Методика оценки качества продукта в древесно-графовой модели технологического процесса Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование

В.В. ЮДИН,

С.А. ЩЕГОЛЕВА

Методика оценки качества продукта в древесно-графовой модели технологического процесса

Предложена древесно-графовая модель технологических процессов, методологически близкая к концепции Исикава-Парето. Сформулировано основное уравнение для расчета вероятности выхода качественного продукта. Построен древесный граф для производства колбасной продукции. Рассчитаны вероятности выходов субпродуктов, а также финальная вероятность качественной продукции.

Одним из важнейших факторов роста эффективности производства является улучшение качества выпускаемой продукции, что расценивается в настоящее время как решающее условие ее конкурентоспособности на внутреннем и внешнем рынках.

В промышленно развитых странах во многих фирмах и компаниях успешно функционируют системы качества в отношении изготовляемой продукции. Для контроля и управления качеством изделий применяются различные методы. В данной работе предлагается некоторая модификация метода Исикава-Парето [7, 11]. Она основана на представлении технологического процесса в виде соответствующего древесного графа, который относится к общим графам типа Бете [2].

Наиболее адекватную интерпретацию такого подхода разумно дать в терминах нейросетевых конструкций [9]. Представление технологического процесса в виде сложного древесного графа предполагает реализацию соответствующих процедур декомпозиции графа. Декомпозиционные методы [4, 6] в анализе сложных систем, в частности технологических процессов, составляют сущность системного анализа. Среди декомпозиционных методов наиболее ценны симплициальные методы декомпозиции. Именно они дают возможность представить сложный процесс как сумму модулей, причем каждый из модулей в топологическом плане идентичен всему суперграфу.

Любой технологический процесс можно представить как сложную систему, а следовательно, провести системный анализ. Как известно, системный анализ [6] состоит главным образом в декомпозиционной процедуре, которой подвергается любой технологический процесс. Эта декомпозиция не является простым разбиением или выделением элементарных составляющих процесса. Она должна удовлетворять некоторым симметрийным требованиям и ряду основополагающих принципов [2, 4].

1. Технологический процесс представляет собой цепочку отдельных этапов, Г-модулей. Здесь важен именно цепочный, зацепляющий характер последовательных модулей. А цепной тип зависимости хорошо известен в теории случайных процессов в виде Марковских процессов [3].

2. Технологическая цепочка в целом упорядочена и представляет собой строгую последовательность Г-этапов.

3. Технологический процесс направлен от начальных субпродуктов, факторов, технических условий к конечному продукту, желательно высокого качества.

4. Каждый технологический модуль представляет собой некоторую сравнительно независимую подсистему, замкнутую по технологической процедуре. Формально это можно записать Ь (Г) - технологический оператор соответствующего этапа.

5. Г - технологический модуль процесса в целом характеризуется многими входами, но имеет единственный выход. Среди входных воздействий есть главный, а остальные выступают в роли факторов, технических условий, сопутствующих /-этапу. Сам модуль задается Г-оператором, а пч, п - входные, выходные субпродукты. {р} -множество факторов, действующих на Г-оператор. Уравнение движение для Т/ - технологического модуля

является типичным операторным, но условного типа.

6. Объявим некий принцип скейлинга [13]. Вообще, наличие любого принципа скейлинга при декомпозиции сложных систем необходимо. В данном случае, при графовом подходе, можно объявить топологический скейлинг. Это означает, что общая цепочка технологий в целом согласно предыдущим условиям представится суперграфом.

Линейному упорядоченному ориентированному графу можно дать алгебраическое сопровождение в виде цепочки парциальных уравнений [1]:

Эта многостадийная цепочка фактически отражает Марковскую логику [3] и представляет собой сверточное итеративное уравнение для всей технологической цепочки:

(1)

п = Ьо(по|{р}); п2 = А(п |Ы) ^ п = 4-1(Пн\Wt-1}). (2)

Пк -1---(Ьр2(Ьр1(Ьр0ПоУУ) .

(3)

Для данного уравнения технологического процесса можно предложить, как это принято в квантовой теории поля [1], наиболее компактную запись через введение хронологического оператора:

П = Т(П |р }), (4)

к V /V /V /V

где Т ~ Ь1_1 ■ Ь1_2...Ь1 ...Ь0- хронологический оператор технологического

процесса в целом, который как раз отражает условия цепочности, упорядоченности и ориентированности.

Древесно-графовое представление технологий находит естественную интерпретацию в терминах нейросистем [9]. В частности, Ь/оператор является оператором действия нейрона; {р}-входы удобно назвать дендритными входами, а главные входы-выходы субпродуктов - аксонами; Ь/-операторы технологических моделей - это фактически набор инструкций или алгоритм данного технологического этапа.

Дальнейшее рассмотрение древесно-графового представления технологического процесса будем вести по линии наделения вероятностными мерами дендритных входов и аксонных входов-выходов.

В таком случае п-1 ^ Рм - вероятность качественного продукта, вышедшего с (/-1)-го модуля и поступившего на /-й модуль; п ^ Р^ -выходная вероятность качественного продукта после обработки в /-м

модуле; {р}^{ Ч\} - множество вероятностей брака, приходящихся на дендритные ветви /-го модуля. Буквами Р ^ обозначаются вероятности появления качественного объекта или субпродукта, а д', - вероятности появления брака по р -фактору. Для модуля в терминах вероятностных характеристик можно также написать операторное уравнение:

р,=ь {Р/-11 {д}}. (5)

Приведем оснащенный технологический суперграф (рис. 1). Теперь ветвям приписаны вероятностные меры, но, кроме того, в аксонных ветвях введен пороговый элемент и [9].

Пороговые элементы задаются хевисайдовскими функциями при соответствующих величинах критических пороговых вероятностей. С эволюционной точки зрения это своеобразное правило отбора, которому должно подчиняться уравнение движения (5) [12].

Для понимания древесно-графовых принципов представления технологического процесса формализм хронологических произведений [2, 9] весьма существен. Он базируется на упорядоченности и линейной направленности всего технологического процесса (рис. 1).

Естественно предположить, что д-факторы являются независимыми случайными величинами, которые на каждом модуле функционируют совместно. Поэтому, рассчитав Р-вероятность, можно воспользоваться итеративной процедурой расчета и прийти к финальной Рк. При этом не стоит забывать, что в каждый модуль встроена операция сравнения с некоторой пороговой вероятностью. И именно «над-

пороговая» вероятность проходит в следующий модуль. В противном случае вся технологическая цепочка нарушается в любом из звеньев. Если иметь в виду обобщенные технологические процессы, которые были бы устойчивы к аксонным прерываниям, то надо переходить к параллельным топологиям древесных графов, и тогда аксонный шум не может поразить сразу все ветви. Тем самым параллельные технологии будут обладать такой важной характеристикой, как избыточность [8], что в свою очередь приведет к живучести технологического процесса в целом. Мы же вернемся к линейному технологическому процессу.

Рис. 1. Технологический суперграф с нанесенными вероятностными мерами д, Р на дендритных и аксонных ветвях. На каждом переходе от одного уровня к другому стоит пороговый элемент и

Вероятностная логика функционирования /-го модуля позволит записать соответствующее выражение для Р-вероятности, если известны Р;-1 и { д }. Потребуем, чтобы на выходном аксоне была определена Р-вероятность через мультипликативные теоремы относительно входных вероятностей [3, 10]. Пусть на выходе мы ожидаем с некоторой вероятностью появление качественных субпродуктов. Ему соответствует сложное событие на входе. Соблюдение качественного выхода будет возможно, если все входы - и дендритные, и аксон - будут с некоторой долей вероятности безошибочны, причем все эти входные воздействия должны обладать вышеуказанным уровням качества одновременно. Данные суждения и приводят к мультипликативной логике [3, 10]:

т т

Р, = Р,-1 П(1 - д\) ^ Р/Р-1 = П(1 - д\). (6)

При взгляде на (6) сразу напрашивается мысль уйти от мультипликации к аддитивности, что обеспечивается логарифмированием:

Р

1пР = -£ 1п(1 - д/ ) = Ят(1- д; ) > 0. (7)

Р ,=1

Как нетрудно видеть, правая часть (7) является энтропией [5] для т штук независимых совместных событий, реализуемых с вероятностью правильной передачи по «р-связям 1-д; [3, 10].

В (7) энтропия правильного функционирования дендритных факторов не является энтропией от распределения. Однако, если провести перенормировку «р-факторов, то энтропия получит привычное для стандартной энтропии Шеннона выражение [5]. Так как исходная схема логики функионирования технологического дерева на всех модулях предполагает независимое и совместное действие ^-факторов [3, 10], то для энтропии в нашем случае разрешен принцип аддитивности [5]. Уравнение (7) можно преобразовать к виду, удобному для расчета вероятности итераций:

Р, = Рмехр(-Ят(1-д, )). (8)

Из (8) следует достаточно конструктивный вывод: вследствие убывающей экспоненты Р;-1 > Р, для любого ; < т. Это означает, что вероятность выхода по аксону промежуточного продукта не больше такой же вероятности, но входного продукта. В результате каскадного технологического процесса с последовательной топологией качество выходного продукта никогда не увеличивается по своей вероятности.

Применяя обычную рекурсию, которую просто реализовать программно, можно дойти до вероятности конечного продукта, если пройдены все пороговые элементы принятия решения. Фактически это контроль за качеством субпродукта на каждом этапе. В каскаде пороговых элементов со своими критическими уровнями принятия решений (эти уровни могут быть различны для разных этапов) угады-

ваются эволюционные [12] черты. Выражение (8) является исходным при расчете любых конкретных моделей технологического процесса. Главное в (8) - это оценка энтропии вероятности безошибочного функционирования дендритных факторов, которая формируется согласно принципу аддитивности от т штук «р-факторов. Из (8) также видно, что параметрами в оценке Р, если задано Рм, будут выступать не только набор Ц,, но и мощность т-ансамбля «р-факторов. В концептуальном виде удобно вернуться к формулировке уравнений движения для вероятности. Теперь его можно записать следующим образом:

Р = Ь[Ит (1 - д, )]Р-1, (9)

здесь 4, (к } = ехР(-И т(1 - д,)) - пропагатор [1], где число факторов, действующих на каждом уровне технологической цепи, , = 0, 1, 2, ... т -итеративный индекс, т - длина технологической цепочки.

Уравнение (9) можно рассматривать как конечно-разностное. При переводе его в инфинитезимальное представление получится тип операторов, которые хорошо известны в теории Марковских, диффузионных случайных процессов в полугрупповом формализме [10]. Это, во-первых, еще раз указывает на верность выбранной модели описания технологического процесса, а во-вторых, подчеркивает универсальность полученного результата.

Согласно вышеизложенному пропагатор [1] уравнения (9) определяется энтропией безошибочного функционирования <р-фактора (7).

Мы рассмотрим несколько численных экспериментов, которые параметризованы выбором конкретных значений Ц, и т. Например, потребуем, что число <р-факторов т = 3, 5, 7, 10. На множество Ц, -факторов наложим дополнительное требование. Пусть все факторы по своим ошибкам имеют одинаковое значение: Ц = 0,05; 0,1; 0,2; 0,3, что соответствует 95 %-ному, 90 %-ному, 80 %-ному, 70 %-ному уровням безошибочности дендритных связей. Еще один тип эксперимента может быть сформирован, если потребовать, что существует некоторый главный фактор среди дендритных ветвей. При выполнении численных экспериментов для нас будет играть роль именно общая энтропия безошибочного функционирования дендритных ветвей (7). В табл. 1 приведена энтропийная матрица.

Таблица 1

Матрица энтропии в зависимости от Ц и т

т

0,05 0,1 0,2 0,3

3 0,0302 0,3161 0,6694 1,0700

5 0,0503 0,5268 1,1157 1,7834

7 0,0704 0,7375 1,5620 2,4967

10 0,1005 1,0536 2,2314 3,5667

Обращаясь к формулам (7)-(9), получим матрицу пропагатора (табл. 2).

Таблица 2

Матрица пропагатора в зависимости от д1 и т

т Я

0,05 0,1 0,2 0,3

3 0,970 0,729 0,512 0,343

5 0,951 0,590 0,328 0,168

7 0,932 0,478 0,210 0,082

10 0,904 0,349 0,107 0,028

Для класса экспериментов, в которых все дендритные факторы имеют одинаковую вероятность ошибок, энтропия (7) выразилась просто как

Нт (1 - ) = т 1П(1 - Чг )- (10)

Зависимость (9) является затухающей, ниспадающей при изменении т от 3 до 10 и дг от 0,05 до 0,3 (рис. 2).

Рис. 2. Динамика пропагатора в зависимости от значений д и т

При интерпретации результатов (рис. 2) надо помнить, что значение пропагатора определяет, насколько уменьшилась Р-вероят-ность (выходной аксон) относительно Рг-1-вероятности (входной аксон для і-го модуля технологического дерева). Как следует из рис. 2, с увеличением д - уровня несоответствий на всех факторах технологического процесса вероятность выхода качественного продукта

уменьшается. Если рассматривать графики (рис. 2), полученные для различных т, то видим, что с увеличением числа уровней, а следовательно длины технологической цепочки производства, также уменьшается вероятность получения на выходе качественного продукта. Теперь можно задаваться какими-либо конкретными значениями Р г-1 и по результатам рис. 2 получать оценки Р. И, наконец, последнее в этой серии экспериментов - не забыть осуществить каскад модулей в технологическом процессе до получения финальной вероятности.

Осталось рассмотреть эксперимент, когда распределение факторов по дендритным ветвям сводится к единственному главному вредному фактору.

Как всегда первый шаг - рассчитать энтропию дендритных факторов, второй - вычислить значение пропагатора, а уже через него пересчитать отношение входных и выходных вероятностей по аксонам. Приведем расчетные значения энтропии и пропагатора (рис. 3).

Н,

Рг/Рг-1

(1-Р г -1)

Рис. 3. Энтропия (1) и пропагатор (2) в случае единственного вредного фактора в зависимости от вероятности его сбойности

Как видим, энтропийный фактор возрастает с увеличением вредности дендритной ветви, а пропагатор, соответственно, уменьшается.

Полезно сопоставить результаты рис. 2 и 3. Конечно, общеизвестно, что совокупность вредных факторов будет влиять больше, чем один фактор, но вот насколько и как именно, это наиболее важно выяснить. Из рис. 3 видно, что единственный вредный фактор влияет в основном линейно и ниспадающе, тогда как ансамбль их воздействует принципиально нелинейно и, конечно, сильнее. Особенно это проявляется на больших значениях ч вредности. Наши результаты (рис. 2, 3) позволяют количественно оценить мощность воздействия ансамбля вредных признаков и их вероятность.

Обратимся к производству реального продукта, например колбасных изделий. Как упоминалось выше, практически любую технологическую схему производства, в частности пищевых продуктов, можно представить в древесно-графовом виде. Отличаться такие графы будут только количеством уровней иерархии (в нашем обозначении т) и числом дендритных ветвей на каждом уровне (/). Также каждому из дендритов можно приписать вероятность быть качественным (1- Ч).

Представим технологическую схему производства полукопченой колбасы в нашем формализме (рис. 4) подобно тому, как изображено на рис. 1.

Схема дана после объединения некоторых процессов и состоит из 13 этапов, на каждый из которых влияет по 3-5 факторов. Нетрудно видеть, что она очень схожа с диаграммой Исикава [7, 11]. В качестве основного «хребта рыбы» в нашем случае выступают не отдельные виды дефектности продукции, а получение качественного изделия в целом. На каждом из этапов также рассматриваются различные факторы, влияющие в какой-либо степени на качество выходного полупродукта данной стадии производственного процесса.

Представив технологическую схему полукопченых колбас в древесно-графовом формализме, можно рассчитать предполагаемый процент несоответствующей продукции. При этом определяются вероятности получения качественного субпродукта на каждом уровне.

Для простоты вычисления по-прежнему зададимся равными вероятностями сбойностей факторов. Например, пусть = 0,0001, или

0,01 %. Вероятность выхода качественного конечного продукта на каждом последующем уровне можно рассчитать, используя (9), а применяя (10) для каждого уровня технологического процесса, получим

Р = Р0 п ехР^Х1п(1 - ч1) ^, (11)

где к - число этапов, уровней технологического процесса; тг - число факторов, влияющих на качество продукта на каждом г -м уровне; Р0 -

входная вероятность качественного продукта (качество сырья); Ч -вероятность сбойности на каждом из этапов. При одинаковых вероятностях сбойностей формула (11) перепишется как

Рк = Р0 П ехР(тг 1п(1 - )) , (12)

г=1

где т1 - число факторов на каждом г-м уровне. Произведем простой подсчет парциальных факторов, представленных на рис. 4:

Порядковый номер

уровня техн. процесса, г 123456789 10 11 12 13

Число факторов на данном уровне, т 3 4 4 2 5 3 5 4 2 4 4 3 4

Температура

замораживания

Чистота промывки мяса***,

Размер измельчения """

Получение и хранение сырья

I

Размораживание, обвалка, жировка

Время выдержки Размер кусков *•».

Посол в кусках

Время . III

измельчения **»*, ______

Количество и качество добавок

Количество и качество добавляемой воды

Измельчение на волчке

I

Приготовление фарша в мешалке

Сопроводительная документация

•Время хранения

и Температура **** замораживания

Качество обвалки и жировки

Количество, соотношение соли

?* Температура

мяса

Размер при измельчении

Время перемешивания

Качество, однородность перемешивания

Температура фарша при куттеровании

Давление при наполнении оболочек фаршем

Степень вентилируемо сти помещения

Наполнение оболочек и вязка батонов

Правильность размещения батонов

лируемо- Врем

ения I

........_____________*-------..

......Осадка

I

Качество оболочек .***

Качество вязки

Время осадки

Температура при осадке

Качество древесины

Рис. 4. Древесно-графовое представление технологической схемы

влияющих на каждом уровне

Правильность размещения батонов

Температура \

при обжарке

Время варки

Влажность в помещении

Температура в холо дильнике

Время выдержки в холодильнике ***••»

Правильность разме щения батонов

Температура при копчении

Влажность

Время хранения

Влажность

при хранении

Качество воды

Время обжарки

Температура воды при охлаждении

Время охлаждения

Вид древесины и ее качество

М*

д.«»* *Время копчения

Время сушки

'**** , Температура

при сушке

Температура .«•*** хранения

Качество упа-........ ;

* ковки

Конечный продукт -полукопченая колбаса

производства полукопченой колбасы и факторов, на качество конечного продукта

Подставляя эти данные, а также задав ч'1 = 0,0001 - одинаковую вероятность сбойности для всех факторов, получим из (12): Рц = Р0 • 0,995. Это означает, что вероятность получения качественного продукта (копченой колбасы), соответствующего установленным требованиям, составляет 0,995, или 99,5 % от качества исходного сырья, при условии, что на каждом этапе технологической линии вероятность сбой-ности сведена к минимуму - 0,01 %. Используя формулу (12) вычислим отношение Рв/Ро. Результат вычисления по (11, 12) показан на рис. 5.

Р13/Р0

Ч

Рис. 5. Зависимость вероятности выхода конечного качественного продукта по отношению к качеству входного (сырья) от уровня дефектности каждого фактора

Энтропия факторов принята «равновероятной», т. е. степень неопределенности в этом плане по д-фактору является максимальной. Пользоваться этой зависимостью можно следующим образом: задавшись вероятностью кондиционного выходного продукта, определить уровень чистоты по д - ансамблям факторов. Можно поступить и наоборот. Надо отметить, что общее число факторов ~50 по всей технологической цепочке, а длина самого технологического графа (к = 13) достаточно большая. Итоговая зависимость носит почти линейный характер, который вряд ли можно было спрогнозировать изначально. Очевидно, что подобные зависимости можно составить для любого технологического процесса. Обладая такой статистико-вероятностной структурой на древесном графе, можно ставить и решать задачи по оптимизации самого технологического графа. В качестве степеней свободы естественно выбрать длину технологического графа и число Ч факторов на каждом модуле с их заданным распределением.

Предложенная методика дает возможность по определенной теоретико-вероятностной топологии древесного графа технологического процесса получить оценку качества выходного продукта по за-

данной чистоте сырья. Она позволяет выявлять и корректировать узкие места в технологических процессах. Это особенно важно в таких технологиях, которые обладают характерной квазилинейной архитектурой.

Литература

1. Боголюбов Н.Н. Введение в теорию квантованных полей / Н.Н. Боголюбов, Д.В. Ширков. - М.: Наука. Глав. ред. физ.-мат. лит., 1973. - 416 с.

2. Зыков А. А. Основы теории графов / А. А. Зыков. - М.: Наука, 1987. - 382 с.

3. Карлин С. Основы теории случайных процессов / С. Карлин. -М.: Мир, 1971. - 536 с.

4. Касти Дж. Большие системы. Связность, сложность, катастрофы / Дж. Касти. - М.: Мир, 1982. - 216 с.

5. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика / Ю.Л. Климонтович. -М.: Наука, 1982. - 608 с.

6. Моисеев Н. Н. Математические задачи системного анализа / Н.Н. Моисеев. - М.: Наука, 1981. - 488 с.

7. Статистические методы повышения качества / под ред. Хитоси Кумэ. - М.: Финансы и статистика, 1990. - 304 с.

8. Тартаковский Г.П. Теория информационных систем / Г.П. Тарта-ковский. - М.: Физматкнига, 2005. - 304 с.

9. Уоссермен Ф. Нейрокомпьютерная техника. Теория и практика / Ф. Уоссермен. - М.: Мир, 1992. - 156 с.

10. Ширяев А.Н. Вероятность / А.Н. Ширяев. - М.: Наука, 1980. -576 с.

11. Щеголева С. А. Статистика Ципфа-Парето-Мандельброта и анализ Парето / С. А. Щеголева // Вестник ДВГАЭУ. 2002. № 3 (23).

С. 56-64.

12. Эбелинг В. Физика процессов эволюции / В. Эбелинг, А. Энгель, Р. Файстель. - М.: Эдиториал-УРСС, 2001. - 328 с.

13. Юдин В.В. Информодинамика сетевых структур / В.В. Юдин, Е.А. Любченко, Т.А. Писаренко. - Владивосток: Изд-во ДВГУ, 2003. - 244 с.

© Юдин В.В., Щеголева С.А., 2008 г.