CC BY
34
On an example of system of the third order analytical designing of an optimum control system on speed is considered.
Key words: analytical designing, optimum speed, the functional equation, the block diagramme.
Sukhinin Boris Vladimirovich, doctor of technical science, professor, manager of ka-thedra, eeo@tsu. tula.ru, Russia, Tula, Tula state university
УДК 681.513.5
МЕТОДИКА НАСТРОЙКИ ПРОПОРЦИОНАЛЬНО-ИНТЕГРАЛЬНОГО РЕГУЛЯТОРА ПО КРИТЕРИЮ ЭНЕРГОСБЕРЕЖЕНИЯ
Е. И. Кретов
Предлагается новая оригинальная методика настройки пропорционально-интегрального регулятора, позволяющая добиться экономии потребляемой энергии достаточно близкой к значению, получаемому при использовании строго оптимального программного управления. Методика применима к электротермическим объектам, переходная характеристика которых аппроксимируется апериодическим звеном первого порядка.
Ключевые слова: энергосбережение, ПИ-регулятор, критерий энергосбережения, объект первого порядка.
Пропорционально-интегральные (ПИ) регуляторы, достаточно универсальные и простые в настройке, получили широкое распространение в промышленности: на данный момент существует огромное количество методик (около тысячи) настройки этих регуляторов в зависимости от конкретных целей [1]. Но и с учетом такого разнообразия, вопрос энергосбережения в системах управления на основе ПИ-регуляторов рассмотрен недостаточно полно. В частности, в работе М.К. Хубеева [2] предлагается добиться экономии энергоресурсов путем сокращения числа изменений сигналов управления ПИ-регулятора. Такой подход главным образом ориентирован на такие объекты управления, как электродвигательные исполнительные устройства, что накладывает соответствующие ограничения на применение метода. В работе Ю.И. Еременко и его коллег [3] дается оценка энергоэффективности нейросетевого оптимизатора для ПИД регулятора в системе управления лабораторной печью. Нейросетевой оптимизатор позволяет добиться снижения расхода электроэнергии, затраченной на нагрев на 2 % по сравнению с решением, представленным фирмой «Сименс» (ФРГ). Разумеется, внедрение на практике подобного решения требует дополнительных вычислительных мощностей и довольно трудоемких расчетов.
В рамках данной статьи предлагается методика настройки энергосберегающего ПИ-регулятора, которая в отличие от вышеприведенных исследований позволяет добиться сравнительно более высоких показателей экономии энергии, и не требует выполнения сложных вычислений. Методика применима к определенному классу объектов управления (в частности к электротермическим объектам), переходная характеристика которых аппроксимируется апериодическим звеном первого порядка. Кроме того, при реализации не потребуется использование дополнительного оборудования.
Постановка задачи управления следующая: разработать методику настройки ПИ-регулятора для исследуемой системы автоматического управления (САУ), представленной на рис. 1 (Ж^ р), Жо (р) - соответственно передаточные функции ПИ-регулятора и объекта), которая обеспечивает достижение выходной величиной х(г) объекта задания Xзад за
требуемое время Т с использованием при этом минимального количества электрической энергии
Ж (Т) = I ^ Ж. о
я
(1)
В выражении (1) предполагается, что управляющий сигнал име^ ет размерность электрического напряжения, а величина я размерность со противления [Ом]. Также предполагается, что в начальный момент време ни 1=0 объект находится в состоянии х=0, и, следовательно, в задаче зада ны следующие граничные условия:
\х(0)= 0
[х(Т ) = х зад
(2)
Рис. 1. САУ с ПИ-регулятором и объектом первого порядка
Для решения задачи, найдем изменение переменных х(1), и(1;) при отработке системой рис. 1 задания ХЗАд и значение затраченной при этом
энергии (1).
Общая передаточная функция данной замкнутой системы с обратной связью, имеет вид:
Х (Р) = ж2 (р)= Ж0 (Р)-Ж1(Р) (3)
ХЗАД (Р) 1 + Жо (р )• Ж1(р)
С ее использованием определяем преобразование по Лапласу выхода системы
( 1
- р--
Т0 1
Х(р) =
2 1 + Ко К К0 К рА +-у--р+ и
+
ХЗАД-
(4)
Т0 Т0 -ТИ
Рассмотрим вид оригинала изображения (4) соответствующий случаю комплексных значений корней системы, который отвечает второму из краевых условий (2):
дс(*) = р*Ч-со ЦЗ-^С-^гЦЗф\\кЗАД, (5)
где ос, (3 - действительная и мнимая части корней системы, С - соответствующая константа.
С целью обобщения решения задачи управления на класс объектов первого порядка, характеризующими произвольными параметрами Ко, Го, в выражении (5) перейдем к относительному времени г = //7о :
х(т) = ¡е"т • [- с4М+С • 8110 • г)]+\\кЗАД, (6)
параметры которого, найденные с использованием операционного исчисления Лапласа, удовлетворяют соотношениям:
\ + КК0гт1 1 + К-К0 а = а-Т0=--=--
I ■ 1(
Р = Р-То =
\к-к
о
1и
1 + к-к
о
ти = ти1тъ>
(7)
г)+11 Т=Т/Т0.
Далее, зная выходную переменную (6) объекта и его передаточную функцию, определяем сигнал управления
и(г) = -1 + е0^ • [А ■ сов {р ■ т)+ В ■ 8ш
1
где
' А = {с-р-а)-1 В = (с-а + ~/з)+С
м
(8)
(9)
Теперь на основе соотношений (1), (8) можно вывести формулу расчета энергии управляющего сигнала системы
144
—2 —2 __
= ТОТ + ^^(е2аТ -1) +
Я 4 • а
а2 - в2 --_ _______
+-_~ _2 {е2аТ[а • 008(2• р•Т) + $• 8ш(2^р•Т)]-а} +
4 •(а +р )
+-^ • В_ {е2 •аТ[а• 8ш(2 • р • Т) -р • 008(2 • р • Т)] + р} + (10)
2•(а +р )
2 а --- - - - - - -
+ _2 А2 {еа• Т [а • оо8(р • Т) + р • ъш{р • Т)] - а} + а + р
2 в --- - - - - - -
+ _2 ^ _2 {еа Т[а • 8т(р • Т) - р • оо8(р • Т)] + р}],
а + р
где Т = Т / Т0.
С использованием выражения (10) определим значение ртщ, при котором функция энергии Ж(р) достигает своего минимального значения при принятом значении Т . Поиск ртщ , как установлено, следует вести на интервале {0, ж/ Т} с применением любого метода оптимизации, частности, метода сканирования с малым шагом ^ £ 0.1. Результаты данной оптимизации представлены на рис. 2 в форме зависимости ртт (Т/Т)).
Рис. 2. Зависимость рт^п от Т/Т0
График рис. 2. позволяет определить значение ртщ , доставляющее минимум функции энергии Ж(р) при определенном значении Т .
Этого достаточно, чтобы определить соответствующие коэффициенты ПИ - регулятора, по формулам, приведенным далее, и тем самым достичь поставленной цели. Тем не менее, если применительно к системе управления отсутствуют определенные требования по выбору времени T достижения управляемой величиной значения XзАД, можно дополнительно увеличить процент экономии энергии за счет подбора оптимального с точки зрения энергосбережения времени переходного процесса ^пт.
Для этого, представим энергию (1) в виде функции от относительного времени т = t|T§^.
w (г) = ^ I u2 {т)ат, (13)
R 0
где управление ы{т) описывается ранее приведенным выражением (8)
Для нахождения оптимального значения T , осуществим поиск параметров значений Дшп =Ь'доставляющих минимум функции (13) при определенных значениях T . Полученная зависимость представлена на рис. 3. Значение параметров объекта управления при построении: K0 = 0.64В / ^ , ^ = 63мин.
Рис. 3. График зависимости W(?)
Как видно из графика, функция имеет ярко выраженный минимум при ^^ = 1.96, причем, как можно понять из (13), значение относительного времени переходного процесса Tопт является одинаковым для всех объектов рассматриваемого класса. Таким образом, оптимальное время переходных процессов для любой квазиоптимальной энергосберегающей системы с ПИ-регулятором и объектом первого порядка определяется по формуле
Tarn = 1-96-Tq. (14)
На основе вышеизложенного можно предложить методику настройки ПИ-регулятора для работы в составе квазиоптимальной энергосберегающей системы управления, содержащей следующие операции:
1. Для исследуемого объекта с параметрами Kq, Tq выбирается желаемое время T достижения управляемой величиной значения Xзад , либо
в случае отсутствия ограничений по выбору данной величины, посчитать оптимальное с точки зрения энергосбережения время по формуле (14).
2. С использованием графика на рис. 2 вычисляется значение bmin для полученного отношения T/Tq и далее значение ß = ßmin / Tq .
3. Определяются значения коэффициентов регулятора по формулам
a = -[ß-ctg (ß-T) + -L]
T0
K =-L[2-Tq -ß-ctg(ß-T) +1] (15)
K 0
TH = [2ß - ctg(ß - T) +-L] /[ß2 + (ß - ctg(ß - T) + -L)2 ]
Формулы (15) непосредственно вытекают из соотношений (7). Рассмотрим пример настройки регулятора для электротермического объекта с параметрами Kq = 0,641 В / °C, Tq = 63мин, R = 59 Ом,
XЗАД = 50°C -
1. Принимаем время нагрева объекта до температуры XзАд = 50°C равным T = 80мин, тогда T/Tq = 1.27 .
2. Определяем по графику рис. 2 значение ßmin»1.44 и
ßmin = ßmin /Tq = 0-023.
3. По формулам (14) получаем K = 0.362, Ти = 0.061. Значение W (ßmin ) = 241.6Вт.
Таким образом, для использования методики достаточно формул (15) и графика на рис. 2, что делает ее весьма простой в использовании. Кроме того, моделирование системы управления показывает, что использование ПИ-регулятора с рассчитанной настройкой позволяет сэкономить 41 % электроэнергии по сравнению с энергией, потребляемой при прямом включении электротермического объекта в сеть. Это значение всего на 5 % меньше чем при использовании строго оптимального программного управления [4] объектом.
Список литературы
1. Aidan O'Dwyer. Hanbook of PI and PID controller tuning rules, 3nd Edition. London: Imperial College Press, 2009. 545 p.
2. М. К. Хубеев. Энергосберегающий пропорционально-интегральный регулятор // Энергобезопасность и энергосбережение. МИЭЭ. 2014. №5. С 29-33.
3. Ю.И. Еременко, Д. А. Полещенко, А.И. Глущенко. Исследование эффективности применения нейросетевого оптимизатора параметров пид-регулятора при решении задач управления нагревательными объектами в металлургии // Известия вузов. Черная металлургия. МИСиС. 2014. №7. С. 61-65.
4. М.Г. Артюшенко, Д. А. Забелин, Е.И. Кретов. Оптимальное время переходных процессов энергосберегающей системы управления: сб. науч. тр. / ТулГУ ; под ред. Б. В. Сухинина. Тула: Изд-во ТулГУ, 2015. 190 с.
Кретов Егор Игоревич, асп., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет, кафедра электротехники и электрооборудования.
ENERGY-SA VING TUNING RULE FOR PROPORTIONAL-INTEGRAL CONTROLLER
E.I. Kretov
The paper proposes a new original tuning rule for proportional-integral regulator. It allows get value of energy savings sufficiently close to the value that can be obtained by using of an optimal program control. This tuning rule is applicable to the electrical-heating objects that can be approximated by the first order transfer function.
Key words: energy-saving, PI-controller, criterion of energy saving, first-order object.
Kretov Egor Igorevich, postgraduate, neitworld@ya. ru, Russia, Tula, Tula State University
