Методика математической подготовки на довузовском этапе Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

Ярославский педагогический вестник № 1-2010 Методика математической подготовки на довузовском этапе

Г. Г. Битнер

В статье излагается опыт и раскрывается методика математической подготовки на довузовском этапе в университете, обеспечивающей качество образования.

Ключевые слова: Центр предвузовской подготовки, допрофессиональный этап, математическая подготовка, методика, классификация, систематизация.

The Technique of Mathematical Education on a Pre-University Stage

G. G. Bitner

Experience and technique of the mathematical education on a pre-university stage at university to provide a quality of education are presented.

Key words: a centre of pre-higher school, on a pre-university stage, mathematical training, the Technique, classification, system-atization.

Современная ситуация в области образования характеризуется общим снижением уровня математической подготовки учащихся массовой школы. Это привело, в свою очередь, к снижению уровня подготовки абитуриентов технических вузов. Учитывая данные обстоятельства, изучение основного курса «Высшая математика» целесообразно начинать с изучения вспомогательного раздела «Введение в математику» в Центре предвузовской подготовки (ЦПП), ведущими функциями которого являются систематизация знаний школьного курса и формирование

— осознанного и прочного владения определенным набором знаний, умений и навыков, необходимых для продолжения образования;

— навыков самостоятельного изучения учебной математической литературы;

— понимания единой основы профессионально значимых математических методов;

— представления о математике как особом способе познания мира, общности ее понятий и представлений.

Формирование основ математической культуры учащихся на допрофессиональном этапе особенно актуально, поскольку это направление является начальной и сравнительно новой ступенью непрерывного профессионального образования. Такая дополнительная подготовка закладывает фундамент для продолжения образования по выбранной профессии и для формирования профессиональной культуры будущих инженеров. В связи с этим уже во многих технических вузах созданы ЦПП, в частности, в филиале «Восток» КГТУ им. А. Н. Туполева работает ЦПП и заоч-

ная физико-техническая школа (ЗФТШ) при Московском физико-техническом институте (МФТИ), где обучаются ученики 9-11 классов в течение всего учебного года. В сентябре проводится входное тестирование. Один из вариантов проверочного теста приведен в таблице 1. Учащиеся, показавшие хорошие и отличные результаты, зачисляются в ЗФТШ. Став студентами, они принимают активное участие в олимпиадах, конференциях, выбирают темы курсовых, в последующем - дипломных работ с математическим уклоном, обучаются в аспирантуре. Учащиеся, показавшие удовлетворительные и неудовлетворительные результаты, обучаются в ЦПП. При получении положительных результатов (контрольных и самостоятельных работ) и активно работая в течение учебного года, они могут перейти в ЗФТШ. Работа в ЗФТШ проводится по соответствующей программе при МФТИ.

Для работы в ЦПП составлена программа и написано учебное пособие (Н. М. Иванов, Г. Г. Битнер «Пособие по математике для школьников и поступающих в вузы») с грифом НМС по математике Министерства образования и науки РФ. В пособии представлен учебный курс, направленный на систематизацию, расширение знаний учащихся по математике, формирование математического мышления, выработку практических навыков и подготовку ко вступительным экзаменам в вузы. Пособие содержит необходимый теоретический и справочный материал. Излагаемые темы сопровождаются большим количеством задач с решениями. Кроме того, в пособие включены задачи для самостоятельной рабо-

ты учащихся, расположенные в порядке возрастания трудности, и тесты. Все задания для самостоятельного решения и тесты сопровождаются ответами. В основу пособия положены лекции и семинарские занятия, проводимые авторами в Центре предвузовской подготовки филиала «Восток» КГТУ им. А. Н. Туполева, где обучаются 9-11 классы. Пособие дополняется электронной версией.

В большинстве случаев школьники любого уровня не готовы к самостоятельной работе; они привыкли работать на запоминание, а не на понимание, поэтому необходимо активизировать их учебно-познавательную деятельность, способствовать усилению мотивации к изучению математики. С этой целью могут использоваться различные способы. Целесообразно использовать постоянно действующий режим консультирования, которое может осуществляться в индивидуальном режиме, по мере возникновения вопросов у отдельного учащегося, или с группой учащихся.

С учетом состояния математической подготовки учащихся школ и задач формирования основ математической культуры инженера довузовская подготовка будущих абитуриентов должна носить коррекционно-развивающий характер. Сначала определяется уровень математической подготовки, цели и группы задач, позволяющих ликвидировать имеющиеся пробелы, систематизировать знания,

закрепить и углубить умения и навыки решения задач. С этой целью подбираются вариативные задачи - обычные, поисковые и творческие, которые должны быть интересны, значимы для учащихся, соответствовать уровню притязаний, знаний и развитию каждого учащегося. Такие задачи и задания способствуют повышению умственной и творческой активности школьников и становятся важным условием их психологической подготовки к труду, как умственному, так и физическому. Через развитие этой активности происходит становление важных качеств личности: ответственности за свой труд, умения организовать его, критически осмыслить и оценить. Важно обеспечить представление задач в логической последовательности в зависимости от поставленной цели.

Математическая подготовка школьников чаще всего характеризуется фрагментарностью и является недостаточной для продолжения обучения в вузе. Заученная, но не осмысленная информация быстро забывается; учащиеся теряют интерес к математике. В связи с этим при изучении тем целесообразно проводить классификацию и систематизацию материала с соответствующим подбором задач, тестов, после чего рассматривать нестандартные, творческие задачи. Например, при изучении темы «Показательные уравнения» проводится следующая классификация методов решения:

1. Выравнивание оснований:

а

ж= af2(х) (а №1, a > 0) Ю /1(х) = /2(х).

2. Выравнивание показателей:

а/(х) = Ь/(х) (а № Ь №1) Ю /(х) = 0.

3. Замена с одним видом основания:

ах = t, t > 0 (а > 0, а Ф 1).

4. Замена с двумя видами оснований:

/ \х а

Ь

V /

г > 0 (а > 0, Ь > 0, а Ф Ь Ф 1). I. Уравнения первого типа (два слагаемых):

2

х2 - 6 х- 2,5

= 16л/2 .

Выравниваем основания:

2

х- 6 х- 2,5 = 24 22.

Это уравнение равносильно уравнению

или

х2 - 6х - 2,5 = 4,5

х - 6х - 7 = 0 ^ = - 1; х2 = 7.

П.Уравнения второго типа (два слагаемых):

7 х = зх

или

/ 7 \х

3

= 1;

I п \х I 7 ö 0

3

^ x = 0.

III. Уравнения третьего типа (три и более слагаемых и один вид оснований): Перепишем уравнение в виде

5x +

5

5х = t, t > 0.

5х + 53- х = 30.

53

5х + — _ 30

и произведем замену:

Подставим в последнее уравнение

125

,2

= 30 ^ г - 30г+ 125= 0 ^ 1 = 5, г2 = 25.

Возвратимся к замене

5х = 5 ^ х = 1; 5х = 25 ^ х = 2. IV. Уравнения четвертого типа (три и более слагаемых, два и более видов оснований):

52 х-1 + 22 х 52 х + 22 х+ 2 _ 0

Перепишем уравнение в виде

5

2 х

+ 22х - 52х + 4 422х _ 0 .

-2 х

2 х

5

Разделим обе части уравнения 22х :

х

2

v /

+ 1

х

2

V /

+ 4 _ 0.

Замена:

'5л2 х

2

v /

_ t, t > 0.

Подставим в последнее уравнение Возвратимся к замене:

1 1 „ « 25 -t+ 1 -t+ 4_ 0^ t_ — 5 4

5 2

v

2 х

25

_ —^ х _ 1. 4

Отработав навыки классификации и решения уравнений, необходимо для развития логического и творческого мышления постепенно расширять и усложнять класс рассматриваемых уравнений. Далее, например, предложить произвести логический анализ и решение уравнения вида: б2^4 = 2х+8 33х . Проведем логический анализ:

1) в уравнении два слагаемых, следовательно, уравнение первого или второго типа;

2) в уравнении основания не выравниваются, следовательно, уравнение не первого типа;

3) приведем уравнение к виду второго типа, для этого выделим два вида оснований:

22х+4 . 32Х+4 = 2*+8 . 33Х .

4) выравниваем показатели:

22

33

,2х+ 4 '

; 2х- 4 _ 3х- 4;

2 х+ 8 32

5) равносильное уравнение х-4 = 0 ^ х = 4 .

В завершение следует рассмотреть нестандартные уравнения, которые можно классифицировать только после некоторых преобразований и проявления математической смекалки.

Показательные уравнения связаны с логарифмическими уравнениями. При рассмотрении темы «Логарифмические уравнения» целесообразно произвести сначала классификацию свойств логарифмов, применяемых к соответствующему типу уравнения, а затем классификацию уравнений.

Классификация свойств логарифмов:

III

I, II

1°. logа 1 = 0(а > 0, a t 1); 2°. logаа = 1(а> 0,at 1); 3°. log10 x = lg x; logex = ln x (x > 0); 4°. log а (xrx2) = log ax, + log ax2(a > 0, a t 1); x

5°. log

1

x2 У k

= log a xj - log ax2 (a > 0, a t 1);

6. loga x = k loga x, где k - нечетное (a > 0, x > 0, a t 1); 7°. log axk = k log Ixl, где k - четное (a > 0, a t 1);

8°. log„x:

log xa

(a > 0, x > 0, a t 1);

1

9°. log k x = — loga x (a > 0, x > 0, a t 1); a k

10°. loga x = (a > 0, b > 0, x > 0, a t b t 1);

IV

logba

11°. alogax = x (a > 0, x > 0, a t 1);

12°. alogbx = xlogba (a > 0, b > 0, x > 0, a t 1);

0 log ax

13°. a

(alogax)logax = xlogax (a > 0, x > 0, a t b t 1).

a

1

Можно предварительно отработать эти свойства на примерах. Вычислите:

1. 2(^12 + 1о^3); 2. 10^196 - 21о^2;

^7+ 1

3.10 7 ; 4.1082 9 - 210823 - 4^3;

5 7log27 - 9log29 . 6 2log35 - 5log32

Далее классифицируем логарифмические уравнения согласно проведенной классификации свойств, при этом следует акцентировать внимание на логике классификации и логике решения. В дальнейшем это пригодится для выбора оптимального решения и для решения творческих задач. I. Уравнения первого типа (логарифмы с одинаковыми основаниями и в первой степени):

log a f (x) = loga f2 (x) Ю f1( x) = f2( x^n a > 0, a N1, f( x) > 0, f( x) > 0.

Рассмотрим на примере:

log1- x (2 x2 + x + 1) = 2 . Запишем область допустимых значений уравнения (ОДЗ):

2x2 + x +1 > °;1 - x > °;

1 - x11.

)

4 x < 1; x t 0 .

Заменим правую часть уравнения через логарифм:

log1-x (2x2 + x + 1) = log1-x (1 - x)2

или

2x2 + x + 1 = (1 - x)2 4 x2 + 3x = 0 4 x1 = 0; x2 = - 3 . Корень xj = 0 не удовлетворяет ОДЗ. Решение уравнения: x = - 3 .

II. Уравнения второго типа (логарифмы с одинаковыми основаниями, но с разными степенями). Замена: log ax = t (а > 0, a t 1, x > 0).

О о

Рассмотрим уравнение: 3lgx - lg (- x) = 9-

ОДЗ: x < 0 . Используя свойство 7, и так как при x < 0 | x | = - x, получаем lgx2 = 2lg| x | = 2lg( - x) , поэтому данное уравнение можно записать в виде:

6lg(-x)- lg2(-x) = 9.

Полагая lg ( - x) = t, получим 6t - t2 = 9 Ю t = 3. Для определения x получим простей-

О

шее уравнение lg (- x) = 3 Ы - x = 10 Ю x = - 100°.

III. Уравнения третьего типа (логарифмы с разными основаниями). Рассмотрим на примере:

log4x+ 17 + log9x 7 =

Найдем ОДЗ:

4x +1 > 0; x > 0; 1

4 x > 0; x t —.

4 x 1111;9 x 11. 9

2

3

Используя свойство 8, исходное уравнение можно записать в виде:

1 + -—1-= 0 Ю 1о?7(9х) + 1о?7(4х + 1) = 1о?71

1о?7(4 х + 1) 1о?7(9 х)

или

9х(4х + 1) = 1 ^ 36х2 + 9х - 1 = 0 ^ х1 = - 3

посторонний корень; х2

12

IV. Уравнения четвертого типа (показательно-логарифмические):

51?х + х1ё5 = 50.

Ко второму слагаемому уравнения применим свойство 12:

5^х + 51!?х = 50 ^ 5lgх = 25 ^ 5lgх = 52 ^ 1? х = 2 ^ х = 100.

И в завершение рассмотрим уравнения, решаемые методом логарифмирования обеих частей уравнения, то есть когда в основании х, а в показателе логарифм. Можно подобрать разные уравнения такого вида, чтобы обобщить все типы уравнений и все свойства.

Например, уравнение вида: х^? х = 1000 х2 .

ОДЗ: х > 0 . Это уравнение решается методом логарифмирования по основанию 10 обеих частей уравнения. В результате логарифмирования получим уравнение:

Ы

1?2 х = 1?1000 + 1? х2

Ы 1?2х- 21?х- 3 = 0.

1? х1? х = 1? (1000х2

Полагая 1? х = Г , получим

г2 - 2г - 3 = 0 Ю г1 = 3, г2 = -1. Следовательно, 1? х = 3 Ю х1 = 1000 и 1? х = - 1 Ю х2 = 0,1.

По такой же классификации следует рассмотреть показательные и логарифмические неравенства. Фактически все разделы математики можно организовать по следующей методике:

1. Актуализация опыта математической деятельности школьника (например, решение квадратных уравнений, действия над степенями).

2. Создание нового, то есть фактологической системы ЗУН (классификации показательных и логарифмических уравнений и методика их решения).

3. Развитие умения:

а) логического мышления (логический анализ уравнения и определение его типа);

б) алгоритмического мышления (алгоритм решения соответствующего типа уравнений, алгоритм классификации уравнений).

4. Развитие творческого мышления (решение усложненных и нестандартных уравнений, которые, как правило, имеют несколько вариантов решения).

5. Развитие навыков самостоятельной работы

(для закрепления ЗУН и развития умений самостоятельного приобретения знаний предлагаются учебные пособия, домашнее задание, дифференцированное по сложности, тестовые задания).

При таком подходе школьник систематизирует свои знания, развивает математическое мышление: анализ, синтез, сравнение, суждение, умозаключение, понятие. Такая методика формирует вкус к исследованию, способность сосредоточиться, настойчивость, склонность к творчеству, любознательность, удовлетворенность процессом работы и ее результатами. Ученик не приступает сразу к решению задачи. Он сначала анализирует задание, классифицирует, определяет метод решения, осмысливает полученный ответ, что способствует развитию гибкости, активности, целенаправленности, критичности ума. Систематизированное и осмысленное знание закладывается в долговременную память, в результате вырабатываются методы математической деятельности: наблюдение, опыт, применение аналогии, моделирование.

Таблица 1

А1. Частное от деления наименьшего общего кратного чисел 308 и 264 на их наибольший общий делитель равно 1) 21; 2) 12; 3) 6; 4) 42; 5) 84

А2. Выражение i a3/2 - 4a12 „ = - 2a ' a + 4 ^2 после упрощения при a < 4 примет вид V / 1) -4а; 2) 0; 3) 4а; 4) 1; 5) -1

А3. Сумма кубов корней уравнения x2 + 5x + 5 = 0 равна 1)-125; 2) -50; 3) -25; 4) 25; 5) 50

А4. На одном станке партию деталей можно изготовить за 5 часов, а на другом - за 4 часа. Сколько времени нужно для изготовления 90 % деталей этой партии, если включить оба станка? 1) 1,5 часа; 2) 2,1 часа 3) 1,2 часа; 4) 2 часа; 5) 2,2 часа

А5. Сумма координат точки пересечения графиков функций y = 3-x и y = л/ x + 10 равна 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4; 5) 5

x А6. Наименьший период функции y = 2 + 5 sin x + cos 3 равен 1) л/3; 2) 2 л/3; 3) 3p; 4) 4П; 5) 6п

А7. Произведение корней уравнения (x2 + 2x - 5) (x2 + 2x + 5)= 24 равно 1) 5; 2) -5; 3) 7; 4) -7; 5) 14

А8. Корень уравнения 2 - -J2 - x = ^2 x - 4 + 3x + 6 принадлежит промежутку 1) (-1; 0); 2) [2;3]; 3) (3; 5); 4) [5;6]; 5) (7; 9)

А9. Результат вычисления выражения tg 9° - tg 27° - tg 63° + tg 81 ° равен 1) 0; 2) 1; 3) 4; 4) 2; 5)5

А10. Вычислить tg a , если 15cos2 a - 2cosa - 1 = 0и - p < a < - p / 2 1) - 246 ; 2) 246 ; 3) 46 ; 4) 1; 5) 2

А11. Среднее арифметическое всех корней уравнения 2 cos x ( cos x - 48 tgx J = 5 , принадлежащих промежутку [ - p; 2p ], равно 1) p/2; 2) 2Р/3; 3) p/4; 4) p/6; 5) p/3

А12. Найти a + b , если вектор a = ( 3; - 1;a) перпендикулярен вектору b =( 2;b;1), b = 3 и b < 0 1) -10; 2) -4; 3) -2; 4) -1; 5) 0

А13. Если в двух подобных треугольниках длины меньших сторон равны 35 и 21, а разность периметров равна 40, то сумма периметров равна 1) 90; 2) 100; 3) 120; 4) 160; 5) 200

А14. Если сфера проходит через все вершины прямоугольного параллелепипеда с ребрами 2, 3 и 7, то площадь сферы равна 1) 62p; 2) 64p; 3) 66p; 4) 68p; 5) 72p