется определить частные показатели качества, например вероятность своевременной доставки пакетов
p(т^ ^ т) .
При поисках аналитического аппарата обнадеживает возможность использовать расчетные процедуры, построенные на принципе постепенного нагружения сети входящими потоками. В такой процедуре рассматривается последовательность статистически стационарных состояний сети, первое из которых характеризуется отсутствием нагружающих сеть входящих потоков, а последнее наличием этих потоков при их номинальной интенсивности. Промежуточные состояния соответствуют сети, нагруженной входящими потоками с интенсивностью, меньшей номинальной, причем каждое следующее состояние отличается от предыдущего некоторым, обычно квантованным, приращением интенсивностей этих потоков. Тем самым имитируется последовательность статистически стационарных состояний, через которые должна была бы пройти анализируемая сеть, нагружаемая входящими потоками с постепенно возрастающей интенсивностью, если после каждого приращения интенсивности сеть работает при неизменной нагрузке в течение времени, достаточного для затухания переходных процессов и установления статистического равновесия. Стохастические параметры последнего из таких состояний и есть цель анализа [1].
Приращение интенсивностей входящих потоков на каждом шаге расчетов можно задавать настолько малым, чтобы можно было пренебречь его влиянием на параметры состояния, определяющих распределение входящих потоков.
В таком случае распределение входящих потоков с увеличившейся интенсивностью для очередного состояния можно определить с помощью значений соответствующих стохастических параметров предыдущего состояния. Далее, имея распределение потоков с данной интенсивностью, требуется определить новые значения тех же параметров, которые будут использоваться на следующем шаге расчета.
Основное достоинство подобного расчета — это возможность игнорировать взаимное влияние стохастических параметров текущего состояния сети и распределения входящих потоков по ветвям. При этом операции отдельного шага процедуры в ряде случаев сказываются достаточно простыми, а сама процедура — неитеративной. С другой стороны, имитируя с помощью неитеративной процедуры естественный процесс постепенного нагружения сети входящими потоками, мы снимаем трудный вопрос о сходимости последовательности шагов такой процедуры к искомому результату, если процесс постепенного нагружения эргодичен и допускаемая на каждом шаге ошибка в определении стохастических параметров текущего состояния сети пренебрежимо мала с учетом ее накопления по ходу процедуры [1].
Приближенный анализ сети. Методы приближенного, оценочного анализа базируются на специальной оценочной модели сети, отличающейся от основной модели некоторыми дополнительными свойствами. Наличие последних является допущением, которое дает возможность определить общий критерий качества.
Пусть Д / это случайный поток всех пакетов, проходящий по ветви, который будем
называть локальным потоком этой ветви, в/ / — случайная величина времени задержки в узле для пакетов потока Д /, а в/ j — случайная величина времени передачи этого потока по ветви [а/, aj ]. В свою очередь величину в/ j = в/ j + в/ j будем определять как время задержки пакетов локального потока по ветви.
Определим допущения следующим образом. Выберем корреспондирующую пару узлов (КПУ) а1ат еЖ и любой из маршрутов щт, определяемый в качестве возможного пути
передачи пакетов входящего потока, который состоит из ветвей [а\аг],...,[а/а/'],...,[а/ат]. Пусть т/т — случайная величина времени доставки пакетов входящего потока, а т(ц/т) — случайная величина времени доставки пакетов этого потока по пути щт . Для пути щт заданы
следующие допущения:
- случайные величины в/ j для всех ветвей [а/а/] е ц¡т независимы в совокупности;
- функция распределения Р{-с(щт) < ?}случайной величины т(ц¡т) на отрезке Р[т(щт) < ?} > 0,75 аппроксимируется гамма-распределением с математическим ожиданием Мх(щт) и дисперсией Бх(щт);
- для любого входящего потока ф1т; а1ат е Ж функция распределения Р{х\т < ?} случайной величины %1т на отрезке Р{^1т < 0 > 0,75 аппроксимируется гамма-распределением с математическим ожиданием Мхт и дисперсией Бх1т .
В работе [2] было доказано, что распределение времени доставки сообщения в системах массового обслуживания с ожиданием, применимых в для анализа пакетных сетей, достаточно корректно можно описывать плотностью распределения вероятностей в виде гамма-распределения.
Для любой случайной величины ц, подчиняющейся гамма-распределению имеет место следующее отношение [3]:
|а) Iа- 1е-Р'А
р{Ц< =та-; ' >0 (1)
(Мц )2 Мц
где а =-!—, | =-!- — параметры гамма-распределения, а Г(а) имеет вид:
Иц Иц
ж
Г(а) =| х а-1е - хёх (2)
0
При этом параметр а для гамма-распределения может быть любым числом, в отличии от распределения Эрланга, где оно всегда целое. С помощью преобразований выражение (1) может быть представлено в следующей удобной для вычисления и табулирования форме с параметрами а и Мц [4]
t /мц 1
J (az) e dz Р[ц < t} = y(a, t/Mл ) - —0-—--(3)
Введем допущения, справедливые для любой ветви [ojaj] e V :
- распределение длины пакета локального потока как случайной величины одинаково и известно для всех ветвей;
- потоки распределены равномерно в соответствии с планом распределения нагрузки;
- матрица маршрутов фиксирована и задана для каждого узла [5]. Методика оценочного анализа при неадаптивной процедуре выбора пути.
Этап 1. Если Mim есть известное множество всех путей, используемых процедурой выбора пути при передаче пакетов между КПУ, то для каждого пути и каждой корреспондирующей пары вычисляется вероятность использования пути r (щт ) для передачи пакетов входящего потока [6]. В силу ограничения, наложенного на процедуру выбора пути, это может быть сделано без помощи имитационного моделирования действия сети [1].
Затем для каждой ветви интенсивность Xj j локального потока fj j рассчитывается
по формуле:
X j, j - ЕЛ lmr (Mlm) (4)
Mlm eM(ajaj)
где M (aja j ) это множество всех путей, проходящих через ветвь.
Этап 2. Для каждой ветви вычисляются математическое ожидание времени задержки Msj j и дисперсия Dsj j . В случае применения для анализа выражений для системы массового
обслуживания (СМО) M/M/1, то искомые случайные величины рассчитываются по формулам:
Msj, j --г-1 (5)
мя j г -Pj, j j
Dsj, j - (Msj, j )2 (6)
В случае если длина пакетов стандартной длины l , что говорит о целесообразности применения аналитических выражений СМО M/D/1, то формулы (5) и (6) принимают вид:
X' T2' ■
Ms- - jj+ • (7)
Xj, jT3j, j X2j, jT4j, j (8)
Ds' j - ^-— +--Ц- (8)
,j 3(1 -pj,j) 4(1 -Pj,j )2
где Tj j - l / Cj j - время передачи пакета по ветви, а pj j - Xj jTj j.
Этап 3. На этом этапе вычисляются математическое ожидание и дисперсия случайной величины времени доставки пакета потока <$\m по пути mm :
Mx(Wm ) - E Msj, j (9)
aja j
D<Mlm ) - E Dsj, j (10)
ataj
Этап 4. В первую очередь на данном этапе для каждой КПУ вычисляются математическое ожидание и дисперсия случайной величины т/т (времени доставки пакетов потока ф/т)
по следующим формулам:
м^/т = Е г (ц/т )Мт(ц/т), (11)
ц/т еМ/т
О о
вЧт = Е г(ц/т )ф-с(ц/т) + (№<Ц/т)))" (Мх/т) (12)
Ц/т еМ/т
Исходя из допущений, случайная величина -¡т в интересующем нас интервале вероятностей обладает гамма-распределением. Поэтому критерий качества — вероятность Р{-1т < 0 своевременной доставки пакетов потока за время, не превышающее заданного, для каждой КПУ вычисляется следующим образом:
Р{-1т < '} = 7(а; (/МгЫ К (13)
где у(а; t / М-1т) - стандартная функция гамма-распределения, рассчитываемая по формуле 3.
Пример расчета. Рассмотрим для простоты расчетов фрагмент мультисервисной сети связи, в котором обмен пакетами между одной КПУ происходит по одному пути, состоящему из четырех ветвей. Таким образом в формулах (4,11,12) коэффициентом вероятности использования пути можно пренебречь. Также через эти ветви проходят потоки от других узлов, входящих в эту сеть, представленные на рис. 1.
/. м /. . I
_____
Узел 1 Узел 2 V».! Л Узел 4
Рис. 1. Схема сети
Заданы матрицы маршрутов для каждого узла, в соответствии с которыми происходит распределение потоков информации между узлами. Обмен информации осуществляется по дуплексному принципу, ввиду того что граф сети является неориентированным, что полностью отражает характер современных мультисервисных сетей связи. Интенсивность потоков одинакова и их приращение равномерно распределено во времени.
Остальные исходные данные, необходимые для расчетов, представлены в табл. 1.
Таблица1
Исходные данные
Параметр Величина
Пропускная способность ветви, Мбит/с 2
Интенсивность передачи X / / пакет/сек ''У 100
Количество байт в пакете 1000
Допустимое время задержки 1, мсек 10
Приращение интенсивности 8 , пакет/сек 10
Количество итераций приращения интенсивности 2000
На рис. 2 представлены зависимости вероятности своевременной доставки пакетов за время, не превышающее заданного в разных СМО. Из рисунка следует, что расчет вероятности с использованием гамма-распределения более адекватно отражает применение СМО М/И/1, т.к. учитывается стандартная длина пакетов на выходе с портов граничного маршрутизатора.
Рис. 2. Зависимость вероятности своевременной доставки от коэффициента загрузки
для М/М/1 и МЮ/1 357
Рассмотрим теперь пример расчета вероятности своевременной доставки пакетов одного потока при наличии трех маршрутов между КПУ как показано на рис. 3. В данном случае необходимо учитывать вероятность выбора пути в соответствии с заданной матрицей маршрутов.
Исходные данные для расчета остаются прежними. Зависимость вероятности своевременной доставки пакетов при наличии трех маршрутов представлена на рис. 4 пунктирными линиями в зависимости от используемой СМО.
В статье приведено обоснование применения приближенного метода оценки, проводимой с использованием измеренных данных на ветвях графа.
У зял 4
Рис. 3. Схема МСС при наличии трех маршрутов между узлами 1-4
р
Коэффициент загрузки
Рис. 4. Зависимость вероятности своевременной доставки от коэффициента загрузки для М/М/1 и М/О/1 при наличии трех маршрутов
Заключение. Указанные расчеты проводятся для каждой пары корреспондирующих узлов, что позволяет определить один из основных показателей качества обслуживания — вероятность своевременной доставки пакетов за время, не превышающее требуемого. При этом стоит отметить, что для получения результата достаточно иметь небольшой объем исходных данных, получаемых с любой применяемой системы мониторинга модели ветви, представив ее в виде системы массового обслуживания, что снижает нагрузку на вычислительные мощности сетевого оборудования.
Список литературы
1. Давыдов Г. Б., Рогинский В. Н., Толчан А. Я. Сети электросвязи. М.: Связь, 1977.
360 с.
2. Паращук И. Б., Аверьянов Е. Г. Выбор и обоснование приближенных моделей плотностей распределения вероятностей значений различных по классу частных показателей качества информационных систем // Информация и космос. 2015. № 2. С. 8-11.
3. Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1973. 494 с.
4. Мартин Дж. Системный анализ передачи данных. М.: Мир, 1975. 431 с.
5. Лазарев В. Г., Лазарев Ю. В. Динамическое управление потоками информации в сетях связи. М.: Радио и связь, 1983. 216 с.
6. Лебедев П.В. Методика повышения устойчивости функционирования инфокомму-никационной сети на основе выработки оптимальных управляющих воздействий. // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2020. №3. С. 10-17.
Живодерников Александр Юрьевич, адъюнкт, sabir. 81@mail. ru, Россия, Санкт-Петербург, Военная академия связи им. С.М. Буденного,
Чуйков Владимир Борисович, канд. техн. наук, доцент, korifey2011@gmail. ru, Россия, Санкт-Петербург, Военная академия связи им. С.М. Буденного,
Трофимов Антон Юрьевич, адъюнкт, k06ra@mail.ru, Россия, Санкт-Петербург, Военная академия связи им. С.М. Буденного,
Ашлапов Михаил Владимирович, канд. техн. наук, старший преподаватель, Mvash-lapov@mail.ru, Россия, Санкт-Петербург, Военная академия связи им. С.М. Буденного
METHODOLOGY OF ASSESSMENT ANALYSIS OF PROBABILITY OF TIMELY DELIVERY OF
PACKAGES WITH NON-ADAPTIVE PROCEDURE FOR CHOOSING A ROUTE
A.Yu. Zhivodernikov, V.B. Chuikov, A.Yu. Trofimov, M.V. Ashlapov
The article is devoted to the analysis of the application of an approximate method _ for evaluating the probability-time indicators of the quality of service _ for a non-adaptive procedure _ for choosing a packet transmission route. The substantiation of the applicability of the method and its estimation _ for various queuing systems is given, taking into account the gamma distribution of a random variable, the values of the delay time and the probability of timely delivery of packets both in the information direction of communication and at each section of this direction. , taking into account the monotonically increasing load
Key words: multiservice communication network, quality of service, gamma distribution, probability of timely delivery, corresponding pair of nodes.
Zhivodernikov Alexander Yurevich, postgraduate, sabir. 81@mail. ru, Russia, Saint-Petersburg, Military academy of communication,
Chuikov Vladimir Borisovich, сandidate of technical sciences, docent, korifey2011@gmail.ru, Russia, Saint-Petersburg, Military academy of communication,
Trofimov Anton Yurevich, postgraduate, k06ra@mail.ru, Russia, Saint-Petersburg, Military academy of communication,
Ashlapov Mikhail Vladimirovich, candidate of technical sciences, lecturer, Mvash-lapov@mail.ru, Saint-Petersburg, Military academy of communication
