Методика коррекции зон обслуживания базовых станций при оптимизации сотовой структуры сетей связи Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.396.41

Л.Л. Егоров, В.А. Кологривов, С.В. Мелихов

Методика коррекции зон обслуживания базовых станций при оптимизации сотовой структуры сетей связи

Сформулирована нелинейная задача расчета зон покрытия базовых станций сотовой сети стандарта GSM на основе метода линеаризации нелинейных систем алгебраических уравнений Ньютона-Рафсона по заданной двумерной плотности распределения абонентов на местности. Приведена оценка эффективности предложенного метода при решении задач планирования и оптимизации сети.

Ключевые слова: метод наименьших квадратов, нелинейная задача, итерационный алгоритм, базовая станция, зона покрытия.

Введение

На рис. 1 представлено расположение БС неоднородного кластера размерностью q = 4. Для взаимной увязки зон обслуживания БС в кластере произвольной конфигурации, исходя из геометрических БС1 предпосылок, можно составить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) [1, 2]:

A •r = d , (1)

где A = [aj ] - матрица эластичности (МЭ) зон обслуживания, т.е. матрица эластичных коэффициентов, структура и физический смысл которых пояснены ниже; r = |г;| -вектор-столбец неизвестных, соответствующих радиусам круговых зон обслуживания; d = |dj| - вектор известных расстояний (пролетов) между соседними БС.

Как следует из (1), радиусы зон покрытия ri зависят

как от коэффициентов матрицы эластичности aj , так и от компонентов вектора расстояний dj .

Решением (1) является вектор-столбец радиусов зон обслуживания БС:

dl3

БСЗ

БС2

d24

БС4

Рис. 1. Неоднородная конфигурация кластера размерностью q=4

r = A"1 • d

(2)

где А-1 - обратная матрица эластичности.

Анализ показал, что наилучшим вариантом структуры коэффициентов матрицы эластичности а^ является следующий:

Уг

aij = k •-

(3)

Уг + Уj

где k - коэффициент покрытия кластера (Ъ и 2, k - vаr); Уг ,yj - вариационные коэффициенты, косвенно характеризующие нормированную интенсивность трафика (нагрузки) г-й и j-й БС соответственно (Уг < 1,уу < 1).

Таким образом, структура т-го уравнения в системе 1, описывающая т-й пролет между БС, имеет вид

• г + ат1 ■ г1 = Ъ ■ г + Ъ • rj = dm . (4)

тг г т 1 Уг +У1 г Уг +У] 1 т' Предложенная методика пригодна к решению задач планирования сотовых сетей, когда известны только расположения БС и только предполагаются величины трафиков. Применение данной методики к задачам оптимизации требует ее доработки. Основным отличием задачи оптимизации от задачи планирования является расчет зон обслуживания для функционирующей сети, которая характеризуется начальными данными: зоны обслуживания и соответствующие им трафики на БС. Очевидна также и неравномерность распределения абонентов в кластере.

На основе предположений о зависимости вариационных коэффициентов от нагрузок и радиусов зон обслуживания БС возникает вопрос о введении в систему уравнений величины, позволяющей в любой момент вычислять нагрузку на БС, соответствующую данному радиусу, т.е. необходима функциональная зависимость вариационных коэффициентов от трафика и радиуса зоны обслуживания БС. Сформулируем данную зависимость. Пусть некоторой БС соответствует трафик Асум i, численно равный произведению

Асум_i = Ai • mi , (5)

где Ai T - среднестатистический трафик одного абонента, равный произведению средней частоты вызовов X и средней продолжительности одного обслуживания Т; m =Pi • Si - общее число абонентов на БС, равное произведению плотности абонентов Pi и площади обслуживания БС Si .

Обозначив Асум i за вариационный коэффициент i-й БС, получим выражение, учитывающее зависимость соответствующего уц от трафика и зоны обслуживания:

У = Ai-Pi • Si . (6)

В общем случае плотность распределения абонентов p(x,y) в какой-либо соте является неравномерной. В этом случае выражение (6) приобретает вид

yi(r) = Ai-jj (x,y)• dSi , (7)

Si

соответственно, весовой коэффициент матрицы эластичности запишется в виде

k- jjjp(x,y) •dSi

dmi (ri ,r.) =_k-yi (ri)_=_S_, (8)

mi 1,1 yi (ri) + yj (rj) jjp(x,y) •dSi + jjp(x,y)•dSj'

Si Sj

где Si и Sj - площади зон обслуживания i-й и j-й БС. Структура уравнения m-го пролета примет вид

k • jjp(x,y) •dSi k• jjjp(x,y)- dSj

S■ Sj

1711,1 jjp(x, y) • dSi + jj p(x, У) • dSj 1 jj p(x, y) • dSi + jj p(x, y) • dSj 1 m ' Si Sj Si Sj

Объединяя уравнения пролетов для кластера БС, получаем в общем случае систему нелинейных алгебраических уравнений (СНАУ)

F(r) = A(r) • R - D = 0 , (10)

где F(r) - нелинейная вектор-функция; A(r) - матрица эластичности зон обслуживания БС; D - вектор расстояний пролетов БС; R - искомый вектор радиусов зон покрытия БС.

Следует отметить, что согласно структуре исходной системы уравнений, строки матрицы эластичности A(r) имеют по два отличных от нуля элемента на пересечении с i -м и j -м столбцами, соответствующими номерам пары БС, образующих пролет.

Поскольку каждая БС может образовывать с другими несколько пролетов, то система уравнений кластера БС в общем случае может быть переопределенной, что требует выбора соответствующего метода решения. Все БС кластера должны присутствовать в системе уравнений, однако количество пролетов варьируется инженером-проектировщиком, исходя из первоначальных поставленных задач. В частности, исключение какого-либо пролета из системы может существенно перераспределить зоны покрытия в кластере.

Также особенностью предлагаемого алгоритма является итерационность процесса вычисления зон покрытий. Покажем это на примере. Допустим на БС1 кластера q = 4 (см. рис. 1) в результате миграции абонентов произошло увеличение трафика и возникли перегрузки. При этом на соседних БС2-БС4 произошло уменьшение трафика. Наилучшее решение данной задачи заключается не в установке дополнительных приемопередатчиков, а в перераспределении трафика с загруженной на простаивающие БС посредством изменения зон обслуживания в кластере.

Отметим, что подлежащий оптимизации кластер характеризуется первоначальными

зонами обслуживания Го и соответствующими трафиками на БС Ao . Для перераспреде-

ления нагрузки на некоторой БС мы вносим изменения в А и получаем новый вектор зон обслуживания Ц. Однако в связи с перераспределением зон обслуживания изменились и трафики на БС А1 . В соответствии с изменением А1 необходим пересчет оптимальных зон обслуживания, в результате чего получаем Г2. Таким образом, процесс

расчета зон обслуживания при оптимизации является итерационным, и математическое описание системы производится нелинейными алгебраическими уравнениями.

Решение системы нелинейных алгебраических уравнений

Решение переопределенных СНАУ может быть реализовано различными методами. Наиболее известным является алгоритм Ньютона-Рафсона, основанный на линеаризации исходной нелинейной системы уравнений [3, 4] путем разложения нелинейной вектор-функции в окрестности предполагаемого решения в ряд Тейлора и удержании линейных членов ряда.

Для исходной СНАУ переопределенная линеаризованная система алгебраических уравнений может быть решена методом наименьших квадратов (МНК) или методом взвешенных наименьших квадратов (МВНК):

ДХ(Ъ) =-JT(Х(Ъ))■ J(X(k)) ■ JT(Х(Ъ))■ F(X(k)). (11)

В результате итерационная запись метода Ньютона-Рафсона или нелинейного алгоритма МНК приобретает вид

г -1-1

Х(Ъ+1) = Х(Ъ) фт(Х(Ъ))■ ^Х(Ъ>)1 ■ JT(Х(Ъ))■ ^Х(Ъ>). (12)

Условие сходимости алгоритма и условие останова соответственно:

F(X(k+1) < F(X(k)

(13)

ДХ(Ъ) < , (14)

где е - минимально значимая величина нормы вектора приращений.

Решение СНАУ требует проработки следующего ряда частных задач:

1) задание и аппроксимация двухмерной функции плотности распределения абонентов

рО^у) ;

2) определение вариационных коэффициентов БС У1 (цц) и элементов матрицы эластичности ац (г г) как функций радиусов зон обслуживания;

3) определение элементов матрицы частных производных (матрицы Якоби) нелиней-

дf

ных функций 1ц = —- , описывающих нагрузки в зависимости от радиусов зон обслужи-

дц

вания.

Задание двумерной функции плотности абонентов

С практической точки зрения у оператора сотовой связи нет полных данных, позволяющих однозначно задать функцию плотности абонентов. Поэтому при первоначальном проектировании сети возможно использовать данные о заселенности региона и функциональном назначении объектов, расположенных на территории (жилые зоны, зоны отдыха, рынки, стадионы, транспортные магистрали и т.д.). Исходя из этих данных, возможно первичное приближенное задание плотности абонентов.

В процессе эксплуатации сети функцию плотности абонентов возможно воспроизвести исходя из статистики с контроллера базовых станций.

Аппроксимацию дискретных данных о плотности распределения абонентов непрерывной двухмерной функцией произведем по сечениям осей х и у степенными полиномами (3-5)-го порядка с явным вычислением коэффициентов аг, Ь [5, 6]. Шаг интерполяции по осям х и у выбирается исходя из обеспечения точности последующих этапов численного решения основной задачи, и в данном случае составляет порядка 100-200 м. Апроксимация полиномами с вычисляемыми коэффициентами предпочтительна в связи с возможностью применять эффективную схему Горнера для вычисления значений полиномов, а также при использовании на последующих этапах операций дифференцирования либо интегрирования.

Определение нагрузок БС как функции радиусов зон покрытия производится путем вычисления интегралов через частичные суммы ,у;)-Дх;-Ду; для нескольких зна-

х у

/2 2

чений радиусов при условии ^/(х0 - х;) + (у0 - уг) < г\ . Далее полученные для каждой БС значения интегралов интерполируются степенными полиномами (3 + 4) -го порядка по переменной Г; в виде

Уг = У(Г) = Ьог + Ьг -Гг + Ь21 'Г1 + Ь31 , (15)

где индекс г определяет принадлежность к г-й БС. Коэффициенты интерполяции зависимостей нагрузок БС от радиусов зон покрытия целесообразно вычислить заранее до начала итерационного процесса, хранить в специально организованном массиве и использовать по мере необходимости в процессе итераций.

Элементы матрицы эластичности в используемом подходе определяются как отношение нагрузки текущей БС к сумме нагрузок БС, образующих пролет. Очевидно, что элементы матрицы эластичности являются функциями двух независимых переменных (радиусов Г; и rj). Следовательно, каждый элемент матрицы эластичности необходимо

интерполировать по независимым переменным Г; и rj на каждом шаге итерации двумя

полиномами вида:

2 о

а1г(Гг,Г_ссп81) = С0Ь + С1г 'Гг + С2г 'Гг + С3г -Гг ,

2 3 (16)

а1г(гг_const,rj) = е0г + е1г Г + е2г Г + е3г Г ,

ац(Г ,Г_const) = еоj + е1, • Г + е2, • , + е3, - Г/, (17)

23

а,(Г_const,Гг) = Со, + суП + С2,'Гг + С3,'Гг .

Здесь: г\ const, rj const - значения радиусов г-й и j-й БС на текущем шаге итерации.

Определение элементов матрицы частных производных не представляет труда, так как элементы матрицы эластичности выражены степенными полиномами по переменным

гг пРи Г_const и Г пРи гг_const

£ = (%(Г;Г^з.)- гг + (0^пз^Г). О)' =

дГ;

2 3 + 2 • С , • Г, + 3 - Со; • Г,2 + 4 • С3 ; • Г,3

(18)

= Сог + 2-Сц-Г; + 3-С2г-Гг + 4 ^г-т + Со, + 2-с^-Г, + 3-С2,-Г° + 4-С3,

д± = (%(Г „СП^)-Г + а,(г,,Г const)• Г)' =

дГ " У У У " ' . (19)

2 3 2 3

= еог + 2-еи-Гг + 3-е2г-Г + 4-63;-Г; + во, + 2-ет,-^ + 3-в2,-Г, + 4.

Заключение

Решение поставленных частных задач позволило решить основную нелинейную задачу расчета зон оптимального покрытия при неравномерной плотности распределения абонентов. Предлагаемый алгоритм для оптимизации сетей адекватно учитывает особенности произвольной конфигурации кластера с произвольной плотностью абонентов.

Литература

1. Егоров Л.Л. Алгоритм расчета зон покрытия базовых станций сотовой связи / Л.Л. Егоров, В.А. Кологривов // Доклады ТУСУРа (Томск). - 2оо7. - № 2(16). - С. 157162.

2. Егоров Л.Л. Алгоритм расчета зон покрытия базовых станций сотовой связи / Л.Л. Егоров, В.А. Кологривов, С.В. Мелихов // Доклады ТУСУРа (Томск). - 2оо9. -№ 1(19). - С. 15-21.

3. Влах И. Машинные методы анализа и проектирования электронных схем: пер. с англ. / И. Влах, К. Сингхал. - М.: Радио и связь, 1988. - 5бо с.

4. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ: Справ. пособие. - Киев: Наукова думка, 1986. - 543 с.

5. Волков Е.А. Численные методы. - М.: Наука, 1982. - 254 с.

6. Левитин А. Алгоритмы. Введение в разработку и анализ. - М.: Вильямс, 2оо6. -576 с.

Егоров Леонид Леонидович

Аспирант каф. средств радиосвязи ТУСУРа Тел.: 41-37-09

Эл. почта: [email protected] Кологривов Василий Андреевич

Канд. техн. наук, доцент каф. средств радиосвязи ТУСУРа Тел.: 41-37-09

Эл. почта: [email protected] Мелихов Сергей Всеволодович

Проф., д-р техн. наук, зав. каф. средств радиосвязи ТУСУРа Тел.: 41-37-09

Эл. почта: [email protected]

Yegorov L.L., Kologrivov V.A., Melihov S.V.

The calculation of base station coverage area for optimization of cell structure of communication networks

The statement of nonlinear problem of calculation of base station coverage area of GSM cellular network, which is based on the linearization of the Newton-Raphson nonlinear systems of algebraic equations by the given two-dimensional density of subscribers location, is given. The efficiency of the suggested method for solution of network planning and optimization problems is evaluated. Keywords: least squares method, nonlinear problem, iterative algorithm, base station, coverage area.