CC BY
2
Mechanical engineering occupies a leading position among the industries. Its key role is to create functional and efficient machines used in various fields such as automotive, aviation, energy, shipbuilding, etc. Mechanical engineering includes not only the design and manufacture of machines, but also their maintenance, modernization and repair. It is also associated with the development of new technologies and materials that make it possible to create more advanced and efficient machines. In addition, the development of this industry contributes to increasing labor productivity and reducing production costs through automation and the introduction of new technologies. Technological progress is based on scientific achievements, innovations and new developments that millions of researchers and specialists around the world are working on. The year 2011 opens the era of Industry 4.0, the technologies of which are gradually being implemented at domestic engineering enterprises. The purpose of this work is to analyze the state of the mechanical engineering industry in Russia and the prospects for the implementation of new technologies within Industry 4.0.
Key words: quality in mechanical engineering, Industry 4.0, automation in industry, robotics, big data.
Chalenko Alexandra Viktorovna, candidate of technical sciences, ce1 @bmstu-kaluga. ru, Russia, Moscow, Bauman Moscow State Technical University,
Kovaleva Olga Andreevna, undergraduate, olga_kovaleva_2001@mail. ru, Russia, Moscow, Bauman Moscow State Technical University,
Sotskova Ekaterina Alexandrovna, undergraduate, k18062001@gmail. com, Russia, Moscow, Bauman Moscow State Technical University
УДК 658.5:519.24
DOI: 10.24412/2071-6168-2024-4-83-84
МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ КОНТРОЛЬНЫХ КАРТ
В.П. Рязанский, С.В. Юдин
В статье приведено исследование одномерных контрольных карт Шухарта для количественных данных. Подробно изложено построение карты средних, карты стандартных отклонений, карты размахов и карты индивидуальных значений. Представлены формулы коэффициентов для нахождения линий контрольных карт. В работе представлены формулы для вычисления математического ожидания и дисперсии выборочных размахов. Рассмотрена относительная эффективность выборочного размаха и представлена таблица ее значений. Вычислена плотность распределения выборочного стандартного отклонения и получено выражение для его математического ожидания. Представлены оригинальные статистики для построения контрольных карт. Вычислены плотность и функция распределения данных статистик на основе двух различных подходов.
Ключевые слова: менеджмент качества, контрольные карты, методика определения параметров контрольных карт, построение границ контрольных карт, распределение статистик контрольных карт.
Анализ статистических методов управления качеством, описанных в литературе [3, 5, 6.. .19, 21, 23 и др.] и государственных стандартах [1, 2 и др.], показал, что основную роль в настоящее время играют контрольные карты.
Подробное изложение метода контрольных карт приведено в книге Миттаг X., Ринне X. [7], Шторм Р. [13]. В отечественной литературе описание контрольных карт можем найти у Жулинского С.Ф. [3], а также в учебных пособиях Солонина С.И. [8] и Щеголевой С.А. и Титова П.Л. [14]. В сборнике научно-методических материалов «Управление качеством. Современные статистические методы контроля и управления качеством продукции на производстве» представлены несколько статей на тему контрольных карт [15]. Шпер В.Л. опубликовал в журнале «Методы менеджмента качества» серию статей на тему контрольных карт [10 ... 12]. По теме многомерных контрольных карт написано одна докторская диссертация и около десятка кандидатских диссертаций. В 2021 году вышла монография Клячкина В.Н. «Статистические методы в управлении качеством» [5.]
Однако в дискурсе, связанном с построением контрольных карт, наблюдается некоторая недосказанность. Несмотря на их вековую историю, современная литература по контрольным картам часто упрощает их построение до таблицы со значениями коэффициентов A, Al, A2, Aз, Bз, B4, B5, B6, C4, d2, dз, Dl, D2, Dз, D4. При этом возникает ряд вопросов, на которые представлены скудные объяснения: в чем смысл данных коэффициентов, каковы методы их вычисления, каким образом одни коэффициенты связаны с другими. Этот пробел в литературе подчеркивает своевременность, актуальность и значимость исследования авторов.
Модель контрольных карт Шухарта. Модель контрольных карт, разработанная Уолтером А. Шухартом в 1920-х годах, заложила основу для современного статистического управления процессами. Основным понятием этой модели является статистика V некоторой характеристики качества. Обозначим среднее данной статистики
через V и ее стандартное отклонение через Gv . Центральная линия представляет среднее значение процесса. Компоненты, параметры контрольной карты СЬ, Цсь и Ьсь рассчитываются по формулам: Цсь = V + к х^ - верхний контрольный предел; СЬ = V - центральная линия; Ьсь = V - к х^ - нижний контрольный предел.
Здесь к — коэффициент, определяющий расстояние контрольных пределов от центральной линии в единицах стандартного отклонения. Исторически значение к равное 3 стало стандартом в промышленности. Это значение при некоторых условиях определяет баланс между чувствительностью и риском ложных срабатываний. В настоящее время идет активное распространение концепции «Шесть сигма» (к=6).
Для каждой контрольной карты возможны две ситуации: значения параметров процесса не заданы и значения параметров процесса заданы.
Рассмотрим следующие контрольные карты для количественных данных, когда результатами наблюдений являются непрерывные величины:
1) карты средних X , размахов R или выборочных стандартных отклонений S;
2) карты индивидуальных значений X и скользящих размахов Кш.
Гипотезы и применяемые статистики. Основная гипотеза при использовании контрольных карт для количественных данных, что контролируемая характеристика подчиняется нормальному распределению с известными или неизвестными параметрами / , и .
Карты средних и выборочных стандартных отклонений. Рассмотрим случай, когда параметры процесса заданы, то есть известны /0, и0. Выборочная дисперсия S2 есть несмещенная оценка параметра и2. При этом выборочное стандартное отклонение S имеет смещение. Можно отметить, что выражение для математического ожидания S получено в [4] с помощью формулы Стирлинга:
ЕБ = сиз,
где c4 ■■
— r|n 2 12
n -1 г| n -1 2
Используемые ниже параметры (множители) А, А1, А2, А3, В3, В4, В5, В6, с4, упомянутые выше, описаны в табл. 1.
Таблица 1
Множители и их описание
Формула множителя Назначение множителя
A 11 n I 3 Вычисление показателей Х-карты. Контрольные границы заданы.
л 3 A a2 = —-¡= = — d2\n d2 Вычисление показателей Х-карты с помощью Я среднего выборочных размахов.
A3 = У C4V n Вычисление показателей Х-карты с помощью 5 среднего выборочных СКО.
B3 = 1 -A^ = BL c4 c4 Вычисление нижней границы 5-карты с помощью 5 среднего выборочных СКО.
B4 = 1 - c2 = B6 C4 C4 Вычисление верхней границы 5-карты с помощью 5 среднего выборочных СКО.
B5 = C4 - 3^1 - C4 Вычисление нижней границы 5-карты. Контрольные границы заданы.
B6 = C4 + 3^1 - C4 Вычисление верхней границы 5-карты. Контрольные границы заданы.
Коэффициенты зависят только от объема выборки п и могут быть вычислены предварительно. Среднее квадратическое отклонение статистики S может быть выражено через начальные моменты таким
образом:
'
-JVarS = Var (S 2) - Var (s)2 = Отсюда, показатели контрольной S -карты имеют вид:
ucl = ст0 + к =(1 + З^-фсто = B6a0; CL = а0; LqL = Oq - к = (1 - - C4 )ст0 = B5CT0
Известно, что дисперсия статистики X равна /n . Поэтому показатели контрольной X -карты запишутся следующим образом.
З З
Ucl = М0 + kxaX = №0 +ст0"г = ^0 + Aa0'; CL = Lcl =a) -кxctx =m>= ^0 -Aa
Vn Vn
В случае, когда параметры процесса не заданы, неизвестные параметры ц0, ст0 заменяем их несмещенными оценками. Так, статистика S / С4 является несмещенной оценкой параметра ст0. Теперь можем записать компоненты, показатели S -карты:
UCL = S + к xaS = (1+—J1 - c4)S = B4S ; CL = S ; LCL = S - к xaS = (1 -—Jl - cj )S = B3 S .
C4 ' 4 C4 * 4
Статистика X -есть несмещенная оценка параметра ц0 - математического ожидания измеряемой харак-
— 2
теристики качества. Дисперсия статистики X равна од /n . В следующем разделе будет подробно рассмотрен стандартизованный размах W=R/ct. Сейчас мы воспользуемся тем, что математическое ожидание случайной величи-
ны W обозначается через (12 и зависит только от объема выборки п: <2 = ЕШ = Е(Я/а). Замена математического ожидания ER несмещенной оценкой Я приводит к оценке параметра а0 в виде Я / <2 . Теперь можем записать показатели X -карты с помощью среднего размаха Я :
UCL = X + k xcx = X + 3—^ = X + A2R; CL = X ; Lcl = X - k xcx = X - = X - A2R ■
d2\ n d2 V n
Компоненты X -карты запишутся через среднее стандартное отклонение £ , если воспользуемся тем фактом, что несмещенной оценкой параметра а является статистика £ / С4 :
UCL = X +k xcx = X +3-^ = X + A3S ; CL = X ; LCL = X - k xcx = X - 3—^ = X - A3S
C4V n C4V n
При этом заменили неизвестный параметр ст0 несмещенной статистикой £ / С4 .
Стандартизованный размах и его моменты. Для построения показателей R-карты необходимо вычислить математическое ожидание и дисперсию размаха R. Чтобы математическое ожидание не зависело от параметра а рассмотрим случайную величину Ъ=Х/а и стандартизованный размах W=R/а. Математическое ожидание R определяется следующим выражением [16]:
да
ЕЯ = аЕШ = а |[1 - (1 — Ф(г))п — Ф(г)п < .
—да
Случайная величина Ъ имеет стандартное нормальное распределение с функцией Ф^). Для величины EW в литературе принято обозначение 12. Тогда для математического ожидания ER приходим к соотношению:
ЕЯ = аЕШ = стё2.
Второй начальный момент для W вычисляется по формуле [16]:
да V
т2
EW2 = 2 J J[1 -(1 -Ф(и))n-ФО)п + (ФО)-Ф(и))n]dudv ■
Теперь выразим дисперсию W через начальные моменты:
VarW = ЕШ 2 — (ЕШ)2 .
Для среднеквадратичного отклонения W принято обозначение 13. Это приводит к соотношению между 12
и d3:
d3 = VVarW EW2 - (EW)2 EW2 - d22 ■
Тогда
■\JVarR = С VarW = cd3 Величины d2 и d3 зависят только от объема выборки n.
R-Карты размахов. На основе выражений для моментов статистики R можем записать параметры контрольной карты размахов. Математическое ожидание размаха выражается так ER= с0 d2. Среднее квадратическое
отклонение статистики R может быть записано таким образом: ■JVarR = c0d3 ■
Для случая заданных параметров процесса ц0, с0 показатели R-карты представятся в следующем виде: Ucl = ER + k X Cr = Cgd2 + 3cod3 = (d2 + 3d3)cq = D2C0 ; CL = ER = C)d2 ;
Lcl = ER - k X Cr = Cod2 - 3cod3 = (d2 - 3d3)co = DCo ■ Пусть параметры процесса |o, с0 не заданы. Заменим математическое ожидание размаха несмещенной оценкойR :
R = Cod2
Тогда показатели R-карты запишутся так:
Ucl =Í1 + ^Vo =Í1 + ^ > = D4R = %-r ; CL = R ; Lcl =fl - 3-f\d2Co = fl - ^Ф = D3R = ^R ■ У d2 ) y d2 ) d2 ^ d2 ) y d2 ) d2
В табл. 2 представлены формулы коэффициентов для нахождения линий контрольных карт. Одни из первых таблиц опубликованы Х.Л. Хартером [20]. Таблица содержала значения математического ожидания, дисперсии, асимметрии и четвертого начального момента с десятью десятичными знаками для n=2, ...,
m
Можно показать, что при n от 7 до 25 вероятность ложной тревоги находится в интервале от 0,0044 до 0,0047. При n от 2 до 6 нижняя граница LCL меньше нуля, поэтому ошибка первого рода достигает значения, равного 0,00915.
X-карты индивидуальных значений и скользящих размахов Rm. Карта индивидуальных значений и
скользящих размахов есть частный случай X -карты и R-карты при числе наблюдений равном n = 1 для средних и n
= 2 для размахов. При заданных параметрах процесса |o, с0 показатели контрольной X -карты запишутся следующим образом
-ТО -ТО
Цсь — Мо + кхао — Мо — Мо + 3ао ; сь — щ; Ьсь — мо -кхао = Мо -ао^г — И -3ао.
V« Vй
Например, по табл. 2 находим, что D1 = 0; D2 = 3,686; (12 = 1,128. Тогда показатели Я -карты запишутся таким образом:
Цсь — ЕЯ + к хая — С^ао — 3.686<го ; СЬ — —1128-сто; Ьсь — ЕЯ - к хтя — —То — о.
Расчетные формулы коэффициентов D1, D2, D3, D4
Таблица 2
Формула множителя Назначение множителя
—1 — d2 - 3dз Вычисление нижней границы Я-карты. Контрольные границы заданы.
—2 — d2 + 3dз Вычисление верхней границы К-карты. Контрольные границы заданы.
—3 — 1 - М — -1 d2 d2 Вычисление нижней границы Я-карты с помощью К среднего выборочных размахов.
—4 — 1 + ^ — d2 d2 Вычисление верхней границы К-карты с помощью К среднего выборочных СКО.
Пусть параметры процесса цо, т0 не заданы. По табл. 1 находим, что А3 = 2,659. Показатели контрольной X -карты таковы
Цсь — X + к хах — X + Л3Б — X + 2,6595 ; сЬ — X; Ьсь — X - к хах — X - Л3Б — X - 2,6595 . По табл. 2 находим, что при п = 2 коэффициенты D3 = 0; D4 = 3,267. Тогда показатели R-карты запишутся
так:
Цсь — С4 Я — 3.267Я ; сь — Я; Ьсь — С3 Я — о.
Относительная эффективность статистики ^ Рассмотрим относительную эффективность статистики R против статистики S при оценивании параметра нормального распределения а. В качестве показателя эффективности обычно принимают отношение дисперсий несмещенных оценок. Одним из способов удалить смещение является вычисление корректирующего множителя и последующего деления на этот множитель. Известно, что S2 есть несмещенная оценка а2. Но при этом математическое ожидание S = с4а. Обычно показатель эффективности определяется как отношение дисперсий, поэтому будем рассматривать выборки из стандартной нормальной популяции:
2 2
-(ЕБ У — 1 - с4 . Математическое ожидание R, размаха стандартных нормальных
ц=о, а=1.. Поэтому УагБ — ЕБ
выборок обозначали через 12 и дисперсию через ^ . Тогда относительная эффективность статистики R против статистики S при оценивании параметра нормального распределения а равна:
е(Я, Б ) =
Б
Уаг\ — I / Уаг\ С4 ) I ^ 2
Я
1 - с2 d,2 ■—
с 2 d 3
42
Посмотреть на относительную эффективность оценок со стороны еще одного показателя. Коэффициент вариации часто бывает полезнее стандартного отклонения, каковое должно рассматриваться вместе со средним значением. Сверх того, коэффициент вариации есть безразмерная величина, в отличие от стандартного отклонения. Требуется известная осмотрительность в случае, когда коэффициент вариации близок к нулю, так как он становится чувствительным к малым изменениям среднего. Запишем коэффициент вариации для случайных величин S, R:
суБ —
лУшБ
суЯ —
ЕБ ' ЕЯ
Теперь относительная эффективность статистики R против статистики S перепишется таким образом
2 г л2 суБ
суЯ
Таким образом, чем больше коэффициент вариации первой статистики чем второй статистики, тем ниже относительная эффективность первой.
В табл. 3 представлены значения относительной эффективности статистики R для значений п от 2 до 25.
Относительная эффективность статистики R
Таблица 3
п е(Я, Б) п е(Я, Б) п е(Я, Б) п е(Я, Б)
2 1 .ооооо 8 о.88995 14 о.78о89 2о о.7оо23
3 о.99186 9 о.86947 15 о.76574 21 о.68885
4 о.97519 1о о.84991 16 о.75135 22 о.67796
5 о.95477 11 о.83129 17 о.73764 23 о.66752
6 о.933о4 12 о.81361 18 о. 72459 24 о.6575о
7 о.91124 13 о.79682 19 о.71213 25 о.64788
Таблица со значениями эффективности в литературе представлены крайне редко и лишь для значений п
от 2 до 6.
Плотность статистики S, ее математическое ожидание и множитель с4
Явное выражение для плотности статистики S редко представлено в литературе. Математическое ожидание S, которое принято обозначать через с4, может быть найдено с помощью плотности случайной величины S. Для
2 2 2
выборочной дисперсии S случайная величина х = (п _ 1)Б /а имеет распределение Пирсона с (п-1) степенями свободы. Тогда функция распределения S2 может быть записана таким образом:
у _ 1 у ( _ 1 Л
^2 (у) = | /,2 № = П_Г 1/21 ^, п _ 1 и ,
0 а о х V а )
п—1 —1
? 2 ехр| ——
где / 2 п — 1) =-1-^^-— - плотность хи-квадрат распределения. С другой стороны, по определению функ-
2 2 Г П _1
2
ция распределения задается следующим образом:
^2 (у) = 2 <у} = р{ <4у }= Fs Уу)
При извлечении корня учли тот факт, что S принимает только положительные значения. Продифференцируем по у равенство и учтем, что производная функции распределения равна плотности:
Гз2(у)=^== ' /,Цу).
Б иу иу г^у '
Обозначим д/у через и. Тогда
/Б(ц) = 2цГ 2(и2)= 2иП_-/ 2 Б а2 X
/
2 п _ 1 и -, п _ 1
а2
Отсюда находим математическое ожидание S:
1х I 1
,п _ 1 г 2 г | 2 п _ 1
-■ / ■■
X
ЕБ = | и/, (ц)оИ = 2—— | и / 21 и —п _ 1 |оИ 0 а 0 х \ а
Сделаем замену х = и2 и перейдем к явному выражению плотности хи-квадрат: а2
ЕБ =|и/ 2 (и2 —21,п _ 1)^Iи2 ———) = | а ^ / 2(х,п _ 1)а^ = 0 х а V а ) 04п_1 х
^ ( х Л (п \ п . с 2 ехр|--| I- Г| — | х х2 ехр
2) их = а.1 2 —.А 2 ). I-V—2) их
\п _ 1Г( п _ 1 V
2'_■ Г(п_1) _' Г1V) 0 22г|п
Интеграл от плотности хи-квадрата равен единице. Поэтому окончательно получаем
ЕБ--
Г| п
2 V 2)
= С4а .
, г[ .21
Множитель с4 устраняет смещение статистики S как оценки параметра а.
Статистики Yk, Vk. Плотность и функция распределения. Пусть XI, ..., Хп случайная выборка из совокупности с плотностью и функцией распределения £(х), F(x) соответственно. В данном случае мы не делаем предположений о нормальности распределения или каком-либо другом виде распределения. Обозначим через Z1 < ... < 7и порядковые статистики на выборке Х1, ..., Хп . Определим статистики УХ Vk следующим образом
¥к = +1 + )/2,ук = (ZИ—к+1 _ )/2 О
Математическое ожидание статистики ЕУк = +1 + )/2] = ЕХ , то есть совпадает с математиче-
ским ожиданием совокупности, поэтому может быть использована для описания среднего уровня процесса. Статистика Vk может быть использована как мера разброса процесса. Так при к = 1 выборочный размах R = 2V1.
Таким образом, пара статистик Ук, Vk может быть использована для построения контрольных карт. Одно из преимуществ статистики Vk -устойчивость к выбросам. Так при наличии всего одного выброса размах выдаст искаженное значение разброса. Этот выброс обязательно войдет в расчет размаха по его определению. При этом статистика Vk не отреагирует на данный выброс. Недостаток статистики Vk - некоторое снижение эффективности. Известно, что невозможно одновременно повысить эффективность и устойчивость к выбросам статистики.
СО
П
Еще одно преимущество от введения статистик УХ Vk заключается в следующем. Для построения контрольной карты возможно применять другие пары статистик. Например, выборочное среднее X и Ук или медиану и Vk. Сверх того, можем применять такие пары статистик: Ук и размах R или Ук и стандартное отклонение S.
Для определения компонент контрольной карты необходимо уметь вычислять математическое ожидание и дисперсию статистик Ук, Vk. Кроме того, необходимо вычислять квантили по заданному уровню значимости. Для этого требуется знание плотности и функции распределения этих случайных величин. Совместная плотность распределения двух порядковых статистик Ук, Vk описывается следующей функцией [22]:
fzk ¿п-к+1(х, z) = anF(х)кz) - F(x))n-2k (1 - F(z))k-1/(х) f (z), х < z , (2)
и!
где ап =
(k - 1)!(и - 2k )!(k -1)!
С учетом определения статистик Ук, Vк (1), переменные, описывающие их значения, связаны с переменными значений порядковых статистик Zk и Zn-k+1 следующими соотношениями у = —+—; V = ~~Х ■ Выразим старые переменные через новые х=у-у, z=y+v. Якобиан перехода равен 2.
В результате можем записать совместную плотность статистик Ук, Vk:
/ук ,Ук (у,V) = 2ап¥(у - vf-X(F(у + V) - ^у - v))n-2k •
•(1 - F(у + у))к-1/(у - V)/(у + V), V > 0 Маргинальные плотности могут быть найдены интегрированием по нежелательной переменной:
то то
/Ук (у) = | /ук ук Су М = | /ук ук (у ^у ■
0 -то
Так, например при к = 1 выборочный размах R=2V1 и переменные связаны соотношением v=r/2. Тогда плотность размаха запишется таким образом:
/я (г) = 2 Ч (21 = п(п -1) I
F |у+2)-' (у- 2 Г / (■у- Г)/(■у+2
Ранее авторы отмечали, что представленные формулы для плотностей у (у),/у^ (V) верны для произвольных функций распределения F(x) характеристики качества X. Какие шаги нужно сделать для того, чтобы воспользоваться на практике полученным результатом. Принять какую-либо гипотезу относительно закона распределения F(x) характеристики качества X. Оценить параметры распределения. Вычислить математическое ожидание и дисперсию статистик Ук, Vк с помощью их плотностей у (у),/ук (V). После чего находим компоненты контрольных карт по формулам из табл. 1. Контрольная карта готова к применению.
Выводы. На основе модели контрольных карт Шухарта изложено построение карты средних, карты стандартных отклонений, карты размахов и карты индивидуальных значений. Представлены пояснения о смысле коэффициентов с4,йз . Показаны способы расчета данных коэффициентов. Изложен подробный вывод и получены формулы коэффициентов А,А2,Аз,В3,В4,В5,Вб , а также Д,Д>2,Дз,£4 для нахождения линий контрольных карт.
Представлены таблицы со значениями множителей для карты средних А, А2, А3 , множителей В3,В4,£5,Вб для карты стандартных отклонений и множители Д,£>2,Дз,Д4 для карты размахов. Таблицы также содержат значения математического ожидания и стандартных отклонений статистик с4,й2,й3 , применяемых в контрольных картах. Сверх того, таблицы содержат значения вероятностей ложной тревоги, ошибок первого рода для карты размахов.
В работе представлены формулы для вычисления математического ожидания и дисперсии выборочных размахов, обозначаемых через ¿2,йз ■
Рассмотрена относительная эффективность выборочного размаха и представлена таблица ее значений.
Вычислена плотность распределения выборочного стандартного отклонения и получено выражение для его математического ожидания, обозначаемого через с4 ■
В статье представлены оригинальные статистики Ук,Ук для построения контрольных карт. Вычислены
плотность и функция распределения данных статистик на основе двух различных подходов.
Отрасли и сектора, где поддержание и улучшение качества имеют решающее значение, такие как машиностроение, производство оборонной продукции в значительной степени полагаются на статистические методы для мониторинга и управления процессами. Детальное изучение контрольных карт Шухарта позволяет использовать основные методики для выявления отклонений в процессах, что позволяет своевременно принимать меры для поддержания стандартов качества.
Работа вносит вклад в академическую и практическую базу знаний, представляя углубленный анализ, включая формулы коэффициентов для контрольных линий, таблицы со значениями множителей, а также расчеты математических ожиданий и стандартных отклонений. Эта подробная информация имеет решающее значение для специалистов и исследователей, которые применяют эти контрольные карты на предприятиях машиностроения.
Введение оригинальных статистик для построения контрольных карт и исследование двух различных подходов к расчету плотности и функции распределения этих статистических данных подчеркивают инновационный
аспект и научную новизну исследования. Работа раздвигает границы современных знаний и предоставляет новые инструменты и перспективы для исследователей и практиков в этой области.
Список литературы
1. ГОСТ Р ИСО 7870-1-2011. Статистические методы. Контрольные карты. Ч.1. Общие принципы. М.: Стандартинформ, 2012. 20 с.
2. ГОСТ Р ИСО 7870-2-2015. Статистические методы. Контрольные карты. Ч.2. Контрольные карты Шу-харта. М.: Стандартинформ, 2019. 42 с.
3. Жулинский С.Ф., Новиков Е.С., Поспелов В.Я. Статистические методы в современном менеджменте качества. М.: Новое тысячелетие, 2001. 208 с.
4. Крамер Г. Математические методы статистики.-М.: Мир,1975. 719 с.
5. Клячкин В.Н. Статистические методы в управлении качеством: компьютерные технологии. М: Финансы и статистика, 2021. 304 с.
6. Коуден Д. Статистические методы контроля качества / Пер. с англ.; Под ред. Б.Р.Левина. М.: Физма-тгиз, 1961. 623 с.
7. Миттаг X., Ринне X. Статистические методы обеспечения качества / Пер. с нем.; Под ред. Б.Н.Маркова. М.: Машиностроение, 1995.616 с
8. Солонин С.И. Метод контрольных карт: учебное пособие. Екатеринбург: Изд-во УР-ФУ, 2014. 214с.
9. Шиндовский Э., Шюрц О. Статистические методы управления качеством / Пер. с нем. М.: Мир, 1976.
597 с.
10. Шпер В.Л. Инструменты качества и не только! Часть 6. Контрольные карты Шухарта // Методы менеджмента качества. 2021. № 10. С. 54-60
11. Шпер В.Л. Инструменты качества и не только! Часть 7. Контрольные карты Шухарта // Методы менеджмента качества. 2022 (Продолжение). № 2. С. 48-54.
12. Шпер В.Л. Инструменты качества и не только! Часть 8. Контрольные карты Шухарта // Методы менеджмента качества. 2022. № 4. С. 54-58
13. Шторм Р. Теория вероятностей. Математическая статистика. Статистический контроль качества.-М.: Мир,1970. 368 с.
14. Щеголева С.А., Титов П.Л. Контрольные карты: учебное пособие для вузов. Владивосток: Изд-во Дальневосточного Федерального Университета, 2023. 52 с.
15. Юдин С.В., Остапенко С.Н., Протасьев В.Б. и др. Управление качеством. Современные статистические методы контроля и управления качеством продукции на производстве / Под редакцией проф. С.Н. Остапенко. Москва, 2020. 184 с.
16. Tippett, L. H. C. On the Extreme Individuals and the Range of Samples from a Normal Population. Bio-metrika, 1925, vol 17, p.364-387.
17. Tippett, L.H.C. The Methods of Statistics. London: Williams and Norgate; New York: John Wiley and Sons, 4th Edition, 1952. Pp. 395.
18. Shewhart, W. A. Quality Control Charts. Bell System Technical Journal,1926, 5, 593-603
19. Shewhart W. Economic control of quality of manufactured products. Princeton N.Y.D., 1931. p.501
20. Harter, H. L. Tables of range and studentized range. Ann. Mathemat. Statist. 31(4), 1960. P.1122-1147.
21. Montgomery, D. C. (2000). Introduction to Statistical Quality Control, 4th ed., Wiley, New York, NY
22. Mood, A. Introduction to the theory of statistics. 3rd ed. New York: McGraw-Hill, 1974, 564 p.
23. Ryan, T.P. (2000). Statistical Methods for Quality Improvement, 2nd ed., Wiley, New York, NY.
Рязанский Валерий Павлович, ведущий инженер-математик отдела надёжности, kot-aldo@yandex. ru, Россия, Москва, АО «ГосНИИП»,
Юдин Сергей Владимирович, д-р техн. наук, профессор, [email protected], Россия, Тула, Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова (тульский филиал)
THE METHOD OF DETERMINING THE PARAMETERS OF CONTROL CARDS V.P. Ryazanskiy, S.V. Iudin
The article presents a study of univariate Shewhart control charts for quantitative data. The construction of a map of averages, a map of standard deviations, a map of ranges and a map of individual values is described in detail. Coefficient formulas for finding control chart lines are presented. The paper presents formulas for calculating the mathematical expectation and dispersion of sample ranges. The relative efficiency of the sampling range is considered and a table of its values is presented. The distribution density of the sample standard deviation is calculated and an expression for its mathematical expectation is obtained. The article presents original statistics for constructing control charts. The density and distribution function of these statistics are calculated based on two different approaches.
Key words: quality management, control maps, methods for determining the parameters of control maps, construction of control map boundaries, distribution of control map statistics.
Ryazansky Valery Pavlovich, leading engineer-mathematician of the reliability department, kot-aldo@yandex. ru, Russia, Moscow, JSC «GosNIIP»,
Iudin Sergey Vladimirovich, doctor of technical sciences, professor, sviudin@rambler. ru, Russia, Tula, Plekhan-ov Russian University of Economics (Tula branch)
