CC BY
85
УДК 519.86
МЕТОДИКА ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
МОДЕЛИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ В ИССЛЕДОВАНИИ ВОПРОСОВ УСТОЙЧИВОГО РАЗВИТИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РЕГИОНА
Н.Н. ДАНИЛОВ, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математической кибернетики, декан математического факультета E-mail: [email protected] Л.П. ИНОЗЕМЦЕВА, кандидат экономических наук, доцент кафедры финансов и кредита E-mail: [email protected] Е.С. ЧЕРНОВА, ассистент кафедры математической кибернетики E-mail: [email protected] Кемеровский государственный университет
Объектом исследования данной работы является экономический регион как единица административно-территориального деления первого уровня классификации (республика, край, область, округ). Предмет исследования — устойчивое развитие экономического региона как триады «население — хозяйство — природа».
Цель статьи — разработка методики применения математических моделей оптимального управления в исследовании различных вопросов устойчивого развития экономического региона как одного из способов научного познания, который позволяет использовать уникальный математический аппарат для проведения предварительных количественных и качественных экспериментов и получения обоснованных рекомендаций по реализации стратегии и сценария устойчивого развития региона. Поставленная цель исследования достигается путем решения следующих задач:
— систематизации и актуализации основных принципов, условий и ограничений концепции устойчивого развития как новой формации развития человеческого общества;
— формализации задачи устойчивого развития экономического региона в виде модели динамического процесса со многими параметрами управления и критериями качества;
— исследования теоретических вопросов: существования траектории устойчивого развития, установления необходимых и / или достаточных признаков оптимальности его стратегии;
— апробации теоретических результатов на примере математической модели устойчивого развития (модификация модели ««Мир-3»).
В работе анализируется возможность исследования вопросов устойчивого развития экономического региона на основе математического моделирования как уникального способа познания, применение которого является обоснованным, целесообразным и практически полезным.
Разработана методика применения математических моделей оптимального управления в проведении количественных и качественных исследований вопросов устойчивого развития экономического региона.
Практические рекомендации, получаемые в виде интерпретации математических результатов на
языке концепции устойчивого развития, касаются таких ключевых вопросов развития региона, как целеполагание, выбор предпочтительного сценария развития, позиционные управленческие действия, оптимальное распределение финансовых средств и др.
Ключевые слова: регион, устойчивое развитие, математическое моделирование, принцип сбалансированности, принцип состоятельности во времени, оптимальное управление, траектория устойчивого развития
1. Введение
В настоящее время вопросы устойчивого развития человеческого сообщества, отдельных стран, регионов привлекают внимание специалистов из разных областей знания [1, 2, 5, 8-10, 13], в том числе математиков. В литературе встречается большое количество определений устойчивого развития. Одним из наиболее распространенных является следующее.
Устойчивое развитие — это взаимосвязанное и сбалансированное развитие трех основных секторов жизнедеятельности (экономического, социального и экологического), которое удовлетворяет потребности настоящего поколения без лишения возможности будущих поколений удовлетворять свои потребности [1, 5, 8 -9]. Этого определения авторы придерживаются при моделировании устойчивого развития экономического региона (объекта административно-территориального деления первого уровня классификации — одного из 83 субъектов Российской Федерации).
Авторы, не имея возможности анализировать более подробно содержание концепции устойчивого развития из-за ограниченности объема статьи, рекомендуют для этого ознакомиться с перечисленными ранее источниками.
В динамическом аспекте основными принципами устойчивого развития, по мнению авторов, являются сбалансированность и состоятельность во времени сценария (или траектории) развития региона [3, 4, с. 49-51]. Принцип сбалансированности в контексте устойчивого развития предполагает достижение запланированных показателей в экологической, экономической и социальной сферах одновременно, причем в процессе движения должно осуществляться сглаживание существующих диспропорций развития между сферами.
Принцип состоятельности во времени означает инвариантность во времени качественных и количественных критериев, норм и ценностей, которые были заложены изначально в план долгосрочного развития региона. Иными словами, при его развитии по запланированному сценарию в любой текущий момент времени оставшаяся и еще не реализованная часть плана должна быть оптимальной в первоначальном смысле. Подобный принцип под названием «динамическая устойчивость» впервые был введен Л А. Петросяном в области кооперативных дифференциальных игр.
2. Задача устойчивого развития экономического региона
Данная задача предполагает разработку и реализацию оптимального и состоятельного во времени сценария долгосрочного развития экономического региона, который отвечает всем требованиям концепции устойчивого развития и обеспечивает сбалансированный уровень экономического, экологического и социального благополучия ныне живущего и будущего поколений людей.
Математическое моделирование как один из наиболее эффективных способов научного познания в любой области человеческой деятельности может найти соответствующее применение в исследовании данной задачи.
Методика применения математического аппарата к задаче определения устойчивого развития региона в общем виде заключается в следующей последовательности действий:
— в построении адекватной к содержанию задачи устойчивого развития математической модели региона;
— в исследовании вопросов устойчивого развития посредством применения математических методов к построенной модели региона как к математической задаче;
— в формализации понятия «траектория устойчивого развития экономического региона» и ее изучении;
— в определении содержательной (на языке концепции устойчивого развития) интерпретация полученных (математических) результатов для их практического использования.
Авторы считают, что целесообразно выделить следующие требования к математической модели устойчивого развития региона [3]:
— актуализация трех секторов региона (социального, экономического, экологического) и взаимосвязанного их развития;
— наличие в модели параметров управления развитием региона на долгосрочном интервале времени и всех ограничений и условий, отражающих положения концепции устойчивого развития;
— учет гармоничного многоцелевого характера развития секторов региона;
— формализация всех основных принципов и факторов устойчивого развития региона.
Таким образом, можно констатировать следующее:
— математическая модель устойчивого развития региона формируется из трех подсистем, т.е. включает модели социального, экономического и экологического секторов, которые не могут рассматриваться обособленно;
— устойчивое развитие является управляемым процессом, и наиболее подходящим механизмом управления развитием экономического региона на долгосрочный период являются финансовые рычаги [2, 4];
— политика устойчивого развития может быть реализована лишь в условиях стабильной экономики и при наличии благоприятных социальных и экологических предпосылок.
Исходя из этого можно констатировать, что изолированное устойчивое развитие отдельного региона невозможно1. Поэтому переход на «рельсы» устойчивого развития осуществляется фактически одновременно во всех регионах страны.
Характеристика устойчивого развития региона как многоцелевого управляемого динамического процесса, предполагающего выполнение определенных принципов и условий, является основанием для формализации задачи выявления устойчивых сценариев развития экономического региона как многокритериальной модели оптимального управления, которую можно представить следующим образом:
х, (х) = (х (х -1), (х),..., ит (х)),
] = 1,...,п; X = Х1,...,^; (1)
х (Хо) = х0, ] = 1,..., п; (2)
X (Xа) = х*, ] = 1,..., п; (3)
1 Данилов Н. Н. Устойчивое развитие: методология матема-
тических исследований // Вестник Кемеровского государственного университета. 2000. № 4. С. 5-15.
ик(X) еик , k = 1,...,т; X = Х1,...,Хх; (4)
Fi(х0,и1,...,ит) ^min(max), I = 1,...,I. (5) Вектор х(Х) = (х1 (X),..., хп (X)) описывает со -стояние региона в момент времени Х; вектор ик (X) = (и1 (X),..., ит (X)) представляет совокуп -ность управляющих параметров в момент X; и'к, к = 1, ..., т — множества допустимых значений управляющих параметров в момент X; /, ] = 1, ..., п — функции, описывающие динамические возможности системы (закон движения), Р. , 1 = 1, ..., I — функционалы, оценивающие качество управления регионом. Модель (1) — (5) обозначим символом Е( х0, Хх).
В контексте устойчивого развития процесс управления состоянием региона на отрезке времени [Х0, Хх ] = {Х0, Х1,..., X^} можно представить на модели Е(х0, Хх) следующим образом. Под воздействием выбранных в начальном состоянии х° = (х°,..., х°) управлений и1 (Х1) еи^ , ..., ит (Х1) еи'т регион переходит (в силу системы уравнений (1) при X = Х1) в новое состояние х(Х1). Далее, под воздействием управлений и (Х2) е Ц2 , ..., ит (Х2) еи'т , выбранных в состоянии х(Х1), регион переходит в новое состояние х(Х2) и т. д. до момента X = X. В результате формируются последовательность и(-) = {и(Х1),..., и(Хх)} (допустимое управление) и соответствующая последовательность состояний х(-) = {х0, х(Х1),..., х(Х^)} (траектория). Множество допустимых управлений обозначим символом ^
При моделировании конкретного региона строятся подобные виды функций/ ...,/п; вектора начального состояния региона (х° = (х10,..., х0)); вектора, планируемого к концу периода, [Х0, Хх ] целевого (гармоничного) состояния региона (х = (х1,..., хп)); множеств, допустимых (в смысле учета всех требований концепции устойчивого развития) значений управляющих параметров (и'к, к = 1, ..., т; X = X ..., X); функционалов (индикаторов устойчивого развития) Р ..., Р1 .
На основе модели (1) — (5) цель управления регионом может быть сформулирована следующим образом: найти такое допустимое управление и (•), которое переводит регион из начального состояния х0 в запланированное к концу периода [Х0, X] состояние х* так, чтобы вдоль траектории х (•) = (х0, и1 (•),..., ит (•)) функционалы (5) при -нимали оптимальные (в том или ином смысле) значения.
Следует заметить, что одни компоненты вектора состояния х(0 описывают экономическое состояние региона, другие — экологическое состояние, а третьи — социальное состояние. Это же можно говорить и о векторе управляющих воздействий н(0. Взаимосвязанное развитие этих трех секторов отражено в модели (1) — (5) зависимостью правых частей уравнения движения (функций..., ) от всех управляющих параметров (и ..., ит ).
После построения адекватной модели (1) — (5) конкретного экономического региона, которая содержит аналитические виды всех перечисленных ранее элементов, задачу устойчивого развития региона можем исследовать на модели (1) — (5) и получить обоснованные практические рекомендации.
Обосновывая необходимость и полезность математического подхода к исследованию задачи устойчивого развития региона, можно сослаться на следующие фундаментальные принципы прикладной математики:
— математическое моделирование изучаемого объекта позволяет применить строгие и уникальные математические методы и, следовательно, получить объективные и обоснованные практические рекомендации;
— математическая модель объекта является наилучшим и недорогим механизмом для оценки и сравнения различных вариантов решения проблем предварительного анализа и многократной апробации результатов, способствуя тем самым экономии финансовых и других средств на проведение дорогостоящих экспериментов «по живому».
Математический аппарат, будучи сложным инструментом исследования и примененным в совокупности с методами и подходами из других естественных и гуманитарных областей знаний, может быть весьма полезным для реализации политики устойчивого развития региона.
Далее определим для модели (1) — (5) понятие «траектория устойчивого развития» и выстроим формализованную процедуру решения задачи устойчивого развития региона, содержательная формулировка которой была приведена ранее.
Предварительно отметим, что авторами данной статьи ранее были разработаны способы построения начального состояния региона х(^), позволяющего осуществить переход на «рельсы» устойчивого развития, и конечного планируемого гармоничного состояния х . Эти результаты из-за ограниченности объема статьи здесь не приводятся.
Формализуем сначала понятие «сбалансированное развитие экономического, экологического и социального секторов региона». Будем считать, что конечное состояние х* соответствует всем нормативным требованиям и гармоничности (отсутствие диспропорций) трех секторов. Поэтому степень сбалансированности текущих состояний х(0 ^ =..., ^ ) будем оценивать по отношению к х*. Для этого, следуя работе [7, с. 47-48], введем понятие расстояния р между х(0 и х* следующим образом:
р( x(t), x*) = V%
{ x* - x, (t) V
j=1
%, > 0,
J = 1
. .... n 1%j = 1,
J=i
t =L.
t,
(6)
где весовые коэффициенты ^ , ] = 1, ..., п интерпретируются как коэффициенты относительной важности ]-й сферы развития региона. Эти коэффициенты будем называть коэффициентами гармоничности.
В формулах (6) выражение в скобках показывает разницу в развитии между текущим состоянием х(0 региона и его планируемым гармоничным состоянием х*.
Пусть существует такое допустимое управление и (•) е и , которое на отрезке времени [¿0, ts ]
переводит систему (1) из начального состояния х0
*
в конечное состояние х так, что вдоль траектории х (•) = х( х0, и (•)) показатели (5) принимают оптимальные значения. В таком случае управление и (•) и траекторию х (•) будем называть оптимальными. Понятие оптимальности здесь применяется в более общем смысле, чем просто максимизация или минимизация значений функционалов (5) (например, максимизации свертки критериев оптимальности по Парето, равновесности и т. д.). В общем случае принцип оптимальности будем обозначать символом W, оговаривая его смысл в каждом конкретном случае.
Для каждого выбранного принципа оптимальности требуется изучить вопрос существования оптимальной траектории. Некоторым принципам оптимальности может соответствовать не одна, а множество оптимальных траекторий (обозначим это множество X (х0, ts)). Множеству траекторий соответствует совокупность векторных значений функционалов (х(•)) = = (^(х(•)),...,Ц(х(•))), х(•) е X(х0,^)}, что будет обозначено символом W(х0, ^) .
x
Для определения дальнейших понятий будем предполагать, что множество Ж(х0, Х,) не пустое, т.е. существует хотя бы одна оптимальная траектория.
Определение 1. Оптимальную (в смысле выбранного принципа оптимальности Ж) траекторию х (•) будем называть сбалансированной на интервале времени [Х0, X , ], если для некоторого фиксированного 5 > 0 выполняется неравенство: р(х(Х), х*) <5, X = Х0, Хх,..., X,.
В определении 1 постоянное число 5 > 0 показывает приемлемую разницу между текущим и гармоничным состояниями региона.
В соответствии с определением 1 сбалансированная траектория приводит регион в запланированное к моменту X ^ состояние, и развитие трех секторов вдоль нее остается гармоничным.
Вдоль любой оптимальной траектории х (•) е X (х0, X,) рассмотрим семейство задач {!(х (X), X , - X)
, Х = X0, X1,..., Х, К где текущая зада -
ча Е(х(X), X, - X) отличается от исходной задачи Е(х0, X,) только начальным условием х (X) и продолжительностью X, — 1. Множество оптимальных (в том же смысле Ж) в текущей задаче Е(х (X), X , - X) м траекторий и векторных значений функционалов обозначим соответственно X(х(X), X, - X) и Ж(х(Х),Х, - Х) ( X = Х0,Х1,...,X, ).
Определение 2. Оптимальную в задаче Е(х0, X,) траекторию х (•) назовем состоятельной во времени на отрезке [Х0, X , ], если выполнены следующие условия:
1) X(х(X),X, - X) , X = Х0,Х1,...,Хх;
2) х(•) |[Х]е X(х(X),X, - X), X = Х0,Х1,...,X,.
В этом определении х(О^] — сужение траектории х(•) на отрезке [X,X,], т.е. х(•)|[ХХ] = = (х (X),..., х (X,)).
Смысл состоятельности во времени заключается в том, что выбранная в начальный момент времени (в начальном состоянии х0) для реализации на весь отрезок [Х0, X , ] оптимальная траектория х (•) при движении по ней остается оптимальной в первоначальном смысле (т.е. в смысле принципа оптимальности Ж) в любой текущей задаче, начинающейся из состояния х (X), продолжительностью X, - X (X = X0, Х1,...,X,). Это означает, что в ходе развития общество постоянно ориентируется на одни и те же ценности и не имеет основания для отклонения от первоначально принятых планов действий вплоть до достижения цели (состояние х*).
В случае нарушения этого условия в некоторый момент времени X оставшаяся часть (х(•) | [X, X,]) траектории х (•) перестает быть оптимальной.
Определение 3. Траекторией устойчивого развития в модели Е(х0, X,) будем называть оптимальную сбалансированную и состоятельную во времени траекторию, а допустимое управление, порождающее траекторию устойчивого развития, — стратегией устойчивого развития.
Приведенная ранее модель Е( х0, X,), а также строгие определения классов траекторий позволяют выстроить формализованную процедуру решения поставленной в разделе 2 задачи устойчивого развития как последовательного вычисления оптимальной, сбалансированной и состоятельной во времени траекторий задачи Е(х0, X ,):
— построить математическую модель вида Е(х0, X,), адекватно отражающую процесс управления изучаемым экономическим регионом на долгосрочный период с позиций концепции устойчивого развития;
— сформировать принципы оптимального управления (принцип оптимальности Ж) развитием региона в виде совокупности трех его секторов (экономического, экологического и социального) с помощью выбранных индикаторов устойчивого развития (Р1, ..., Р);
— формализовать понятие наилучшего сценария развития региона как оптимальную (в смысле Ж) траекторию задачи Е(х0, X ) и найти необходимые и достаточные условия ее существования (реализуемости);
— найти необходимые и достаточные условия существования сбалансированной и состоятельной во времени оптимальной траектории (т. е. траектории устойчивого развития);
— вычислить стратегию устойчивого развития и соответствующую ей траекторию устойчивого развития региона;
— выработать содержательные рекомендации, вытекающие из выполненных исследований и полученных формальных результатов, для их практического использования в реализации сценария устойчивого развития экономического региона.
3. Применение модифицированной
глобальной модели Медоуза «Мир-3»
Для апробации описанной ранее методики на конкретной модели авторами была использована
модифицированная глобальная модель Медоуза «Мир-3» [14, 15], которая, будучи неоптимизационной моделью, была построена для описания «глобального мира». Выбор модели «Мир-3» в качестве модели региона как совокупности экономического, экологического и социального секторов обосновывается следующим образом.
Во-первых, в ней достаточно полно отражены экономическая и экологическая сферы, в отличие от, например, проекта «Стратегия выживания» и латиноамериканской модели [6, с. 60-87], где внимание экологическим проблемам не уделяется.
Во-вторых, уровень дезагрегации в модели «Мир-3» выше по сравнению с моделью Форрестера «Мир-2» [12], что дает возможность использовать ее на уровне отдельного региона, в то время как применение модели «Мир-2» будет некорректным.
Преобразование глобальной модели «Мир-3» в математическую модель устойчивого развития экономического региона в форме многокритериальной задачи Е(х0, ts) оптимального управления осуществляется следующим образом [11].
Принятые предпосылки:
— годовой выпуск продукции 1(1), численность населения в разных диапазонах возрастов р2(1), р3(0, р4(1), а также величины желаемой и предельной фертильностей -ВДО, В2(0, считаются известными, определяемыми путем прогнозирования на основе статистических данных;
— средние значения стоимости ввода в эксплуатацию одного гектара земли WA, доли сельскохозяйственных инвестиций, идущей на разработку новых площадей I скорости генерации загрязнения Х1А, характерного времени абсорбции загрязнения Т , величин смертности в различных диапазонах возрастов О (/ = 1, ..., 4) принимаются постоянными величинами;
— скорость увеличения ранее возделанных земель, разрушенных почвенной эрозией, прямо пропорциональна количеству уже имеющихся таких земель с постоянным коэффициентом а; подобным образом невосполнимые природные ресурсы убывают с постоянным темпом в;
— в качестве управляющих воздействий будем использовать доли средств в различные сферы финансирования, которые в модели «Мир-3» задавались либо в виде табличных функций (что заранее исключает возможность сознательного вмешательства в функционирование системы), либо не были учтены вообще. Это доли бюджета,
ежегодно направляемые в промышленность, производство услуг и пищи, на восстановление почвы, разрушенной эрозией, на восстановление ресурсов (или их вторичную переработку), на ликвидацию загрязнений и на контроль за рождаемостью [6, с. 48-51];
— секторы капитала и сельского хозяйства из модели «Мир-3» будут отнесены к экономической подмодели, секторы природных ресурсов и загрязнения — к экологической подмодели, а сектор демографии — к социальной подмодели.
4. Последовательность построения модифицированной модели
Перейдем к построению модифицированной модели. Обозначим через и1 и и2 доли инвестиций в промышленность и производство услуг соответственно. Тогда динамика изменения индустриального и сервисного капиталов по годам описывается уравнениями:
(
\
X (t) = xi (t -1)
x2 (t) = x2 (t -1)
1 -1
T
1 - TT
+1 (t )u1 (t),
+1 (t )u2 (t),
(7)
(8)
s У
где Т — нормативное время износа основных фондов промышленных предприятий; Т5 — аналогичное время износа фондов сервисных предприятий.
В секторе сельского хозяйства обозначим через и3 долю инвестиций в производство пищи и введем дополнительное управление и3 — долю инвестиций на восстановление почвы, разрушенной эрозией. Тогда динамика изменения запаса невозделанных земель (но пригодных к обработке) и разрушенных почвенной эрозией площадей соответственно описывается уравнениями:
x3 (t) = x3(t -1) -
I (t )u3(t )IX
W„
x4 (t) = x4 (t -1)(1 + a) -
U4 (t )I (t)
4e '
(9)
(10)
где — стоимость восстановления одного гектара земли (постоянное число). Для измерения уровня природных ресурсов и уровня загрязнений введем в модель «Мир-3» дополнительные параметры и5 и и6 , которые будут отражать восстановление ресурсов (или их вторичную переработку) и ликвидацию загрязнений:
x5(t) = x5(t -1)(1 -ß) +
I (t K(t)
(
Хб (t) = x6 (t -1)
1 --! T0
Л
+ Za -
z /
I (t )u (t)
4z
(11)
(12)
x7 (t) = x7 (t -1)1 1 - Du- — 1 +
15
+
P2 (t)
(
B2 (t) +
I (t)
Л
7(t) (в (t) - b2 (t)) , (13)
XUj (t) + Gc < 1, uj (t) > (t), j = 1, ..., 7,
j=i
t = to, ti
(16)
где и5 — доля инвестиций на восстановление ресурсов;
и6 — доля инвестиций на борьбу с загрязнениями;
дя — стоимость восстановления единицы ресурса;
д2 — стоимость очистки единицы загрязнения.
В уравнение динамики демографии модели «Мир-3» введем одно управляющее воздействие и которое будет обозначать долю инвестиций на контроль за рождаемостью. Тогда уравнение для численности населения в первом диапазоне возрастов (от 0 до 15 лет) будет иметь следующий вид:
1
2 • 30
где др — максимальное количество средств, выделяемых на контроль за рождаемостью; О — вероятность смерти индивидуума в первом диапазоне возрастов. Значение I(Х)и7 (Х)/qP лежит в пределах отрезка [0,1] и играет роль множителя эффективности контроля за рождаемостью.
Построенные ранее уравнения (7) — (13) описывают динамику экономического региона как развития триады «природа — хозяйство — население» на отрезке времени [Х0, X, ].
Таким образом, вектор х(Х) = (х 1(Х),..., х 7 (X)) описывает состояние региона в год X (X = X Х1 ..., Х). В начальный момент времени (X = Х0) состояние региона считается известным и задается соотношениями:
х,(Х0) = х0, ] = 1,...,7 . (14)
*
Обозначим через х,,] = 1, ..., 7 планируемое к концу долгосрочного периода [Х0, X, ] гармоничное состояние региона:
х,(X,) = х*, ] = 1,...,7 . (15)
Присутствующие в правых частях уравнений динамики (7) — (13) управляющие параметры должны быть подчинены следующим ограничениям:
где GC — доля инвестиций в производство товаров
народного потребления;
ц, (X) > 0 - минимально возможная доля финансирования, направляемая в определенный
сектор в каждый год X.
Множество всех управляющих векторов и (Х) = (и 1 (Х),..., и 7 (Х)), удовлетворяющих условиям (16), обозначим и(Х) и назовем множеством допустимых управлений.
Для апробации методики применения математического моделирования в исследованиях вопросов устойчивого развития региона (на примере модифицированной модели «Мир-3») достаточно рассмотреть три индикатора — по одному для каждой подсистемы:
— ув области экологии — уровень загрязнения окружающей среды Р1;
— ув области экономики — производственные затраты Р2;
— ув социальной сфере — уровень благосостояния населения Р
Таким образом, получаем три целевых критерия для оценки качества управления регионом на длительный период:
f = X x6 (t) ^ min,
t=t
t, ( 7
F2 = £ I (t) 1 -X Uj (t) - Gc
t=ti V j=i
P = X x2——— ^ max, 3 k p(t)
^ тт,
(17)
где Р1 — аккумулированное загрязнение на рассматриваемом интервале времени, которое, как и в модели «Мир-3», оценивается в относительных единицах по отношению к базовому году; Р2 — совокупная величина производственных затрат;
Р3 — уровень сервисного капитала на душу населения.
Соотношения (7) — (17) представляют собой приспособленную к исследованию устойчивого развития региона модификацию модели «Мир-3» в форме задачи оптимального управления х0, X,).
На основе математической модели (7) — (17) раскроем конкретное содержание этапов решения
t
s—1
задачи устойчивого развития региона, перечисленных в разделе 3. При этом для упрощения выкладок систему (7) — (13) запишем в унифицированной форме:
х} ^) = а} х} ^ -1) + Р} (()и} ^) + у} ^),
] = 1,.,7
1 1 1 1
где а1 = 1--, а2 = 1--, а3 = 1, а4= 1 + а,
Введем следующие обозначения: — «У — непустой многогранник в В3, образованный неравенствами
6т 01 0т 01
e2ß < у+-< у, 0з < ^,
tz qz tI qz
T
i
T
S
1 14
a5= 1 + ß , a6 = 1 - T0, a7 = 14 - Dli , ßi(0 = 1z 15
r
02 ß
V
- S 0
1
Л
(Tz0)2
<
0i
(
qzT
0 <02
(Ti )2
(Tz0)2
ниями
«0 — симплекс, определяемый соотноше-
]Г 0, = 1, 01,02, 03 > 0.
= ß 2( t ) = I ( t ), Рз(Г) = -
I (t) I
X
W
ß4 (t) =-M , ß5(t) = M , ß6 (t) = -
qE qR
A
ДО qz
Пусть параметры задачи Е1 (х , ts) удовлетворяют следующим условиям (при 5 = 3):
и 1
< — < — <-
IX < 1 < 1 <p,iu) ._! (B2(t3)-Bi(t3)):
(t) = РТТ • — (В ^ - В2 (t)), УДО = Y2(t) =
60 чр 12
= ... Y5(t) = 0 y6(t) = ги л 7 (0 = р0у в2 ^).
Период планирования ts ] разобьем на три подинтервала вида ^к-1,tk], к = 1, 2, 3, т.е. рассматриваемый в концепции устойчивого развития интервал планирования в пределах одного поколения (~ 20-25 лет) разобьем на промежутки длиной 7-8 лет.
Выберем конкретный принцип (принцип оптимальности Ж), определяющий наилучшую (оптимальную) траекторию развития региона. Для этого построим взвешенную сумму функционалов (17):
(
F (*(•)) = 01X *6(t) + 02 ZI (t) 1 - Z U (t) - G<
Л
j=1
где 01, 02, 03 — выбираемые экспертным путем весовые коэффициенты секторов (0, > 0, , = 1, 2, 3, 01 + 02 + +03 = 1). Модель (7) — (17) со скалярным критерием (18) обозначим символом Е1 (х0,ts).
Оптимальным будем называть допустимое управление и(•) = (и ДО,..., и 7(•)), которое порождает траекторию х(-) = (х 1 (•),...,х 7(•)) системы (7), выходящую в момент t = t из состояния х0, приходящую в момент t = t в состояние х* и придающую функционалу (18) минимальное значение:
^(х (•)) = тт0 ^(х(0).
Такую траекторию и будем называть оптимальной (в данном случае принцип оптимальности Ж — это минимизация свертки критериев (17)).
жа ЧЕ qz 2 •30
ЧВ > 1, Р< Ал +15 < у , Т < Т1 ; (19)
0 < •—(В2 (t) - В1 а)) < 1,
2 • 30 Чр
t = tx, t2, t3. (20)
Условие (19) означает, что сокращение запаса невозделанных, но пригодных к обработке земель происходит медленнее (бюджетные отчисления в этой сфере оказывают меньшее влияние), чем сокращение площади обрабатываемых земель за счет эрозии, т.е. в модели предполагается неактивное освоение новых земель. В свою очередь сокращение эродированных почв (за счет бюджетных отчислений на их восстановление) осуществляется с меньшими темпами, чем ликвидация загряз--0 ^ х2 (t) (18) нений. Об этом свидетельствует 3 £1 р(0 условие 1/че < 1/qz . И, наконец,
на ликвидацию загрязнений финансовые отчисления оказывают меньшее влияние, чем на эффективность контроля за рождаемостью и превышение предельной фертильности над желаемой в конечный момент времени, что следует из условия
— < Р^Т ~(В1 (Т) - В(Т)).
Ч2 2 • 30 Чр
Темп выбытия природных ресурсов считается не превосходящим темп выбытия сервисного капитала (Р < 1/Т«), и природные ресурсы не должны расходоваться быстрее, чем уменьшается численность населения в первом диапазоне возрастов (Р < О +1/15 Т«), однако сервисный капитал может выбывать с большей скоростью (О +1/15 Т' < 1/Т« ). Наконец, темп выбытия основных фондов предпри-
1
1
2
=1
t=1
t=1
ятий сферы услуг не превосходит темп выбытия производственного капитала (Т < Т ).
Условие (20) отражает предположение (сообразно с настоящей политикой Российской Федерации), что желаемая фертильность в каждый момент времени должна быть не меньше предельно боль-
(
шои
0 <
Р2 (t) I (t)
Л
(B2 (t) - Bi (t)) < 1
2 • 30 др
Теорема 1. Пусть S0 п S1 ^ 0 и выполнены условия (19), (20). Тогда в задаче Е1 (х0,X,) существует оптимальная траектория.
Доказательство теоремы 1 (как и последующих) здесь не приводится в силу ограниченности объема статьи.
С применением метода динамического программирования найдем следующий вид оптимального управления и(•) = (и 1 (•),...,и 7(•)) (при , = 3):
Uj (•) = |Цj (ti ), Цj (t2 ),
j = 1, 3, ..., 7,
x) - Yj (t3) -ajxj (t2) ß j (—з)
U2 (•) =
G-X^j (ti), G-X^j (t2),
j=i j * 2
j =i j * 2
x* у 2 ( —3 ) ^ 2 x2 (—2 )
Р2(—з)
2
(21)
где х, (Х2) = (а, )2 х0 + Х[К Г (в, (X. (X.) +
+ ^ (X,-))], , = 1, ..., 7 определяется из решения системы (7)-(13).
Соответствующая этому управлению оптимальная траектория *(•) = (х ДО,...,х 7 (•)) сис-темы (7) — (14) имеет вид (при , = 3): х, (•) = (х0, х, (Х1),х, (Х2),х, (Х3)),] = 1, ..., 7,
где х, (Х1) = а,.х°° (Х1 (Х1) + у,(Х1),] = 1,3, ..., 7,
(
G-X^ j (ti)
j=i V j*2
+ Y j (ti),
X2 (ti) = a j xJ +ß j (ti) j = 1, 3, ..., 7,
x (t2) = (aj )2 xJ +XX[(aj )2-i (ßj (t, )Цj (t,) + yj (t,))], i=i
J = 1,3,...,7,
x2 (t2) = (a2 )2 xJ +
22 2
+X
i=i
(a 2 )2- (ß2 (t,)
G-X^j (ti)
j=i V j*2
+ Y 2 (t,))
ху (Х3) = х*, , = 1,...,7, (22)
Пусть при помощи теоретико-игрового подхода будут определены конечные гармоничные состояния х"Е = (х*, х*, х3, х*), хы = (х5, х*), х* = х* экономического, экологического и социального секторов соответственно. Для стоимостных величин введем обозначения:
4 6
^Е (Х) = X ^ *] (Х) , ^ (X) = X ^} х-} (X) ,
J =i
j=5
ws (—)=W7 x7 (—), w; = X wx*, w;=x w x*,
i=i i=5
Степень диспропорциональности текущего количественного состояния секторов региона будем оценивать по отношению к идеальному состоянию (хЕ, х^, х*). Расстояние между текущим состоянием и целевым определим следующим образом (см. формулу (6):
р( x*, x(t)) = ^i
* . . W; - W; (t)
(
+^2
w'; - W; (t)
2
w
w
+ ^3
+
i * , Л2
W^ - ws (t)
w
ХЬ =1, Ь >0.
i=1
Справедливы следующие утверждения.
Теорема 2. Оптимальная траектория задачи Е1 (х0, ts) является состоятельной во времени.
Справедливость этого утверждения следует из того факта, что в задаче Е1 (х0, ts) справедлив принцип оптимальности Р. Беллмана.
Рассмотрим следующие неравенства, определяющие взаимосвязь между коэффициентами гармоничности Ь , i = 1,2,3 для каждого из трех секторов и величиной 5 >0, имеющей смысл приемлемой разницы в развитии между текущим и гармоничным состояниями региона:
bi <5-(w*)2(w* -Wk(t))-2, i = 1,2,3;
k = E,N,S; t = t0, t1, ..., t, (23)
5 , , .
Ь <-• (w*)2(w* - min Wk(t))-2, i = 1,2,3;
3 t=го Л-Л
k = E, N, S. (24)
Условия (23) и (24) дают ограничения на коэффициенты гармоничности Ь , i = 1,2,3 каждого из трех секторов устойчивого развития. Данные коэффициенты можно определить, пользуясь перечисленными в теоремах ограничениями, зная пара-
ws = w7 x7.
2
метр 5 и относительные разницы в развитии между идеальным и текущим состояниями региона.
Теорема 3. Для того чтобы в модели Ej (x0, ts) оптимальная траектория x (•) была траекторией устойчивого развития, необходимо выполнение условий (23) и достаточно выполнения условий (24).
Достаточное условие сбалансированности (24) траектории x(•) весьма близко к необходимому условию, если траектория x(•) такова, что в каждый момент времени значение разности wk (t) - c min wk (t), k = E,N,S между текущим
t-to ,t1...,ts
стоимостным эквивалентом состояния k-го сектора региона и минимальным его значением на всей траектории развития равна постоянному числу (c — l)wk(t), где с — некоторая константа (1 < c < 2).
Условие (23) является необходимым условием сбалансированности траектории, в соответствии с ним нужно проверять значения относительной разницы в развитии для каждого момента времени t = t t ..., ts с учетом выбора оптимальной траектории. Иными словами, на первом шаге необходимо вычислить оптимальную сбалансированную траекторию, которая определяла бы наилучший сценарий развития для перечисленных ранее параметров трех сфер с точки зрения общего критерия минимизации загрязнений, производственных затрат и максимизации уровня благосостояния населения с учетом ограниченности природных ресурсов и выделяемых бюджетных средств в каждую сферу. На втором шаге, зная гармоничное конечное состояние региона x* по каждому из параметров, можно определить возможные величины коэффициентов гармоничности Е, , i = 1,2,3 для каждого из секторов системы.
В соответствии с условием (24) необходимо проверить величины относительной разницы только для минимального из стоимостных выражений текущих состояний региона. При этом, вычислив оптимальную траекторию развития региона x (•),
которая в конечный момент времени приходит в пла-
* / * * * \
нируемое гармоничное состояние x = (xE, xN, xS), можно определить те коэффициенты гармоничности Е , i = 1,2,3, которые позволяют проверить полученный сценарий на предмет устойчивого развития.
Таким образом, найденные условия (23) — (24) содержательны и проверяемы.
Список литературы
1. Голубев В.С. Как перейти к устойчивому развитию? // Вестник РАН. 1995. Т. 65. № 3. С.239-241.
2. Гурман В.И., Либенсон И.Р., Скитневс-кий Д. М. Моделирование устойчивого развития региона и инвестиционных стратегий // Сибирский торгово-экономический журнал. 2013. № 1. С. 10-16.
3. Данилов Н.Н., Иноземцева Л.П. Факторы устойчивого развития регионов России: монография. Новосибирск: ЦРНС, СИБПРИНТ, 2008. 341 с
4. Данилов-Данильян В.И. Устойчивое развитие (теоретико-методологический анализ) // Экономика и математические методы. 2003. Т. 39. №. 2. С. 123-135.
5. Егоров В.А., Каллистов В.Н., Митрофанов
B.Б., Пионтковский А.А. Математические модели глобального развития. Ленинград: Гидрометеоиздат, 1980.192 с.
6. Зубов В.И., Петросян Л.А. Математические методы в планировании. Ленинград: Ленинградский университет, 1982. 112 с.
7. Коптюг В.А. На пути к устойчивому развитию цивилизации // Свободная мысль. 1992. № 14.
C.13-16.
8. Котляков В.М. Сохранение биосферы — основа устойчивого развития общества // Вестник РАН. 1994. Т. 64. № 3. С. 217-220.
9. Малинецкий Г.Г., Махов С.А., Поскашков С. А. Процессы глобализации, устойчивое развитие и компьютерное моделирование // Безопасность Евразии. 2003. № 4. С. 292-309.
10. Chernova E.S. Conditions for Optimality of Trajectories in One Model for Sustainable Development of Economic Region // «Dny vedy — 2012». Dil 82. Matematika: Praha. Publishing House «Education and Science» s.r.o. 2012. P. 80-85.
11. Forrester J.W. World Dynamics. Cambridge, Mass: Wright-Allen Press. Inc. 1971. 144 p.
12. HershM. Mathematical Modelling for Sustainable Development. Berlin: Springer, 2005. 557 p.
13. Meadows D.H., Randers J., Meadows D.L. Limits to Growth: The 30-Year Update. Chelsea Green, White River Junction, Vermont. 2004. 368 p.
14. Meadows D.L., Meadows D.H. et al. The Dynamics of Growth in a Finite World. Cambridge, Mass: Wright-Allen Press. Inc. 1974. 338 p.
Regional economics: theory and practice Development strategy
ISSN 2311-8733 (Online) ISSN 2073-1477 (Print)
TECHNIQUE OF MATHEMATICAL MODEL APPLICATION FOR OPTIMAL MANAGEMENT WHEN STUDYING THE SUSTAINABLE DEVELOPMENT ISSUES OF ECONOMIC REGION
Nikolai N. DANILOV, Liliya P. INOZEMTSEVA, Ekaterina S. CHERNOVA
Abstract
Importance The article studies an economic region as a unit of administrative and territorial division of the first-level classification (Republic, Krai, Region and District). The research considers the sustainable development of an economic region as the "population — economy — nature" triad. Objectives The article aims to develop the method of mathematical models application of optimal management while researching the issues of the sustainable development of economic region as one of the methods of scientific cognition, which enables to use the unique mathematical apparatus to conduct the preliminary quantitative and qualitative experiments and obtaining of substantiated recommendations on the selection of optimal priorities and corresponding strategy. Methods The goal of the research is achieved by solving the following tasks: systematization and actualization of the basic principles, conditions and constraints of the sustainable development concept as a new formation for the human society development; formalization of the sustainable development issue for economic region in the form of dynamic process model with many management parameters and quality criteria; the research of academic questions (existence of the sustainable development path, establishment of the necessary and/or sufficient features for optimality of the sustainable development strategy; approbation of the theoretical results by the example of mathematical model for sustainable development (the Mir-3 model modification). We analyze the possibility of the research of the sustainable development issues for economic region on the basis of mathematical modeling as unique way of scientific cognition, which is proved to be well-grounded, viable and practically useful. Results The article contains the mathematical models elaboration for optimal management when carrying out the quantitative and qualitative research of the sustainable development issues for the economic region.
Conclusions and Relevance We have developed practical recommendations, obtained as the mathematical results interpretation using the language of the sustainable development concept, which refer to such key issues of regional development as goal-setting, choice of preferable development scenario, positional management actions, optimal financial means distribution, etc.
Keywords: region, sustainable development, mathematical modeling, equilibrium, principle, time consistency, optimal control, trajectory
References
1. Golubev V.S. Kak pereiti k ustoichivomu razvitiyu? [How to switch to the sustainable development?]. Vestnik RAN—Herald of RAS, 1990, vol. 65, no. 3, pp. 239-241.
2. Gurman V.I., Libenson I.R., Skitnevskii D.M. Modelirovanie ustoichivogo razvitiya regiona i inves-titsionnykh strategii [Modeling the sustainable development of a region and investment strategies]. Sibirskii torgovo-ekonomicheskii zhurnal — Siberian trade and economic journal, 2013, no. 1, pp. 10-16.
3. Danilov N.N., Inozemtseva L.P. Faktory ustoi-chivogo razvitiya regionov Rossii [Factors of the Russian regions' sustainable development]. Novosibirsk, TsRNS, SIBPRINT Publ., 2008, pp. 11-56.
4. Danilov-Danil'yan V.I. Ustoichivoe razvitie (teoretiko-metodologicheskii analiz) [The sustainable development (a theoretical and methodological analysis)]. Ekonomika i matematicheskie metody — Economics and mathematical methods, 2003, vol. 39, no. 2, pp.123-135.
5. Egorov V.A., Kallistov V.N., Mitrofanov V. B., Piontkovskii A.A. Matematicheskie modeli global 'nogo razvitiya [Mathematical models of global development]. Leningrad, Gidrometeoizdat Publ., 1980, 192 p.
6. Zubov V.I., Petrosyan L.A. Matematicheskie metody v planirovanii [Mathematical methods in planning]. Leningrad, Leningradskii universitet Publ., 1982, 112 p.
7. Koptyug V.A. Na puti k ustoichivomu razvitiyu tsivilizatsii [On the way to the sustainable development of civilization]. Svobodnaja mysl' — Free thought, 1992, no. 14, pp. 13-16.
8. Kotlyakov V.M. Sokhranenie biosfery — osnova ustoichivogo razvitiya obshchestva [The biosphere preservation as the basis of the sustainable development of society]. Vestnik RAN—Herald of RAS, 1994, vol. 64, no. 3, pp. 217-220.
9. Malinetskii G.G., Makhov S.A., Poskashkov S.A. Protsessy globalizatsii, ustoichivoe razvitie i komp'yuternoe modelirovanie [Processes of globalization, sustainable development and computer modeling]. BezopasnostEvrazii — Eurasia's security, 2003, no. 4 (14), pp. 292-309.
10. Chernova E.S. Conditions for Optimality of Trajectories in One Model for Sustainable Development of Economic Region. Dny vedy — 2012. Dil 82. Matematika. Praha, Publishing House Education and Science s.r.o., 2012, pp. 80-85.
11. Forrester J.V. World Dynamics. Cambridge, Massachusetts, Wright-Allen Press, Inc., 1971, 144 p.
12. Hersh M. Mathematical Modelling for Sustainable Development. Berlin, Springer, 2005, 557 p.
13. Meadows D.H., Randers J., Meadows D.L. Limits to Growth: The 30-Year Update. Chelsea Green, White River Junction, Vermont, 2004, 368 p.
14. Meadows D.L., Meadows D.H., et al. The Dynamics of Growth in a Finite World. Cambridge, Massachusetts, Wright-Allen Press, Inc., 1974, 338 p.
Nikolai N. DANILOV
Kemerovo State University, Kemerovo, Russian Federation [email protected]
Liliya P. INOZEMTSEVA
Kemerovo State University, Kemerovo, Russian Federation [email protected]
Ekaterina S. CHERNOVA
Kemerovo State University, Kemerovo, Russian Federation [email protected]
