Методика определение временных интервалов блуждания по эргодическим полумарковским процессам Текст научной статьи по специальности «Математика»

Информатика, вычислительная техника, обработка и защита информации

УДК 519.216

МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРЕМЕННЫХ ИНТЕРВАЛОВ БЛУЖДАНИЯ ПО ЭРГОДИЧЕСКИМ ПОЛУМАРКОВСКИМ

ПРОЦЕССАМ

К.А. Гришин

Рассматривается методика определения временных интервалов блуждания по выделенной траектории и по одной из возможных траекторий. Данной методика представлена в матричной форме и применяется правило суммирования случайных величин. Определены вероятностные характеристики блуждания.

Ключевые слова: траектории блуждания, время блуждания, полумарковский процесс, выделенная траектория, возможная траектория.

Определим временной интервал блуждания по выделенной траектории. Взвешенное время последовательности переключений полумарковского процесса по выделенной траектории блуждания определяется в виде:

шк^м! (1)

Выделим некоторую реализацию траектории блуждания и представим ее в виде локального полумарковского процесса.

ho, N (t ) = Á 1 <

Характеристические функции некоторых плотностей распределения

Распределение Плотность распределения Характеристическая функция

Вырожденное 5(t-x), Х> 0 exp(i'Xw)

Равномерное < —, если г - X £ а, а > 0, X > а; 2а 0, если г - X £ а. siniaw \ -exp(ixw) iaw

Экспоненциальное [а ехр(- аг), если г > 0; |0, еслиг < 0. a iw + a

^-распределение < оШ Р га 1 ехр( рг), если г > 0; Г (Ш р) 0, если г < 0; а> 0, р> 0. ¥ Г (а, Р) = | г а-1ехр(-Рк )& 0 f >Л-а 1 I

Н(* ) =

0 Нол(*) 0

0 0

0 0

0 0 0

м*) 0

0

0 0 0

0 0 0

00 00 00

н

п, п+1

0 0 0

(*)

0

0

0 0 0

0

0 ны _ 2, N-1(*) 0 0 0 ны-1, N (*) 0 0 0

(2)

В соответствии с правилами суммирования случайных величин, плотность распределения суммы случайных временных интервалов, определенных плотностями Нп-1 п+1(*) и Нп-1п (*) определяется как свертка

указанных плотностей [1]:

нп-1,п+1(*) = нп-1,п )* нп,п+1(*) = |нп-1,п(т)Нп,п+1(* -т)dт,

(3)

где т - вспомогательная переменная. Если применить к обеим частям свертки преобразование Фурье [2], то в соответствии с теоремой о свертке:

Нп-1,п+1(* ) = 3-1{з[Нп-1, п (О* Нп, п+1(* )]}=3-1{з[Нп-1,п (0]-3[Нп,п+1(^)]|, (4) Распространение полученного результата на всю цепочку состояний, определенную матрицей (2), дает выражение (1), что и требовалось доказать.

Рис. 1. Полумарковский процесс на основе матрицы

"0 ном(*)"

0

0

Таким образом, процесс (2) преобразуется в процесс

Для взвешенной плотности распределения Н0 N (*) может быть найдена ве-

78

оо

0

роятность блуждания по траектории (2), плотность распределения времени блуждания, а также математическое ожидание и дисперсия времени блуждания [3]:

ПзНп,п+1(*)]

.п-0

г (/) Н0, N)

/ 0, N(*):

Р0, N = 13

0

-1

Ж,

р0, N

N

Т0,N - |#0,N(*- X Тп-1,п :

0 п-1

¥ N

А0,N - |- Т0,N )2/0,N- X Ап-1,

(5)

(6) (7)

(8)

у0, J У_Т0, ю / 0,^Ап-1, п 0 п-1

где Тп-1 п и Бп-1 п - соответственно математическое ожидание и дисперсия времени пребывания полумарковского процесса (2) в состоянии п -1.

Определим временной интервал блуждания по одной из возможных траекторий. Взвешенное время блужданий по одной из возможных траекторий определяется в виде:

м

Н0, N)- X Н0 , N, да (*), (9)

да-1

Пусть существует М возможных траекторий блуждания, для каждой из которых определены взвешенные плотности Н0 N м (*) [4]. Локальный

полумарковский процесс в этом случае принимает вид:

0 Н0, N,1,..., Н0, N ,да ,Н0, N, М 0 0 Блуждания по различным траекториям при конкретных реализациях представляет собой несовместные некоррелированные события, откуда следует зависимости (9).

н (* )=

(10)

Рис. 2. Полумарковский процесс на основе выражения (10)

оо

Для взвешенной плотности распределения (9) может быть найдена вероятность блуждания по множеству траекторий, плотность распределения времени блуждания, а также математическое ожидание и дисперсия времени блуждания:

¥ М М

= |Х (№ = Е Р0,^т , (11)

0 т=1 т=1

М

Е ¿0, N ,т ( )

к N (* ) = -, (12)

р0, N

М М

Е ¿0,N,т ^) Е Т0,N,т ' р0,N,т

¥

= I ^-^ = -, (13)

0 р0, N Р0, N

м М ( 2 )

¥ Е ¿0,N,т ^) Е (^0,N,т + Т0,N,т р0,N,т

4,N = I (' - Тс,N )2 -* = т=1-,--Т*N ,(14)

0 р0, N р0, N

где Т^ N т и ^0 N т - соответственно математическое ожидание и дисперсия времени блуждания полумарковского процесса (10) по т-й возможной траектории.

Таким образом, из выражений для определения времени выполнения последовательности действий и времени выполнения одного из возможных действий получены матричные выражения для определения временных и вероятностных характеристик блуждания по полумарковской цепи.

Список литературы

1. Ивутин А.Н., Ларкин Е.В. Обобщенная полумарковская модель алгоритма управления цифровыми устройствами // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. Вып. 1. С. 221 - 228.

2. Ивутин А.Н., Ларкин Е.В. Временные и вероятностные характеристики транзакций в цифровых системах управления // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. Вып. 1. С. 252 - 258.

3. Ларкин Е.В., Ивутин А.Н. Определение временных интервалов в алгоритмах управления // Известия Томского политехнического университета. Томск: Томский политехнический университет, 2014. Т. 124. №5. Управление, вычислительная техника и информатика. С. 6 - 12.

80

4. Larkin E.V., Ivutin A.N. Estimation of Latency in Embedded RealTime Systems // 3-rd Mediterranean Conference on Embedded Computing (MECO-2014). Budva, Montenegro, 2014. P. 236 - 239.

Гришин Константин Анатольевич, асп., GrishKons92@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

THE METHOD OF DEFINING TIME OF WALK INTERVALS OF WANDERING IN ERGODIC SEMI-MARKOV PROCESSES

K.A. Grishin

The method of determining the time of walk intervals of wandering through the selected trajectory and one of the possible trajectories is discusses. This methodology is presented in matrix form and applied a rule of summation of random variables. Probabilistic characteristic of wandering is determined.

Key words: trajectory of the walk, time of walk, semi-Markov process, the selected trajectory, possible trajectory.

Grishin Konstantin Anatolyevich, postgraduate, GrishKons92@yandex. ru, Russia, Tula, Tula, Tula State University

УДК 621.78

РАСЧЕТ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ПОВЕРХНОСТИ МИШЕНИ

В. А. Дунаев, Т. А. Акименко, О.Ю. Горбунова

Предложена математическая модель нагрева поверхности мишени точечным источником тепла. Разработанный метод позволяет провести компьютерное моделирование нагрева поверхности мишени точечным источником тепла и исследовать динамику нагрева поверхности мишени, облученной импульсно-периодическим лазером.

Ключевые слова: нагрев, лазер, мишень, пятно нагрева, метод конечных элементов, метод конечных разностей.

Во многих технологических процессах реализуется механизм нагрева поверхности мишени точечным источником тепла, таким, например, как лазерный луч [1 - 4]. Нагревание поверхности лазерным излучением, активизирует в ней процессы теплообмена. Луч, попадая на поверхность, нагревает ее и тепло распространяется вглубь материала посредством теплопроводности. Практическая реализация этой операции с обеспечением оптимальных параметров нагрева и охлаждения мишени невозможна без построения математической модели, учитывающей специфические условия нагрева лазером и охлаждения поверхности путем конвекции.

81