CC BY
8МЕТОДИКА МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ЯРКОСТНЫХ ПОЛЕЙ, АППРОКСИМИРОВАННЫХ ОДНОРОДНЫМИ ОДНОУРОВНЕВЫМИ МАРКОВСКИМИ ЦЕПЯМИ
Д. В. Дубинин, А. И. Кочегуров*, В. Е. Лаевский
Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники,
634050, Томск, Россия
* Институт кибернетики Томского политехнического университета, 634034, Томск, Россия
УДК 005, 004.021, 004.932 : 621.391 + 519.876.5
Рассматривается метод моделирования случайных яркостных полей, аппроксимированных однородными одноуровневыми марковскими цепями. Свойства порождаемого поля связаны между собой формулами Пальма, а корреляционные свойства получаемых яркостных полей зависят только от контурной структуры — морфологии поля. Выбор типа составных элементов поля, определяющих его морфологию, производится оператором. Предлагаемый метод позволяет получать различные типы "мозаичных" изображений с горизонтальными (вертикальными) и диагональными элементами.
Ключевые слова: стохастическое моделирование, сравнение алгоритмов, однородные одноуровневые марковские цепи, стохастические поля.
This essay outlines a particular method of modelling stochastic intensity fields by isotropic, one-step Markov chains. The field characteristics are determined among each other by 'Palma formulas' whereas the correlating characteristics of the generated random fields depend only on the mosaic grating structure. The alphabetical/ABC selection based on the grating structure (morphology of the field) is determined manually by the operator in advance. The presented method will allow the generating of different types of grating structures with horizontal, vertical and diagonal elements in an 8-adjacency.
Key words: stochastic modelling, comparison of algorithms, homogeneous Markov random fields, stochastic fields.
Введение. Высокий уровень развития цифровой вычислительной техники позволяет создавать высокоэффективные системы, предназначенные для анализа, обработки и передачи оптической информации. Однако в большинстве работ, посвященных созданию и тестированию новых алгоритмов обработки изображений, имеется ряд субъективных недостатков. Одним из основных недостатков является использование в качестве эталонных изображений реальных снимков различных предметов, построек или людей. Это позволяет провести настройку создаваемого алгоритма на определенную предметную область, но при этом не учитываются аспекты, характерные для других областей, что затрудняет оценку качества алгоритма, проведение его объективной доводки и сравнение с другими алгоритмами. Решением данной проблемы является создание математического аппарата, позволяющего проводить анализ "поведения" исследуемого алгоритма в определенных строго контролируемых условиях, а также выполнять факторный анализ. В этом случае необходимо создание
многомерных случайных полей (яркостных полей плоских изображений, температурных и других полей атмосферы, океана и т. п.), составляющих основу имитационного моделирования, позволяющих вносить вероятностный фактор в процесс моделирования и тем самым детализировать и обобщать предмет исследования.
Задача моделирования и общие подходы к ее решению. Существует большое количество методов имитации случайных полей. В работе [1] все модели поля делятся на два класса. Модели первого класса описывают поля с непрерывными распределениями. К этому классу можно отнести гауссовы и марковские [2] случайные поля, обычно получаемые либо с помощью спектральных преобразований, либо с использованием методов формирующего фильтра. Визуальная структура этих полей не соответствует четко выраженным контурным структурам кусочно-постоянных реальных изображений. Известно, что реальным оптическим изображениям соответствуют поля яркости, близкие к кусочно-постоянным функциям двух переменных, т. е. поля, состоящие из областей, внутри которых яркость почти не меняется. Эти области разделены четко выраженными границами-контурами [3]. Большой интерес представляют модели второго класса, описывающие декомпозицию полей на составные части или области. К числу таких моделей относятся модели совокупности объектов на фоне и мозаичные модели [1, 4, 5], включающие мозаики, образованные семейством прямых или кривых линий, а также модели объединения точек вокруг случайных центров [1].
В данной работе описывается механизм получения случайного яркостного поля на основе совокупности контуров, полученных с помощью однородных одноуровневых марковских цепей. Свойства порождаемого поля описываются формулами Пальма [4], а выбор типа его элементов (алфавита), определяющих морфологию поля, и частоты их появления осуществляется оператором. Это позволяет управлять характеристиками генерируемого поля — морфологией, вероятностными и спектральными его свойствами. Используемые прежде подходы к построению структур контуров мозаик не позволяли выполнять построение морфологий контурного рисунка с диагональными элементами, что ограничивало моделируемые яркостные поля и возможные области применимости математических механизмов генерации.
Формализация условий задачи. Рассмотрим ряд требований, предъявляемых к формируемому случайному яркостному полю. Как отмечено выше, необходимо получить f (x, y) — случайную скалярную кусочно-постоянную функцию яркостного поля двух переменных для всех подмножеств плоскости, на которых определена f (x,y): S = {S\, S2, ■■■, Sk}, где K = |S| — количество подмножеств; S = {S\,S2,..., Sk} имеет смысл K связных кусочно-линейных подмножеств на плоскости Z'. Кроме того, должны выполняться пять основных требований:
к
1. Каждая точка изображения должна принадлежать определенной области Z' = У Si.
i=1
2. Получаемая совокупность кусочно-линейных подмножеств S = {S\, S2, ■■■, Sk} должна быть связной и удовлетворять условию Si П Sj = {0} V i = j.
3. С точки зрения предиката однородности LP должно выполняться условие однородности отдельно взятого подмножества LP (Si) = true Vi.
4. Значения яркостей ASi кусочно-линейных подмножеств S — {Si, S2, ■■■, Sk} определяются исходя из решения задачи правильной раскраски. Для плоского графа G, описывающего связные кусочно-линейные подмножества на плоскости Z' исходя из решения "the four-color problem", значение хроматического числа х (G) < 4. Решив задачу правильной раскрас-
Рис. 1. Описание прямоугольного фрагмента окрестности контурного элемента
ки в постановке: С = (V, Б) — граф, f : V ^ {1, 2,..., к], к е N f (п) = f (у) У {и,у] е Б, можно управлять значениями яркостей.
5. Границы линейных подмножеств должны быть построены случайным образом (вероятностный фактор) и не иметь разрывов:
Р { Хк = ик | X— = ик-1, Х— = ик-2,...,Х1 = их] = Р { Хк = ик | Х— = и—]
Ук > 0,ик е Ь"
(и — дискретный момент шага итерации; Хп — дискретная случайная величина с дискретным множеством значений Ь").
Модель контуров. Анализ различных изображений показал, что они содержат в основном контурные линии, которые на достаточно малых фрагментах могут считаться прямолинейными. Поэтому при формировании границ контурные линии можно представлять в виде отрезков прямых, ориентированных в горизонтальном, вертикальном и диагональном направлениях по отношению к решетке отсчетов. В основе модели контуров, их векторного описания, лежит однородная одноуровневая марковская цепь. Это позволило учесть вероятностный фактор и получить устойчивый механизм при создании контурной структуры поля, обеспечить непрерывность получаемых границ областей, контуров.
Рассматривая окрестность точки Z (рис. 1), отметим, что контурные элементы могут быть образованы лучами в восьми направлениях (а, Ь, с, 1, е, f, д, к), исходящих из центра Z. Общее количество литер в таком алфавите не превышает 248.
Величины а, Ь, с, 1, е, f, д, к принимают значения 0 или 1 и означают отсутствие или наличие соответствующего контурного луча. Для упрощения описания литер алфавита целесообразно каждой литере присвоить десятичный код. Значение десятичного кода определяется по формуле
N = а • 2° + Ь • 21 + с • 22 + 1 • 23 + е • 24 + f • 25 + д • 26 + к • 27.
Для упрощения демонстрации работы механизма формирования контурной структуры и возможности сопоставления полученных результатов с известными результатами [4, 5] ниже используется алфавит, состоящий из 23 элементов (рис. 2).
ВЕЮ
гШп___мм гШп гИп мт1
170 0 130 160 40 10
П ПГГППП|1П
п п гт п п гип ГИп гт
34 136 162 168 42 138
И-1 Щ-1 \\И ^^
5 20 65 80 17 68
КННН X
21 69 81 84 85
Рис. 2. Элементы упрощенного алфавита
Ь1 = {0, 10, 34, 40, 42, 130, 136, 138, 160, 162, 168, 170} - совокупность литер базового алфавита, используемого в [4], Ь = {5, 17, 20, 21, 65, 68, 69, 80, 81, 84, 85} — дополнительная общность литер, используемая для построения диагональных составляющих контурной структуры изображений.
Механизм получения контурной структуры поля. Построение одноуровневого однородного яркостного поля проводится с помощью ряда элементарных контурных элементов, называемых алфавитом построения Ь = Ь\ + Ь (см. рис. 2). Элементы выстраиваются в случайную последовательность на основе системы условных вероятностей. Изменение вероятностей появления того или иного элемента алфавита позволяет создавать различные типы контурных решеток от простейшей прямоугольной решетки до очень сложных орнаментов. Свойства контурного рисунка (мозаики) полностью определяются значениями финальных вероятностей Р (а, Ь, с, 1, е, /, д, К) при различных значениях а, Ь, с, 1, е, /, д, К.
При моделировании мозаик 23 элемента упрощенного алфавита были разделены на пять групп с финальными вероятностями Го, г2, Г5, Г12, где Го — вероятность появления контурного элемента 0, г\ — элементов 17, 34, 68, 136, Г2 — элементов 85, 170, Г5 — элементов 5, 10, 20, 40, 65, 80, 130, 160, Г12 — элементов 21, 42, 69, 81, 84, 138, 162, 168. Сумма этих вероятностей равна единице: Го + Г1 + Г2 + Г5 + Г12 = 1.
При построении контуров используются условные вероятности Р (/дН/аЬс1е), полученные из формулы полной вероятности [4]
Р(/дН/аЬс1е) = -,
ЕЕЕ Р (аЬс1е/дН)
/=0 д=0 Ь=0
Результаты апробации методики моделирования. Для экспериментальной проверки предложенной методики был создан программный комплекс моделирования случайных яркостных полей [6, 7]. Построение контуров проводилось при следующих значениях финальных вероятностей: для мозаики типа А Го = 0,49, Г1 = 0,42, Г2 = 0,09; для мозаики типа С Го = 0,25, Г1 = 0,25, Г12 = 0,5; для мозаики типа В Го = 0,4, Г1 = 0,24, Г5 = 0,36; для мозаики типа ^ Го = 0,25, Г1 = 0,5, Г2 = 0,25; для мозаики типа ЕС Го = 0,25, Г1 = 0,25, Г12 = 0,5; для мозаики типа ЕВ Го = 0,4, Г1 = 0,24, Г5 = 0,36. Здесь тип А является простейшей прямоугольной решеткой, построенной на основе элементов Ьа = {0, 34, 136, 170}; тип С образуется непересекающимися прямоугольниками различного размера, построенными на основе элементов Ьс = {0, 34, 42, 136, 138, 162, 168}; тип В представляет собой многосвязные замкнутые области с более мелкими вкраплениями на основе элементов = {0, 10, 34, 40, 130, 136, 160}; мозаика Е получена на основе элемен-
А СБ
Рис. 3. Растровые изображения, полученные на основе различных контурных структур
тов Ьр = {0, 17, 68, 85}; мозаика БС — на основе элементов Ьрс = {0, 17, 21, 68, 69, 81, 84}; мозаика ББ — на основе элементов Ьрв = {0, 5,17, 20, 65, 68, 80}.
В ходе моделирования получены уже известные контурные структуры с морфологией типов А, С, Б, описанные в [4], структуры с морфологией типа Б [8] и новые структуры с морфологией типов БС, Б Б. Во всех случаях полученное подмножество сегментов заполнялось независимыми яркостями. Изображения, размеры которых составляли 512x512 точек, сохранялись в формате Ьшр.
На рис. 3 приведены результаты генерации яркостных полей, сформированных на основе различных контурных структур.
Заключение. Предлагаемая методика моделирования случайных яркостных полей, аппроксимированных однородными одноуровневыми марковскими цепями, была использована как основа математического аппарата для сопоставления алгоритмов обработки изображений, в частности, для сравнения алгоритмов получения контурных рисунков изображений. На основе этой методики реализован программный комплекс имитационного моделирования стохастических полей, что позволило определить эффективность работы математического аппарата генерации структур мозаичных изображений. В ходе отладки программного комплекса получены яркостные поля, содержащие горизонтальные и вертикальные элементы (мозаики типов А, В, С, Б, Е [4]), а также диагональные элементы (мозаики типов Б, Б С, Б Б). Полученные результаты хорошо согласуются с известными результатами.
Впервые на основе изложенной методики моделирования случайных яркостных полей предложены и реализованы мозаики Б С и ББ. В ходе анализа переходных вероятностей марковских цепей найдены значения финальных вероятностей, используемых для построения структуры контурного рисунка. Это позволило получить структуры контурных рисунков
изображений с однородными свойствами. Проверка динамики порождающих марковских цепей [9] показала их стационарность для всех типов получаемых мозаик.
Предложенная методика может быть использована для проведения синтеза изображений с целью тестирования, отладки и сопоставления систем обработки и передачи оптической информации.
Список литературы
1. Клшкин В. Б. Дистанционное зондирование Земли из космоса. Цифровая обработка изображений: Учеб. пособие / В. Б. Кашкин, А. И. Сухинин. М.: Логос, 2001. 264 с.
2. JÄHNE B. Digitale Bildverarbeitung. Berlin: Springer, 2005. 650 s.
3. Техническое зрение в системах управления мобильными объектами — 2010: Тр. науч.-техн. конф. / Под ред. Р. Р. Назирова. М.: КДУ, 2011. Вып. 4. 328 с.
4. Буймов А. Г. Корреляционно-экстремальная обработка изображений. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1987. 134 с.
5. Сергеев В. В. Имитационная модель изображения и метод сжатия данных. Обработка изображений в автоматизированных системах научных исследований / В. В. Сергеев, В. А. Сойфер. М.: Наука, 1978. С. 76-78.
6. ЛАЕВСКИй В. Е. Методика субоптимальной оценки работы алгоритмов получения контурного рисунка изображений // Изв. Том. политехн. ун-та. 2009. Т. 314, № 5. С. 126-131.
7. Дубинин Д. В., Лаевский В. Е., Кочегуров А. И. Метод оценки качества работы алгоритмов получения контурного рисунка объектов в изображениях, аппроксимированных однородными марковскими полями // Изв. Том. политехн. ун-та. 2010. Т. 317, № 5. С. 130-134.
8. Лаевский В. Е. Алгоритм построения одноуровневых марковских полей // Изв. Том. политехн. ун-та. 2006. Т. 309, № 8. С. 293.
9. Meyn S. P. Markov chains and stochastic stability. 2 ed. to appear / S. P. Meyn, R. L. Tweedie. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2008. 185 p.
Дубинин Дмитрий Владимирович — канд. техн. наук, доц. Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники;
тел.: 53-30-77; e-mail: dima@info.tusur.ru;
Кочегуров Александр Иванович — канд. техн. наук, доц., зам. директора Института кибернетики Томского политехнического университета; тел. 42-04-63; e-mail: kai@cc.tpu.edu.ru;
Лаевский Виктор Евгеньевич — канд. техн. наук, мл. науч. сотр. Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники;
тел.: 41-38-89; e-mail: viktor.e.laevski@gmx.de
Дата поступления — 01.04.11 г.
