CC BY
73
Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль
УДК 621.317
А. В. Пушкарева, М. Г. Мясникова, Б. В. Цыпин, А. С. Ластурина
МЕТОДИКА ОБРАБОТКИ, СЖАТИЯ И ВОССТАНОВЛЕНИЯ ДАННЫХ
Аннотация. Рассматриваются возможности применения метода Прони в задачах сжатия и восстановления данных. Приводятся результаты моделирования метода. Оцениваются погрешности восстановления сигнала. Формулируются требования к выбору оптимальных параметров регистрации и обработки сигнала.
Abstract. Possibilities of an application of the Proni method in tasks of a data compres-
sion and restoration are considered in the article. The results of method modeling are given. Restoration errors of signals are estimated. Requirements to the choice of optimal registration parameters and processing of a signal are formulated.
Ключевые слова: метод Прони, аппроксимация, математическое моделирование, влияющие факторы, погрешность восстановления.
Key words: the Proni method, approximation, the mathematical modeling, influencing factors, restoration error
В настоящее время применение параметрических методов для решения широкого круга задач, позволяющих всесторонне анализировать принимаемый сигнал, крайне перспективно. На основе аналитического представления сигнала возможны измерение параметров инерционных и колебательных составляющих, описывающих процесс, а также выделение информативных составляющих.
Наиболее приспособленным к решению задачи оценивания параметров колебаний является метод Прони [1]. Суть метода состоит в моделировании выборочных данных в виде линейной комбинации экспоненциальных функций, т.е. аппроксимирующая функция принимает следующую форму:
В основе метода лежат оценивание коэффициентов авторегрессии (АР) с применением метода наименьших квадратов (МНК) для решения системы из (У-р)-уравнений с р неизвестными N - количество дискретных отсчетов сигнала, р - порядок модели), решение характеристического уравнения, определение по корням собственных частот и затуханий и, наконец, по известным корням определение амплитуд и фаз гармонических составляющих.
Главное достоинство этого алгоритма состоит в том, что удалось нелинейную задачу оценивания параметров амплитуды А, частоты /, затухания а и фазы ф полигармонического сигнала свести к двум линейным задачам:
- оценивание параметров а из АР-уравнения:
aj HeJ (2nfjAt+^j ) = ^£bzl-j=1
(1)
p
(2)
- оценивание Ь из уравнения (1).
Нелинейная часть задачи перенесена на решение степенного уравнения с корнями г1 и г2:
2Р + а1гр 1 + а2 = 0. (3)
При N = 2р процедура Прони точно согласует экспоненциальную кривую, содержащую р членов, с результатами измерений, при N > 2р речь идет об аппроксимации. Учитывая то, что в этой процедуре заложена возможность на промежуточных этапах по корням уравнений (1) и (3) получить значения параметров сигнала, метод Прони, обычно описываемый в литературе как метод спектрального оценивания, можно использовать в качестве метода измерения.
Погрешности определения параметров зависят от соотношения п между периодом сигнала и временем измерения, общего числа измерений N, порядка модели аппроксимации р и разрядности АЦП ё.
Моделирование метода измерения с помощью системы Ма1;ЬаЬ 7.0 позволяет оценить погрешности измерения, аппроксимации и восстановления данных и сформулировать некоторые рекомендации по их уменьшению [2].
Так как при хранении информации о сигнале в виде коэффициентов регрессии либо параметров колебательных и инерционных составляющих сигнала восстановление сигнала осуществляется на основе аппроксимации с использованием указанных параметров, за погрешность восстановления можно принять среднеквадратическое отклонение регистрируемых показаний исходного ряда от аппроксимирующей кривой, отнесенное к максимальному значению (пределу измерения) сигнала:
V
X ( -y)
' ---100%, (4)
Nymax
где € - значения регистрируемых показаний после аппроксимации. Поэтому для оценивания максимальной погрешности восстановления будем исследовать аппроксимацию сигнала.
При проведении моделирования формируется сигнал с тремя некратными гармоническими компонентами и наложенным на них белым шумом. Не целесообразно брать большее количество компонент, так как это приведет к значительному завышению порядка (компоненты взяты некратными для демонстрации преимущества метода Прони перед методом Фурье). Этот сигнал описывается моделью
Ui = XLUm C0S(2raAtfm + фт ) + £/-, i = 1 ■ ■N , (5)
m-1 q
где Um, fm, фт - амплитуда, частота и фаза m-той гармоники сигнала соответственно; i - номер отсчета сигнала (дискретное время); ^ - значения аддитивного белого шума с нулевым матожиданием и дисперсией аш = 0,1 в моменты отсчетов (значения взяты для обеспечения достаточно низкой погрешности); q - отношение сигнал/шум; N - количество зарегистрированных дискретных отсчетов; At - шаг дискретизации, согласно теореме Котельникова определяемый соотношением
At = П / (Nfmax ), (6)
где fmax - максимальная частота; n - число периодов за время измерения.
Для моделирования квантования, обусловленного наличием АЦП, модель (5) дополняется следующим образом:
round \2d liij l)
ui = 2d • (7)
где d - количество разрядов АЦП с двоичным шагом квантования; round{х) - ближайшее целое числа х в скобках.
Оценивание шума - отношение эффективного значения шума к СКО сигнала. Параметры сигнала следующие: N = 150, p = 12, d = 12, n = 12, q = 100, где N - число отсчетов; p - порядок аппроксимирующей модели; d - разрядность АЦП; n - число периодов сигнала; q - отношение сигнал/шум.
Исследование влияния порядка аппроксимирующего полинома на погрешность восстановления проводится согласно алгоритму, представленному на рис. 1.
Начало
Формирование
сигнала
р= 1 ..20
г= 1 ..20
Генерация гауссова шума
Суммирование сигнала с шумом и его квантование
Вычисление
погрешностей
измерения
параметров
Вычисление
погрешности
восстановления
Аппроксимация
сигнала
полученными
параметрами
Вывод зависимостей погрешностей от фактора р
Конец
Рис. 1. Алгоритм исследования влияния порядка модели р на погрешность измерения параметров и восстановления сигнала
На первом этапе задаются все общие параметры, которые не будут изменяться. К ним относятся число отсчетов, число периодов исследуемого сигнала за время измерения, отношение сигнал/шум, разрядность АЦП. Далее формируется сигнал, определяемый параметрами трех составляющих: частотами, амплитудами и начальными фазами. При этом частоты колебаний задаются
некратными интервалу измерений. Например, л/2, 0,7л/2 и 1,4л/2. В результате обработки сформированного сигнала получают его параметры, по которым строится аппроксимация.
Аппроксимация данных, полученная при 6-м порядке, показана точками на рис. 2 на фоне исходного незашумленного и неквантованного сигнала. Точность описания недостаточная, хотя погрешность восстановления, как видно из графика, представленного на рис. 4, при этом значении параметра составляет 1,5 %. Аппроксимация моделью 12-го порядка, представленная на рис. 3, полностью повторяет исходный сигнал.
2
-2
0 50 100 150
N
Рис. 2. Аппроксимация данных моделью 6-го порядка
Рис. 3. Аппроксимация даных моделью 12-го порядка
Зависимость погрешности восстановления сигнала от порядка АР-модели, представленная на рис. 4, показывает, что погрешность среднеквадратического отклонения сигнала от модели может составлять всего 0,005 % при аппроксимации 10-20 порядком.
О 5 10 15 20 25
Р
Рис. 4. График зависимости погрешности восстановления сигнала от порядка модели
Аналогичным образом были проанализированы остальные параметры сигнала. Предварительные исследования позволили сделать вывод о том, что основными параметрами, влияющими на погрешность измерения, являются число отсчетов N и порядок модели аппроксимации р. Расширить диапазон нижних частот можно либо увеличением порядка модели, либо увеличением шага дискретизации (путем децимации (прореживания) исходного ряда данных) [3]. При проведении измерений в присутствии шума с отношением сигнал/шум больше 50 необходимо обработать моделью 10-12 порядка N = 100.. .1000 дискретных отсчетов сигнала. При проведении измерений в присутствии более сильных шумов с отношением сигнал/шум меньше 50 необходимо:
- обработать моделью 12-16 порядка N = 300.1500 дискретных отсчетов сигнала;
- либо выполнить прореживание исходного временного ряда с коэффициентом децимации, равным 2 (отбросить каждый второй отсчет сигнала).
При проведении измерений на основе алгоритма обработки завышенным порядком модели в качестве результатов измерения принимаются параметры трех наиболее мощных частотных составляющих.
Погрешности измерения параметров амплитуд, частот, фаз и затуханий определяют погрешность восстановления сигнала, которая при указанных значениях влияющих параметров не превышает 0,5 %, а при определенных их значениях может быть 0,02 % и менее [4].
Разработаны варианты хранения информации, предусматривающие хранение 12 значений параметров трех информативных составляющих, по которым происходит полное восстановление сигнала с обеспечением коэффициента сжатия N/12. Так, в случае обработки 1200 отсчетов коэффициент сжатия составит 100 при погрешности восстановления около 0,3 %. При обработке большего объема данных коэффициент сжатия достигает 1000 и более.
Более удобный формат хранения с точки зрения простоты обработки на приемной стороне обеспечивает меньший (в два раза) коэффициент сжатия, однако позволяет обеспечить более точное восстановление информации (погрешность восстановления может достигать 0,02 %). Применение такого формата предусматривает передачу только коэффициентов регрессии с последующим вычислением параметров сигнала на приемной стороне.
Восстановление сигнала, зашумленного гауссовым шумом с отношением сигнал/шум не менее 100, с погрешностью 0,01 % возможно при соблюдении следующих условий: использование АЦП с количеством разрядов 12 и более, обработка как минимум 4р отсчетов, с учетом завышенного порядка, вдвое большего предполагаемого. Например, такое значение погрешности восстановления можно получить при N = 100, р = 12, й = 12, с учетом того, что зарегистрировано по крайней мере 10 периодов наибольшей частоты, входящей в состав измеряемого сигнала. При более мягких условиях регистрации в большинстве случаев можно восстановить сигнал с точностью 0,1 %.
Список литературы
1. Кей, С. М. Современные методы спектрального анализа: Обзор / С. М. Кей,
С. Л. Марпл-мл. // ТИИЭР. - 1981. - № 11.
2. Мясникова, М. Г. Оценивание погрешности метода Прони в измерительных задачах /
М. Г. Мясникова, Е. О. Самсонкина, М. О. Самсонкина // Современные проблемы оптимизации в инженерных приложениях : сб. тр. Первой Междунар. науч.-техн. конф. -Ярославль, 2005.
3. Цыпин, Б. В. Измерение параметров гармонического сигнала в шумах / М. Г. Мясникова, Б. В. Цыпин, В. В. Козлов // Информационно-измерительная техника : тр. ун-та. -Пенза : Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2006. - Вып. 30.
4. Мясникова, М. Г. Применение методов цифрового спектрального оценивания в задаче измерения параметров сигнала / М. Г. Мясникова, В. В. Козлов // Измерительная техника. - 2010. - № 10.
Пушкарева Анастасия Валерьевна Pushkareva Anastasiya Valer'evna
аспирант, postgraduate student,
Пензенский государственный университет Penza State University
E-mail: august.89@yandex.ru
Мясникова Мария Геннадьевна
кандидат технических наук, доцент, кафедра информационно-измерительной техники, Пензенский государственный университет E-mail: urchin_blue@mail.ru
Цыпин Борис Вульфович
доктор технических наук, профессор, кафедра информационно-измерительной техники, Пензенский государственный университет E-mail: cypin@yandex.ru
Ластурина Анастасия Сергеевна
студентка,
Пензенский государственный университет
Myasnikova Mariya Gennad'evna
candidate of technical sciences, associate professor, sub-department of information and measuring technique,
Penza State University
Tsypin Boris Vulfovich
doctor of technical sciences, professor, sub-department of information and measuring technique,
Penza State University
Lasturina Anastasiya Sergeevna
student,
Penza State University
УДК 621.317 Пушкарева, А. В.
Методика обработки, сжатия и восстановления данных / А. В. Пушкарева, М. Г. Мясникова, Б. В. Цыпин, А. С. Ластурина // Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. - 2012. - № 1. -С.20-25.
