Методика комбинирования частных моделей и экспертной информации для определения мотивационной надбавки Текст научной статьи по специальности «Математика»

МЕТОДИКА КОМБИНИРОВАНИЯ ЧАСТНЫХ МОДЕЛЕЙ И ЭКСПЕРТНОЙ ИНФОРМАЦИИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МОТИВАЦИОННОЙ НАДБАВКИ

Егерева И.А., Палюх Б.В.

(Тверской государственный технический университет) borisdptstu. h’er. rn. irina esereva(cp,rambler.rn

В соответствии с постановкой задачи стимулирования целевая функция центра зависит от системы стимулирования агента и представляет собой разность между функцией дохода (от деятельности подчиненного начальник получает доход (например, продает на рынке то, что произвел подчиненный)) и тем стимулированием, которое выплачивается подчиненному:

Ф((т()у) Н(у)-гт(у) где Н(у) - функция дохода центра. Целевая функция агента: то стимулирование, которое он получает, минус затраты, т.к. в зависимости от выбираемого действия подчиненный несет затраты:

А<*-).У)=<г(У)-С(у), где с(у) - функция затрат агента.

Функция дохода неотрицательна при любом действии у и принимает максимальное значение при уфО. Функция затрат неотрицательная, неубывающая и в нуле равна нулю: для у>0 с(у)>0, с(0)=0.

Ноль характеризуется тем, что если агент ничего не делает, то его затраты равны нулю, и если центр ему за это ничего не платит - агент получает нулевую полезность. Ограничение: вознаграждение должно быть не меньше затрат агента. Значит, агента устраивает все, что лежит выше функции затрат с (у).

Центр может получить какую-то полезность в случае нулевого действия агента, т.е. если он ничего ему не платит. И он не заплатит агенту больше, чем доход, который он получает от деятельности агента.

Заштрихованная область на рис.1 - область компромисса -совокупность множества действий S и вознаграждений за эти действия, устраивающих одновременно и центр и агента (то есть

размер вознаграждения должен быть не меньше затрат агента и не больше дохода центра).

При рассмотрении задачи стимулирования со стороны центра оптимальным решением задачи стимулирования будет компенсаторная система стимулирования такого вида, в которой размер вознаграждения равен затратам агента, а оптимальный план равен плану, максимизирующему разность между доходом центра и затратами агента (т.В). Окончательно оптимальное решение будет выглядеть следующим образом: х* е arg max \Н(х) - с(х)}.

хеА

Агент должен предложить центру то же самое действие X*, а плату запросить максимальную, на которую согласится центр (т.А). В этой ситуации всю прибыль [Н(х*) - с(х*)] будет забирать агент.

Если центр хочет гарантировать, чтобы агент выбрал какое-то действие, отличное от нуля, то вознаграждения агента к должно быть равно сумме затрат агента с (у) и сколь угодно малой, строго положительной величине мотивационной надбавки ё, чтобы значение целевой функции агента в точке х было строго больше нуля: /.(у) с(у)+ё.

Обычно величина S оговаривается агентом и центром устно, либо рассчитывается как затраты, умноженные на единицу плюс норматив рентабельности [1].

При таком подходе величина мотивационной надбавки определяется, но доказательств того, что значение подобрано правильно - нет. Тогда перед нами стоит задача - найти такое значение 5, которое удовлетворяло бы интересам центра и побуждало агента выбирать то действие, которое необходимо центру, при этом максимально приближалось к оптимальному плану.

В основу процедур стимулирования коллектива положено распределение фонда разницы между затратами агента и доходом центра. Пусть вознаграждение агента равно затратам агента А(у)= с(у), величину мотивационной надбавки будем определять на основе коэффициента эффективности деятельности агента с1.

Процедура определения коэффициента эффективности деятельности агента заключается в расчете комбинированной оценки на основе результатов моделирования и экспертной информации путем построения линейной свертки.

Входными параметрами для частных моделей будут являться параметры р1 групп gJ■, влияющие на коэффициент профессионального роста, веса параметров определяются для каждой должности при настройке профиля должности - табл. 1.

Таблица 1. Настройка параметров для определения коэффициента эффективности деятельности агента

Параметр Вес параметра для должностей

1 п

& 8и 8т

Р1 р1и Р1п1

Рп р1ы р1 пп

Ип §1п §пп

Р1 рпи РПП1

Рп рпы РПпп

Сводный коэффициент у по параметрам определяется как: у = gnl + ... + gnn,

где gii=plll + ... + рппп

Использование моделей позволит получить независимое от внешних воздействий расчетное значение коэффициента. Однако, анализ сложных систем различного назначения говорит о том, что использование только регрессионных моделей является некорректным (так как объектом исследования является активная система), кроме того, в нашем случае модель невозможно строить на протяжении первых нескольких оценочных периодов - при расчете коэффициента эффективности деятельности агента будем учитывать экспертную информацию (эксперты определяют значения параметров, влияющих на значение коэффициента).

Чтобы учесть результаты, полученные при моделировании и экспертной оценке воспользуемся комбинированием частных моделей и экспертной информации при итоговой оценке личностных и деловых качеств персонала.

Пусть хе/Г вектор независимых переменных, уеН! зависимая переменная, у=Пх) неизвестная зависимость. Требуется определить наиболее правдоподобное значение переменной у при заданных значениях х, используя при этом:

а) семейство частных моделей: у= у г(0, х), / е| /,Л'|

б) семейство экспертных высказываний: х=х* => уе(ак,Ьк), ке[1, К\,

где а^Ьь - заданные к-м экспертом действительные числа, такие, что [ак,Ьк] - попарно различные интервалы.

В качестве комбинированного прогноза принимается образ

линейной свертки функции у1: ;/ (а. х) = ^ а';/' (/3'. х|. при

;=1

х=х* а=( а1,..., а ) - вектор, подлежащий определению коэффициентов.

Возможны четыре варианта:

экспертные высказывания взаимно непротиворечивы и в совокупности согласованы с некоторыми из частных прогнозов;

экспертные высказывания взаимно противоречивы, однако некоторые из них, но не в совокупности, согласованы с отдельными частными прогнозами;

экспертные высказывания взаимно непротиворечивы, однако некоторые из них, но не в совокупности, согласованы с отдельными частными прогнозами;

экспертные высказывания не согласованы с частными прогнозами.

Для первого случая коэффициенты линейной свертки находятся из требования минимизации суммы модулей отклонений фактических от расчетных по свертке значений зависимой переменной на периоде основания прогноза:

у=1

при условиях согласованности комбинированного прогноза с экспертными высказываниями

N

Здесь 3 малое положительное число, введенное для получения двухсторонних нестрогих ограничений при полуоткрытом

Используя способ исключения модулей, задача условной минимизации сводится к задаче линейного программирования. С этой целью вводятся новые переменные:

Нетрудно убедиться в справедливости следующих условий:

(2) а+ 8 <^агу1+1 <Ъ ;

г'=1

и нормировки

интервале

>0,^>0,о1-У1=у1-г(а,х1),

У1~г(а,х1)\,{] = Хп) Тогда после подстановки в (7) имеем:

п \

= +у;.)->тт

и1+у/

м

с учетом ограничений

N N

а

1\ 1\ / _ч

+8<^ау'п+1 =|’а' ^0,(/ = 1,Л^).

/=1 /=1

", аОл;, >0,'£а1у';+и1-г/=у/,(1=1п)

(б)

Оптимальный план этой задачи в качестве первых N компонент содержит искомые коэффициенты а'.

Во втором случае необходимо, чтобы комбинированный прогноз У„+1 обеспечивал максимально возможную согласованность экспертных высказываний. В качестве меры согласованности естественно использовать сумму расстояний р между точкой у'п ! и каждым из интервалов (ак, Ьк]:

2>(кА1У„+1)

Если за расстояние р принять функцию: а-у,у<а, р((а,Ь\у) = Ша<у<Ь, у-Ь,у>Ь.

то задача отыскания коэффициентов а1 может быть сведена к задаче линейного программирования:

К п . ,

(7) 7(а,м,у,с,б/) = 2](^ +^)+512(«; +У;.)^тт

£=1 У=1

с ограничениями

2У =1,аг >0,(/' = 1,А^му >0,уу >0,

г=1

|>У'+*,.-V,.=>>.,(/

г=1

+д~ск +^ск >0,(к = \к)

ак

г=1

где 8,81 - малые положительные числа, и,, 17 представлены в (4), ск, с!к неотрицательные действительные числа, определяемые

соотношениями:

ск =‘

\акУ'п+иак >У„+1 10, Я* <У„+1 ^ ЛУ^^У-!^

* |о,У„+1<^

Смысл первого слагаемого в (7)в совокупности с ограничениями состоит в необходимости минимизации суммарного удаления прогнозного значения зависимой переменной от границы интервала (х/к,Ьк\ .Наличие второго слагаемого в совокупности с ограничениями объясняется необходимостью максимальной согласованности свертки и статистической информации. При этом, чем меньше величина 81 тем больше приоритет при прогнозировании отдается экспертной информации по отношению к статистической и наоборот.

В третьем случае, если ограничения (2), (3) совместны (существуют такие /, у е {1, ... , И},

что И+1’---Х+1}сй(а*А1/и+1^/и+1>йХ то задача

з=1

построения линейной свертки может быть решена таким же образом, как и в первом случае. Если, напротив, ограничения несовместны, то предлагается воспользоваться одним из следующих двух способов.

При достаточно высокой степени согласованности экспертных высказываний между собой противоречия между ними и частными прогнозами должны быть решены путем корректировки последних посредством поиска более адекватных исследуемому процессу частных моделей. Мерой такой согласованности может служить известный в методе экспертных оценок коэффициент конкродации.

Если же экспертные высказывания недостаточно согласованы, свертка (4) может быть построена посредством решения задачи линейного программирования вида:

к ” / \

J(a,u,v,c,d) = YJ{ck +dk) + 8'YJ{UJ +^.)->тт

к у=1

с ограничениями

]Га1 = 1,а1 > 0, (/ = ЦУ) и, > О, V,. > О,

1=1

'^агу')+и]-У] =У],{] = \,п\

2=1

N ( ___\

ак +5-ск^а'У"п+1 ^ьк +ак,ск>04к>Щ = \к)

1=1

При этом чем выше такая согласованность, тем большие значения следует придавать коэффициенту д1 в целевой функции. В данной ситуации, для любого д! 0 комбинированный прогноз у ’„+1 не будет входить в интервал (а/а Ьк].

В четвертом случае, по аналогии с предыдущим, в зависимости от того, в какой степени согласованы между собой экспертные высказывания от того, в какой степени согласованы между собой экспертные высказывания и какова величина разброса частных прогнозов вокруг среднего значения, необхо-

димо либо корректировать интервалы {с1кЬк\ [к = \.к). либо

строить дополнительные частные модели, либо решать задачу линейного программирования:

к ” / \

J(a,u,v,c,d) = YJ{ck +dk)+8lYJ{UJ+VJ)^min,

к=1 ]=1

с ограничениями:

|у = 1,а* >0,^=Щ,иг . >0,^>0,

1=1

|уУ‘+к,.-^ =У]{] = \,п\

1=1

/ _____\

а* <^а'У'+1<й, >0,йк >0,(к = \,К)

1=1

Таким образом, любой из перечисленных вариантов сводится к решению задачи линейного программирования.

Так как фонд Ф распределяется полностью, то выполняется условие - сумма всех коэффициентов равна 1 (корректировку полученных расчетным путем коэффициентов с! можно осуществить любым известным способом). Полученный коэффициент эффективности деятельности агента подставляем в формулу расчета мотивационной надбавки: 3=с1*Ф.

Такое определение мотивационной надбавки соответствует условиям оптимального решения задачи, центр сам определяет величину фонда выплат, агент в свою очередь имеет возможность влиять на величину мотивационной надбавки.

Кроме того, такой подход позволяет отслеживать изменение результатов работы агентов на протяжении любого заданного времени и анализировать эффективность деятельности системы в целом.

Литература

1. НОВИКОВ Д.А. Теория управления организационными системами: вводный курс, 79 с.