Методика обоснования характеристик процесса развития промышленных предприятий с использованием средств оптимизационного моделирования Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Экономико-математические методы и модели

DOI: 10.18721/JE.11617 УДК 681

МЕТОДИКА ОБОСНОВАНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК ПРОЦЕССА РАЗВИТИЯ ПРОМЫШЛЕННЫХ ПРЕДПРИЯТИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СРЕДСТВ ОПТИМИЗАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

В.И. Малюк, А.Е. Радаев, Г.Ю. Силкина

Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, Санкт-Петербург, Российская Федерация

В современных условиях развития промышленных предприятий одним из ключевых факторов конкурентоспособности является устойчивое развитие предприятий в долгосрочной перспективе, обеспечиваемое в том числе посредством рационального распределения ресурсов предприятия при инвестировании соответствующих проектов. При этом традиционные подходы к решению задач обоснования оптимального объема инвестиций (предполагающие проведение маркетинговых исследований и последующего анализа безубыточности) для проектов в области развития промышленных предприятий обеспечивают относительно невысокую адекватность получаемых результатов ввиду трудности обеспечения объективности исходных данных при невозможности моделирования экономических процессов в условиях непрерывно изменяющейся внешней среды. Данная статья посвящена вопросам применения математических методов и моделей в качестве альтернативных инструментов для решения задач обоснования оптимального объема инвестиций. Разработана аналитическая модель взаимосвязи отдачи от инвестиций от их исходного объема (как основных параметров инвестиционных проектов в области развития промышленного предприятия) на основе модели Ферхюльста. На основе разработанной аналитической модели определены основные характеристики процесса реализации инвестиционных проектов в рамках развития промышленных предприятий, в том числе минимальный и максимальный объемы рационального инвестирования, а также экстремальные величины дохода и потерь от инвестирования проектов в области развития промышленного предприятия. Разработана методика обоснования характеристик процесса развития промышленных предприятий, предполагающая использование средств аналитического и оптимизационного моделирования в составе современных специализированных программных сред. Произведена реализация разработанной методики на практическом примере — оценке характеристик процесса инвестирования проектов в области гражданского строительства в части исходного объема инвестируемых средств и соответствующей отдачи — с использованием вычислительных возможностей программы «Microsoft Excel», в частности надстройки «Поиск решения» для реализации различных оптимизационных моделей. На основе полученных результатов реализации предложенной методики сделан вывод о высокой адекватности результатов и, как следствие, высокой практической значимости разработанной методики.

Ключевые слова: промышленное предприятие, организационное развитие, математическая модель, оптимизация

Ссылка при цитировании: Малюк В.И., Радаев А.Е., Силкина Г.Ю. Методика обоснования характеристик процесса развития промышленных предприятий с использованием средств оптимизационного моделирования // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Экономические науки. 2018. Т. 11, № 6. С. 195-211. DOI: 10.18721/JE.11617

PROCEDURE FOR DETERMINING THE CHARACTERISTICS FOR DEVELOPMENT OF INDUSTRIAL ENTERPRISES USING OPTIMIZATION MODELING TOOLS

V.I. Malyuk, A.E. Radaev, G.Yu. Silkina

Peter the Great St. Petersburg polytechnic university, St. Petersburg, Russian Federation

One of the key factors of competitiveness of developing industrial enterprises in modern conditions is sustainable development of enterprises in the long term, particularly, through rational allocation of enterprise resources during investment of relevant projects. At the same time, traditional approaches to finding the optimal amount of investments (involving marketing research and subsequent break-even analysis) for projects for developing industrial enterprises only yield results with relatively low adequacy, as it is difficult to provide objective source data when economic processes cannot be modeled in a continuously changing environment. This article focuses on mathematical methods and models as alternative tools for solving problems connected to determining the optimal amount of investment. We have developed an analytical model of return on investment as a function of its initial volume (as the main parameters of investment projects in the field of industrial enterprise development) based on the Verhulst model. This analytical model was used to find the main characteristics of implementation of investment projects in the field of developing industrial enterprises, including the minimum and maximum amounts of rational investment, as well as extreme amounts of income and losses from investing in industrial enterprise development projects. We have developed a procedure for substantiating the characteristics of industrial enterprise development. The procedure is based on applying analytical and optimization modeling tools as part of modern specialized software environments. The developed procedure has been implemented on a practical example: assessment of characteristics for investment in civil engineering projects in terms of the initial amount of invested funds and the corresponding return, using the computing capacities of Microsoft Excel software, particularly, the Solver add-in for implementing various optimization models. Implementation of the proposed procedure lead us to conclude that the obtained results were highly adequate and, as a sequence, the developed procedure had a high practical importance.

Keywords: industrial enterprise, organizational development, mathematical model, optimization

Citation: V.I. Malyuk, A.E. Radaev, G.Yu. Silkina, Procedure for determining the characteristics for development of industrial enterprises using optimization modeling tools, St. Petersburg State Polytechnical University Journal. Economics, 11 (6) (2018) 195—211. DOI: 10.18721/JE.11617

Введение. В современных условиях деятельности промышленных предприятий особую важность приобретают вопросы обеспечения устойчивости развития предприятий, напрямую определяющие конкурентоспособность и самостоятельность последних в рыночной деятельности [1, 3, 6, 7, 10—12, 14—16, 20]. При этом из множества категорий, связанных с развитием отдельного

промышленного предприятия, особую значимость имеет именно организационное развитие предприятия, непосредственно определяющее эффективность реализации соответствующих бизнес-процессов [2, 4, 8, 9, 13]. Организационное развитие предприятия в наиболее общем случае можно представить как результат реализации последовательности определенных инвестицион-

ных проектов, направленных на достижение конкретных целей и предполагающих привлечение различных видов ресурсов — материальных, трудовых, финансовых (последние при этом являются интегральной формой всех остальных). В этой связи большое внимание уделяется вопросам рационального распределения ресурсов предприятия (в условиях ограниченности их объема) для реализации тех или иных инвестиционных проектов [5]. Решение соответствующих задач предполагает обоснование оптимального объема ресурсов, выделяемых для реализации каждого отдельного рассматриваемого проекта, при которых обеспечивается максимальная эффективность их использования. В частности, при решении задачи обоснования оптимального объема финансовых ресурсов — инвестиций критерием оптимальности будет являться величина возврата капитала (отдачи от инвестиций). Традиционный подход к решению указанной задачи предполагает последовательное выполнение следующих основных этапов: проведение маркетинговых исследований рынка для рассматриваемого вида продукции/услуг; формирование зависимости спроса от цены реализации рассматриваемого вида продукции/услуг; обоснование наиболее предпочтительного объема инвестиций посредством определения максимально возможного объема реализации рассматриваемого вида продукции/услуг при различных уровнях цены с последующим выполнением анализа безубыточности [8].

Однако представленный выше подход при оценке конкретного проекта имеет ряд недостатков, основным из которых является сложность обеспечения достоверности исходных данных о характеристиках рынков для рассматриваемого вида продукции/услуг, а также о величине объема реализации при том или ином уровне цены. Указанное обстоятельство обусловлено, главным образом, невозможностью проведения реальных экспериментов с различными объемами инвестирования ввиду высоких рисков, а также изменчивостью внешней среды [18]. Вышеупомянутые недостатки существующих методов решения задач обоснования оптимального объема инвестирования для проектов

в области организационного развития промышленных предприятий могут быть устранены посредством моделирования процесса реализации проекта на основе экономико-математических методов, предполагающих использование в том числе аналитических моделей регрессионного анализа, оптимизационных моделей, графоаналитических моделей на основе Б-зависимостей и т. д. [2, 5, 9, 17, 19]. При этом результаты реализации указанных методов и моделей позволят существенно понизить степень неопределенности информации, используемой в качестве основы для принятия решений, связанных с развитием предприятия, реализацией проекта и т. п. Кроме того, использование в качестве основы для реализации математических моделей информации о фактических результатах деятельности предприятия за предшествующий временной период исключает опасность возникновения существенных финансовых потерь.

Методы и результаты исследования. Вышеуказанное обстоятельство определило целесообразность проведения исследования, целью которого является разработка инструментальных средств обоснования характеристик инвестиционных проектов в рамках развития промышленных предприятий с использованием методов оптимизационного моделирования. Для достижения указанной цели были формулированы следующие задачи:

— формирование аналитической модели взаимосвязи параметров инвестиционных проектов в рамках развития промышленных предприятий;

— идентификация основных характеристик процесса реализации инвестиционных проектов в рамках развития промышленных предприятий на основе разработанной аналитической модели;

— разработка методики обоснования характеристик процесса развития промышленных предприятий с использованием средств аналитического и оптимизационного моделирования;

— реализация разработанной методики на практическом примере.

Рис. 1. Графическое описание модели Ферхюльста Fig. 1. Graphical description of Verhulst model

На начальных этапах исследования были рассмотрены Б-образные, в том числе логистические графо-аналитические модели, используемые для описания зависимости величины возврата капитала от объема инвестиций [8] при решении задач обеспечения эффективной реализации инвестиционных проектов. Исходя из предположения о том, что указанные модели могут быть использованы при описании процесса развития промышленного предприятия, в качестве основы для разработки соответствующей аналитической модели была выбрана модель Ферхюльста [8]:

У (x ) =

A

1 +10a

C,

(1)

чение зависимой переменной определяется значениями параметров масштаба А, смещения С и формы а (точка 1 на графике):

y (x = 0) ~ A, a, C.

(2)

Для учета основного принципа взаимосвязи отдачи от инвестиций и их исходной величины, определяемого в терминах рассматриваемой модели выражением

У (x = 0 ) = 0,

(3)

где у — значение зависимой переменной (в данном случае — отдача на инвестиции, руб.); х — значение независимой переменной (в нашем случае — объем инвестиций в реализацию проекта, руб.); А — параметр масштаба, определяет ширину диапазона значений зависимой переменной; С — параметр смещения, определяет нижнюю границу диапазона значений зависимой переменной; а, Ь — параметры формы кривой — графического описания рассматриваемой зависимости, определяющие соответственно наклон и изгиб кривой, а следовательно, и ее точки перегиба.

Графическая интерпретация модели Фер-хюльста описывается графиком (рис. 1).

Из рис. 1 видно, что при нулевом значении независимой переменной соответствующее зна-

была произведена модификация модели Ферхюльста посредством реализации следующих основных этапов.

1. Определение параметра смещения С из условия (3) через параметры масштаба А и формы а:

y (x = 0 ) =

1 + 10a

- + C = 0 ^ C = --

1 + 10a

(4)

2. Подстановка выражения (4) для параметра смещения С в базовое выражение для модели Ферхюльста и приведение подобных:

У(x ) =

A -10a 1 - Ю-0'

b-x

1 + 10a-bx 1 + 10a 1 + 10a 1 + 10a-b-

. (5)

Таким образом, выражение (5) определяет модифицированную аналитическую модель из семейства Б-образных моделей, описывающую взаимосвязь между величиной возврата капитала и объемом инвестиций в рамках соответствующих проектов в области развития промышленных предприятий.

Таблица 1

Основные характеристики процесса реализации инвестиционных проектов в рамках развития промышленных предприятий

The main characteristics of the implementation of investment projects in the area of the development of industrial enterprises

Наименование характеристики Обозначение Описание процесса

Масштабный фактор A Определяет максимальное значение отдачи от инвестиций

Условно-постоянный форм-фактор a Определяет фиксированную (базовую) величину повышения/понижения отдачи от инвестиций относительно их исходного объема

Условно-переменный форм-фактор b Определяет добавочную переменную величину повышения/понижения отдачи от инвестиций относительно их исходного объема, зависящую от последнего

Минимальный объем рациональных инвестиций, руб. min xef Минимальный ненулевой объем инвестиций, при котором обеспечивается неотрицательное значение разности отдачи от инвестиций и их исходного объема

Максимальный объем рациональных инвестиций, руб. x max xef Максимальный объем инвестиций, при котором обеспечивается неотрицательное значение разности отдачи от инвестиций и их исходного объема

Объем инвестиций при наиболее эффективном вложении, руб. ^max+ Объем инвестиций, при котором обеспечивается наибольшее значение разности отдачи от инвестиций и их исходного объема

Объем инвестиций при наименее эффективном вложении, руб. ^max - Объем инвестиций, при котором обеспечивается наименьшее значение разности отдачи от инвестиций и их исходного объема

Максимальный доход от инвестиционных вложений, руб. дтах+ Наибольшее значение разности отдачи от инвестиций и их исходного объема величиной xmax+

Наибольшие потери от инвестиционных вложений дmax - Разность отдачи от инвестиций и их исходного объема величиной Х-max -

В рамках следующего этапа исследования были определены наиболее важные характеристики процессов реализации инвестиционных проектов в рамках развития промышленных предприятий, описываемых разработанной аналитической моделью (см. табл. 1). Как видим из табл. 1, к упомянутым характеристикам относятся не только параметры модели Ферхюльста, но также дополнительные экономические показатели, назначение которых иллюстрируется графиком на рис. 2 и 3.

При графическом сопоставлении разработанной аналитической модели с линией равенства отдачи от инвестиций и их исходного объема (рис. 2) У (х ) = х (6)

на оси абсцисс были выделены характерные участки потерь (нерационального инвестирования) и дохода (рационального инвестирования) от инвестиционных вложений, при этом границы участков соответствуют пересечениям Б-кривой и линией равенства отдачи от инвестиций и их исходного объема. На основе полученных данных можно заключить следующее.

- инвестиции в развитие предприятия будут возвращены инвестору только при объеме вложений, принадлежащем интервалу [х™"; х^™] (точки 1 и 2 — соответственно минимальная и максимальная точки безубыточности на графике, рис. 2); в противном случае, возврат инвестиций не гарантирован;

- при инвестировании в развитие предприятия средств в объеме, меньшем х™" (например, х-), в соответствии с Б-кривой будет обеспечена отдача, объем которой меньше объема инвестирования (у- <уХ- соответственно); при полном возврате в производство средств, полученных от первоначального инвестирования, объем последующей отдачи окажется еще меньше (у 2 < у-), т. е. предприятие не сможет вернуть вложенные в его развитие средства; аналогичная ситуация будет иметь место в случае, когда объем первоначальных инвестиций превышает величину х™х;

Возврат капитала

У 2 = Ух

У3 "= У 2

Нерациональное инвестирование

X3 Xef Инвестиции в

Рациональное инвестирование

развитие предприятия X, руб.

Рис.

2. Параметры различных вариантов инвестиционных проектов в области развития предприятия Fig. 2. Parameters of different variants for investment projects in the area of enterprise development

Возврат капитала

y, руб.

У

У

УЛ

У"

Нерациональное инвестирование

Рациональное инвестирование

Xef Инвестиции в развитие предприятия X, руб.

Рис. 3. Экстремальные параметры инвестиционного проекта в области развития предприятия Fig. 3. Extremum parameters of an investment project in the area of enterprise development

+

+

0

X

X

X

X

X

X

ef

3

2

2

max

0

X

X

X

ef

- при инвестировании в развитие предприятия средств в объеме, соответствующем интервалу

[х™"; хШЛ (например, ), в соответствии с предложенной моделью будет обеспечена отдача, объем которой больше исходного объема инвестирования (> уХ+); данное обстоятельство позволяет инвестировать больший объем средств на следующем этапе инвестирования (производственном цикле) и обеспечить еще более значимую отдачу (у2 > У\ ).

При проведении касательных, параллельных линии равенства отдачи от инвестиций и их исходного объема у(х) = х, по отношению к Б-кривой, описывающей разработанную аналитическую модель (рис. 3), были определены отрезки, определяющие параметры дшах+ и Дшах - как абсолютные разности ординат линии равенства отдачи от инвестиций и их исходного объема

хтах+(-) ^ „ шах+(-)

у к ' и Б-кривой у к ' для соответствую-

r m

щих абсцисс х

А max+( - ) x max+( -

Д w = y v

-y

(7)

хг — объем инвестиций в рамках г-го варианта инвестиционного проекта в области развития предприятия, руб.; г = 1,..., т;

Уг — объем отдачи инвестиций в рамках г-го варианта инвестиционного проекта в области развития предприятия, руб.; г = 1,..., т.

В рамках следующего — второго этапа реализации методики производится вычисление параметров масштаба А и формы а и Ь аналитической модели посредством реализации нелинейной оптимизационной модели вида

X

(

A-10" 1 -10

-b-Xi

1 +10" 1 +10

z-b-x

^ min;

(8)

A, a, b > 0.

На следующем этапе исследования была разработана методика обоснования характеристик процессов реализации инвестиционных проектов в области развития промышленных предприятий с использованием средств аналитического и оптимизационного моделирования. Структура методики представлена на рис. 4.

На начальном — первом этапе реализации методики производится подготовка соответствующих исходных данных, базирующихся на статистических или прогнозных значениях (определенные для предшествующих или будущих периодов соответственно) характеристик инвестиционных проектов и включающих в себя следующие параметры:

т — количество вариантов инвестиционных проектов в области развития предприятия, реализованных за предшествующие периоды или запланированных на будущие периоды, ед.;

Данная модель может быть реализована с использованием градиентных методов, доступных в программных средах «Microsoft Excel», «Mathcad» и «Matlab». Тем не менее, для успешной реализации указанной модели необходимо рациональное обоснование начальных значений параметров A0, a0, b0. С этой целью была предложена соответствующая процедура, включающая следующие основные подэтапы.

1) Присвоение значения параметра b0 из интервала (1/Q;1), где Q — порядок значений исходных данных.

2) Вычисление параметров A0 и a0 посредством решения системы уравнений, получаемых с учетом граничных условий, которые, в свою очередь, базируются на монотонности возрастания исследуемой S-кривой, определяющей соответствие минимального Xmin и максимального Xmax значений объема инвестиций соответственно минимальному ymin и максимальному ymax объемам отдачи. Тем не менее, с учетом объективной погрешности измерений значений {Xi}, {y,} в составе исходных данных взаимосвязь последних с характеристиками Xmin, Xmax, ymin, ymax целесообразно представить в следующем виде:

Xmin = Xmin , ymin = y,min ; i : -Xmin = min{Xi }; (9) Xmax = -Xmax , ymax = yimax ; i : -Xmax = max {Xi }. (10)

Рис. 4. Блок-схема методики обоснования характеристик процессов реализации инвестиционных проектов

в области развития промышленных предприятий

Fig. 4. Block scheme of the procedure for determination of the characteristics of the implementation processes for investment projects in the field of industrial enterprises' development

Система уравнений для вычисления параметров А0 и а0 была получена посредством введения в выражение (5) для предложенной аналитической модели обозначений

0 д0

10а =и, 10-Ь = V

(11)

ушт

У шах

А • и 1 - Vх

1 + и 1 + и • VXшin А • и 1 - vXшax

(12)

1 + и 1 + и • V

Уш

1 - ухшах 1 + и • VXшin

Уш

1 - ухшш 1 + и • Vх

(13)

выражения параметра и из полученного выражения (13):

у vXшin -1

и =-

Уп

-1

-1

у VXmin - 1

Vxшin - Vxшax * шах _*

(14)

Уп

-1

а0 = 18

10

-Ь0

ушах Ушт 0 10-Ь 10-Ь •xшin 1 1 'хшах _1

-10- Ь0х и Лшах У 10-Ь0хшт ■У шах -1

ушт 10-Ь°хшах -1

. (15)

А0 = у

■У ш

1 + 10а 1 + 10а

10а

1 - 10-Ь хшах

На следующем — третьем этапе реализации

методики осуществляется оценка адекватности сформированной аналитической модели по расчетному значению коэффициента детерминации, вычисляемого по формуле

и подстановки в полученное выражение координат точек для граничных условий (хшш, уШт) и (хшах, Ушах). Указанная система уравнений имеет вид:

гп ^

Ш - у )2

К2 = 1 —

;=1

(17)

X

г=1

ГП

X у

т

2.1. Вычисление параметра а посредством деления нижней строки на верхнюю в системе уравнений (12):

где у^ — прогнозное значение отдачи от инвестиций, вычисленное для г-го инвестиционного проекта в соответствии со сформированной аналитической моделью,

У1 =-

А 10а 1 -10

-Ьо

1 + 10а 1 +10

а-Ьх

(18)

и обратной замены параметра и с учетом ранее произведенных обозначений (11):

2.2. Вычисление параметра А0 посредством подстановки назначенного начального значения параметра Ь0 и вычисленного начального значения параметра а0 в верхнюю или нижнюю часть системы уравнений (12). В частности, при подстановке в нижнюю часть

Указанный коэффициент варьируется в диапазоне [0; 1]; чем он ближе к единице, тем точнее сформированная модель описывает исходные данные.

На заключительной стадии второго этапа реализации методики производится построение графика зависимости возврата капитала от исходного объема инвестирования в соответствии со сформированной аналитической моделью.

В рамках следующего — четвертого этапа реализации методики — определение минимального хешш и максимального хшах объемов рационального инвестирования с использованием средств оптимизационного моделирования. Данное обстоятельство обусловлено тем, что применение традиционного аналитического подхода для вычисления указанных параметров предполагает решение уравнения

х =

А Л0а 1 -10

,-Ьо

1 + 10а 1 + 10а-Ьх'

(19)

что представляется затруднительным ввиду трансцендентности модели Ферхюльста. Указан-

(16) ные параметры х(

еГ

и х,

еГ

предлагается опре-

делять посредством реализации нелинейных оп-

шах

V

шах

V

тимизационных моделей, определяемых обобщенным выражением вида

(

A 10a 1 -10

, min(max ) ef

Л2

1 + 10" 1 + 10a-А'Л ef

in(max)

ef

—> min;

(20)

x^max0.

Важно отметить, что для успешной реализации оптимизационных моделей необходимо рациональное обоснование начальных значений

min 0 max 0

вычисляемых характеристик xef , xef в соответствии со следующим обобщенным условием:

min(max )0 min(max Хef - x

ef

^S,

(21)

шт(шах) г- ,

где хеГ у ' — объективное (оптимальное в соответствии с математическими моделями (20)) значение вычисляемой характеристики; е — абсолютная величина наибольшего допустимого отклонения между начальным и оптимальным значениями вычисляемого параметра.

Для формирования значений x

min 0 max 0

ef

ef

A(x) = -

A

-+--x.

(22)

1 + 10а-Ьх 1 +10"

2) Взятие первой производной и приравнивание ее к нулю для определения значений независимой переменной в экстремальных точках. Соответствующее выражение имеет вид:

d , , 10a-bxA • b • ln(10) —A(x )=-^—--1

dx (10°-bx +

-1 = 0. (23)

3) Введение обозначений:

10

a-bx

= t, A • b • ln(10) = z.

(24)

4) Подстановка обозначений (24) в выражение (23), приведение подобных; формирование уравнения вида

t2 +(2 - z )• t +1 = 0.

(25)

5) Обратная подстановка величины г (выражение (24) в уравнение (25), решение уравнения относительно параметра t. Уравнение (25) является квадратным относительно параметра I и имеет два решения, определяемые выражением:

t1, 2 =±

^A • b • ln (10 )•(• ln (10)-4)

A • b • ln (10) 2 .

(26)

6) Обратная подстановка величины t, выражение (24), в формулу (26) по принципу

t1 = 10a-bx ^ , t2 = 10a-bi

a-b-x1

(27)

целесообразно использовать графическое описание исследуемой аналитической модели, выполненное на предшествующем этапе методики.

Пятый этап реализации методики — вычисление характеристик хшах + и хшах - — объемов инвестиций при наименее и наиболее эффективном вложении соответственно — по формулам, получаемым посредством реализации следующих подэтапов.

1) Формирование выражения для зависимости потерь/дохода от инвестиционных вложений от Д исходного объема х последних с использованием модели, описываемой выражением (5). Зависимая величина определяется выражением

выражение характеристик х шах+ и хшах- через остальные параметры. Формирование формулы для указанных характеристик:

lg

JA-Mn(10)(ln(10)+4) A-bln(10)'

-a (28)

Ь

Важно отметить, что помимо аналитической формулы (28) для определения значений характеристик хшах + и хшах- могут быть использованы нелинейные оптимизационные модели, описываемые обобщенным выражением вида

, max +(-)

A 40" 1-10bx max+(-) , . ч -----— x v '— max (min);

1+10a 1+10a-bxmax+(-) v ; (29)

x max+(-)> 0.

Для успешной реализации оптимизационных моделей необходимо назначать начальные зна-

чения вычисляемых характеристик xmax + 0 и xmax_0 на основе графического описания исследуемой аналитической модели в соответствии с условием (21) .

В рамках последнего — шестого этапа реализации методики производится вычисление характеристик Amax + и Amax_ — максимального дохода и наибольших потерь от инвестиционных вложений соответственно — на основе предварительно рассчитанных характеристик xmax+ и xmax_ по обобщенной формуле

, max +(-)

.max+(-) A-10° 1_10_bx 1 __ x max+(-) (30)

1+10a

1+10

, max +(-) l-b-x '

тить, что ввиду больших исходных значений параметров {х,}, {у,} для удобства применения разработанных инструментальных средств было произведено масштабирование указанных значений в соответствии с формулами

*;= Х-; у = А,

г M ' M

(31)

Важно отметить, что использование формулы для расчета характеристик Дшах + и Дшах" целесообразно только в том случае, если характеристики хшах+ и хшах~ были вычислены с использованием формул (28): в противном случае характеристики Дшах+ и Дшах~ будут определены уже на предшествующем этапе по результатам реализации оптимизационных моделей, описываемой выражением (29), поскольку являются целевыми функциями в составе последних.

На заключительном этапе исследования была произведена реализация разработанной методики на практическом примере — задаче оценки характеристик строительного проекта, осуществленного реальным предприятием. Проект предполагает строительство коттеджного поселка в Ленинградской области с последующей сдачей домов в долгосрочную аренду и потому относится к категории так называемых Т1ше8Ьагт£-проектов. Срок аренды ограничен 30 годами. Финансовые цели проекта ориентированы на получение через один год уровня занятости домом до 90 %, при этом выручка должна составить не менее 300 млн р., при этом единица продукта характеризуется неделей сдачи дома в аренду. На основе информации, содержащейся в бизнес-плане проекта, были сформированы исходные данные для реализации методики. Важно отме-

где x;, Xi — соответственно преобразованное и исходное значение объема инвестирования в рамках i-го варианта проекта; y;, yi — соответственно преобразованное и исходное значение отдачи от инвестиций в рамках i-го варианта проекта; M — масштабный коэффициент.

Также важно отметить, что вычисление начальных значений параметров масштаба A и формы a, b предложенной аналитической модели невозможно при нулевых значениях объемов инвестиций и соответствующей отдачи Xmm = 0, ymin = 0; в этом случае необходимо дополнительное преобразование исходных данных для варианта проекта, соответствующего указанным минимальным значениям (имеющего номер imin) в соответствии с формулой

Х; min ^ Х; min + X; У; min

^ y;mn +х (32)

где X — погрешность вычисления параметров проекта с порядковым номером imin.

На основе указанных исходных данных с использованием программы «Microsoft Excel» было произведено вычисление основных характеристик проекта в соответствии с основными этапами предложенной методики, реализация соответствующих оптимизационных моделей — выражения (8), (20) и (29), производилась с использованием метода обобщенного понижающего градиента (ОПГ), доступного в рамках надстройки «Поиск решения» программы «Microsoft Excel». Исходные данные и результаты реализации методики представлены на рис. 5 и 6. Описание основных формул, используемых в процессе реализации методики с использованием программы «Microsoft Excel», представлено в табл. 2. Основные параметры надстройки «Поиск решения», используемые при реализации оптимизационных моделей в соответствии с выражениями (8), (20) и (29), представлены в табл. 3.

A | В | С | D | E F Н

1 Таблица 1 Базовые исходные данные

2 Наименование элемента исходных данных Значение

3 Масштабный коэффициент преобразованиям М 1000

4

5 Таблица 2 - Статистические исходные данные

6 Порядковый помер варианта проекта i Исходные значения (руб.) Преобразова] [ные ЗЕтачеоия (тыс.руб.) Прогнозные значения (тыс. руб.)

7

8 объем инвестиций Xj отдача от инвестиций У! объем инвестиций х', =х,/М отдача от инвестиций у\ =yt/M отдача от инвестиций V f ~ А10Ч1-10 Ь "» (1 + 10*)(1+10"Ьх)

9 1 10079891 4222474 10079,891 4222,474 34,97523342

10 2 18822514.9 3731511.8 18822,5149 3731,5118 80,86807578

It 3 29258029,4 7619928.8 29258,0294 7619,9288 164,7765447

12 4 68795423,3 8684098.7 68795,4233 8684,0987 1238,78827

13 5 69969107,9 2719592,3 69969,1079 2719,5923 1307,848303

14 6 72248131.9 11706449,3 72248,1319 1 1706,4493 1452,545418

15 7 110198158,1 15303472,2 110198,1581 15303,4722 7906,263159

16 8 126878984.6 12173617,1 126878,9846 12173.6171 16205,30771

17 9 130685173,6 26060868,7 130685,1736 26060,8687 19028,03431

18 10 136183256,8 38431409,9 136183,2568 38431,4099 23929,4269

19 11 137900485,8 31264836,8 137900,4858 31264,8368 25685,73435

20 12 144806061,2 35022425,6 144806,0612 35022,4256 34003,12974

21 13 167440878,8 66925362 167440,8788 66925,362 79529,44892

22 14 205053762,6 237309945,5 205053,7626 237309,9455 214624,1111

23 15 209052766.4 195889206,7 209052,7664 195889,2067 229380,3363

24 16 212892280,1 242948250,9 212892,2801 242948,2509 242858,4288

25 17 232203704.5 313097212,3 232203,7045 313097,2123 297007,8771

26 18 255680303,1 337704994.6 255680,3031 337704,9946 332494,452

27 19 282587665,3 357944413.8 282587,6653 357944,4138 348366,2132

28 20 311188267,4 346038759,2 311188,2674 346038,7592 353663,2891

29 21 314128179 332531614.6 314128,179 332531,6146 353921,3067

30 22 321099481.3 368493899,1 321099,4813 368493,8991 354415,3554

31 23 334718463 350547879 334718,463 350547,879 355036,2659

32 24 34549!686.1 338430335,7 345491.6861 338430.3357 355321,7702

33 25 349285410,4 372680847 349285,4104 372680.847 355394,0915

34 мпмпм 10079,891 2719,5923

35 максим 349285,4104 372680,847

36

37 Таблица 3 - Расчетные характеристики

38 1 [^именование расчес ной характеристики Значение

39 Сумма квадратов разностей прогнозных и фактических значений отдачи от инвестиций X,(у-у'. У 4103004881

40 Коэффициент детерминации Р. 0,993014180

41

42 Таблица 4 - Оптимизируемые характеристики

43 Нименование оптимизируемой характеристики Начальное 0 значение v Оптимальное значение v Прогнозное значение отдачи от инвестиций у ~ Разность отдачи инвестиций и их объемад''-v Квадрат разности отдачи инвестиций и их объема (у v)

44 Коэффициенты аппроксимации коэффициент масштаба А 387775,4095 355852,7261 - - -

45 коэффициент формы а 1.543475615 3,756908768 - - -

46 коэффициент формы Ь 0,00001 I.92095E-05 - - -

47 Объем рациональных инвестиций (тыс.руб.) максим, х ml'1.| 350000 355489,1271 355489,1271 - 4.49294Е-10

48 миним. х 200000 201658,9164 201658,9164 - 8.47033Е-22

49 Наиболее выгодный объем инвестиционных вложенийхтах+ (тыс. руб.) 275000 254695,4061 331527,8904 76832,48426 -

50 Наименее выгодный объем инвестиционных вложений хпмх (тыс. руб.) 125000 136455,5355 24200,29366 -112255,2418 -

Рис. 5. Исходные данные и результаты реализации методики на практическом примере Fig. 5. Initial data and results of the procedure's implementation on a practical example

Таблица 2

Основные формулы, используемые в процессе реализации методики с использованием п6рограммы «Microsoft Excel»

The main formulas used during the procedure's implementation with application of «Microsoft Excel» software

Адреса ячеек Формула /комментарий Элемент методики

Этап 1 реализуемой методики

E3:E4 Параметры исходных данных, назначаемые лицом, реализующим методику

A9:C33 Исходные данные, заимствованные из бизнес-плана проекта развития

D9(:E33) =В9/$Е$3 Формула (31)

D34(:E34) =МИН(В9:В33) Формулы (9)

D35(:E35) =МАКС(В9:В33) Формулы (10)

Этап 2 реализуемой методики

D46 Заполняется числовым значением, назначаемым лицом, реализующим методику, произвольно в диапазоне (0,001; 1)

D45 =Ь0010(($Е$35/$Е$34*(10л(-$В$46*$В$34)-1)/(10л(-$В$46*$В$35)-1)-1)/(10л(-$В $46*$В$34)-10л(-$В$46*$В$35)*$Е$35/$Е$34*(10л(-$В$46*$В$34)-1)/(10л(-$В$46* $В$35)-1))) Формула (15)

D44 =Е35*(1+10л$В$45)/10л$В$45*(1+10л($В$45-$В$46*$В$35))/(1-10л(-$В$46*$В$35)) Формула (16)

E44:E46 Ячейки переменных, в которые копируются расчетные значения из ячеек В44:В46 перед процедурой оптимизации

F9(:F33) =$Е$44*10л$Е$45/(1+10л$Е$45)*(1-10л(-$Е$46*В9))/(1+10л($Е$45-$Е$46*В9)) Формула (5)

E38 =СУММКВРАЗН(Р9:Р33;Е9:Е33) Верхняя строка выражения (8)

Этап 3 реализуемой методики

E39 =1-E39/(ДИСП(E9:E33)*(ЧСТРОК(E9:E33)-1)) Формула (17)

Этап 4 реализуемой методики

D47:D48 Заполняются числовыми значениями, назначаемыми лицом, реализующим методику, по результатам анализа графического описания исследуемой аналитической модели

E47:E48 Ячейки переменных, в которые копируются расчетные значения из ячеек В47:В48 перед процедурами оптимизации

F47(:F48) =$Е$44*10Л$Е$45/(1+10Л$Е$45)*(1-10Л(-$Е$46*Е47))/(1+10Л($Е$45-$Е$46*Е47)) Формула (5)

H47(:H48) =(Р47-Е47)Л2 Верхняя строка выражения (20)

Этапы 5 и 6 реализуемой методики

D49:D50 Заполняются числовыми значениями, назначаемыми лицом, реализующим методику, по результатам анализа графического описания исследуемой аналитической модели

E49:E50 Ячейки переменных, в которые копируются расчетные значения из ячеек В49:В50 перед процедурами оптимизации

E49 =(Е45-Ш010(-1/2*КОРЕНЬ(Е44*Е46*Ь^10)*(Е44*Е46*Ь^10)-4))+1/2*Е44*Е 46*Ь^10)-1))/Е46 Формула (28)

E50 =(Е45-Ш010(1/2*КОРЕНЬ(Е44*Е46*Ь^10)*(Е44*Е46*Ь^10)-4))+1/2*Е44*Е46* Ш(10)-1))/Е46

F49(:F50) =$Е$44*10Л$Е$45/(1+10Л$Е$45)*(1-10Л(-$Е$46*Е49))/(1+10Л($Е$45-$Е$46*Е49)) Формула (5)

G49(:G50) =Р49-Е49 Верхняя строка выражения (29), формула (30)

Примечания.

Обозначение Х1(:У10) означает, что в ячейку XI необходимо ввести формулу, указанную в соответствующем столбце таблицы, после чего полученный результат «растянуть» до ячейки У10.

Ячейки Е49:Е50 вычисляются либо с использованием надстройки «Поиск решения», либо заполняются формулами в соответствии с выражением (28).

Таблица 3

Основные параметры надстройки «Поиск решения» программы «Microsoft Excel», используемые при реализации оптимизационных моделей в рамках разработанной методики

The main parameters of the «Solver» add-in of «Microsoft Excel» software used for the implementation of optimization models in accordance with created procedure

Вычисляемые характеристики Описание оптимизационной модели Целевая ячейка Тип задачи оптимизации Ячейки переменных Неотрицательность ячеек переменных без ограничений Метод поиска * решения

A, a, b Выражение (8) E39 Минимум E44:E46 Да Решение нелинейных задач методом ОПГ

x max xef Выражение (20) H47 Минимум E47

x min xef Выражение (20) H48 Минимум E48

X_max+ Выражение (29) G49 Максимум E49

X_max - Выражение (29) G50 Минимум E50

Примечание . Параметр доступен только в программе «Microsoft Excel» версии 2010 и более поздних.

&

ö S

"¿s «

S

is £ о

500000

450000

400000

350000

300000

250000

200000

150000

100000

50000

0

Т "! !" Л

— • фактические значения отдачи от инвестиций — прогнозные значения отдачи от инве стиций - линия равенства отдачи от инве стиций и их исходного объема

• m * /

•f /

•

• J

0

50000 100000 150000 200000 250000 300000 350000 400000 450000 50001

Объем инвестиций xi тыс. руб.

Рис. 6. Графическое описание модели взаимосвязи параметров инвестиционных проектов в рамках развития промышленных предприятий, сформированной в рамках реализации разработанной методики в программе «Microsoft Excel»

Fig. 6. Graphic description of the model of the relationship of the parameters of investment projects in the framework of the development of industrial enterprises, formed in the framework of the implementation of the developed methodology in the program Microsoft Excel!

Штатная работа надстройки «Поиск решения» программы «Microsoft Excel» при определении параметров предложенной аналитической модели (п. 1—3 табл. 1), а также дополнительных характеристик процесса реализации инвестиционных проектов (п. 4—9 табл. 1), а также полное соответствие результатов произведенных вычислений с графическим описанием аналитической модели (рис. 6) позволили сделать вывод о высокой адекватности полученных данных и, как следствие, высокой практической значимости разработанных в рамках исследования инструментальных средств. Также важно отметить, что для определения объемов инвестиций при наиболее и наименее эффективном вложении средств (xmax+ и xmax), помимо разработки и реализации оптимизационной модели, описываемой выражением (29), был также произведен аналитический расчет в соответствии с формулой (28) — в обоих случаях результат оказался одинаков, что также свидетельствует о корректности предложенных формул и процедур оптимизации.

Выводы. По результатам исследования сделаны следующие выводы:

— предложена аналитическая модель взаимосвязи параметров инвестиционных проектов в

рамках развития промышленных предприятий на основе математической модели Ферхюльста, преобразованной в соответствии с граничным условием соответствия нулевых инвестициям нулевой величине возврата капитала;

— идентифицированы основные характеристик процесса реализации инвестиционных проектов в рамках развития промышленных предприятий на основе особенностей предложенной аналитической модели и характерных точек соответствующей кривой — графического описания модели;

— разработана и реализована на практическом примере методика обоснования характеристик процесса развития промышленных предприятий, предполагающая использование средств аналитического и оптимизационного моделирования, доступных в современных специализированных программных средах.

На дальнейших этапах исследования предполагается уточнение состава основных характеристик процессов реализации инвестиционных проектов в рамках развития промышленных предприятий, а также разработка аналитических и оптимизационных моделей для обоснования вводимых характеристик.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Бабкин А.В. Методы оценки экономического потенциала промышленного предприятия // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Экономические науки. 2013. № 1-2 (163). С. 138-148.

[2] Гаранин Д.А., Лукашевич Н.С. Моделирование параметров инвестиционного проекта на основе информационно-статистического подхода // Экономический анализ: теория и практика. 2014. № 33 (384). С. 37-48.

[3] Градов А.П., Сулоева С.Б., Коробович Г.Ю., Гутман С.С. Структура процесса формирования и оценки эффективности стратегии предприятия // Эффективность стратегии фирмы. СПб., 2006. С. 188-248.

[4] Ждан Г.В., Муханова Н.В. Механизмы и инструменты реализации инвестиционной политики на субфедеральном уровне // Региональное и муниципальное управление социально-экономическим развитием в Сибирском федеральном округе / Новоселов А.С. [и др.]; Российская академия наук, Сибирское отделение;

Институт экономики и организации промышленного производства. Новосибирск, 2014. С. 149—168.

[5] Иванов М.В., Соколицын А.С., Соколицына Н.А.

Оптимальное распределение финансовых ресурсов по программам развития предприятия // Финансовые проблемы и пути их решения: теория и практика: сб. науч. тр. 15-й Междунар. науч.-практ. конф. / отв. Д. Г. Родионов; Санкт-Петербургский государственный политехнический университет. СПб., 2014. С. 295—298.

[6] Левенцов А.Н., Левенцов В.А. Эффективные инвестиции в современных условиях // Финансовые решения XXI ВЕКА: теория и практика: сб. науч. тр. 17-й Междунар. науч.-практ. конф. / Санкт-Петербургский политехнический университет. СПб., 2016. С. 235-241.

[7] Левенцов В.А. Анализ современных форм и особенностей развития стратегических альянсов // Инновационная экономика: перспективы развития и совершенствования. 2017. № 5 (23). С. 85-92.

[8] Малюк В.И. Методика оценки рационального распределения ограниченных инвестиций в развитие производственной системы региона // Региональная экономика: теория и практика. 2009. № 18. С. 12—21.

[9] Радаев А.Е., Кобзев В.В. Оптимизационная модель адаптивного функционирования сети поставок промышленных предприятий // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Экономические науки. 2013. № 4 (175). С. 135-140.

[10] Сулоева С.Б., Бабкин А.В. Стратегический контроллинг и его информационная система // Научно-технические ведомости СПбГТУ. 2005. № 3 (41). С. 175-182.

[11] Туликова Д.В., Богданова Т.А. Методика учета рисков отраслевой консолидации при разработке экономической стратегии предприятия // Труды СПбГТУ. 2012. № 514. С. 123-126.

[12] Ходырев В.В. Проблемы адаптации в системе управления предприятием и основные направления их решений // Организатор производства. 2008. № 4 (39). С. 27-29.

[13] Щербаков В.В., Силкина Г.Ю. Информационный инструментарий цифровой трансформации экономики и менеджмента // Экономика и предпринимательство. 2017. № 5-1 (82). С. 1090-1096.

[14] Якубович В.Л., Ливинцова М.Г. Управление рисками при реализации инновационного проекта // Промышленная политика в цифровой экономике: проблемы и перспективы: тр. науч.-практ. конф. с междунар. участием / под ред. А.В. Бабкина. СПб., 2017. С. 636-641.

[1] AV. Babkin, Methods of evaluating the economic potential of the industrial enterprise, St. Petersburg State Polytechnical University Journal. Economics, 1-2 (163) (2013) 138-148.

[2] D.A. Garanin, N.S. Lukashevich, Modelirovaniye parametrov investitsionnogo proyekta na osnove informat-sionno-statisticheskogo podkhoda [Modeling of parameters for an investment project on the basis of informational-and-statistical approach], Ekonomicheskiy analiz: teoriya i praktika, 33 (384) (2014) 37-48.

[3] A.P. Gradov, S.B. Suloyeva, G.Yu. Korobovich, S.S. Gutman, Struktura protsessa formirovaniya i otsenki effektivnosti strategii predpriyatiya [Structure of the process of the enterprise strategy's formation and stimation of efficiency], Effektivnost strategii frmy. SPb., 2006. S. 188-248.

[15] Abushova E.E., Burova E.V., Suloeva S., Shcheg-lova A.E. Complex approach to selecting priority lines of business by an enterprise // Reliability, Infocom Technologies and Optimization (Trends and Future Directions): 6th International Conference ICRITO. 2017. P. 581-585.

[16] Gluhov V., Leventsov V., Radaev A., Nikolaevs-kiy N. Analytical Modeling of Development and Implementation of Telecommunication Technologies // Lecture Notes in Computer Science (including subseries Lecture Notes in Artificial Intelligence and Lecture Notes in Bioin-formatics). 2018. Vol. 11118 LNCS. P. 428-440.

[17] Kuladzhi T., Babkin A., Murtazaev S.-A. Matrix Tool for Efficiency Assessment of Production of Building Materials and Constructions in the Digital Economy // Advances in Intelligent Systems and Computing. 2018. Vol. 692. P. 1333-1346

[18] Malyuk V., Danilov, A. Modeling of the investment project of construction the cottage settlement // MA-TEC Web of Conferences, 2018. URL: https://www.matec-conferences.org/articles/matecconf/pdf/2018/29/matecconf _spbwosce2018_01090.pdf (accessed November 3, 2018).

[19] Nekrasova T., Leventsov V., Axionova E. Evaluating the efficiency of investments in mobile telecommunication systems development // Lecture Notes in Computer Science. 2016. Vol. 9870 LNCS. C 741-751.

[20] Silkina G.I., Bakanova S.A. Knowledge growth: Applied models of general and individual knowledge evolution // International Journal of Environmental and Science Education. 2016. 11(18). P. 12865-12874.

Статья поступила в редакцию: 03.11.2018

[4] G.V. Zhdan, N.V. Mukhanova, Mekhanizmy i in-strumenty realizatsii investitsionnoy politiki na subfederal-nom urovne [Instruments for implementation of investment policy on subfederal level], Regionalnoye i munitsi-palnoye upravleniye sotsialno-ekonomicheskim razvitiyem v Sibirskom federalnom okruge / Novoselov A.S. [i dr.]; Rossiyskaya akademiya nauk, Sibirskoye otdeleniye, Institut ekonomiki i organizatsii promyshlennogo proizvodstva. Novosibirsk, (2014) 149-168.

[5] M.V. Ivanov, A.S. Sokolitsyn, N.A. Sokolitsyna, Optimalnoye raspredeleniye finansovykh resursov po pro-grammam razvitiya predpriyatiya [Optimal allocation of financial resources for enterprise development programs], Finansovyye problemy i puti ikh resheniya: teoriya i prakti-

МАЛЮК Владимир Иванович. E-mail: malyuk.vi@gmail.com РАДАЕВ Антон Евгеньевич. E-mail: TW-inc@yandex.ru СИЛКИНА Галина Юрьевна. E-mail: galina.silkina@gmail.com

REFERENCES

ka: sbornik nauchnykh trudov 15-y Mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy konferentsii. Otv. D.G. Rodionov; Sankt-Peterburgskiy gosudarstvennyy politekhnicheskiy universitet. SPb., (2014) 295-298.

[6] A.N. Leventsov, V.A. Leventsov, Effektivnyye in-vestitsii v sovremennykh usloviyakh [Efficient investments in modern conditions], Finansovyye resheniya XXI VEKA: teoriya i praktika: sbornik nauchnykh trudov 17-y mezhdunarodnoy nauchno-prakticheskoy konferentsii. Sankt-Peterburgskiy politekhnicheskiy universitet. SPb., (2016) 235-241.

[7] V.A. Leventsov, Analiz sovremennykh form i oso-bennostey razvitiya strategicheskikh alyansov [Analysis of modern forms and features for the development of strategic alliances], Innovatsionnaya ekonomika: perspektivy razvi-tiya i sovershenstvovaniya, 5 (23) (2017) 85-92.

[8] V.I. Malyuk, Metodika otsenki ratsionalnogo ra-spredeleniya ogranichennykh investitsiy v razvitiye proiz-vodstvennoy sistemy regiona [Procedure for assessment of rational distribution of restricted investments for development of the production system of a region], Regionalnaya ekonomika: teoriya i praktika, 18 (2009) 12-21.

[9] A.E. Kobzev, V.V. Radaev, Optimization model for adaptive functionig of supply network including industrial enterprises, St. Petersburg State Polytechnical University Journal. Economics, 4 (175) (2013) 135-140.

[10] S.B. Suloyeva, A.V. Babkin, Strategicheskiy kon-trolling i yego informatsionnaya sistema [Strategic controlling and its information system], St. Petersburg State Polytechnical University Journal. Economics, 3 (41) (2005) 175-182.

[11] D.V. Tupikova, T.A. Bogdanova, Metodika uche-ta riskov otraslevoy konsolidatsii pri razrabotke ekonomi-cheskoy strategii predpriyatiya [Procedure for teking into account of the risks connected to industry consolidation during creation of enterprise's economic strategy], Trudy SPbGTU, 514 (2012) 123-126.

[12] V.V. Khodyrev, Problemy adaptatsii v sisteme upravleniya predpriyatiyem i osnovnyye napravleniya ikh resheniy [Adaptation problems in enterprise's management system and main directions for their overcoming], Organi-zator proizvodstva, 4 (39) (2008) 27-29.

MALYUK Vladimir I. E-mail: malyuk.vi@gmail.com

RADAEV Anton E. E-mail: TW-inc@yandex.ru

SILKINA Galina Yu. E-mail: galina.silkina@gmail.com

[13] V.V. Shcherbakov, G.Yu. Silkina, Informatsion-nyy instrumentariy tsifrovoy transformatsii ekonomiki i menedzhmenta [Informational instruments of digital transformation for economics and management], Ekonomika i predprinimatelstvo, 5-1 (82) (2017) 1090-1096.

[14] V.L. Yakubovich, M.G. Livintsova, Upravleniye riskami pri realizatsii innovatsionnogo proyekta [Risk management during the implementation of an innovation project], Promyshlennaya politika v tsifrovoy ekonomike: problemy i perspektivy Trudy nauchno-prakticheskoy konferentsii s mezhdunarodnym uchastiyem. Pod red. A.V. Babkina. SPb., (2017) 636-641.

[15] E.Ye. Abushova, E.V. Burova, S. Suloeva, A.E. Shcheglova, Complex approach to selecting priority lines of business by an enterprise, Reliability, Infocom Technologies and Optimization (Trends and Future Directions): 6th International Conference ICRITO, (2017) 581-585.

[16] V. Gluhov, V. Leventsov, A. Radaev, N. Niko-laevskiy, Analytical Modeling of Development and Implementation of Telecommunication Technologies, Lecture Notes in Computer Science (including subseries Lecture Notes in Artificial Intelligence and Lecture Notes in Bioin-formatics), 11118 LNCS (2018) 428-440.

[17] T. Kuladzhi, A. Babkin, S.-A. Murtazaev, Matrix Tool for Efficiency Assessment of Production of Building Materials and Constructions in the Digital Economy, Advances in Intelligent Systems and Computing, 692 (2018) 1333-1346.

[18] V. Malyuk, A. Danilov, Modeling of the investment project of construction the cottage settlement, MA-TEC Web of Conferences, 2018. URL: https://www.matec-conferences.org/articles/matecconf/pdf/2018/29/matecc onf_spbwosce2018_01090.pdf (accessed November 3, 2018).

[19] T. Nekrasova, V. Leventsov, E. Axionova, Evaluating the efficiency of investments in mobile telecommunication systems development, Lecture Notes in Computer Science, 9870 LNCS (2016) 741-751.

[20] G.I. Silkina, S.A. Bakanova, Knowledge growth: Applied models of general and individual knowledge evolution, International Journal of Environmental and Science Education, 11 (18) (2016) 12865-12874.

© Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, 2018