CC BY
18
ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
_АЛИЕВ В.Г., ИЛЬЯГУЕВА М.А., ИЛЬЯГУЕВ П.М., АЛИЕВ М.А. *
МЕТОДИКА ИТЕРАЦИОННО-ИНТЕРАКТИВНОГО ПЛАНИРОВАНИЯ НА ОСНОВЕ МОДЕЛЕЙ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Предлагается методика итерационно-интерактивного планирования на основе совмещения методов линейного и принципов динамического программирования. Показано, что экономическая составляющая синергетического эффекта есть максимальное значение прибыли, вычисленной на последних итерациях метода. Приведена апробация методики на конкретной задаче оптимизации выпуска продукции машиностроительного предприятия.
_ALIEVV.G, ILJAGUEVAM.A, ILJAGUEVP. М, ALIEVM. А
TECHNIQUE OF ITERATSIONNO-INTERACTIVE PLANNING ON THE BASIS OF MODELS OF LINEAR PROGRAMMING The technique of iteratsionno-interactive planning on the basis of combination of methods linear and principles of dynamic programming is offered. It is shown, that the economic component synergetic effect is the maximum value of the profit calculated on last iterations of a method. Technique approbation on a specific target of optimization of output of the machine-building enterprise is resulted.
Ключевые слова: модель, итерационно-интерактивного планирования, методика, машиностроительные предприятия, синергетический эффект.
Рассматривается следующая постановка задачи. Производственное предприятие имеет набор ресурсов Ri (i =1, n), из которых требуется изготовить продукцию Pj Cj=1'm). Задано количество каждого вида ресурса bi(i=1'п)
и прибыль, получаемая от реализации единицы продукции, Cj(j=1'm), а также ограничения на выпуск продукции каждого вида.
Таблица 1
_Матрица исходных данных_
Ресурсы Продукция Запас ресурса
ац ai2 ац aim bi
а.21 агг a2j a2m b2
... ... ... ... ...
ап aa ay 3-im bi
... ... ... ... ...
ani аП2 anj anm b„
Прибыль Ci с2 Cj Cm
* Вычислительная часть работы выполнена с участием Сулейманова С.К.
Особенностью постановки задачи является неравномерность запаса ресурсов, что приводит к возникновению «узких мест» в ресурсном обеспечении производства, которые не позволяют эффективно использовать весь набор ресурсов. Предприятие располагает финансовыми средствами, которые могут быть использованы для «расшивки узких мест», т. е. приобретения дефицитных ресурсов.
Цель решения задачи - получение максимального значения экономической составляющей синергетического эффекта, под которым будем понимать максимальное значение прибыли от реализации продукции. Исходные данные задачи можно представить в виде матрицы (см. таблица 1).
В основе методики планирования - решение двойственной пары задач линейного программирования, которые имеют вид:_
Прямая задача Двойственная задача
£ b (i=1 n) j=1 x ^0 (j=1m) > С7 (7 = 1 т) г=1
у > 0 ( = й)
m max — F = ^ cjxj j=1 тт — Ф = Х Ъу 1=1
Здесь:
Х| - план выпуска 7-го вида продукции;
У! - двойственные (теневые) оценки 1-го вида ресурса;
ау - количество ^ вида ресурса, используемого для выпуска единицы Р| продукции;
Б - суммарная прибыль от реализации продукции;
Ф - относительная суммарная стоимость всего запаса ресурсов.
В основе предлагаемой методики итерационно-интерактивной системы планирования лежат два основных следствия из теорем двойственности [1]:
1. Если двойственная оценка ^ ресурса, полученная в результате решения прямой и двойственной задач линейного программирования, равна нулю, то этот ресурс является дефицитным.
2. Существуют такие значения приращения параметров - правых частей системы ограничений прямой задачи линейного программирования, при которых соблюдается устойчивость полученного решения.
Суть итерационно-интерактивного планирования состоит в определении плана выпуска продукции с использованием модели линейного программирования, выделении теневых оценок и определении дефицитных ресурсов, принятии решения о дополнительном приобретении этих ресурсов - «расшивка узких мест», и дальнейших расчетах планов выпуска продукции.
Таким образом, методика итерационно-интерактивного планирования на основе модели линейного программирования состоит из следующих этапов:
1. Сбор и статистическая обработка исходных данных.
2. Представление данных в табличной форме.
3. Формализация задачи - построение модели линейного программирования.
4. При необходимости - введение в систему ограничений модели дополнительных ограничений - минимальное количество планируемых к выпуску объемов продукции каждого вида.
5. Выполнение ¿-той итерации г(1, п) - решение задачи симплекс-методом. Результатом является нахождение оптимального плана выпуска продукции и прибыли от ее реализации, а также двойственных (теневых) оценок каждого вида ресурса.
6. Выделение двойственных оценок ресурсов, не равных нулю - дефицитные ресурсы, и нахождение для них допустимого увеличения количества ресурсов, при которых соблюдается устойчивость полученного решения.
7. Принятие решения о повышении значения допустимого увеличения количества ресурсов, для которых двойственные оценки не равны нулю, на величину, определяемую либо нормативными документами, или на основе экспертных оценок.
8. Если разница в полученных решениях двух соседних итераций - оптимальной прибыли и количества выпускаемой продукции - на 7-ом шаге не
больше некоторых наперед заданных значений eк (к ' ), где l - количество вычисляемых показателей, то переход к пункту 9. В противном случае - к пункту 5.
9. Оценка закона изменения прибыли как функции номера итерации. Для этого следует:
9.1. Составить двухмерный массив - прибыль «Р» и номер итерации «i» и найти зависимость P(i).
9.2. Экспериментальные исследования показали, что эта зависимость определяется экспоненциальной кривой с зоной насыщения и определяется выражением:
p(i)=4 - в-«)
при да > i >1, где:
i - номер итерации;
а - некоторая константа;
е - основание натурального логарифма;
А - асимптотическое значение функции;
Р - планируемая прибыль на i-той итерации.
9.3. Вычисления выполняются на ограниченном горизонте планирования, т.е. практически i < х>.
9.4. Для определения параметров «А» и «а» можно использовать стандартную офисную программу EXCEL, предварительно разложив экспоненту ет выражения (1) в ряд Тейлора и получив оценки параметров полинома, затем найти искомые значения «А» и «а».
9.6. Асимптота функции Р(г), равная «А», определяет значение синерге-тического эффекта как максимального значения прибыли задачи линейного программирования, вычисленной на последних итерациях.
Данная методика может быть использована как в динамическом режиме, так и в статическом.
Динамическое итерационно-интерактивное планирование предполагает последовательное во времени нахождение оптимального плана и его реализацию, затем выявление узких мест и приобретение дефицитных ресурсов, расчет планов на следующем шаге и их реализацию, и т.д.
Статическое итерационно-интерактивное планирование предполагает выполнение всех расчетов до пункта 8 методики и только затем реализацию полученного оптимального плана.
Как в статическом, так и в динамическом режиме прекращение вычислений осуществляется тогда, когда остатков сырья каждого вида становится меньше их потребностей для любого вида планируемого к выпуску продукта. Пункт 9 методики, определяя закон изменения Р(г), оценивает асимптоту, к которой приближается Р(г), при количестве итераций «¿», стремящихся к бесконечности. Значение асимптоты - это точка «А» на рисунке 1. Она определяет экономическую составляющую синергетического эффекта. Разница между синергетическим эффектом, рассчитанным с учетом значения асимптоты Р(п) и значения прибыли на шаге «¿», определяет его отклонение от истинного значения.
Особенностью итерационно-интерактивного динамического планирования является фактическое совмещение двух методов: линейного программирования, реализуемого на каждом шаге вычислений, и динамического программирования, позволяющего осуществлять оптимальное планирование управляемых процессов, т. е. процессов, на ход которых может целенаправленно влиять - интерактивное управление. В данной постановке задачи весь процесс планирования разбивается на отдельные шаги и на каждом из них находится оптимальное значение плана. В результате после реализации очередного шага выбираются такие параметры модели, которые обеспечивают оптимум на следующем шаге и т. д. Таким образом, планирование, осуществляемое за все «п» шагов, окажется оптимальным.
Переход от /-го к ¿+1 шагу осуществляется по следующей схеме. Правые части системы ограничений определяются как разница ресурсов, используемых после реализации ¿-ой итерации. Для дефицитных ресурсов, определяемых теневыми оценками, их значения принимаются в соответствии с п. 7 методики итерационно-интерактивного планирования.
В отличие от динамического статическое итерационно-интерактивное планирование предполагает правые части системы ограничений задачи линейного программирования постоянными, равными исходным значениям, за исключением дефицитных ресурсов, для которых следует расшивать узкие места в соответствии с указанным выше пунктом 7.
Данный подход нами был рассмотрен применительно к промышленному предприятию «Дагдизель» Республики Дагестан, выпускающему дизеля марок 8Д6, АП 16 и ДС 25. Были собраны и проанализированы основные технико-экономические данные по данному виду производства. Они были обобщены и представлены в таблице 2.
Таблица 2
Основные технико-экономические показатели по дизельному производству
Ресурсы Марки дизелей Запасы ресурсов в натуральном выражении
8Д6 Х1 ДС 25 Х2 АП 16 Х3
Черный мет. (кг) 206,42 205 500,66 152029,71
Цвет. мет. (кг) 37,42 29,84 25,19 16043,5
Электротехническая продукция (кг) 0,18 1,45 36,4 5784,5
Электротехническая продукция (м) 0 12,19 173,86 28780,4
Токарные работы, н/ч 62 60 107 41472
Сверлильные работы, н/ч 55 33 80 13824
Шлифовальные работы, н/ч 23 18 65 22464
Автоматно-револьверные работы, н/ч 32 30 51 15552
Фрезерные работы, н/ч 30 25 81 20736
Прибыль, руб 46499 28601 80130
На основании данных таблицы 2 была построена экономико-математическая модель по критерию максимума суммарной прибыли. Цель исследования модели - определение количества выпускаемых дизелей каждого вида. Для построения модели введем следующие переменные: х1 - планируемое к выпуску количество дизелей марки 8Д6;
х2 - планируемое к выпуску количество дизелей марки ДС 25;
х3 - планируемое к выпуску количество дизелей марки АП 16.
Тогда экономико-математическая модель будет иметь вид:
206,42х + 205х2 + 500,66хз < 152029,71 37,42х1 + 29,84х2 + 25,19х3 < 16043,5 0,18х1 +1,45х2 + 36,4х3 < 5784,5 0х1 +12,19х2 +173,86х3 < 28780,4 62 х1 + 60 х2 +107 х3 < 41472 55х1 + 33х2 + 80х3 < 13824 30х1 + 25х2 + 81 х3 < 20736 23 х1 +18 х2 + 65 х3 < 22464
32х1 + 30х2 + 51 х3 < 15552
х1 >0; х2 >0; х3 >0
тах - Б = 46499х1 + 28601х2+ 80130хэ,
(2)
(3)
(4)
где (2) - система ограничений задачи.
(3) - условие неотрицательности переменных.
(4) - целевая функция.
Поставленная задача была решена, с использованием симплекс-метода.
Основные результаты расчетов приведены в таблице 3 - отчет по устойчивости.
Анализ полученных результатов показывает, что суммарная прибыль равна 13 680 563,1 рублей, при этом предприятию целесообразно выпускать дизеля ДС 25 в количестве 37,259 штук - х2; дизеля АП 16 в количестве 157,431 штук - х3; дизеля типа 8Д6 - х1 - выпускать нецелесообразно. Следует отметить, что дробная часть в планируемом количестве дизелей определяет процент незавершенного производства. Так, для дизелей марки АП16 процент незавершенного производства составляет 43,1% от одного дизеля.
Таблица 3
Отчет по устойчивости
№ Ресурсы Использованные ресурсы Теневая цена Ограничение (правая часть) Допустимое увеличение Остатки ресурсов
1. Черн.металл.(кг), левая часть 86457,3 0 152029,71 1Е+30 65572,4
2. Цветн.металл.(кг), левая часть 5077,5 0 16043,5 1Е+30 10966,0
3. Эл-техн.прод.(кг), левая часть 5784,5 328,24 3 5784,5 217,698 0
4. Эл-техн.прод.(м), левая часть 27825,1 0 28780,4 1Е+30 955,3
5. Труд.рес.(ток.обр) (н/ч), левая часть 19080,6 0 41472 1Е+30 22391,4
6. Труд.рес.(сверл.обр) (н/ч), левая часть 13824 852,27 4 13824 5410,313 0
7. Труд.рес.(фрезер.обр) (н/ч), левая часть 13683,4 0 20736 1Е+30 7052,6
8. Труд.рес(шлиф.обр) (н/ч), левая часть 10903,7 0 22464 1Е+30 11560,3
9. Труд.рес.(авт-рев.обр) (н/ч) левая часть 9146,7 0 15552 1Е+30 6405,3
Рассмотрим, как используются ресурсы. Двойственные оценки электротехнической продукции в кг не равны нулю. Значит, этот ресурс используется полностью и он дефицитен.
То же самое можно утверждать относительно сверлильных работ. Остальные все ресурсы, как это следует из таблицы (3), не являются дефицитными и используются не полностью в оптимальном плане.
Таким образом, как это следует из отчета по устойчивости, узкими местами являются третья и шестая позиции таблицы 3. Недостаток этих ресурсов не позволяет увеличить план выпуска продукции. Это возможно только в том случае, если дополнительно наличные ресурсы увеличить на величину, превосходящую показатель допустимого увеличения. Так, для позиции 3 (таблица 3) новое количество ресурсов должно быть больше, чем 5784,5 + 217,7. Для сверлильных работ количество нормо-часов должно быть увеличено на число, превосходящее сумму 13824 + 5410,3. Показатель увеличения определяется нормативными документами или экспертными оценками специалистов, как правило, эта величина не превосходит 10% от показателя допустимого увеличения. Таким образом, имеем возможность перейти к выполнению второй итерации, т.е. решению задачи симплекс-методом при других значениях ограничений позиций 3 и 6 ( см. таблица 3).
Ее основные показатели: максимальная прибыль - 18 399 622,9 рублей, количество планируемых к выпуску дизелей 8Д6 - 93,440 шт., ДС25 - 34,382 шт., АП16 - 163,127 шт. При этом дефицитными ресурсами становятся позиции 4, 5 и 7 (см. таблица 5).
По данной методике для указанного производства нами был сформирован план выпуска дизелей, определенный 192 итерациями. Полученные конечный и промежуточные результаты расчетов частично представлены в таблицах 4 и 5.*
* Вычисленные значения параметров на последних трех итерациях отличаются величиной, определяемой седьмым знаком после запятой. Поэтому различие результатов этих итераций не отраженно в таблицах 4 и 5.
Таблица 4
Результаты расчетов по итерациям
№ п/п Прибыль, руб. Марки дизелей Допустимое увеличение дефицитного ресурса Допустимое увеличение дефицитного ресурса Допустимое увеличение дефицитного ресурса
8Д6, Х1 ДС 25, Х2 АП 16, х^
1 2 3 4 5 6 7 8
1. 13680563,1 0 37,259 157,431 217,7 5410,3
2. 18399622,9 93,440 34,382 163,127 41 981,2 5258,5
3. 22894480,8 182,159 45,976 163,601 163,6 840,9 1440,0
4. 23712004,1 194,396 41,220 168,399 49,1 238,2 418,4
5. 24150676,8 210,847 23,436 170,674 18,9 242,6 69,6
6. 24376676,1 223,346 7,052 172,089 6,6 73,0 24,3
7. 24446674,6 226,715 2,829 172,516 0,6 29,3 2,2
8. 24479505,7 229,023 0 172,596 1781,8 4,9
9. 25662728,9 298,776 0 146,885 853,8 10,5
10. 25846708,9 258,403 0 172,609 4,25 8,0
50. 27103059,1 275,192 0 178,546 8,2 10,2
51. 27122838,2 275,191 0 178,793 14,3 0,08
52. 27133623,2 275,419 0 178,795 15,5 3,1
53. 27139442,9 275,590 0 178,768 11,4 7,4
54. 27149193,3 275,457 0 178,968 41,2 8,3
55. 27166022,1 275,994 0 178,866 15,4 16,7
80. 27443977,6 278,525 0 180,866 28,0 6,2
81. 27453492,8 278,675 0 180,897 6,9 4,8
82. 27459471,9 278,583 0 181,026 2,5 2,5
83. 27463467,2 278,680 0 181,019 13,9 2,8
84. 27474424,7 278,784 0 181,096 3,5 0,7
85. 27480071,9 279,079 0 180,995 11,0 5,9
100. 27627449,6 280,698 0 181,894 2,1 5,9
101. 27637246,6 280,954 0 181,868 15,7 3,1
102. 27649597,7 281,074 0 181,953 13,3 2,7
103. 27658169,7 281,434 0 181,851 10,9 8,7
104. 27667831,5 281,238 0 182,085 23,8 5,2
105. 27677449,7 281,521 0 182,041 15,8 6,7
106. 27690441,2 281,492 0 182,220 1,9 2,5
190. 28123415,2 287,364 0 185,641 0,02 0,43
191. 28123415,2 287,364 0 185,641 0,02 0,43
192. 28123415,2 287,364 0 185,641 0,02 0,43
Таблица № 5
Показатели использования ресурсов _по итерациям_
№ п/п РАЗНИЦА НА ИТЕРАЦИИ
ИТЕРАЦИЯ Черн.металл .(кг) Цветн.металл (кг) Эл-техн.прод.(кг) Эл-техн.прод.(м) Труд.рес.(ток.обр) (н/ч) Труд.рес.(сверл.обр ) (н/ч) (ь/н) ('(1Э£Э(1ф)'ЭЭ(М7'А(1х Труд.рес (шлиф.обр) (н/ч) Труд.рес. (авт-рев.обр) (н/ч)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1. 65572,3 10966,0 0 955,3 22391,3 0 7052,6 11560,3 6405,2
2. 44022,1 7411,8 0 0 16161,1 0 3860,0 9092,7 3211,0
3. 23095,1 3734,0 0 776,4 9914,3 0 870,1 488,9 488,9
4. 19141,5 3297,2 0 0 8927,4 0 233,2 6305,0 1006,3
5. 18252,0 3155,0 0 71,1 8731,0 0 0 6098,7 897,3
6. 18322,1 3140,4 0 24,8 8787,7 0 0 6014,2 916,7
7. 18279,2 3129,7 0 2,2 8786,6 0 0 5985,0 913,9
8. 18342,6 3125,7 5,7 22,8 8804,7 0 0 5977,7 920,8
9. 16816,7 1163,2 929,1 4492,9 7231,1 20,4 88,7 6044,6 914,8
10. 12271,3 2026,0 0 20,5 6981,7 183,0 7,5 5301,0 0
50. 5833,6 1248,2 56,0 43,3 5305,6 19,7 0 4529,0 0
51. 5710,0 1242,0 46,8 0,4 5279,2 0 0 4513,0 7,4
52. 5661,8 1233,4 46,7 0 5264,8 7,2 3,0 4507,6 0
53. 5639,8 1227,7 47,7 34,6 5257,1 0 0 4505,4 5,8
54. 5567,6 1227,6 40,4 0 5244,0 21,4 7,8 4495,5 0
55. 5507,7 1210,1 44,0 77,7 5221,6 0 0 4490,0 8,0
56. 3984,0 1065,0 5,8 0 4850,7 10,7 7,0 4301,6 0
57. 3937,1 1058,6 4,6 34,5 4838,0 0 0 4296,0 3,5
58. 3892,0 1059,8 0 12,1 4830,0 4,8 2,3 4290,8 0
59. 3875,2 1055,3 10,2 13,3 4824,7 0 0 4288,0 7,2
60. 3815,4 1049,5 7,4 0 4810,0 8,1 0,6 4280,7 0
61. 3805,0 1041,0 11,0 27,5 4802,5 0 0 4280,4 5,6
100. 3020,3 958,0 0 10,1 4606,9 12,0 5,5 4184,7 0
101. 2980,6 949, 0 13,0 14,7 4592,8 0 0 4180,5 8,1
102. 2913,5 942,2 1,0 0 4576,3 11,6 2,5 4172,3 0
103. 2890,2 931,3 13,4 40,6 4565,0 0 0 4170,6 5,6
№ п/п РАЗНИЦА НА ИТЕРАЦИИ
К Я а < ч £ ^ ч 4 « н <и ^ 5 ^ & ч о а с ч о а с а ю О _ а ю Ч а <и со -о о __ .Г а <и еп <и а и & ¡и ю а ® о 'а « о V ® ^ И Т н- <и
и н Я ЕЁ ^ а <и V Я ^ н <и а Ц ЕЁ И <и н 1 Ч И и н 1 ч а ч ^ а Т о 3 <и а £ а Т <и а Ч ^ а Т 1 Н и (Я
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
104. 2813,4 932,8 4,9 0 4552,0 12,0 5,0 4160,0 0
105. 2777,1 923,3 6,5 40,6 4540,0 0 0 4156,3 8,2
106. 2693,5 920,0 0 9,5 4521,8 12,3 2,3 4145,3 0
190. 142,3 12,1 0 0,12 147,2 0 0 212,6 0,17
191. 142,3 12,1 0 0,12 147,2 0 0 212,6 0,17
192. 142,3 12,1 0 0,12 147,2 0 0 212,6 0,17
Итерационные расчеты показали, что для данной задачи может иметь место не более трех видов дефицитных ресурсов на каждом шаге. Это отражено в таблице 4 столбцами 6, 7 и 8. Таблицы 4 и 5 информационно связаны между собой. Так, для первой итерации имеют место два дефицитных ресурса с показателями допустимого увеличения, которые представлены в позициях 6 и 7 таблицы 4. Какие это ресурсы, видно из таблицы 5. Им соответствуют позиции 4 и 7 таблицы 5, т.е. это электротехническая продукция (кг) и сверлильная обработка (н/ч). Элементы таблицы 5 первой строки 4 и 7 столбцов равны нулю. Данные таблицы 5 следует понимать следующим образом. Это есть остатки ресурсов, если будет реализована соответствующая итерация. Нулевые значения, как уже было отмечено, соответствуют дефицитным ресурсам, при этом рассматривается их последовательность слева направо, как в таблице 4, так и в таблице 5.
Таблица 4 определяет на каждой итерации основные показатели оптимального плана, т.е. максимальную прибыль, планируемую к выпуску количества дизелей каждой марки и показатели для каждого вида дефицитных ресурсов. Анализ результатов пошаговых вычислений показывает увеличение максимального значения прибыли с ростом номера итерации.
Кроме того, из таблицы 5 видно уменьшение с ростом номера итерации избыточных ресурсов. Это черные и цветные металлы, количество нормо-часов токарной, шлифовальной и частично автоматно-револьверной обработки.
Для данной задачи нами были выполнены вычисления в количестве 192 итераций, что обеспечило значение целевой функции на последних трех шагах, равное 28 123 415,2 рублей, количество дизелей 8Д6 - 287,364 шт., ДС25 -0 шт., АП16 - 185,641 шт.
Построенная по вычисленным данным функция Р(/) в соответствии с выражением (1) определенна следующим значением параметров: А~28,11765; а ~ 0,1428, что соответствует постоянной времени Т = 1/ а ~ 7.
Рассматривая возможные направления совершенствования метода следует в первую очередь отметить учет ограничений на финансовые ресурсы, используемые для расшивки узких мест, обоснование приобретения количества ресурсов сверх допустимого увеличения и разработку специального программно-аппаратного комплекса, ядром которого должна являться программа симплекс-метода.
И в заключении отметим, что данный метод наряду с усовершенствованием методики оптимального планирования и оценкой экономической составляющей синергетического эффекта производства, может использоваться при построении комплекса материально-технического снабжения промышленного предприятия, включающего в себя информационную систему и подсистему логистического управления.
Литература
1. Юдин Д.Б., Гольштейн Е.Г. Линейное программирование (теория, методы и приложения). - М., 1969.
2. Теория организации: Учебник для ВУЗов / Минобразование РФ; под общ. ред. В.Г. Алиева - 4-е изд., стереотип. - М.: ЗАО «Издательство «Экономика», 2006. - 431 с.
3. Орлова В.И. Экономико-математические методы и модели. Выполнение расчетов в сфере EXCEL. - М.: ЗАО «Финстатинформ», 2000. - 136 с.
