Методика определения конечного состояния региона как целевой точки устойчивого развития с помощью теоретико-игрового подхода Текст научной статьи по специальности «Математика»

о

тН

О

(N

Е.С. Чернова

УДК 519.86 ББК 65.23

МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОНЕЧНОГО СОСТОЯНИЯ РЕГИОНА КАК ЦЕЛЕВОЙ ТОЧКИ УСТОЙЧИВОГО РАЗВИТИЯ С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕТИКО-ИГРОВОГО ПОДХОДА

Рассмотрены вопросы исследования проблемы устойчивого развития региона методами математического моделирования. При помощи теоретико-игрового подхода разработана методика нахождения целевой точки устойчивого развития, т.е. планируемого конечного состояния региона.

Ключевые слова: математическое моделирование, теория игр, оптимальное управление, конечное состояние региона.

Ye.S. Chernova

USING THE THEORETICAL AND GAMING APPROACH TO DETERMINING A LONG-TERM GOAL OF SUSTAINABLE DEVELOPMENT

The article studies problems of sustainable development of region by means of mathematical modeling methods. The theoretical and gaming approach is used to work out a technique of determining a long-term goal,

i.e. a planned ultimate state of economic development of region.

Keywords: mathematical modeling, game theory, optimal control, ultimate state of economic development of region.

SSI

KS г

MhSI

HSS

H5l

Eh< §

ОЙ"

%<s ^ 1

5s 1

S I

8s! ИН 25 о

ChO!

£s§||

E40 I See

H

H

о

H

pq

CO

H

В настоящее время, в связи с отсутствием общего систематизированного подхода к изучению проблематики устойчивого развития как нового обширного направления человеческой деятельности, в основу методологии исследования этой глобальной задачи может быть положено математическое моделирование как способ научного познания, позволяющий охватить все его аспекты и представить результаты в наиболее объективном ракурсе.

Прежде всего, математическая модель устойчивого развития должна отвечать триединой концепции, т.е. включать модели отдельных секторов: социального, экономического и экологического, причем они не могут рассматриваться обособленно друг от друга. Еще одним свойством модели может быть выделено такое требование, как управляемость, которое даст возможность поиска оптимальных путей развития общества на математической основе теории оптимальных процессов с эффективными алгоритмами поиска управляющих функций.

Кроме того, развитие такой сложной системы, как человеческое общество, более уместно будет представить как стремление оптимизировать векторный критерий, а в качестве основных принципов процесса устойчивого развития рассматривать сбалансированность и состоятельность во времени траектории триады «экология-экономика-социология», то есть принципы оптимального (в том или ином смысле) поведения общества, принятые в начальный момент времени (в начальном состоянии системы), должны оставаться таковыми постоянно при движении вдоль выбранной траектории (выбранного сценария развития) системы вплоть

© Е.С. Чернова, 2010

©

тН

О

<М

«К1

2нё Яч >

МнЗ|

нйе

«31

НА

ой-

^ 1

5к 1

^ Л £ ё§! ь Е

« ^ I

8Н! й§ о

ул* ЕнО а

*МЦ МО I £И4

нее

И

н

н

о

н

м

со

Н

до конечного момента времени, т.е. до прихода системы в предопределенное конечное состояние [2].

Важным аспектом исследования данной проблемы является изучение области управляемости — тех точек фазового пространства, из которых система может быть приведена в заданное состояние с помощью допустимых управлений, так как для того чтобы составлять программу перехода общества к устойчивому развитию, необходимо сначала привести систему в то начальное положение, из которого она может быть переведена в заданное терминальное множество.

Для управления процессом перехода к устойчивому развитию и оценки эффективности используемых средств следует устанавливать целевые ориентиры и ограничения с обеспечением процедуры контроля за их достижением [1]. В состав целевых параметров устойчивого развития необходимо включать характеристики состояния окружающей среды, хозяйства и населения. Поэтому наряду с задачей поиска начального состояния системы, возникает также задача определения целевой точки устойчивого развития, рассматриваемая в данном докладе.

Принимая во внимание содержательный смысл устойчивого развития, под фазовым состоянием региона будем понимать вектор (х1, х2, х3), где х1 — совокупность данных, характеризующих экономику региона; х2 — состояние окружающей среды; х3 — социальное состояние региона. Пусть каждая из трех перечисленных сфер снабжена своими «рулями управления»: (и1, и2, и3) , отражающими финансовое, законодательное и другие способы воздействия.

В рассматриваемой в докладе модели взаимосвязь между тремя сферами деятельности в регионе будет отражаться наличием параметров ац (с учетом равенства ац = ац^.

Предположим, что экспертным путем при помощи статистических данных выявлены аналитические виды функций f1, f2, f3, отражающих зависимости фазовых состояний трех подсистем от управляющих параметров. Обозначим через F1, F2, F3 критерии качества, количественно оценивающие степень достижения цели управления тремя сферами развития региона.

Тогда абстрактную модель устойчивого развития региона можно представить следующим образом [3]:

х^г) = ^(х^ -1), и^), «12, «1э), х2<*) = f2(X2(t - 1), И2(г), «21, «23),

*3^) = fз(Xз(t-1), Щ(г), «31, «32),

г = 1, 2, ..., т,

х1(0) = х°, х2(0) = х°, х3(0) = х°, и1(г) еи1, и2(г) еи2, и3(г) еи3, г = 1, 2,..., т, х1(Т) = х1, х2(Т) = х'тт, х3(Т) = хтт,

(1)

(2)

(3)

(4)

F1(х1l, и1(-), а12, а13) ^ max(min),

• F2(X20, ^(0, а21, а23) ^ max(min), (5)

F3(х{^, и3(-), а31, а32)^ тах(тт).

Полученная модель является дискретной задачей оптимального управления со многими критериями качества.

©

тН

О

<М

«К1

2нё ЯЧ г

нйе

н31

Ен^ І

ой-

^ 1

5к 1

^ Л £ ё§|

« VI

8Н! й§ о

ул* ЕнО а

£мщ

МО I £И4

Н®Є

И

н

н

о

н

м

со

Н

Предположим для простоты, что развитие секторов в каждый год t е[0, Г] происходит пропорционально вкладываемому капиталу, т.е. если и* — капиталовложение, направляемое в год на развитие сектора

i, то имеет место соотношение:

х;(Ь +1) = х;(Ь) + аЬщ(Ь), t = 1, 2, ..., Г.

С помощью теоретико-игрового подхода, который применим для учета зависимостей секторов региона друг от друга, определим конечное состояние ХГ тия региона.

как целевую точку устойчивого разви-

Ш Ш Ш /71

Пусть вектор х = Х , х2 , х3 ) представлен в виде

хт = гТ + уТ, где гТ — вектор, идущии на нужды населения, уТ — вектор, идущий на хозяйственное (у^), природное (уТ) и социальное (у^) воспроизводство. Пусть аналогично х^) = г^) + у^), і = 1, 2, 3. В каждый год t между секторами должны выполняться балансовые соотношения вида:

£ ^ (г, (0 + уі (0) = у (0, ] = 1,2,3,

(6)

і = 1

где Ъц — технологические коэффициенты.

Обозначим через N множество всех секторов региона. Пусть 5 с N. Определим V(5; х(Ь), Ь) как некоторую долю капитала, которая должна быть выделена группе секторов из множества 5 в предположении, что данное множества «работает» только в интересах оставшихся секторов из множества ^5, т.е. это та доля капитала, которую необходимо выделить группе секторов из 5 с целью сохранения балансовых соотношений (6). Пусть вектор х(Ь) = z(t) + у(Ь) удовлетворяет уравнениям (6), тогда план распределения капиталовложений в год ь, о < ь < Г, и(ь) = {и(Ь)}, иI (Ь) >0, Х.Щ(Ь) = s(t), будем называть допустимым, если состояния сектора х/(Ь +=1), i = 1, 2, 3, также удовлетворяют балансовым соотношениям (6). Если план и(Ь) удовлетворяет (6) при всех Ь, 0 < Ь < Г, то он называется допустимым планом распределения капиталовложений. Пусть

V(5; х(Ь), Ь) = min ХХЧ(Ь'),

_ и{г)еиг<г<Т1^

т.е. V(5; х(Ь), Ь) — минимальная доля капитала, выделяемая на период длительного планирования, начиная с момента Ь, группе секторов из 5 при наименее благоприятном для этой группы способе развития остальных секторов. Обозначим через с некоторое разбиение множества 5

( 3 ^

(ст =(5{, 52, 53) 5/п5] = 0, Ц5/ = 5j

и рассмотрим выражение

sup Х V(5'; х(Ь), Ь) = V(5; х(Ь), Ь).

а в' еа

Построенная функция V монотонна по включению и может служить основой для построения характеристической функции. Очевидно, VN х(Ьо), Ьо) = К , где

Г - 1

К = Х s(t).

Ь = 0

Построенная функция является супераддитивной, т.е. справедливо соотношение:

V(51 и52; х(Ь), Ь) > V(51; х(Ь), Ь) + V(52; х(Ь), Ь), 51 п52 =0,

о

тН

О

(N

SS1

2нё Яч >

g|l'

«31

ОЙ"

%<s ^ 1

5s 1

^ Л £ ё§|

S V I

8s! й§ о

ЕнО а

£яЦ

МО I £И4

See

К

н

н

о

н

PQ

со

Н

-S^ S2 С N V(N; x(t), t) = K - X S(t').

t<t' <т

Таким образом, она является аналогом характеристической функции игры трех лиц, в которой игроками выступают различные секторы региона, а выигрышами — капиталовложения, направляемые на развитие этого сектора на весь период длительного планирования и сбалансированные согласно уравнениям (6). Теперь для определения оптимального распределения капиталовложений по секторам на весь период длительного планирования можем воспользоваться любым из принципов оптимальности из теории игр. Возьмем в качестве такого принципа ядро игры. Согласно нему распределение капиталовложений 0f = (91, 02, 0|) будем называть оптимальным в год относительно состояния секторов (x(t), t), если для всех S с N имеет место условие:

X9t > V (S; x(t), t), X 9t = V (N; x(t), t), jV 9° = V(N; x(t0), t0) = K.

ieS ieN V jeN )

Однако распределение капиталовложений 0f может оказаться недопустимым в том смысле, что состояние секторов, в которое попадает регион после реализации капиталовложений 0t

xi = xi(t) + at0t (7)

не будет сбалансированным (т.е. не будет удовлетворять (6)). Если допустимое оптимальное распределение капиталовложений существует, то нормативный уровень развития секторов, рассчитанный на конец периода длительного планирования, можно определить по формуле (7).

Список использованной литературы

1. Андрианов В.Д. Россия в мировой экономике: учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений / В.Д. Андрианов. — М.: Гуманит. изд. центр «ВЛАДОС», 2002. — 296 с.

2. Данилов Н.Н. Устойчивое развитие: методология математических исследований / Н.Н. Данилов // Вестник КемГУ. — Математика. — 2000. — Вып. 4. — С.5-15.

3. Факторы устойчивого развития регионов России / О.О. Ардасова, С.К. Волков, Н.Н. Данилов [и др.]; под общ. ред. С.С. Чернова. — Новосибирск: WHYC: Изд-во «СИБ-ПРИНТ», 2008. — Кн. 2. — 341 с.

Bibliography (transliterated)

1. Andrianov V.D. Rossiya v mirovoi ekonomike: ucheb. posobie dlya stud. vyssh. ucheb. zavedenii / V.D. Andrianov. — M.: Gumanit. izd. tsentr «VLADOS», 2002. — 296 s.

2. Danilov N.N. Ustoichivoe razvitie: metodologiya matematicheskikh

issledovanii / N.N. Danilov // Vestnik KemGU. — Matematika. — 2000. — Vyp. 4. — S. 5-15.

3. Faktory ustoichivogo razvitiya regionov Rossii / O.O. Ardasova, S.K. Volkov, N.N. Danilov [i dr.]; pod obshch. red. S.S. Chernova. — Novosibirsk: WHYC: Izd-vo «SIB-PRINT», 2008. — Kn. 2. — 341 s.

Информация об авторе

Чернова Екатерина Сергеевна — ассистент, кафедра математической кибернетики, Кемеровский государственный университет, г. Кемерово, e-mail: [email protected].

Author

Chernova Yekaterina Sergeyevna — Junior Lecturer, Chair of Mathematic Cybernetics, Kemerovo State University, Kemerovo, e-mail: [email protected].