CC BY
238
УДК 621.317.18
В. С. Чайковский, А. В. Светлов
МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ РАЗМАХА ШУМА ОПЕРАЦИОННЫХ УСИЛИТЕЛЕЙ
Аннотация. Описывается методика, позволяющая определять плотность вероятности размаха шума операционных усилителей по известной спектральной плотности мощности. В основу данного метода положено моделирование шумовых сигналов, представляющих собой сумму белого и фликкер-шума.
Ключевые слова: размах шума, спектральная плотность мощности, белый шум, фликкер-шум, операционный усилитель, плотность вероятности.
Abstract. The article describes a technique of defining the probability density of voltage noise swing in operational amplifiers by the known spectral power density. The basis of this method is the modeling of noise signals, representing the sum of white and flicker noise.
Key words: voltage noise swing, power spectral density, white noise, flicker noise, op amp, probability density.
Введение
Одним из шумовых параметров операционных усилителей (ОУ), подлежащих измерению согласно требованиям ГОСТ 23089.12-86, является размах шума [1]. Измерение данного параметра заключается в определении разности между максимальным и минимальным значениями напряжения шума, фильтрованного в полосе частот от 0,1 до 10 Гц.
Измерение всех шумовых параметров, определяемых названным ГОСТ, включая размах шума, реализовано с помощью аппаратно-программного комплекса (АПК), описанного в [2]. В данном АПК расчет всех параметров осуществлялся на основе обработки оцифрованного шумового сигнала. При реализации метода измерения размаха шума возникает необходимость записи шумового сигнала в течение 10 с, в то время как для определения остальных параметров достаточно записи сигнала продолжительностью менее 1 с. Таким образом, измерение размаха шума существенно увеличивает общую продолжительность эксперимента по определению всех шумовых параметров ОУ.
Поскольку известно, что шумы ОУ по своему спектральному составу являются суммой белого и фликкер-шума [3], то, рассчитав плотности вероятности размаха шума для различных соотношений этих шумов, можно будет найти зависимость плотности вероятности размаха шума от параметров спектра шума ОУ. Это позволит заменить измерение размаха шума на его расчет по параметрам спектра.
1. Расчет плотности вероятности размаха шума
Плотность вероятности размаха шума Ах = xmax - xmjn можно представить как интеграл по переменной xmin или xmax плотности вероятности того, что шум не превышает значения xmax и равен этому значению хотя бы в одной точке, и не принимает значений менее xmin, и равен xmin хотя бы в одной точке.
Если случайный процесс (СП) является некоррелированным и дискретным во времени, то описанная плотность вероятности может быть определена следующим образом. Вероятность того, что СП не выходит за пределы отрезка [хт^п, xmax] в некоторой точке ^ , следующая:
^К-^-шт,xmax) _ -^К-^-тах) — р1(-^-тт^ (1)
где ^ - функция распределения СП.
Так как все значения рассматриваемого СП независимы, то вероятность того, что значения СП лежат в пределах отрезка [хш^, xmax] во всех точках ^, t2 ..Лп , определится по правилу умножения вероятностей для независимых событий:
Р2 (xmir, xmax ) _ (р\(xmax ) — р\(xmm )) , (2)
где п - число точек СП.
Вероятность того, что значения СП не выходят за пределы отрезка [xmin, xmax + 5x] и хотя бы одно значение находится в пределах отрезка
[Xmax, Xmax + 5x], следующая:
Р3 (xmin, xmax + 5х) _ (р\(xmax + 5x) — (xmin )) — (р\(xmax ) ~ р\(xmin )) . (3)
Если поделить выражение (3) на 5x ^ 0 , то будет получена производная вероятности (2) по переменной xmax :
Щ4 (xmir, xmax ) = ^ ( Р2( *т1П’Xmax)) = П( F1 (xmax ) - F1(xmm ))П— w1(xmax ) , (4) dxmax
где Щ4( xmin, xmax) - плотность вероятности того, что значения СП не выходят за пределы отрезка [хш^ , хшж] , и СП принимает значение xmax хотя бы в одной точке; Щ1 (х) - плотность вероятности рассматриваемого СП.
Если аналогичным образом определить производную от плотности вероятности (4) по переменной х^п, то будет получена плотность вероятности того, что значения СП не выходят за пределы отрезка [х^п, хшж] , и СП принимает значения xmax и хш^ хотя бы один раз:
Щ (х х ) _ (Р2(хшщ, xmax)) _
"о vд'min 5 д'max/
dxmax dxmin
_ п(п — 1)(-Р[(xmax) — р1(xmin)) щ1(xmax)wl(xmin). (5)
Тогда плотность вероятности разности Ах _ xmax — хш^ определится по формуле
Ща(Ах) _ | п(п — 1)^(Xmin + Ах) — Fl(Хщ^))п-2 х —^
Х«1 (*Ш1П + Д) «1 (*Ш1П ^ГШП . (6)
На рис. 1 показана плотность вероятности размаха шума, рассчитанная по полученной формуле для нормального СП с числом точек п = 200, дисперсией, равной единице, и нулевым средним значением.
Рис. 1. Плотность вероятности размаха шума
Если СП не является белым шумом, то при расчете плотности вероятности размаха шума необходимо будет выполнять действия с многомерными функциями распределения вплоть до и-мерных, что делает расчет невозможным.
Для определения плотности вероятности размаха небелого шума можно предложить методику, основанную на многократном моделировании шума с заданной спектральной плотностью мощности (СПМ). Для этого нужно смоделировать некоторый белый шум и отфильтровать его таким образом, чтобы получить СП с требуемой СПМ, а затем определить размах полученного сигнала. После многократных повторений описанных действий можно будет определить плотность вероятности размаха шума для СП с заданной СПМ.
Повторяя данные действия для спектров с различными параметрами, можно будет определить зависимость плотности вероятности размаха шума от параметров спектра.
Перед тем как перейти к моделированию, нужно рассчитать амплитудночастотные характеристики (АЧХ) фильтров, необходимые для формирования СП с заданными СПМ.
2. Расчет частотных характеристик фильтров
Получить СП с заданной СПМ можно следующим образом. Сформировать белый шум, выполнить преобразование Фурье, умножить результат на функцию АЧХ, соответствующую определенной СПМ (в результате будет получено преобразование Фурье формируемого сигнала), выполнить обратное преобразование Фурье:
s(t) = F Л F ( 5Бш (t)) к (f)), (7)
где F, F-1 - операторы прямого и обратного преобразования Фурье соответственно; s(t) - сигнал, который требуется смоделировать; SБШ (t) - белый шум, используемый для моделирования; K(f) - функция АЧХ, соответствующая заданной СПМ.
Теперь необходимо определить, какая АЧХ соответствует заданной СПМ. СПМ шумов ОУ определяется формулой
где C - СПМ белого шума; K - коэффициент фликкер-шума; у - показатель степени фликкер-шума.
СПМ белого шума, используемого для моделирования, может быть преобразована к СПМ (8) с помощью фильтра с функцией АЧХ, равной квадратному корню данной СПМ:
где S(f) - спектр сигнала, который требуется смоделировать; (/) -
спектр белого шума.
Следует также учесть, что моделируемый сигнал является ограниченным по времени. Это означает, что в частотной области он является свернутым с частотной характеристикой прямоугольного окна:
где O(f) - частотная характеристика прямоугольного окна; T - длительность сигнала.
Прямой расчет по формуле (11) невозможен, так как в ней используется непрерывный спектр белого шума, поэтому эту формулу необходимо преобразовать.
Любые точки в спектре белого шума (f) являются некоррелиро-
ванными, следовательно, произведение (f)K(/) также обладает некоррелированными точками. После выполнения свертки с частотной характеристикой прямоугольного окна все точки спектра становятся коррелированными, за исключением точек, шаг между которыми равен величине, обратной длительности сигнала.
Для того чтобы сделать расчет по формуле (11) возможным, нужно выполнить следующую замену:
(8)
5 (f) = 5бш (f) К (f),
(9)
(10)
5 (/) = ( 5бш (/) К (/ ))* 0( /),
(11)
0(^) = т sin(лfT)
(12)
5 (fo) = ( 5бш (f) К (f)) * 0( f) = | 5бш (f) К (f )0( f - ^)# (13)
на
5 (Ь) = 5Б ш (Ь) | К (f )0( f - fo )4Т,
(14)
где 5ББш (fo) - спектр некоторого СП.
Так как спектр (11) в определенных точках является некоррелированным, то и спектр ^щ(/о) будет некоррелированным в этих точках.
Если выполнить дискретизацию спектра (14) с шагом, равным обратной величине длительности сигнала, то будет получено произведение дискретного спектра белого шума и свертки функции АЧХ фильтра с частотной характеристикой прямоугольного окна:
^ ( /о) = <%Ш ( /с)( к ( / )* 0( / )).
(15)
Чтобы уменьшить число переменных, от которых зависит форма спектра, определяемого по формуле (15), удобно поделить его на у/К :
5БШ (/0)
5 (/о) = -
С + К * 0(/)
/у ^
Л
4К
= 5
БШ
(16)
Тогда необходимо будет определить спектры только в зависимости от
С
отношения — и степени У .
к
Как правило, фликкер-шум в полосе частот до 10 Гц значительно преобладает над белым шумом, поэтому рассматриваться будут только те спектры, у которых
С
к
< 0,5.
(17)
Моделирование шумов произведено в два этапа. На первом этапе численными методами была рассчитана свертка в формуле (16) для различных
С С
значений — и у . Расчет выполнялся для значений — от 0 до 0,5 с шагом
кк
0,0025 и значений у от 0 до 1,9 с шагом 0,1. На рис. 2 показаны примеры поС
лученных результатов сверток (в данном случае у = 1, — = 0; 0,25; 0,5).
к
то И
£Гц
Рис. 2. Примеры результатов расчетов сверток
Используемый шаг по частоте равен 0,1 Гц, что соответствует минимальной длительности сигнала 10 с.
На втором этапе путем умножения рассчитанных функций АЧХ на спектр белого шума получены сигналы, моделирующие шумы ОУ.
3. Определение плотности вероятности размаха шума с помощью моделирования
Для расчета по формуле (16) использовался результат преобразования Фурье нормального белого шума с дисперсией, равной единице. Моделиро-
С
вание для каждого значения — и у выполнялось 25000 раз. Для каждого
К
случая рассчитаны значения размаха шума и представлены в виде гистограммы. На рис. 3 представлен пример гистограммы, полученной в результате моС
делирования шума с параметрами у = 1, —= 0,25.
К
С
Рис. 3. Гистограмма размаха шума для СП с параметрами у = 1, —= 0,25
К
Все полученные гистограммы незначительно отличаются друг от друга по форме, поэтому плотности вероятности для различных спектров могут быть приблизительно описаны с помощью плотности вероятности (5).
Так как плотность вероятности для любых значений у и С принима-
К
ется одинаковой, то для ее описания достаточно знать лишь дисперсию и среднее значение. По результатам моделирования получены зависимости
С
дисперсии и квадрата среднего значения от параметров у и — (рис. 4). На
К
полученных графиках ось с размерностью в 200 точек соответствует пара-
С 20
метру —, ось с размерностью 20 соответствует параметру у .
К
Полученные зависимости аппроксимированы с помощью полиномов третьего порядка.
С „ [ С ^ 2 Г С ^
—+ а 2 + а3
К V К ; V К,
Рис. 4. Зависимости дисперсии (а) и квадрата среднего значения (б) от параметров спектра
Аппроксимация зависимости дисперсии Б представлена формулами (18)—(22), а квадрата среднего значения т - формулами (23)-(27):
(18)
(19)
(20) (21) (22)
(23)
(24)
(25)
(26) (27)
а0 = Ь00 + Ь01 -у + Ь02-у2 + Ь03-у3, а1 = Ь10 + Ь11 -у + Ь12-у2 +Ь13-у3, а 2 = Ь 20 + Ь21 -у + Ь22-у2 +Ь 23-у3, а3 = Ь30 + Ь31 -у+ Ь32-у2 +Ь33-у3,
2 С
т = р0 + р1---+ р 2
К
С
\К у
+ р3
р0 = д 00 + д01 - у + д02 -у + д 03 -у , р1 = д10 + д11 -у + д12 -у2 + д13 -у3, р2 = д 20 + д 21 - у + д22 - у2 + д 23 - у3, р3 = д30 + д31 - у + д32 - у2 + д33 - у3 .
В табл. 1 и 2 приведены коэффициенты Ь00...Ь33 и д00... д33 (строки -первый индекс, столбцы - второй индекс).
Таблица 1
Коэффициенты Ь00...Ь33
Ь 0 1 2 3
0 1,590119Е-1 -2,187639Е-2 2,333247Е-3 -1,15013 9Е-4
1 5,213404Е-4 -4,520581Е-5 4,993642Е-6 -3,056311Е-7
2 -3,496642Е-6 9,412096Е-7 -6,569399Е-8 -2,525339Е-11
3 3,757002Е-8 -6,217924Е-9 -3,254795Е-10 9,351411Е-11
Таблица 2
Коэффициенты ц00... ц33
Ц 0 1 2 3
0 1,689842Е+1 -2,273 311Е+0 1,902133Е-1 -7,805933Е-3
1 4,285473Е-2 4,987299Е-5 -2,409173Е-5 6,159264Е-6
2 -2,473689Е-5 -6,120354Е-7 9,869314Е-7 -1,191552Е-7
3 3,920040Е-7 -6,620069Е-9 -1,324688Е-8 1,518473Е-9
Максимальные значения относительной погрешности аппроксимации для дисперсии и квадрата среднего значения равны 3,62 и 0,62 % соответственно, что находится на уровне флуктуаций расчетных значений.
4. Пример расчета плотности вероятности размаха шума
С помощью АПК [2] был записан шум ОУ 544УД2А продолжительностью 10 с. На рис. 5 показана временная диаграмма данного шума, фильтрованного в полосе частот от 0,1 до 10 Гц, и его СПМ без фильтрации.
Спектральная плотность мощности РМО Ц
б)
Рис. 5. Шум ОУ 544УД2А. Временная диаграмма шума, фильтрованного в полосе от 0,1 до 10 Гц (а) и СПМ (б)
После определения параметров СПМ данного шума с помощью формул (18)-(27) были рассчитаны среднее значение и дисперсия плотности вероятности размаха шума, которые составили 9,92 и 1,16 мкВ соответственно, что хорошо согласуется с экспериментальным результатом (10,4 мкВ). На рис. 6 показана полученная плотность вероятности.
Рис. 6. Плотность вероятности размаха шума для ОУ 544УД2А Заключение
Разработана методика, позволяющая определять вероятность появления того или иного значения размаха шума ОУ в зависимости от СПМ этого шума.
Чтобы определить плотность вероятности размаха шума для СП с из-
C
вестной СПМ, нужно найти параметры у и — этой СПМ и подставить их
K
в формулы (18)-(27). В результате будут получены значения математического ожидания и дисперсии плотности вероятности размаха шума, форма которой определяется формулой (5).
Разработанная методика позволяет значительно сократить время проведения эксперимента по определению шумовых параметров ОУ. Применяется для определения размаха шума в АПК, описанном в [2].
Список литературы
1. Пучков, М. В. Измерение шумовых параметров операционных усилителей с применением аппаратно-программных средств National Instruments / М. В. Пучков, А. В. Светлов, В. С. Чайковский // Надежность и качество : труды Международного симпозиума : в 2 т. - Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2007. - Т. 1. -С. 355, 356.
2. Чайковский, В. С. Измеритель шумовых параметров операционных усилителей / В. С. Чайковский // Проблемы автоматизации и управления в технических системах : труды Международной научно-технической конференции. - Пенза : Инф.-изд. центр ПензГУ, 2008. - С. 160-163.
3. Noise analysis in operational amplifier circuit. Application report. Texas instruments incorporated, 2007. - Режим доступа: focus.ti.com/lit/an/slva043b/slva043b.pdf
Чайковский Виталий Сергеевич
аспирант, Пензенский государственный университет
E-mail: [email protected]
Светлов Анатолий Вильевич
доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой радиотехники и радиоэлектронных систем, Пензенский государственный университет
E-mail: [email protected]
Tchaykovsky Vitaliy Sergeevich Post graduate student,
Penza State University
Svetlov Anatoly Vilyevich
Doctor of engineering sciences, professor, head of sub-department of radio engineering and radio-electronic systems, Penza State University
УДК 621.317.18 Чайковский, В. С.
Методика определения плотности вероятности размаха шума операционных усилителей / В. С. Чайковский, А. В. Светлов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2011. -№ 3 (19). - С. 105-114.
