CC BY
48
УДК 004.9
МЕТОДИКА И ОПЫТ ОБУЧЕНИЯ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМЫ «ВЕБМАТЕМАТИКА 3»
Е. М. Воробьев, д. ф.-м. н., профессор Тел.: (495) 916-88-76, e-mail: emv@miem.edu.ru В. А. Никишкин, к. ф.-м. н., профессор, зав. кафедрой высшей математики Тел.: (495) 442-23-91, e-mail: VNikishkin@mesi.ru Московский государственный университет экономики, статистики и информатики
www.mesi.ru
The authors consider teaching maths by using Webmathematica 3 interactive electronic tutorials. The preliminary results of such teaching students of MESI are discussed.
Изложена методика преподавания дисциплины «Высшая математика» с использованием разработанных авторами интерактивных электронных учебных пособий системы «ВебМатематика 3». Обсуждаются результаты их применения в учебном процессе МЭСИ.
Ключевые слова: методика, интерактивное электронное учебное пособие, «ВебМатематика».
Keywords: methodology, interactive electronic tutorial, Webmathematica.
Введение
В работе рассматривается методика применения разработанных авторами интерактивных электронных учебных пособий для системы «ВебМатематика 3». Пособия содержат разделы: «Аналитическая геометрия» и «Дифференциальное и интегральное исчисление» дисциплины «Высшая математика». Обсуждается также опыт их применения для обучения студентов МЭСИ. Рассматриваемые пособия размещены на сервере http://webmath.mesi.ru.
В настоящее время система математических вычислений «Математика» [1] широко используется как в отечественных, так и зарубежных учебных заведениях. В списке книг, изданных в 2007 году американским издательством CRC Press, из 67 книг по математике и ее приложениям 17 книг, т. е. 25%, используют в своем изложении системы Mathematica, MatLab, Maple и др. Можно считать поэтому, что методика применения пакета «Математика» для преподавания математических дисциплин достаточно хорошо разработана [2].
Система «ВебМатематика» [3] является веб-интерфейсом для «Математики». Она обеспечивает проведение математических вычислений на сервере по данным, введенным пользователем со своего браузера и пе-
реданным на сервер через Интернет. При обучении математическим дисциплинам с помощью «ВебМатематики» используются электронные учебные пособия, снабженные программами проведения символьных, графических или численных расчетов.
Следует отметить, что с помощью «ВебМатематики» нельзя получить непосредственный доступ к вычислительной машине «Математики». Можно выполнять только те команды, которые содержатся в теле ИТЫЬ-форм и данные для которых пользователь впечатывает в поля ввода этих форм. Таким образом, на каждой вебстранице пользователю доступен лишь относительно небольшой набор команд. Это существенно ограничивает гибкость использования «Математики» и требует создания новой методики преподавания.
В МЭСИ на кафедре Высшей математики научные и методические работы по применению систем «Математика» и «ВебМатемати-ка» для преподавания дисциплин «Высшая математика», «Дифференциальные уравнения» и других были начаты в 2001 году. Результаты исследований и методика применения этих систем нашли свое отражение в кратких публикациях авторов [4-9].
Технология как совокупность приемов и методов создания интерактивных электронных учебных пособий для «ВебМатема-тики» изложена в публикации [10].
1. Краткая характеристика системы «ВебМатематика»
Система «ВебМатематика» является прикладной программой для Ява-сервера, позволяющая проводить символьные, графические и численные расчеты по Интернету на основе специально написанных научных и учебных интерактивных электронных документов, размещенных на сервере.
«ВебМатематика» создает на сервере и отправляет пользователю по его запросу специальные веб-страницы, которые содержат команды системы «Математика» в скрытом от пользователя виде и ИТМЬ-формы с полями ввода пользовательской информации. После нажатия пользователем кнопки «Вычислить» страница поступает обратно на сервер, команды выполняются, а результаты вычислений вклеиваются в новую страницу, отправляемую пользователю.
2. Преподавание математических дисциплин с помощью «ВебМатематики»
Отметим следующие возможности для обучения математическим дисциплинам, которые открывает «ВебМатематика». Это, во-первых, высококачественная, статическая и динамическая (мультфильмы и вращаемая трехмерная графика) визуализация математических объектов. Во-вторых, автоматизация символьных, графических и численных расчетов. В-третьих, интерактивность, т. е. возможность решать задачи, данные для которых заранее не известны авторам электронных пособий и определяются пользователем. В-четвертых, контроль правильности расчетов, выполняемых вручную, с помощью «ВебМатематики».
В разработанных авторами интерактивных электронных учебных пособиях принят следующий принцип применения системы «ВебМатематика».
Ясно, что было бы педагогически бессмысленно писать программы, автоматизирующие получение окончательного ответа решаемой студентами задачи, хотя это и возможно. Поэтому учебные пособия содержат подробнейше написанные образцы решения задач с вычислениями, выполняемыми как вручную, так и с помощью «Веб-Математики». Студенты повторяют эти вычисления применительно к своим задачам либо с помощью традиционной технологии
использования авторучки и бумаги, либо на сервере.
Студенты имеют возможность проверить ответ путем визуализации соответствующего математического объекта. При этом проверка ответа превращается в акт творчества, так как студенты должны адекватно интерпретировать возникающий графический объект, а также вынести суждение о том, правильно или нет решена задача.
3. Интерактивные учебные пособия
Разработанное авторами интерактивное учебное пособие по высшей математике состоит из девяти частей:
• «Прямые. Отрезки прямых на плоскости. Векторная алгебра. Базовые задачи»;
• «Образцы решения заданий по аналитической геометрии»;
• «Пределы. Непрерывность функций»;
• «Дифференцирование функций»;
• «Графики функций»;
• «Интегрирование»;
• «Обыкновенные дифференциальные уравнения»;
• «Степенные ряды»;
• «Критические точки функций двух переменных».
Во всех частях учебного пособия приводится необходимый теоретический материал и даются образцы решения заданий из учебного пособия [11], которое студентам МЭСИ рекомендуется для изучения дисциплины.
Можно выделить три типа пособий. Первый тип - пособия с чисто теоретическим материалом, проиллюстрированным интерактивными примерами. Второй тип -пособия, содержащие решения задач (ре-шебники). Третий тип - тренажеры выработки навыков математических вычислений.
3.1. Учебное пособие «Прямые. Отрезки прямых на плоскости. Векторная алгебра. Базовые задачи»
Пособие относится к упомянутому выше первому типу и является теоретической частью раздела «Аналитическая геометрия». В нем рассматриваются методы решения задач, относящихся к прямым на плоскости и векторной алгебре. На рис. 1 представлена веб-страница с учебным пособием. Она содержит 8 гиперссылок на главы пособия. Каждая глава содержит теоретический материал, снабженный красочными рисунками. Две из этих глав интерактивны.
Рассмотрим подробнее интерактивную главу «Уравнение биссектрисы угла между двумя заданными прямыми». В ней объясня-
ется, как найти уравнения биссектрис между двумя заданными своими общими уравнениями прямыми K и L. Пересекающиеся прямые порождают четыре угла. Биссектрисы вертикальных углов имеют одинаковые уравнения, поэтому всего имеется два решения этой задачи.
Общая формула для биссектрис содержит математический знак модуля, раскрытие которого представляет определенную сложность для студентов первого курса. Для того чтобы они могли проверить правильность решений, в пособии предусмотрена возможность начертить эти биссектрисы, используя полученные студентами решения и уравнения исходных прямых.
Для этой цели на веб-странице есть HTML-форма с полями ввода уравнений прямых и биссектрисы (см. рис. 2). После нажатия кнопки Calculate пользователь получает с сервера новую страницу с вклеенным выполненным рисунком (см. рис. 3).
На экране компьютера рисунок выполнен в цвете: одна из исходных прямых синяя, другая - коричневая. Предполагаемая биссектриса нарисована пунктиром красным цветом. Пользователь визуально оценивает, является ли пунктирная прямая биссектрисой. Если да, то можно признать вычисления правильными в том смысле, что они не содержат грубых ошибок. Аналогично проверяется вторая предполагаемая биссектриса.
Следует обратить внимание на то обстоятельство, что на рис. 2 в поля ввода заранее впечатаны уравнения задачи-образца. При решении своей задачи пользователь вместо этих уравнений впечатывает другие, получая тем самым возможность потренироваться.
Аналогичная методика принята в теоретическом по своему характеру интерактивном учебном пособии «Исследование критических точек функций двух переменных».
С index.html - Windows Internet Explorer 1 ~ Х
I© ^ http://webmath.mesi.ru/webMath/ME5I/JSPEaseLine/indei.l-i I ^ | l^l | X | | Я Яндекс ||Я| 1
£айл Правка Вид Избранное Сервис Справка
•jf Избранное. Д Google Выставка ваших работ Рекомендуемые сайты - Бесплатная почта Hotmail
[ЗрШШИ Ö ' 0 □ ä ' Страница - Безопасность - Сераис »
дисциплины. Для решения заданий предназначена вторая часть пособия, называемая А
"Аналитическая геометрия. Задачи".
Длина отрезка прямой
Уравнения прямой
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки
Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной
прямой
Угол между двумя заданными прямыми
Уравнение биссектрисы угла между двумя заданными прямыми
Расстояние от точки до прямой
Векторная алгебра 'Vil
® Интернет ■ ЧШЖ Ш .::
Рис. 1. Веб-страница с учебным пособием «Прямые. Отрезки прямых на плоскости. Векторная алгебра. Базовые задачи»
Рис. 2. HTML-форма с полями ввода уравнений прямых и биссектрисы
Г/ index_13.html Windows Internet Explorer ИВ? 1
I w Ш http://webmath.mesi.ru/webMath/ME5I/J5PBaseLine/MTMLLir vj g ^ X | Я Яндекс m
I Файл Правка Вид Избранное Сервис Справка
I ^ Избранное | ^ Д Google ES3 Выставка ваши> с работ Рекомендуемые сайты т Бесплатная почта НоЬтаЛ и
JE ï] ¡ndex_I3.html ^^ * Н " И ж Страница- Безопасность - Сервис - '¡Л" »
Нарисовать биссектрису ¡Йр
Введите правую часть уравнения прямой L: |2 х 5/8
Введите правую часть уравнений прямой К. 1/2 х + 1
Введите правую часть уравнения биссектрисы : 1-х + 11/8
Введите интервал: |{х, -0.5, 1}
Ï
2.5 /
2.0 \ /
щ , Л- ■
/Ч
1 [ V
I ОТОБО fcj Интернет ïa ; £
Рис. 3. Веб-страница с рисунком биссектрисы, выполненным «ВебМатематикой»
3.2. Учебное пособие «Исследование графиков функций»
В разделе «Теория» этого пособия, относящегося ко второму типу пособий, объясняется, что под исследованием графика функции понимается следующая последовательность действий:
1. Нахождение области определения функции и вертикальных асимптот.
2. Отыскание критических точек и выяснение их характера (локальный максимум, минимум, точка перегиба).
3. Нахождение интервалов монотонного возрастания и убывания функции.
4. Нахождение точек перегиба.
5. Нахождение горизонтальных и наклонных асимптот графика.
Все необходимые для решения задачи вычисления проделываются студентом самостоятельно. При нахождении области определения выясняется, имеет ли функция вертикальные асимптоты. Если да, то правильность полученных уравнений для асимптот впоследствии будет проверена.
Процесс отыскания критических точек состоит в вычислении первой производной исследуемой функции, нахождении ее нулей, вычислении второй производной и нахождении значений последней в критических точках. По знаку второй производной в критических точках выносится суждение о том, локальным максимумом или минимумом является критическая точка.
В учебном пособии все вычисления, связанные с критическими точками автоматизированы. Студенту остается только проинтерпретировать результаты вычислений. Правильность интерпретации впоследствии контролируется. Все происходит аналогично при выполнении третьего, четвертого и пятого пунктов.
Полученные результаты проверяются графически путем внесения данных вычислений в поля ИТМЬ-формы (см. рис. 4).
На экране компьютера рис. 5 выполнен в цвете. На нем синим цветом отмечены точки локального минимума, красным - точки локального максимума, черным - точки перегиба. График функции выполняется автоматически по введенной ранее формуле, задающей исследуемую функцию. Если график проходит через все отмеченные точки, и его точки локальных экстремумов и точки перегиба совпадают по цвету с вычисленными точками, то вычисления сделаны пра-
вильно. Если нет, то четко видно, какое из вычислений неверно и подлежит исправлению.
3.3. Учебное пособие «Дифференцирование функций»
Оно относится к третьему типу пособий, и его основная часть представляет собой тренажер выработки навыков вычисления производных. Вычисление производных основано на применении в определенном порядке правил дифференцирования. Общие правила дифференцирования определяют производные суммы, разности, произведения, частного и суперпозиции функций. Частные правила относятся к производным основных элементарных функций: константы, степенной, показательной, тригонометрических функций и функций, обратных к перечисленным. Впечатление о том, как работает тренажер, можно получить по следующему примеру.
В поля ИТМЬ-формы вводится функция и переменная дифференцирования. После вычисления пользователь видит на экране следующую картинку (см. рис. 6). В ней содержится информация о дифференцируемой функции и перечисляются в порядке применения правила дифференцирования. В последней строчке - результат.
Полный список правил дифференцирования появляется только для конечного числа предусмотренных авторами примеров. Для задач, которые решают студенты, доступна только половина общего числа применяемых правил. Во всяком случае, студент знает, как начать решение задачи.
4. Об опыте преподавания с использованием «ВебМатематики» в МЭСИ
Применение «ВебМатематики» явилось совершенно новым приемом в учебном процессе, поэтому сначала потребовалось объяснить преподавателям, ведущим практические занятия, открывающиеся возможности. Опасения преподавателей были связаны с возможным увеличением трудоемкости преподавания. Однако удалось разработать схему, по которой трудоемкость даже уменьшалась, а уровень понимания материала студентами существенно возрастал. Перечислим основные элементы схемы:
Рис. 4. ИТЫЬ-форма для ввода данных, полученных в ходе вычислений. По этим данным вычисляется график (см. рис. 5)
Рис. 5. График функции вместе с вычисленными точками локальных экстремумов и точками перегиба
Рис. 6. ИТМЬ-форма с примененными правилами дифференцирования
1. Разработана система домашних контрольных работ по всему изучаемому курсу высшей математики.
2. При выполнении контрольных работ студенты могли использовать «ВебМатема-тику», хотя это было необязательно.
3. По каждой контрольной работе преподаватель проводил защиты работ студентами с использованием «ВебМатематики» для визуализации результатов. При этом около 50% студентов не могли защитить работы с первого раза либо потому, что задача не была решена, либо потому, что не могли объяснить ход решения.
При обычной схеме учебного процесса единственной возможностью для студентов обсудить возникшие трудности с преподавателем была консультация в отведенные для этого часы. Однако количество часов консультаций ограничено, поэтому далеко не все студенты могли этой возможностью воспользоваться. Это приводило к накоплению задолженности по контрольным работам и количеству не освоенного студентами материала.
4. Студентам, не защитившим контрольные работы, предлагалось в обязательном порядке решать задачи с помощью «ВебМатематики» самостоятельно. Тем самым каждый этап решения задачи можно было проверить как визуально, так и анали-
тически. В результате процент защитивших контрольные работы студентов удалось довести до 90%.
Заметим, что даже у тех студентов, которые защитили контрольные работы с первой попытки, в процессе защиты с использованием «ВебМатематики», появилось чувство удовлетворения от наглядного подтверждения полученных ими результатов, особенно по теме «Графики функций».
Заключение
Изложенная в работе методика применения интерактивных электронных учебных пособий, равно как и тип последних, далеко не исчерпывают всего многообразия потенциальных применений «ВебМатематики» в учебном процессе. Отметим лишь некоторые перспективные направления дальнейших разработок.
«ВебМатематика» с ее инструментальными средствами делает возможным решение ряда проблем преподавания математического анализа, остающиеся вне фокуса внимания преподавателей, интересующихся методологическими аспектами дисциплины. Упомянем, например, проблему изложения понятия вещественного числа, которое является фундаментальным понятием дисциплины, дающим ключ к единообразному пониманию таких вопросов, как непрерывность
функций, длины кривых, площади и объемы плоских и пространственных тел.
Применение «ВебМатематики» на лекциях, оставшееся за скобками настоящей работы, повышает эстетический уровень преподавания за счет высококачественной статической и динамической графики, разнообразных таблиц с данными, получаемыми онлайн, экономит время лектора, которое он тратит на утомительные вычисления, позволяет иллюстрировать теорию интересными прикладными задачами.
Системы «Математика» и «ВебМатема-тика» радикально изменяют понятие компь-
Литература
ютерного практикума по математическим дисциплинам. Традиционно его содержание составляло обучение численным методам. Теперь оно может быть расширено за счет символьных и графических вычислений.
В заключение отметим, что обучение с помощью электронных интерактивных учебных пособий, размещенных на вебсайте, отвечает все более распространяющемуся среди студентов и преподавателей обычаю получать всю необходимую информацию в сети Интернет.
Интернет - журнал Открытое образование
Вышел очередной тематический номер «Интернет-журнала Открытое образование». Этот номер посвящён информационным войнам. В него вошли статьи:
Бабаш А. В., Баранова Е. К. Специальные методы в криптографической деятельности;
Делицын Л. Л., Подлесная Т. А. Стохастические модели распространения новых идей в социальных сетях;
Правиков Д. И., Хади Р. А., Селин Р. Н. Методика анализа защищенности объектов промышленной автоматизации.
Этот и предыдущие тематические номера «Наука об информации» и «Информационные технологии в инженерном образовании» можно найти на сайте журнала.
Источник. JOE (http://www.e-joe.ru/i-joe/)
1. Воробьев Е. М. Введение в систему символьных, графических и численных расчетов «Математика». - М.: Диалог-МИФИ, 2005. 365 с.
2. Воробьев Е. М. Компьютерный практикум по математике. Математический анализ. Линейная алгебра. - М.: Книжный дом - Университет, 2009. 603 с.
3. Webmathematica 3. A User Guide. Electronic Edition. - Wolfram Media, 2009.
4. Воробьев Е. М. Фундаментализация курса «Математический анализ» на основе пакета «Математика» // Информационные технологии в образовании - 2002: Тезисы докладов научно-практической конференции. - М.: Гос. акад. нефти и газа им. Губкина, 2002.
5. Воробьев Е. М., Никишкин В. А. Программная система «WebMathematica»: интерактивные вычисления по Интернету // Совершенствование подготовки IT-специалистов: Тезисы докладов российской научно-методической конференции. - М.: МЭСИ, 2005.
6. Воробьев Е. М., Никишкин В. А. Интернет-технология обучения математическим дисциплинам на основе системы «ВебМатематика» // Информационные технологии в образовании и науке - 2007: Материалы всероссийской научно-практической конференции. - М.: МФЮА, 2007.
7. Воробьев Е. М. Компьютерный практикум по математическим дисциплинам на основе системы «Математика» // Новые информационные технологии в образовании: Материалы международной научно-практической конференции. - Екатеринбург, 2008. С. 58-61.
8. Воробьев Е. М., Никишкин В. А. Информационная технология преподавания математических дисциплин, основанная на системах «Математика» и «ВебМатематика» // Экономика, статистика и информатика: Вестник УМО, 2009. № 1-2. C. 43-48.
9. Воробьев Е. М., Никишкин В. А. Методика разработки интерактивных учебных пособий на основе системы «ВебМатематика» // Совершенствование подготовки IT-специалистов по направлению «Прикладная информатика»: Сборник научных трудов V Международной научно-практической конференции. - М.: МЭСИ, 2009. С. 41-45.
10.Воробьев Е. М., Никишкин В. А. Методика разработки интерактивных учебных пособий по математическим дисциплинам для системы «ВебМатематика» // Открытое образование, 2010. № 3. С. 23-31.
11 .Малахов А. Н., Максюков Н. И., Никишкин В. А. Высшая математика. - М.: МЭСИ, 2006. 276 с.
