Методика исследования динамики многоповодковых механизмов стандартными вибродиагностическими приборами Текст научной статьи по специальности «Физика»

7. Айзерман, М.А. Классическая механика / М.А. Айзерман — М.: Наука. 1980, - 368 с.

8. Медведев. Б.В. Начала теоретической физики / Б.В. Мед-иоде и — М.: Наука. 1977. — 496 с.

9. Noll. W. Euclidean geometry and Minkowskian chronometry / W. Noll // Amor. Math. Monthly. - 1964. - №71. - P. 129-144.

10. Коробейников, C.H. Нелинейное деформирование твердых тел / С.Н. Коробейников - Новосибирск: Иэд-во СО РАН, 2000. - 262 с.

11. Новацкнй. В. Теория упругости / В. Новацкнй - М.: Мир. 1975. - 872с.

12. Победря, Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности / Б.Е. Победря — М.: Изд-во МГУ, 1995. — 366 с.

13. Корнеев. С.А, Термодинамические методы получения определяющих соотношений / С.А. Корнеев // Математ. моде* лир. систем и процессов. - 2005. — № 13. — С. 61-79.

КОРНЕЕВ Сергей Александрович, доктор технических наук, доцен т, заведующий кафедрой «Сопротивление материалов».

Статья поступили п редакцию 06.06.07 г.

© С. А. Корнеев

УДК 539.3 е. Г. ХОЛКИН

С. А. КОРНЕЕВ

Омский государственный технический университет

ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ ПРИ ВЫПУЧИВАНИИ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН____________________________

В статье приводится алгоритм численного исследования устойчивости равновесия системы прямоугольных пластин, составляющих тонкостенный профиль. Задача решается в упругой области, при шарнирном опирании двух противоположных граней и произвольном для остальных. Рассматривается задача для пластины, имеющей ребра жесткости, а также если пластина многократно изогнута на некоторый угол а (профнастил).

Введение

Задача устойчивости равновесия сжатой прямоугольной пластины широко применяется при оценке опасности выпучивания пластинчатых элементов тонкостенных профилей 11 ]. При этом используется модель пластины с линейными шарнирами по граням, перпендикулярным сжимающей нагрузке. Такая модель допускает разделение переменных методом Фурье и сводится к краевой задаче для системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. При простых краевых условиях, для симметричных пластин ступенчатой жесткости и в некоторых других случаях известны точные аналитические решения, а также приближенные решения на основе теоремы Лагранжа-Дирихле и методов Ритца, Бубнова-Галеркина и др. (2). Соответствующие результаты приводятся в справочной литературе (3].

Многообразие требуемых практически решений лишь частично перекрывается решенными задачами. Например, неизвестны решении для произвольной пластины со ступенчатой жесткостью, д\я пластины, многократно изогнутой под некоторым углом (проф-настил), для пластины, имеющей дефекты профиля и др. Круг решенных задач можно существенно расширить непосредственным численным интегрированием обыкновенных дифференциальных уравнений

и анализом устойчивости равновесия сжатой пластины на основе его результатов, например, с применением метода «неидеальностей» (4]. При этом единственными ограничениями являются линейный шарнир по сжимаемым граням и ступенчатое изменение жесткости. Соответствующий алгоритм рассматривается в настоящей работе. Алгоритм тестируется на известных решениях.

1. Математическая модель

Рассмотрим систему к прямоугольных пластин, составляющих профиль, толщина каждой из которых 1( мала по сравнению с размерами сторон. Длина всех пластин в направлении мембранных нагрузок равна а (рис.1а).

Изгиб пластины при потере устойчивости будем описывать с помощью обычных классических допущений теории изгиба тонких пластин:

• Нормаль к недеформированной срединной поверхности при изгибе пластины не искривляется и остается нормалью к деформированной срединной поверхности;

• Нормальные напряжения в плоскостях, параллельных срединной поверхности, пренебрежимо малы;

• Срединная поверхностьиерастяжима;

• Мембранные усилия постоянны ввиду отсутствия касательных составляющих внешних нагрузок.

Начало декартовой системы координат расположим на срединной поверхности каждой пластины: оси х всех пластин параллельны и их направление совпадаете направлением действия внешних мембранных сил, оси улежат в одной плоскости, а ось/. — перпендикулярна срединной поверхности пластины до деформирования (рис.1). Перемещение точки по оси г обозначим \У, но оси у - V.

Прогиб пластины толщиной 1|Г сжатой по торцам погонными мембранными силами ох(у)-1,, под действием мембранных усилий и поперечной изгибающей нагрузки (давления) я(х, у) описывается уравнением

О,

+ 2д*Щ

Зх4 дх.2дуг ду*

-I.

где О, =

Ні.

- жёсткость пластин при изгибе.

12(1 -ц2)

Для описания условий сопряжения системы пластин в профнасгиле дополнительно сформулируем математически два последних допущения;

дУ,

ду

дК,

ду

= 0

= 0

(2)

(3)

Здесь Гч', — мембранное усилие вдоль оси у.

Для описания условий опирания и сопряжения пластин. Будем использовать выражения для погонного момента и поперечной силы.

Выражения для момента:

.. _ . д2у/ а2\ч)

М„ = -О' ц-------— + ——

' |Н ах; ду*,

Для поперечной силы:

'д*ун

Эу1 + ду2

(4)

(5)

Условия опирания вдоль оси у обычные для шарнира, защемления и свободного края (рис. 1).

Силовые условия сопряжения пластин вдоль оси у (рис. 2);

М„, = М1, О,,, =0,со8а,+іЧ15іпа1І

Ы,., = І^.сояа, - О, він а,.

(6)

Кинематические условия сопряжения пластин вдоль оси у (рис. 3);

, = Масова,-V, эта,,

ду ду

V,., = У,со8а( + \іУ,$іпа,.

(7)

*

X;

ТТТтТтТТ

X,

11 1 11.1 I

тт

Г

/

/

/

/

/

тт

Защемление

7~7-7

Шарнирное опирание

Свободный край

Рис. I а) Схема нагружения б| Условное обозначение закрепления

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ МСТНИК М»2 (56) 2007 МАШИНОСТРОЇНИЕ И МАШИИОМДЇНИЇ

МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ

2. Преобразование модели в систему обыкновенных дифференциальных уравнений

Применим метод Фурье для линейного шарнира при х = 0 их = а:

^(х,у) = Ум(у)-8іп М,(х.у)вп,(у)-8іп Ч(Х.у) = У,(у)5ІП

пях

І

а

п-я-х

а

п-я-х

(8)

13 качестве возмущения выберем

. ... п-я-х

Ч<Х.у) = ч(у) БШ-----

(9)

После разделения переменных и некоторых преобразований из (1)получаем

п . _ _Ч(У)_ПхМ 6уА “П‘ 4у2 ' и О. ' ,(У|* (1а)

где

-“•=■(¥)' ■'■(т)'-И(т)’

Заменим (1 а) системой дифференциальных уравнений первого порядка. Аналогично преобразуем (2), (3). Получаем для каждой пластины следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

ау

ау2,

ду

млл

ду

<ду4,

йу

<ІП|

<1у (1у, ду

= УХ1

= ПУХ|-с,-У„ + Г,(у) = 0 = 0

(101

Система (10) может быть проинтегрирована численно, например, методом Эйлера, при соответствующих граничных условиях (рис. 1 б) и условиях сопряжения

Жесткая заделка:

Ve0.Wa0.-a0

ду

откуда У, = 0, Уг = 0, V = 0.

Линейный шарнир:

У = 0.\У = 0.М, =0,

откуда У, = 0, Уа = 0, V = 0. Свободный край:

Рис. 3. Кинематические условия сопряжения пластин

откуда

п = 0, -И—І’-У. + У^О. У«-(—)1 У, = 0.

д с!

Свободная заделка:

V = 0, О =0,^ = 0 ду •

гс - п а

откуда V а о. У,-(—);У2 = 0,У,=0. а

Силовые условия сопряжения:

ЯП

(6а)

О..,

эта,

п,.. = п.сова

Кинематические условия сопряжения:

Уии = Уі..со«(а.)-у.«іп(а,) уИІау|с<м(аІ)+Уи8іп(аІ) Угі.і =Уї.і

(7а)

N = 0, Му =0, Оу =0.

Система всегда замкнута и количество граничных условий и условий сопряжения равно бк.

3. Численое решение задачи определения критических напряжений

Алгоритм определения критической нагрузки заключается в следующем:

• Сисгема уравнений (9) интегрируются при некотором малом возмущении ч(у) и соответствующих граничных условиях и условиях сопряжения пластин.

• Интегрирование проводится при фиксированном значении напряжения ах или параметра (кс), определяющего величину о,(у) и вычисляется перемещение V*.

Рис. 2. Силовые условия сопряжения пластин

Рис. 4. Диаграмма равновесных состояний

Кт1п

о.

Рис. 5. Влияние угла а на коэффициент К Таблица 1

Условия закреплении пластин Значение коэффициента К

численно аналитически

Линейный шарнир по контуру пластины 4 4

X =0 - защемление. X - а - линейный шарнир 8.61 7

X - 0 - защемление. X = а - свободный край 1.22 1,34

Линейный шарнир по контуру пластины, ребро жесткости по середине 7.48 7,58

• Последовательным интегрированием, с возрастающим значением параметра, строится диаграмма равновесных состояний '^пмк(кв). Пример диаграммы для одиночной пластины с размерами, а/Ь = 2 и толщиной I = 0,4 мм, шарнирно закрепленной по контуру и сжатой равномерно (кв= аж), приведен на (рис. 4).

• Асимптота диаграммы равновесных состояний определяет критическое значение напряжения аХ1ф или параметр кс, определяющий величину а, (у).

4. Результаты тестирования алгоритма

Тестирование проводилось сравнением результатов расчетов с результатами аналитических решений:

- для различным образом опертой одиночной пластины,

- для пластины с симметрично расположенными ребрами жесткости,

- на профиле ступенчатой жесткости при а = 90*.

В справочной литературе |3| приводится формула

для определения критических напряжений

где К - коэффициент, зависящий от условий закрепления граней пластины. В результате расчетов по тестируемому алгоритму вычислялся коэффициент К и сравнивался с полученным аналитически.

Результаты сравнения коэффициентов К приведены в таблице 1.

Анализировалось влияние угла а на устойчивость тонкостенного профиля. Результаты расчетов К для пластины постоянной толщины при к = 5 с шарнирным опиранием но контуру и сх, = 0, а2=а, а, = 0, а4 = -а, а, =0 представлены на рис. 5. При а'->90° результат, как и следовало ожидать, приближается к значению с ребром жесткости по середине пластины.

Заключение

Предложена методика численного анализа устойчивости равновесия сжатого профиля, составленного из прямоугольных пластин. Алгоритм основан на численном итерировании системы обыкновенных дифференциальных уравнений при соответствующих краевых условиях и условиях сопряжения пластинчатых элементов. Результаты тестирования хорошо совпадают с известными аналитическими решениями для отдельных пластин и простых профилей. Методика применима при оценке опасности выпучивания пластинчатых элементов тонкостенных профилей при произвольном законе изменения мембранных усилий, закрепления боковых торцов, сопряжения пластин.

Библиографический список

1. Блейх. Ф. Устойчивость металлических конструкций: • М.: Наука. 1959 г. 476 с.

2. Тимошенко, С П, Устойчивостьупругкхсистем / В.З. Власов • М.: ОГИЗТОСТПХИЗДЛТ. 1946. • 531 с.

3. Справочник проектировщика расчетно-теоретический / А.А-Уманскнй / в Зт. - М.: Стройиздат. 1973, Т.2.- 416с.

4. Ллфутов И. А., Колесников К.С. Устойчивость движения и равновесия. Учебник для вузов / К.С. Колесников - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2003. - 253 с.

ХОАКИН Евгений Геннадьевич, аспирант кафедры «Сопротивление материалов».

КОРНЕЕВ Сергей Александрович, доктор технических наук, доцент, заведующий кафедрой «Сопротивление материалов».

Статья поступила в редакцию 11.07.07 г.

© Е. Г. Холкин, С. А- Корнеев

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК » 2 <5« 2007 МАШИНОСРОЕНИ1 И МАШИНОИДСНИ!

УДК 621.9.06:531.3

В. А. ГАВРИЛОВ А. Г. КОЛЬЦОВ Д. А. СПИРИДОНОВ

Омский государственный технический университет

ОАО «Газпром», Ямбург

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ МНОГОПОВОДКОВЫХ МЕХАНИЗМОВ СТАНДАРТНЫМИ ВИБРОДИАГНОСТИЧЕСКИМИ ПРИБОРАМИ_________________________________

В статье рассматривается методика определения динамических характеристик многоповодковых механизмов (в частности, платформы Стюарта) с помощью вибродиагностического прибора СК-1100. Представлен пример определения собственных частот платформы Стюарта.

Расширение области применения механизмов с параллельной структурой в машиностроении [1,2 и др.] ставит задачи но разработке рекомендаций для их проектирования. Для разработки рекомендаций необходимы результаты исследований поведения данных механизмов в условиях близких к реальным. В данной работе рассматривается пример определения динамических характеристик механизмов параллельной структуры.

Определение динамических характеристик механизма осуществляем с использованием виброколлек-гора СК* 1100 по описанной ниже методике. Динамические характеристики конструкций могут быть приближенно определены из записей их колебаний под воздействием нагрузки сопоставимой с эксплуатационной. При помощи эксцентрикового возбудителя колебаний (рис. 1), задающего гармонические вынужденные колебания в переходном режиме при пуске (остановке), частота меняется в широком диапазоне, что позволяет определить значения собственных частот и резонанса. Кроме этого, для определения собственных частот использовался способ мгновенного приложения нагрузки, когда колебания возбуждаются уларом.

Одной из важнейших характеристик возбудителя, определяющей величину возбуждающей силы, является кинетический момент: М к = £ т,г, ■ где т1г1 - кинетический момент массы /л,„ расположенной с эксцентриситетом гу, относительно оси вращения.

Зная кинетический момент Мк, для каждой частоты о), определяем амплитуды возмущающей силы Р1 и Рг. Далее вычисляем амплитудно-частотные характеристики А(м)/Р(о))=((о)) илиЛ(а>)/М(а>)=(,(«)), гдеА(<о) — амплитуды колебаний конструкции по определенной форме; Р(а>) и М(а>) — амплитуды возбуждающей силы и возбуждающего момента.

Процесс динамического испытания механизма методом вынужденных колебаний осуществлялся ступенчатым изменением числа оборотов эксцентрикового возбудителя и записи показаний (временной реализации - формы волны (рис. 3), фиксируемой

Рис. 1. Схема ненаправленного возбудителя Р^шгш’віпсої; Р = шгго’со^©*

Рис. 2. Виброколлектор СК-1100, нижнее положение платформы, соответствующее наибольшей жесткости

акселерометром виброколлектора (рис. 2), с последующей обработкой данных программным обеспечением «Виброанализ 2.52». Временная реализации представляет собой развернутую во времени картину ко-

Рис. 4. Частотный спектр

--•І

1Ш икс

Рис. 5. Резонансная частота (собственная чистота платформы и положении наименьшей жесткости)

Ч*сг>т*.Г«

лсбательного движения. По внешнему виду формы полны можно приближенно представить себе тот процесс, который протекает при нагружении конструкции. Так, например, когда амплитуда колебаний претерпевает резкие изменения, э го указывает на то, что действуют силы ударного характера. Незначительность изменения величины амплитуды и неясное выражение закономерности ее изменения указывает на стабильность интенсивности динамической на-

грузки. Явление резонанса характеризуется резким изменением амплитуды с сохранением ее максимального значения в определенное время на переходном режиме. Для определения возмущающей частоты и периода колебаний, необходимо рассмотрение временной реализации с отметкой времени.

По полученной временной реализации, можно определить вынужденную частоту и период колебаний. На (рис. 3), период колебаний частоты: Т = 1/л «0,038 с,

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ІІСТНИК № 2 (М> 2007

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВССТИИК М* 2 <54) гоо?

и

____________т----------------------------т--------,---------,--------т---------т---------------------------,---------т--------Л

660 7Ш ЛИ вОО 860 900 950 1003 1050 1100 11ЬС 1200 1?50 Вжм» м:

Рис. 0. Форма иолны под действием ударной нагрузки. Платформа в положении наибольшей жесткости

CK3.132U.Wc

Рнс. 7. Форма волны под действием ударной нагрузки. Платформа в положении наименьшей жесткости

( = 1/7*26Гц, где п - число волн, укладывающихся в I секунду, /—возмущающая частота.

Для механических колебаний рассматриваемых во временной области, важной составляющей является зависимость их амплитуд от времени (временное развитие). Зависимость амплитуд механических колебаний может бы ть описана математическими выражениями или статистическими функциями. Физической характеристикой механических колебаний в частотной области является распределение их амплитуд по частоте, г.е. их частотный спектр. Характеристики механических колебаний в этих двух областях связаны математически друг с другом. Эта связь описана преобразованием Фурье, заключающимся в том, что периодическая внешняя нагрузка

представляется в виде ряда:

Р(1)—а0+а ,0050)1+ а2со82л)1+...+Ь,8тй)1+ Ь.^п2оН+...,

где о — частота, соответствующая периоду 7возмущающей силы, ог=2гс/Т.

Коэффициенты разложения определяются по известным формулам теории рядов Фурье:

• Г а Г м г

вг„ =— \PftJdt' ау = — ^Р{1)сохк<а1сН Ьк = —^РЩзткШсИ

‘о ’ ‘ о ’ Тй

Смещение от действия переменной внешней силы Р(1), представленной в виде ряда Фурье, на основе принципа независимости действия сил равно сумме смещении, вызванных каждым из членов ряда и

определяемых по формулам:

х=Асох«)1 и Л=Р,/1т(р2 - (о-)1=А{Д где А - амплитуда вынужденных колебаний, тогда х = а0/с + а,со8а>1/с(1-о)*/р*) +

а2со52о)1/с(1-4со2/рг)+ ... + Ь|з1пй)1/с(1-о)2/р:г) +

4- Ь28т2о>1/ с( 1 -4(о*/р‘) +...

Амплитуда колебаний стремится к бесконечности при обращении в ноль знаменателя любого члена ряда, т. е. при й) = р; м = р/2; со = р/3 и т. д.

Таким образом, при негармоническом периодическом возбуждении резонанс возникает, когда частота любой к-й гармоники совпадает с собственной частотой колебаний системы: к о>=р(к= 1,2,3...).

В разложении силы Р(() в ряд Фурье некоторые коэффициенты могут оказаться равными нулю, соответствующих гармоник не будет и в выражениидля х. Решение задачи о колебаниях поддействием произвольной периодической нагрузки с помощью рядов Фурье целесообразно для выявления условий резонанса.

Этот способ вычислений реализован программно в современных виброанализаторах, позволяющих производить эти расчеты быстро и точно. Так, подвергнув быстрому преобразованию Фурье (БПФ) временную реализацию, представленную на (рис. 3), получим частотный спектр (рис. -1), на котором видна первая гармоника на частоте возмущающей силы 25.7 Гц (выше мы определили сё как «26 Гц) и все гармоники высшего порядка, а также значение амплитуды вынуждающей силы.

Для определения частоты собственных колебаний и логарифмического декремента исследуемой конструкции к ней прикладываем ударную нагрузку, что вызывает затухающие колебания (рис. 6 и 7). После обрабо тки полученной волны определяем частот)' и период собственных колебаний. При определении периода колебаний первые полуволны не принимаем во внимание, гак как на них оказывают влияние различные переходные процессы. Остальная часть волны подчиняется общей закономерности, и по ней можно определитьпериод колебания. На рис. 6, период собственных колебаний механизма, соответствующий его наиболее жесткому состоянию, равен Г=0,1/ 24«0,00416 с, где 0,1 с — отрезок времени, соответствующий двадцати четырем волнам, а собственная частота: f= 1/Т— 1/0,00416*240Гц. Аналогично вычис-

ляем собственную частоту для положения наименьшей жесткости (рис. 7) 7'= 0,1 /7=»0,0142 с, (=\/ ,

0,0142*70 Гц.

Более точно определить значение собственной частоты и амплитуды можно, подвергнув ВПФ временной реализации представленной на (рис. 7), в результате получим частотный спектр (рис. 5) с ярко выраженным всплеском на резонансной частоте 67,97 Гц (выше мы определили её как «70 Гц) и значением амплитуды.

По амплитудно-частотным характеристикам определяют резонансные частоты ( и соответствующие логарифмические декременты колебаний 6, например, для рис. 7 5 = тсЛ=0,1 где Д/— ширина резонансного пика на уровне 1/г/2от его наибольшего значения.

Таким образом, определен диапазон изменения собственных частот 70 — 240 Гц и логарифмический декремент затухания исследуемого оборудования. Выявленные собственные частоты колебаний, позволяют решить вопрос об эксплуатационных возможностях оборудования в конкретных условиях, поскольку для различных положений подвижной платформы они различны, а также можно оценить возможность работы механизма под теми или иными нагрузками с учетом резонансных явлений.

Библиографический список

1. Бушуеи В.В.. Холыпев И.Г. Механизмы параллельной сгруктуры н машиностроении // СТИ1!. - 2002. - N0 I. - С. 15-20.

2. Глазунов В.А., Колнскор А.Ш., Крайней А.Р. Пространственные механизмы параллельной структуры . -М.: Наука,

1991. -90с.

ГАВРИЛОВ Виктор Александрович, кандидаттехни-ческих наук, профессор, заведующий кафедрой «Металлорежущие станки и инструменты» Омского государственного технического университета (ОмГТУ). КОЛЬЦОВ Александр Германович, кандидат технических наук, доцент кафедры «Металлорежущие станки и инструменты» ОмГТУ.

СПИРИДОНОВ Дмитрий Анатольевич, ведущий инженер лаборатории вибродиагностнки ОАО «Газпром».

Статья поступила в редакцию 27.07.07 г.

© В. А- Гаврилов, А. Г. Кольцов, Д. А. Спиридонов

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ МСТНИК Н» 7 <И) 3007 МАШИНОСТРОСНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ